El documento describe la técnica de resolver ecuaciones diferenciales de primer orden mediante series de potencias. Explica que la solución general se expande como una serie donde cada término es una potencia de x con constantes asociadas, y se igualan los coeficientes de la serie de la solución con los de la derivada para encontrar las constantes. También advierte que la convergencia de la serie puede no ser uniforme y es importante verificarla, así como encontrar el punto de partida adecuado.

2. Gottfried Wilhelm Leibniz
Una ecuación diferencial de primer orden es de la
siguiente forma:
y‘ + p(x)y=q(x)
donde p(x) y q(x) son funciones continuas en algún
intervalo “y‘” y “y” es una función desconocida
que deseamos encontrar. La solución general
de esta ecuación es de la siguiente forma:
y(x) = e−∫p(x)dx (∫q(x)e ∫p(x)dx dx + C)
donde “C” es una constante arbitraria que se
determina a partir de una condición inicial.
Sin embargo, en algunos casos, no es posible
obtener la solución analítica a través de esta
Las ecuaciones diferenciales son una herramienta
fundamental en la modelización y análisis de fenómenos
naturales y físicos. Muchas de estas ecuaciones son difíciles
de resolver analíticamente, lo que requiere el uso de
técnicas más avanzadas como la solución por series. En esta
exposición, nos enfocaremos en la solución de ecuaciones
diferenciales de primer orden por series.
Gottfried Wilhelm
Leibniz
(Considerado padre
de las ED)

3. Esta técnica puede ser utilizada para resolver ecuaciones diferenciales de
primer orden más complejas. Sin embargo, debemos tener en cuenta que
la convergencia de la serie puede no ser uniforme en todo el intervalo de
interés, por lo que es importante verificar la convergencia de la solución.
Además, también es importante encontrar un punto de partida adecuado
para la serie de potencias, ya que el radio de convergencia puede ser
limitado por singularidades en la ecuación diferencial.
4. La expresión para cn no siempre puede darse cuenta de forma sencilla
muchas veces se da una relación de recurrencia
5. Generalmente no se obtienen funciones elementales, por lo que la
solución se deja expresada como una serie

4. La técnica de la serie de potencias es una técnica para resolver
ecuaciones diferenciales por medio de la expansión de una
solución en una serie de potencias donde: Y es igual a una seria de
x que esta siendo elevado desde 0 (n=0) hasta el infinito de uno en
uno (n=n+1), con constantes sub n que va en aumento con los
exponentes de x.
Luego derivamos la y con respecto a x, y’ será
igual a la serie de potencias multiplicada por n
donde n empieza en 0 y es igual a n=n+1 y las
contantes C son sub (n+1) empezando en sub
n=n+1 y el exponencial de x es n= (n+1)-1,
Y por último igualamos coeficientes de y con y’
para encontrar el valor de cada contante. Si se
puede se busca un patrón para remplazarlo
Teniendo en
cuenta:

5. Propiedades de Sumatoria

6. SOLUCIÓN
DE
ECUACIONES
DE
PRIMER
ORDEN
POR
SERIES
EJEMPLO
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial
mediante la utilización de series de potencias:
yʹ - y = 0
-Sea la solución general de la ED.
-Derivándola:
-Sustituyendo en la ED. yʹ = y

7. SOLUCIÓN
DE
ECUACIONES
DE
PRIMER
ORDEN
POR
SERIES
Teniendo en cuenta:

9. INTEGRANTES
DE
LA
EXPOSICIÓN
Sofia Guadalupe Alejo García S9077-8
Cesar Tintaya Ruiz S9117-0
Alfredo Hector Huarachi Lia S8005-5