EJERCICIOS

1. Aplicaciones de los números complejos
En matemáticas
Soluciones de ecuaciones polinómicas
Un raíz o cerodel polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0;
Un resultado importante de esta definición es que todas las ecuaciones polinómicas
(algebraicas) de grado n tienen exactamente n soluciones en el cuerpo de los números
complejos, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0,
contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple que si z es una raíz
entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce
como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo
algebraicamente cerrado; por esto los matemáticos consideran a los números complejos
unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.
Ecuaciones diferenciales
En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces
(en general complejas) del polinomio característico, lo que permite expresar la solución
general del sistema en términos de funciones de base de la forma: .

2. Fractales
Muchos objetos fractales, como el conjunto de Mandelbrot, pueden obtenerse a partir de
propiedades de convergencia de una sucesión de números complejos. El análisis del
dominio de convergencia revela que dichos conjuntos pueden tener una enorme
complejidad auto similar.
En física
Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una
descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una
expresión del tipo podemos pensar en como la amplitud y en como
la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una
corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal)
como la parte real de una función de variable compleja de la forma donde
ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el
tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores
pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas
(ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad
imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.
El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática
subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).
En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica
del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable
imaginaria.

3. Raíz cuadrada de un númeronegativo
En matemáticas se denomina raíz cuadrada de un número a otro número que siendo
mayor o igual que cero, elevado al cuadrado, es idéntico al primero. Se puede decir
entonces que el cálculo de una raíz cuadrada corresponde a la operación opuesta de lo
que se llama cuadrar un número. Se nota la raíz cuadrada de un número x de esta forma:
√x.
En este artículo veremos entonces que sucede con la raíz cuadrada de un número
negativo.
Si se eleva un número negativo a segunda potencia, el resultado será positivo:
(-5) × (-5) = 25.
Pero también tenemos conocimiento que √25 puede ser -5
Esto es así ya que cada raíz tiene dos soluciones. Una de estas soluciones es positiva
mientras que la otra es negativa. Habitualmente nos interesamos tan sólo en la solución
positiva.
¿es posible realizar el cálculo de la raíz de un número negativo?
Este caso es tiene gran diferencia con el que explicamos al principio. Puesto que la
situación es la siguiente:
√-25.
Entonces,

4. ¿Existe entonces la posibilidad hallar un número cuya potencia secundaria sea
correspondiente -25?
Sabemos que 5 no es una opción puesto que 5 × 5 = 25. Y -5 tampoco sirve ya que,
(-5) × (-5) = 25.
Por lo cual concluimos en que no hay solución en el conjunto de los reales (o sea aquellos
números que poseen una expresión decimal y abarcan tanto a los números racionales,
como 38, 37/22, 29,4, como a los números irracionales, que no pueden representarse en
forma fracción y que poseen también infinitas cifras decimales sin periodicidad).Pero esto
no se cumple si nos referimos a los números imaginarios.
Los números imaginarios son aquellos que tienen como cuadrado a un número negativo.
En el año 1777 el matemático y físico suizo Leonhard Euler denotó a la raíz de -1 con la
letra i. Si recordamos siempre que debemos multiplicar por √-1 cuando tenemos “i” nos
será fácil resolver problemas donde hacen falta las raíces cuadradas de los números
negativos. Cualquier número imaginario puede ser expresado como ib. b corresponde a
un real y como ya hemos dicho, la letra i hace referencia a la unidad imaginaria, con la
siguiente propiedad:
Si nos referimos a los números imaginarios podemos encontrar la solución para √-25 =
5i,o para cualquier otro número negativo, donde i es la unidad imaginaria. Dicha unidad
puede ser utilizada para el desarrollo de la raíz cuadrada de los números con signo
negativos. De igual modo la raíz de un número imaginario es a la vez un complejo.
También es importante saber que la raíz de un número complejo será habitualmente otro
número complejo.

5. RAIZ CUBICADE 1 APLICANDO LA LEY DE MOIVRE
Resultado:
𝑟
= √(1)2 + (0)2
√1
3
𝑟 = √1
𝑟 = 1
∅ = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 1
= 0.78 𝑟𝑎𝑑
√1
3
√1[(cos 0.78) + (𝑖𝑠𝑒𝑛 0.78)]
3
Periodicidad
K= 0
1
1
3
[(cos
0.78
3
)+𝑖 (𝑠𝑒𝑛
0.78
3
)]
√1
3
√1
3
1[cos(0.26) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(0.26)]
Forma Binomica:
0.96 + 0.25i

6. GRAFICA

7. RAICES CUBICAS DE i APLICANDO LA LEY DE MOIVRE
Resultado:
√ 𝑖
3
𝑟
= √(0)2 + (1)2
𝑟 = √1
𝑟 = 1
√1
3
√1[(cos 0.78) + (𝑖𝑠𝑒𝑛 0.78)]
3
Periodicidad
K= 0
1
1
3
[(cos
0.78
3
)+𝑖 (𝑠𝑒𝑛
0.78
3
)]
√1
3
√1
3
1[cos(0.26) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(0.26)]
Forma Binomica:
0.96 + 0.25i
∅ = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 1 = 0.78 𝑟𝑎𝑑

8. GRAFICA

9. 1. Aplique la raíz cubica a resolver (i y 1)
2. Sustituí el valor de 1e i por el numero entero
3. Multiplique los dos términos que están en la raíz y después los sume y le saque la
raíz del resultado
4. Después, saque la tangente de 1 en radianes
5. Multiplique el coseno y el seno por 1 que es lo que vale la i y el 1.
6. Saque el valor de K
7. Multiplique la raíz cuadrada en números fraccionarios con el coseno y el seno de
la tangente y lo dividí entre 3 que es lo que vale la raíz cuadrada.
8. Saque el resultado del coseno y el seno con el resultado del anterior paso.
9. Finalmente saque la forma binomica del coseno y el seno.
10. Trace la grafica