Este documento trata sobre la estática, que estudia el equilibrio de sistemas sometidos a fuerzas externas. Primero analiza diversas fuerzas y momentos, luego el equilibrio de estructuras simples y complejas, y finalmente cálculos de centroides, momentos de inercia y fuerzas internas en vigas y armaduras.

1. ESTÁTICA

2. ESTÁTICA
• La Estática, es parte de la Mecánica,
estudia el equilibrio de diversos
elementos o sistemas estructurales
sometidos a la acción externa de
cargas puntuales y distribuidas, así
como de momentos.

3. CONTENIDO
Primeramente analizaremos las diversas formas de
las FUERZAS Y MOMENTOS, a las cuales están
sometidas las estructuras, luego estudiaremos el
EQUILIBRIO de estructuras simples y estructuras
espaciales. Calcularemos los CENTROIDES en
alambres y áreas, así como, los MOMENTOS DE
INERCIA de áreas planas y de perfiles metálicos.
Calcularemos las FUERZAS INTERNAS que derivan
en los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y
momento flector para vigas y finalmente
analizaremos diversos tipos de ARMADURAS, a
través de los métodos de los nudos de secciones.

4. FUERZA
• Interacción mecánica entre dos cuerpos.
• Es todo agente capaz de modificar la
cantidad de movimiento o la forma de los
cuerpos. La fuerza expresa la acción
mecánica de un cuerpo sobre otro.
• Siendo la fuerza una cantidad vectorial su
especificación completa requiere de: (a)
una INTENSIDAD (MÓDULO), (b) una
DIRECCIÓN y SENTIDO, y (c) un punto de
aplicación.

5. ELEMENTOS DE LA FUERZA

6. La fuerza es un vector fijo, porque una
de sus características es el punto de
acción
TENSIÓN
COMPRESIÓN
NO SE PRODUCE
DEFORMACIÓN
Misma línea de acción, los puntos de
aplicación son diferentes
El punto de aplicación es una característica de
una fuerza, en lo que se refiere a deformaciones

7. Si la barra es RIGIDA, no se observarán diferencias
en el comportamiento de las tres barras.
Es decir los efectos
externos de los tres casos
son idénticos.
Si sólo nos interesan los efectos
externos, una fuerza puede ser
tratada como un vector
deslizante.
PRINCIPIO DE
TRANSMISIBILIDAD

8. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD
Una fuerza puede moverse a lo largo de su línea de
acción sin cambiar sus efectos externos sobre un
cuerpo rígido.
Las tres fuerzas son iguales en
magnitud, sin embargo sólo P y Q
producirán efectos externos
idénticos, ya que tienen la misma
línea de acción.
Como la línea de acción de S es
diferente, su efecto externo es
diferente.

9. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD
La fuerza puede considerarse aplicada en
cualquier punto de su línea de acción sin
que altere su efecto exterior sobre el
cuerpo

10. A. Fuerzas
Externas:

11. B. Fuerzas Internas: El efecto interior de la
fuerza F es las deformaciones y esfuerzos
resultantes distribuidos en el seno del
material.
FB/A es una fuerza
INTERNA, cuando se
considera todo el cuerpo.

12. CLASES DE FUERZAS
1. FUERZAS DE
CONTACTO.
Se generan mediante el
contacto físico directo
entre dos cuerpos

13. 2. FUERZAS MASICAS
Se crean por acción
a distancia.
Ejemplo, las fuerzas
gravitacionales,
para las que se
cumple la Ley de la
Gravitación
Universal de
Newton..
m m
1 2
r
2
Fg  G

14. 3. FUERZAS
CONCENTRADAS
Aquellas que se
consideran
aplicadas en un
punto.

15. 2. DISTRIBUIDAS
Aquellas que se consideran aplicadas en
una línea, un área o un volumen.

16. UNIFORMEMENTE
DISTRIBUIDAS
DISTRIBUIDAS NO
UNIFORMEMENTE

17. UNIDADES DE FUERZA
 Se mide una fuerza comparándola con
otras fuerzas conocidas, por equilibrio
mecánico, o por la deformación calibrada
de un resorte.

18. UNIDADES DE FUERZA
 En el S. Internacional Absoluto:
M.K.S.: 1 Newton. (1 N = 1kg m/s2),
c.g.s. : 1 Dina. (1 dn = 1g cm/s2).
 En el S.I. Técnico:
1 Kgf. (1kgf = 1 UTM m/s2)
 En el S. Inglés Absoluto:
1 Poundal (1 Poundal = 1 lb
pie/s2)
 En el S. Ingles Técnico:
1 lbf. (1 lbf = 1 slug
pie/s2)

19. FUERZA RESULTANTE
 Consideremos dos fuerzas actuando
sobre un cuerpo como se ve en la figura .

20. FUERZA RESULTANTE
 El Módulo o magnitud de la resultante:
mediante la Ley de cosenos
2
1    2
2
2
F F F F F Cos R 1 2
 La dirección de la resultante: mediante la
Ley de senos o teorema de Lamy
FF
F
R  1 
2  Sen
 Sen
Sen

21. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
1.EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN
EL PLANO

22. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
1. EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL
PLANO
F  Fx i 
Fy j
( )
F  FCos  i 
FSen 
j
F  F Cos i 
Sen j
( )
Cos i Sen j
   

( )
2 2
F  Fx 
Fy
Fy
( )
Fx
arcTg


 

23.  EJEMPLO:
 La longitud del vector posición r es de 2,40m. Determine:
(a) La representación rectangular del vector posición r. (b)
Los ángulos entre r y cada uno de los ejes coordenados
positivos

24.  EJEMPLO:
 Dado los vectores: ; ; ;
 Determinar:
 a)
B  A
 b) La componente ortogonal de B en la dirección de C
 c) El ángulo entre A y C
 d)
 e) Un vector unitario perpendicular a A y B
 f)
k j i A46k j B3
C  2i  j  4k
A B
C  A B

25. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
2.EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN
EL ESPACIO

26. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
2. EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN
EL ESPACIO
F  Fx i  Fy j 
Fz k
F  FCos  i  FCos  j 
FCos 
k
F  F Cos i  Cos j 
Cos k
(   
)
Cos i Cos j Cos k
     

( )
( )
)
( )
F  Fx 2  Fy 2 
Fz
2

27. DIRECCIONES
Fx
F
Cos 
Fy
F
Cos 
Fz
F
Cos 

28. FUERZA (MÓDULO Y COORD.DE PTO INICIAL Y FINAL)
En algunos caso la fuerza está definida por su
módulo y las coordenadas de dos puntos a lo
largo de su línea de acción.

29. uuuur
MN
F F F
  
MN
     
     
x  x i  y  y j  z 
z k
2 1 2 1 2 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 2 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
x y z x y z
x y z
F F
x x y y z z
d i d j d k d i d j d k
F F F
d d d d

    
   
 
 
r
uuuur
r
r

30.  EJEMPLO:
 Encuentre la representación rectangular de la fuerza F
cuya magnitud es de 240N

31. Ejemplo
Calcule las componentes horizontal y vertical de las
fuerzas mostradas en la figura

32. Ejemplo
Calcule las componentes de la fuerza de 100
N representada en la figura, una de ellas actúa
en la dirección de AB y la otra paralela a BC.

33. EJEMPLO
La fuerza de 500 N que actúa sobre la armadura
ha de ser resuelta en dos componentes actuando
a lo largo de los ejes AB y AC de la estructura. Si
la componente de la fuerza a lo largo de AC es de
300 N dirigida de A C, determine la magnitud de la
fuerza actuante a l largo de AB y el ángulo θ de la
fuerza de 500 N

34. EJEMPLO
La fuerza F de 500 N está aplicada al poste vertical
tal como se indica . (a) Escribir F en función de los
vectores unitarios i y j e identificar sus
componentes vectoriales y escalares; (b) hallar las
componentes escalares de F en los ejes x’ e y’; ©
hallar las componentes escalares de F en los ejes x
e y’.

35. EJEMPLO
Combinar las dos fuerza P y T, que actúan
sobre el punto B de la estructura fija, para
obtener una única fuerza R.

36. EJEMPLO
En el sistema de fuerzas mostrado en la figura
determine la magnitud y la dirección de la
fuerza resultante.

37. EJEMPLO
Expresar la fuerza F de 36 kN en función de los
vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre
el eje x

38. EJEMPLO O2
Expresar la fuerza F de 400 N en función de los
vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección
sobre la recta OA.

39. EJEMPLO O2
Calcular las componentes rectangulares de la
fuerza de 110 N, representada en la figura, una
es paralela a AB y la otra es perpendicular a
esta línea.

40. MOMENTO DE UNA FUERZA
 Se denomina momento de una fuerza
(respecto a un punto dado) al efecto de giro o
rotación, que produce una fuerza que actúa
sobre un cuerpo cuando su línea de acción no
pasa por su centro de gravedad.

41. MOMENTO DE UNA FUERZA
 El momento de una fuerza aplicada en un punto P con
respecto de un punto O viene dado por el producto
vectorial del vector de posición OA por el vector fuerza
F; esto es
M r F o  
 Dirección: Siempre perpendicular al plano de r y F.
 Módulo:
M r F Sen o 
 Sentido: Según la regla de la mano derecha.
 Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores
deslizantes, el momento de una fuerza es
independiente de su punto de aplicación sobre su
recta de acción o directriz.

42. INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA
 El momento de una fuerza con respecto a un eje
da a conocer en qué medida existe capacidad en
una fuerza o sistema de fuerzas para causar la
rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase
por dicho punto.
 El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo
sobre el cual se aplica y es una magnitud
característica en elementos que trabajan
sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria)
o a flexión (como las vigas)

43. COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO
El momento de la fuerza respecto aO es

44. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A
UN PUNTO CUALQUIERA

45. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO
EN EL PLANO

46. Ejemplo
 Determine el momento ejercido por el peso de
30 lbf con respecto a los puntos (a) E y (b) S

47. Ejemplo
Se aplica una fuerza vertical de 100
lb al extremo de una palanca que
está unida a un eje en O. Determine:
(a) el momento de la fuerza de 100
lb con respecto al punto O,
(b) el módulo de la fuerza horizontal
que aplicada en A produce el mismo
momento produce el mismo
momento respecto a O,
(c) la menor fuerza que aplicada en
A produce el mismo momento
respecto a O,
(d) a que distancia del eje debe
aplicarse una fuerza vertical de 750

48. SOLUCIÓN
Parte (a) La magnitud del
momento de la fuerza de 100 lb
se obtiene multiplicando la fuerza
por el brazo de palanca esto es
M Fd
 
100 lb12 in.

  
24in. cos60 12 in.

O
d
O
M
MO 1200 lb  in
La dirección de Mo es
perpendicular al plano que
contiene F y d y su sentido se
determina mediante la regla
derecha

49. SOLUCIÓN
Parte (b) La fuerza que aplcada en A
produce el mismo momento se
determina en la forma siguiente
 
  
24 in. sin 60 20.8 in.
M Fd
 

1200 lb in. 20.8 in.
1200 lb 
in.
20.8 in.
 

F
F
d
O
F  57.7 lb

50. SOLUCIÓN
Parte (b) Debido a que M = F d.
el mínimo valor de F corresponde
al máximo valor de d. Eligiendo la
fuerza perpendicular a OA se
encuentra que d = 24 in;
entonces
MO Fd
 

1200 lb in. 24 in.
1200 lb 
in.
24 in.
 

F
F
F  50 lb

51. SOLUCIÓN
Parte (b). En este caso Mo = Fd
obteniendo
 

1200 lb in. 240 lb
1200 lb in.
 
cos60 5 in.
5 in.
240 lb
 



OB
d
d
MO Fd
OB 10 in.

52. Ejemplo
 La placa rectangular es soportada por dos pernos
en A y B y por un alambre CD. Conociendo que la
tensión e el alambre es 200 N. Determine el
momento con respecto al punto A de la fuerza
ejercida por el alambre en C
SOLUCIÓN
El momento MA de la fuerza
F ejercida por el alambre es
obtenido evaluando el
producto vectorial

53. SOLUCIÓN
  
M  r 
F A C A
    
r  r  r   0.3 m i   0.08 m
 j C A C A
 
 
F F
200 N
  
 

r
C D
r
C D
  
     
i j k
  
0.3 m 0.24 m 0.32 m
0.5 m
  
200 N
 i   j  k
   
120 N 96 N 128 N

0.3 0 0.08
 
120 96 128

i j k
MA
  


54. Ejemplo
La tensión en el cable AB es 150 N. Determine la
tensión en AC y CD tal que la suma de los momentos
alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por
los cables en el punto A es cero.

55. Ejemplo:

56. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE
QUE PASA POR EL ORIGEN
 Sabemos que el momento de
la fuerza F respecto al punto
O.
 El momento de la fuerza F
con respecto al eje OL es la
proyección r r ortogonal de r
Mo
r sobre el eje OL.
    0
ˆ. ˆ ˆ. . ˆ OL M   M    r F 
 
 El momento MOL de F
alrededor del eje OL mide la
tendencia de la fuerza F a
impartir al cuerpo rígido

57. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A
UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO
CUALQUIERA
 El momento de una
fuerza alrededor de un
eje cualquiera es
r r r r
    /
     
M M r F
r r r
r r r
 El resultado es
independiente del
punto B
/
ˆ. ˆ ˆ. . ˆ OL B A B
A B A B
 
 

58. Ejemplo
Sobre un cubo de arista a
actúa una fuerza P, como
se muestra en la figura.
Determine el momento de
P:
(a) con respecto a A,
(b) con respecto a la
arista AB.
(c) Con respecto a la
diagonal AG

59. SOLUCIÓN
  
• Moment of P about A,
 
    
 
M r P
A F A
r  ai  a j  a i 
j
    
   
F A
P  P 2 i  2 j  P 2
i 
j
    
M ai j  P i j 
A
   2

   
M  aP 2 i  j 
k  A
La magnitud del momento respecto a AB es
 
• Moment of P about AB,
M  i 
MAB A
   
i aP i j k 
  2
 
M aP 2 AB 

60. SOLUCIÓN
(c) La magnitud del momento respecto a AG es
  
 
1
AG A
   
ai aj ak
M M
A G
   
 
   
 
i j k
r
aP
  
2
1
     
3 2
1 1 1
6
3
3
  
  
 
 
aP
i j k
aP
M
A
M i j k
i j k
a
r
AG
A G
     

 


aP
6
MAG  

61. Ejemplo
 Se aplica una tensión
T de intensidad 10
kN al cable amarrado
al extremo superior A
del mástil rígido y se
fija en tierra en B.
Hallar el momento Mz
de T respecto del eje
Z que pasa por la
base O del mástil.

62. Ejemplo
 La fuerza F tiene una
intensidad de 2 kN y
está dirigida de A hacia
B. Determine: (a) La
proyección FCD de La
fuerza F sobre la recta
CD (b) el ángulo que θ
que forma la fuerza F y
la recta CD y (c) si el
modulo del momento
F respecto a la recta
CD es de 50 N. m,
halle el módulo de la
fuerza

63. Ejemplo
 La tensión el cable es 143,4 N. Determine el
momento alrededor del eje x de esta fuerza de
tensión actuando en A. Compare su resultado con
el momento del peso de 15 kgf de la placa
uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento
de fuerza de tensión actuando en A alrededor de
la línea OB

64. Ejemplo
 Una barra doblada está rígidamente fijada a una
pared en el punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud
F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea
de acción que pasa por el origen, como se
muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la
fuerza respecto al punto P, (b) el momento
respecto a la línea l que pasa por P con una
pendiente 5/12 en el plano yz.

65. PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon
Si un sistema de fuerzas concurrentes esta
actuando sobre un cuerpo como se muestra en la
figura, el momento de la fuerza resultante
alrededor del punto puede ser determinado
mediante la suma de cada uno de los momentos
de las fueras individuales respecto al mismo
punto. Es decir:

66. CUPLA O PAR DE FUERZAS
La cupla o par de fuerzas es un sistema
formado por dos fuerzas F y –F que
tiene la misma magnitud, líneas de
acción paralelas pero de sentidos
o•pEulemstooms.ento de la cupla es,
El vector momento de la cupla es
un vector independiente del origen
o es decir es un vector libre
perpendicular al plano que

67. DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR
 La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la
cupla y su sentido se determina mediante la regla de
la mano derecha

68. CUPLA O PAR DE FUERZAS
 Dos cuplas tendrán igual
momento si:
a)
b) Las dos cuplas se
encuentran ubicadas en planos
paralelos
c) La dos cuplas tienen el
mismo sentido o la misma
tendencia a causar rotación y la
misma dirección

69. Ejemplo de cupla
 Determine el momento de la cupla mostrada
en la figura y la distancia perpendicular entre
las dos fuerzas

70. Ejemplo de cupla
Dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos
son F1 = (-70i - 120j - 80k)lbf y F2 = (70i
+120j + 80k)lbf y actúan en los puntos A y B
del cuerpo mostrado en la figura. Determine
el momento de la cupla y la distancia
perpendicular entre las dos fuerzas

71. EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARES
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes (es decir
producen el mismo efecto sobre un sólido) si pueden
transformarse el uno en el otro mediante una o varias de
las operaciones siguientes:
a) Sustituyendo dos fuerzas que actúan sobre la misma
partícula por su resultante;
b) Descomponiendo una fuerza en dos componentes y
c) Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la
misma partícula
d) Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestas
e) Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte

72. SISTEMAS FUERZA CUPLA
Cualquier fuerza F aplicada a un sólido rígido puede
ser trasladada a un punto arbitrario B, sin más que
añadir una cupla cuyo momento sea igual al momento
de F respecto de B
No hay cambio en el
efecto externo
Cupla

73. Ejemplo
Remplace la fuerza de 350 N por una fuera y una
cupla en el punto B- Exprese su respuesta en
coordenadas cartesianas

74. solución
Se trazan dos fuerzas en B como se
ve en la figura . La expresión
vectorial de F es
El momento C será

75. Ejemplo
Remplace la fuerza de 600 N mostrada en la
figura por una fuera y una par en el punto A.
Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas

76. Ejemplo
La tensión en el cable sujeto al extremo C del botalón
ajustable ABC es de 1000 N. Sustituir la fuerza que el
cable ejerce en C por un sistema fuerza-par
equivalente : (a) en A , (b) en B

77. Ejemplo
 Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A
de un miembro estructural. Sustituirla por: (a)
un sistema fuerza –par equivalente en C, (b) un
sistema equivalente compuesto por una fuerza
vertical en B y una segunda fuerza en D

78. Ejemplo
La fuerza horizontal P actúa como se muestra sobre la
palanca acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-par
equivalente en B. Determinar las dos fuerzas
verticales en C y D equivalentes al par hallado en la
parte (a)

79. SISTEMAS FUERZA CUPLA
Paso 1 Paso 2 Paso 3
Seleccionar un punto
para encontrar el
momento
Remplazar las fuerzas
por una fuerza y un
par en el punto O
Sumar las fuerza y
cuplas
vectorialmente para
encontrar la
resultarte y el
momento resultante

80. Ejemplo
Reducir el sistema de fuerzas y momentos a
una fuerza un par actuando en A