El PTV y las condiciones de equilibrio

1. Principio de los Trabajos
Virtuales (PTV)
El PTV y las condiciones de equilibrio
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. El PTV se expresa
diciendo:
Introducción
“Para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se encuentra en
equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno
de deformación”
Es conveniente considerar algunos términos de la definición:
• En primer lugar estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con
posterioridad se le provoca una deformación arbitraria compatible con las
condiciones de vínculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo.
• Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan el
trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Te.
• Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales, generan
trabajo debido a la deformación virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual
interno de deformación, Ti.
El PTV puede entonces expresarse sintéticamente como:
ie TT 

3. Consideremos el caso de
una estructura sometida a
un sistema de cargas Pm
… siendo R las correspondientes reacciones de vínculo exteriores
Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos Q, N, M de tal manera que
existe equilibrio entre la acción interna y la externa.
Sometemos al sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de las
cargas Pm y R, sufrirán desplazamientos δm y ΔR (si existen corrimientos de apoyos) en la dirección de
las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estará dado por:
Rmme RPT   
Para expresar el trabajo virtual interno de deformación, (es decir el trabajo de los esfuerzos internos
Q, N, M) debido a la deformación virtual, consideramos un elemento de una barra dx de
altura h.

4. La deformación
virtual provocará…
… un desplazamiento relativo de las dos secciones
del elemento que podrá expresarse por una
traslación y una rotación d.
La traslación la podemos considerar compuesta
por dos componentes; una a lo largo del eje de
la barra dN y otra normal dc.
El trabajo diferencial de las fuerzas internas
que actúan sobre el elemento dx será:
dcQdNNdMdTi  
La integración de esta expresión a toda la estructura representa el
trabajo virtual de deformación Ti.

5. Las deformaciones
elásticas para una
barra son:
Resultando:
dx
FG
Q
dc
dxT
FE
N
dN
dx
h
T
JE
M
d




























6. Donde:
dx
FG
Q
dc
dxT
FE
N
dN
dx
h
T
JE
M
d



























• χ: Coeficiente de forma que tiene en
cuenta la distribución no uniforme del
corte en la sección transversal de la viga
• α: coeficiente de dilatación térmica
• F: Sección transversal de la barra
• J: Momento de Inercia
• E: Módulo de elasticidad
• G: Módulo de elasticidad transversal
y reemplazando en e integrando será:dcQdNNdMdTi  
dx
FG
Q
QdxTNdx
FE
N
Ndx
h
T
Mdx
JE
M
MTi 







  
… que es la expresión del PTV, para el caso general de estructuras planas.

7. Veamos ahora las
condiciones de equilibrio…
Condiciones de
equilibrio
Consideremos una chapa solicitada por un
sistema de fuerzas exteriores Fi y Mi en
equilibrio...
…las condiciones de equilibrio de los cuerpos
en el plano son las siguientes:
0;0;0  
m
i
i
n
i
Y
n
i
X MFF ii
…además, una chapa en el plano posee tres
grados de libertad (dos desplazamientos y una
rotación), en consecuencia es susceptible de
experimentar tres desplazamientos virtuales
independientes entre sí.

8. Veamos ahora las
condiciones de equilibrio…
…suponemos que la chapa sufre un desplazamiento virtual paralelo al eje x de intensidad x.
Al tratarse de un sólido rígido, todos sus
puntos materiales y en particular los puntos de
aplicación de las fuerzas, sufrirán el mismo
desplazamiento x, y el trabajo desarrollado
por el sistema de fuerzas será:
  0cos  
n
i
iiXX
n
i
X FFU i

…siendo i el ángulo que forma cada fuerza Fi
respecto del eje x.
Dado que x es arbitrario, para que se cumpla la igualdad precedente es necesario que:
  0cos 
n
i
iiF  que corresponde a la condición de equilibrio 0
n
i
Xi
F

9. Veamos ahora las
condiciones de equilibrio…
0
n
i
Yi
F
Consideremos ahora un desplazamiento virtual paralelo al eje y de intensidad y. En
forma análoga se tendrá:
Por último, para una rotación virtual θ de la
chapa respecto del centro O, los puntos de
aplicación de las fuerzas sufrirán el siguiente
corrimiento virtual en la dirección de las
mismas:
  ii d
…siendo di la distancia medida en forma
perpendicular desde el origen de coordenadas
a la dirección de las fuerzas Fi.

10. Veamos ahora las
condiciones de equilibrio…
Por lo tanto, el trabajo virtual desarrollado por sistema de fuerzas, para una rotación
virtual, de acuerdo con el enunciado del Principio de Trabajos Virtuales debe ser nulo:
  
m
i
i
n
i
ii MFU
0





 
m
i
i
n
i
ii MdFU 
  
m
i
i
n
i
ii MdFU
de donde:
0





 
m
i
i
n
i
ii MdF “De esta manera se ha demostrado que todo
cuerpo que cumple el PTV cumple a su vez las
condiciones de equilibrio”.

11. Supongamos una viga
simplemente apoyada…
Aplicación al Cálculo
de Deformaciones
…con un estado de cargas cualquiera, que
genera el diagrama de momentos M
indicado en la figura.
Si queremos calcular la deformación de esa
viga (desplazamiento vertical) en el punto m,
aplicamos en dicho punto una carga auxiliar
(ficticia) unitaria, en la dirección que se quiere
calcular la deformación.
Si aplicamos ahora la ecuación del PTV y
admitimos que no hay descenso de apoyos, ni
variaciones de temperatura y despreciando los
efectos de N y Q, resulta:
ime Tds
JE
M
MT 

 1

12. Supongamos una viga
simplemente apoyada…
Análogamente, si queremos la deformación de esa
viga (giro) en el punto m, aplicamos una cupla
unitaria en dicho punto, en donde por aplicación
de la ecuación del PTV, resulta:
ime Tds
JE
M
MT 

 1
Aplicación al Cálculo
de Deformaciones

13. Veamos el
siguiente ejemplo:
Ejemplo
Calcular la flecha en el punto medio y el giro
en los extremos de la viga simplemente
apoyada de la figura cuando actúa sobre ella
una carga uniforme p.
La función de momentos flexores de la viga es:
 
8222
2
2
lpl
l
lp
xM l







     xlx
p
xM
2
Si queremos calcular la deformación de la viga
(desplazamiento vertical) en el punto C, aplicamos en
dicho punto una carga auxiliar (ficticia), unitaria, en la
dirección que se quiere calcular la deformación.

14. Veamos el
siguiente ejemplo:
Los momentos generados por esta fuerza serán:
 
















422
422
*
*
2
*
ll
l
F
llF
xM l
 
   












lx
lxl
xl
F
l
x
x
x
F
xM
222
2
0
22
*
*
*

15. Veamos el
siguiente ejemplo:
y planteando la ecuación de PTV (dado que
ambos momentos son simétricos, resolveremos la
integral de media viga y la multiplicaremos por 2):
  







 L
C dx
x
xlx
p
JE 22
2

   
 







L
C dx
JE
xM
xM
*

JE
lp
C



4
384
5


16. Veamos el
siguiente ejemplo:
Análogamente, si queremos calcular el giro del
punto B, aplicamos una cupla auxiliar (ficticia)
unitaria en dicho punto, en la dirección que se
quiere calcular la deformación.
Los momentos generados por esta cupla serán:
 
l
x
l
x
MxM  **
y planteando la ecuación de PTV:
  







 L
B dx
l
x
xlx
p
JE 2
1

    






 L
B dx
JE
xM
xM
*

JE
lp
B



3
24
1


17. Veamos ahora el
método gráfico:
Si queremos calcular la
deformación de la viga,
será:
   
JE
lplllp
JE
LmMdx
JE
xM
xM
L
C



















 









 
42*
384
5
24812
52
12
5

   
JE
lp
l
lp
JE
LmMdx
JE
xM
xM
L
B













 
32*
24
1
83
11
3
1


18. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

19. Muchas Gracias