El Metodo de Euler

1. El Metodo de Euler:
Ya vimos como se pueden resolver las
ecuaciones diferenciales de primer orden
separables. Si bien es cierto que hay muchas
otras cuyas soluciones son conocidas, la
mayoria no se puede resolver exactamente.
Por ejemplo la ecuacion y’= 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝟏 no es
separable y no se puede resolver por las
tecnicas habituales.
Sin embargo se puede deducir algo de
informacion acerca de sus soluciones. Este
tipo de informacion se dice que es cualitativa
ya que establece alguna cualidad de la
solucion sin dar informacion cuantitativa.

2. Estudiaremos un metodo simple llamado
Metodo de Euler. Examinaremos ecuaciones
diferenciales de primer orden de la forma mas
general: y’ =f(x,y).
Para tener una idea de como puede ser la
solucion, trazamos un pequeño segmento
recto en cada punto (x,y) con pendiente f(x,y),
siendo estos segmentos los llamados campos
de direcciones o campo de pendientes de la
ecuacion diferencial.
Cuando estamos interesados en hallar una
solucion particular, la gran cantidad de
campos de direcciones puede confundirmos.

3. El metodo de Euler permite aproximar una
curva solucion particular. Es un metodo muy
simple, basado en el campo de direcciones, sin
embargo no es muy preciso.
Consideremos el PVI y’ = f(x,y), y(xo) = yo.
Suponiendo que existe solucion y = y(x), la
ecuacion nos dice que la pendiente de la recta
tangente a la curva solucion en un punto (x,y)
es f(x,y). Recordemos que la recta tangente
permanece proxima a la curva en un entorno
del punto de tangencia. Esta fue la idea clave
del metodo de Newton y de las diferenciales.
Ya conocemos un punto de la grafica de y=y(x):

4. el punto inicial (xo, yo) hasta el punto con x=x1
y usar el valor y1 de y en ese punto como
aproximacion de y(x1).
La ecuacion de la recta tangente en x=xo es
y=yo + y’(xo)(x-x0). Asi pues, una aproximacion
del valor de la solucion en x=x1 es la
coordenada y de la recta tangente a su paso por
x=x1, es decir: y(x1)=y1=yo+y’(xo)(x1-xo).
Al resolver un PVI estamos interesados, sin
embargo en hallar el valor de la solucion en un
intervalo [a,b] del eje x. Si no podemos
encontrar la solucion exacta, lo que hacemos es
ir aproximando sus valores en una secuencia

5. de puntos en [a,b]. Pero esta aproximacion
solo sera valida para puntos muy proximos al
inicial. En otros puntos podemos aproximar la
solucion como sigue: partimos [a,b] en n
subintervalos de igual tamaño (una particion
regular a=xo<x1<x2<…xn =b donde
𝒙𝒊+𝟏 − 𝒙𝒊 = 𝒉 para i= 0,1,…n-1. Se dice que h es
el paso. La aproximacion por la recta tangente
da y(x1)=y1=y0+y’(x0)(x1-x0)= y0+hf(xo,yo)
haciendo aproximaciones hasta xn
( 𝒙𝒊+𝟏 )obtenemos una secuencia de valores
aproximados:

6. Y(𝒙𝒊+𝟏)= 𝒚𝒊+𝟏= 𝒚𝒊 + 𝒉𝒇 𝒙𝒊, 𝒚𝒊 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒊 = 𝟎, 𝟏, 𝟐.
Este metodo de aproximacion por rectas
tangentes se conoce como METODO DE
EULER.
Ejemplo 1: Usar el metodo de Euler para
aproximar la solucion del PVI y’=y, y(0)=1 h =1
Ejemplo 2: Hallar una solucion aproximada
del PVI: y’= 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
, 𝒚 −𝟏 = −
𝟏
𝟐
con h=0.1
Ejemplo 3: Usar el metodo de Euler con h=0.1
Y’=4y-𝒚 𝟐
, y(0)=1
R// y(1) = 1.3 y(2)= `1.651