1. PROBLEMAS RESUELTOS
DE ONDAS y SONIDO
CURSO 2011 - 2012
Antonio J. Barbero, Mariano Hernández,
Alfonso Calera, José González
Departamento Física Aplicada. UCLM
1

2. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 1. Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación (en unidades S.I.)
Calcular: y = 0.2 sin (6π t + π x + π / 4 )
a) La frecuencia, el periodo, la longitud de la onda y la velocidad de propagación.
b) El estado de vibración, velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0,2 m en el instante t = 0,3 s.
c) Diferencia de fase entre dos puntos separados 0,3 m.
Se propaga en sentido
a) Ecuación de la forma y ( x, t ) = A sin (ω t + k x + δ ) negativo del eje X
ω = 2π f = 6π rad/s → f = 3 Hz → T = 1 f = 0.333 s ω 6π
c= = = 6 m/s
k = 2π λ = π m → λ = 2 m
-1
k π
b) Para x = 0.2 m, t = 0.3 s.
y = 0.2 sin (6π ⋅ 0.3 + π ⋅ 0.2 + π / 4 ) = 0.2 sin (7.069 ) = 0.1414 m
= 0.2 ⋅ 6π cos(6π t + π x + π / 4 ) = 0.2 ⋅ 6π cos (7.069 ) = 2.666 m/s
dy
Velocidad
dt
d2y
Aceleración 2
= −0.2 ⋅ 36π 2 sin (6π t + π x + π / 4 )
= 0.2 ⋅ 36π 2 cos (7.069 ) = −50.25 m/s 2
dt
c) Diferencia de fase entre dos puntos separados ∆x = 0.3 m
δ1 = 6π t + π x + π / 4
∆δ = δ 2 − δ1 = 0.3 π rad
δ 2 = 6π t + π (x + 0.3) + π / 4
2

3. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 2. La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda tensa está dada por
y = 6 sin (0.02π x + 4π t ) donde x, y están en cm; t en segundos
a) Poner esta ecuación en forma coseno. Determinar su longitud de onda y su frecuencia.
b) ¿Cuál es su amplitud? ¿En qué sentido se propaga, y cuál es la velocidad de propagación?
c) ¿Cuál es la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda? ¿Y la aceleración máxima?
a) Para ponerla en forma coseno tendremos en cuenta la relación (El seno de un ángulo
está atrasado π /2 rad
cos(φ − π / 2 ) = cos φ cos(π / 2) + sin φ sin (π / 2 ) = sin φ respecto al coseno)
y = 6 sin (0.02π x + 4π t ) = 6 cos(0.02π x + 4π t − π / 2 )
f = 2 Hz
Número de 2π Frecuencia 2π
k= = 0.02π cm -1 λ = 100 cm angular ω
ω= = 2π f = 4π rad/s
ondas k λ T T = 0.5 s
b) Amplitud: directamente de la ecuación A = 6 cm. Velocidad ω 4π rad/s
v= = = 200 cm/s
Se propaga en el sentido negativo del eje X. propagación k 0.02π cm -1
c) Velocidad de vibración
d y ( x, t )
y=
& = 6 ⋅ 4π cos(0.02π x + 4π t ) = 24π cos(0.02π x + 4π t ) ymax = 24π cm/s
&
dt
d 2 y ( x, t )
&& =
y 2
= −24π ·4π sin (0.02π x + 4π t ) = −96π 2 sin (0.02π x + 4π t ) &&max = 96π 2 cm/s 2
y
dt
3

4. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 3. El nivel de presión LP de una onda sonora se define como
2
⎛p ⎞ ⎛p ⎞
LP = 10 log10 ⎜ rms ⎟ = 20 log10 ⎜ rms ⎟ donde pref = 2 ⋅10 Pa
−5
⎜ p ref ⎟ ⎜ p ref ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
siendo prms el valor rms de la onda de presión en el punto considerado.
Un diapasón vibra con una frecuencia de 275.2 Hz. Una persona que oye la nota
X
emitida por el mismo percibe un nivel de presión de 64 dB. Calcular la longitud de
onda, escribir la ecuación de onda y determinar la intensidad de la onda en W/m2.
Densidad del aire ρ = 1,29 g/litro. Velocidad de propagación del sonido v = 344 m/s.
Relación entre la intensidad en W/m2 y la presión en Pa: I = prms / (ρ ·v )
2
λ v 344 5
Longitud de onda: cálculo a partir de v = = λ· f λ= = = = 1.25 m
T f 275.2 4
⎛p ⎞ ⎛ p ⎞
Amplitud de la onda sonora LP = 20 log10 ⎜ rms ⎟ prms = p ref ·10 LP / 20 64 = 20 log10 ⎜ rms ⎟
⎜ p ref ⎟ −5
⎝ 2·10 ⎠
⎝ ⎠
⎛ p ⎞ 64 prms = 2·10 −5 ·103.2 = 3.17·10 −2 Pa
log10 ⎜ rms 5 ⎟ =
−
= 3.2
⎝ 2·10 ⎠ 20
Ecuación de onda
Cálculo de ω y k ω = 2π f = 2π ⋅ 275.2 = 550.4π = 1729.1 rad/s p = prms 2 cos(kx − ωt )
ω ω 1729.1
v= → k= = = 5.0 m
-1
p = 3.17 2 ·10 −2 cos(5.0 x − 550.4π t )
k v 344
2
prms
Intensidad ( ) I=
W/m2
-3
ρ ·v
I=
(3.17·10 ) −3 2
= 2.26·10 −6 W/m 2
10 kg kg 1.29·344
ρ = 1.29 g/litro = 1.29 -3 3
= 1.29 3
10 m m
4

5. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 4
Un diapasón montado sobre una caja de resonancia se golpea con un martillete
emitiendo una onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s y alcanza un
receptor. Considerando que la onda que alcanza el receptor es una onda plana, se
pide:
a) Si la sobrepresión máxima producida por la onda sonora en el receptor es igual
a p0 = 2⋅10-4 Pa, escribir la ecuación de la onda viajera, explicando la elección que
se haga para la fase inicial, y calcular su longitud de onda.
b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación 2
indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el 1 p0
Ayuda I=
receptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I? 2ρv
c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB.
d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB
mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?
Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento: ρ = 1.22 kg/m3
a) Onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s. Sobrepresión máxima en el receptor p0 = 2⋅10-4 Pa.
ω ω 2π f 612 2π 2π
v= k= = = 2π = 3.6π m -1 λ= = = 0.555 m
k v v 340 k 3.6π
ω = 2π f = 2π ⋅ 612 = 1224π rad/s Suponemos que se propaga de izquierda a derecha
p( x, t ) = p0 cos(kx − ω t + δ ) p(0,0) = p0 cos(δ ) = p0 δ =0
Elegimos como punto inicial el momento
en que la presión pasa por un máximo
p( x, t ) = 2 ⋅10 −4 cos(3.6π x − 1224π t ) ( p en Pa)
2π 2π
Longitud de onda λ= = = 0.555 m 5
k 3.6π

6. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 4 (Continuación)
b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación 2
indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el 1 p0
Ayuda I=
receptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I? 2ρv
c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB.
d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB
mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?
Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento: ρ = 1.22 kg/m3
b) Nivel de intensidad que percibe el receptor I=
1 p02
= ⋅
(
1 2 ⋅10 − 4 )
2
= 4.82 ⋅10 −11 W/m 2
2 ρ v 2 1.22 ⋅ 340
Densidad del aire: ρ = 1.22 kg/m3
Justificación de las unidades S.I. [I ] = Potencia ≡ watios
2
Área m
⎛ 4.82 ⋅10 −11 ⎞
⎜ 10 −12 ⎟ = 10 log 4.82 ⋅10 + 120 = 17 dB
c) Nivel de intensidad LI = 10 log10 ⎜ ⎟ ( −11
)
⎝ ⎠
d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB
mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?
⎛ I′ ⎞ ⎛ I′ ⎞ I′
LI′ = LI + 20 = 17 + 20 = 10 log10 ⎜ −12 ⎟ log10 ⎜ −12 ⎟ = 3.7 −12
= 103.7
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ 10
I ′ = 103.7 ⋅10 −12 = 5 ⋅10 −9 W/m 2
6

7. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 5
Un silbato que emite una frecuencia de 4300 Hz produce una onda cuyo valor máximo de presión por
encima de la presión ambiental es 4⋅10-2 Pa. Esta onda se propaga a 344 m/s en el aire.
a) Escribir la ecuación de onda. Determinar la longitud de onda.
b) ¿Cuál es el nivel de presión sonora?. Presión de referencia pref = 2⋅10-5 Pa.
a) Ecuación de onda: consideramos una onda plana en el sentido creciente del eje X y tomamos el origen de
modo que la fase inicial sea cero.
p(x, t ) = p0 cos(k x − ω t ) p, p0 en Pa, x en m, t en s
ω = 2π f = 2π ⋅ 4300 = 8600π Hz p(x, t ) = 4 ⋅10 −2 cos(25π x − 8600π t ) (Pa)
ω ω 8600π 2π 2π
v= k= = = 25π m -1 λ= = = 0.08 m
k v 344 k 25π
b) Nivel de presión sonora. Presión de referencia pref = 2⋅10-5 Pa.
2
⎛ p0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 4 ⋅10 −2 ⎞
⎜ ⎟ = 20 log10 ⎜ p0 ⎟ = 20 log10 ⎜
LP = 10 log10
⎜ p ref ⎟ ⎜ p ref ⎟ ⎜ 2 ⋅10 −5 ⎟ = 66 dB
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7

8. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 6
Un tono puro de 432.9 Hz se propaga en el aire a 340 m/s. La amplitud de la onda de presión en
un punto situado a 2 m de la fuente es de 184 mPa. Se pide:
(a) La ecuación de onda y representar en el punto indicado la presión como función del tiempo.
(b) Calcular la intensidad de la onda y el nivel de intensidad en dicho punto.
Umbral de percepción de intensidad I0 = 10-12 W·m-2; densidad del aire 1.27 kg.m-3.
ω ω 2720
Cálculo de ω y k ω = 2π f = 2π ⋅ 432.9 = 865.8π rad/s = 2720 rad/s v= → k= = = 8 m -1
k v 340
p = pm cos(kx − ωt ) = 184 cos(8 x − 2720 t ) (mPa )
Representación gráfica en x = 2 m
Valor rms de pm 184
p = 184 cos(16 − 2720 t ) (mPa ) prms = = = 130 mPa
la presión 2 2
200
(130·10 )
2
150 prms −3 2
I= I= = 3.91·10 −5 W/m 2
100 ρ ·c 1.27·340
50
I 3,91·10 −5
0 LI = 10 log = 10 log = 75.9 ≈ 76 dB
I0 10 −12
-50
-100
-150
-200
0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010
t (s )
8

9. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 7
El nivel de intensidad de la sirena de un barco, percibido por un marinero en la cubierta a 10
metros de distancia de la misma, es de 70 dB.
Determinar (a) el nivel de intensidad a 1 km de distancia; (b) la distancia a la cual la sirena dejará
de ser audible; (c) la presión rms de la onda sonora a la distancia a la que la sirena deja de ser
audible. Umbral de percepción de intensidad I0 = 10-12 W·m-2; densidad del aire 1.20 kg.m-3;
velocidad del sonido 338 m/s.
I1 Intensidad de la
A 10 m de distancia (punto 1) LI 1 = 10 log = 70 dB I1 = 10 −12 ·107 = 10 −5 W·m -2 onda en cubierta
I0
I2 ⎛ I I ⎞ I
A 1 km de distancia (punto 2) LI 2 = 10 log LI 2 − LI 1 = 10 ⎜ log 2 − log 1 ⎟ = 10 log 2 = LI 2 − 70
⎜
I0 ⎝ I0 I0 ⎟
⎠ I1
La intensidad de las ondas
sonoras es inversamente I 2 r12 10 2 10 2
proporcional al cuadrado de la = 2 = 3 2 = 6 = 10 − 4 LI 2 = 70 + 10 log 10 −4 = 70 − 40 = 30 dB
distancia a la fuente (suponemos
I1 r2 (10 ) 10
propagación isótropa)
La distancia r0 a la que la sirena deja de ser I1 r02
=
I1 10 −5
audible es aquella a la intensidad de la onda se r0 = r1 = 10 = 31600 m
I 0 r12 I0 10 −12
hace igual al límite de percepción I0 = 10-12 W·m-2
Relación entre la
2
intensidad y la prms
( prms )0 = ρ ·c·I 0 Umbral de
I= = 1.29·344·10 −12 = 2·10 −5 Pa presión = 20 µPa
presión rms de la ρ ·c
9
onda sonora

10. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 8
Una fuente sonora isótropa produce un nivel de intensidad de 65 dB a 1 m de distancia. Las
condiciones ambientales son densidad del aire 1.27 kg.m-3 y velocidad del sonido 340 m/s.
Calcular (a) la potencia emitida por la fuente; (b) el valor máximo de la presión de la onda sonora
a 2 m de la fuente ¿Cuál es el valor rms correspondiente?. Umbral de percepción de intensidad I0
= 10-12 W·m-2.
I1 I1
LI 1 = 10 log = 65 dB log = 6.5 I1 = 10 −12 ·106.5 = 10 −5.5 W·m -2 = 3.16·10 −6 W·m -2 Intensidad a 1 m de la fuente
I0 I0
La intensidad a 1 m de la fuente es la &
W = I1 ·4π r12
W&
potencia emitida repartida sobre la I1 =
4π r12 &
W = 4π · 3.16 · 10 −6 W = 4·10 −5 W
superficie de una esfera de radio r1 = 1m.
Para determinar la presión de la onda sonora calculamos la intensidad a r2 = 2 m de la fuente.
La intensidad de las ondas
sonoras es inversamente I 2 r12 r12 −5.5 1
2
10 −5.5
= I 2 = I1 2 = 10 = = 7.91·10 −7 W·m -2
proporcional al cuadrado I1 r22 r2 2 2
4
de la distancia a la fuente
Relación entre la
2
intensidad y la pm
I= ( pm )2 = 2 ρ ·c·I 2 = 2·1.27·340·7.91·10 −7 = 2.61·10 −2 Pa
presión máxima 2 ρ ·c
de la onda sonora
En una función senoidal la relación pm 2.61·10 −2 Pa
prms = = = 1.85·10 − 2 Pa
entre valor máximo y valor rms es 2 2 10

11. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 9. Un altavoz de forma semiesférica se ajusta para un nivel de intensidad de 40 dB
a 10 m de distancia. (a) ¿Cuál es la intensidad en W·m-2 a esa distancia? (b) ¿Cuál es el nivel de
intensidad a 2.5 m de distancia? (c) Suponiendo que el altavoz semiesférico es una fuente
isótropa de sonido, ¿cuál es su potencia? (d) ¿Cuál es la presión rms a 20 m de distancia?
Densidad del aire 1.29 kg.m-3; velocidad del sonido 344 m/s. Umbral de percepción de intensidad
I0 = 10-12 W·m-2.
I1
A r1 = 10 m de distancia (punto 1) LI 1 = 10 log = 40 dB I1 = 10 −12 ·10 4 = 10 −8 W·m -2
I0
Intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la I 2 r12
=
distancia a la fuente, por tanto para r2 = 2.5 m la intensidad es I1 r22
r12 −8 10
2
−7 I2 1.6·10 −7
I 2 = I1 2 = 10 = 1.6·10 W·m -2
LI 2 = 10 log = 10 log = 52 dB
r2 2.52 I0 10 −12
3
La potencia emitida por el altavoz se distribuye uniformemente sobre una superficie
semiesférica. Por lo tanto, tomando el dato de I1 y r1 tenemos que
W&
I1 = W = I1 ·2π r12
& &
W = 10 −8 ·2π · 10 2 = 6.28·10 −6 W
r3 2π r12
1
Para calcular la presión rms a 20 m hallamos primero la intensidad de la onda
2 I 3 r12 r12 10 2
r1 = 2 I 3 = I1 2 = 10 −8 2 = 2.5·10 −7 W·m -2
I1 r3 r3 20
r2
I = prms / (ρ ·c )
2
prms = I ·ρ ·c = 2.5·10 −7 ·1.29·344 = 1.05·10 −2 Pa
11

12. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 10. La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda viene dada por:
y = 0.06 sin (0.40π x + 50π t ) (Unidades S.I.)
Calcular:
a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación. Ayuda
b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda
A− B ⎞ ⎛ A+ B ⎞
c) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija por sin A − sin B = 2 sin ⎛
⎜ ⎟ cos⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
ambos extremos, ¿cuál será la ecuación de la onda estacionaria resultante de
la interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo y
que se propaga en sentido contrario?.
d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria
ω = 50π rad/s
a) Se trata de una onda viajera en el sentido negativo del eje X
k = 0.40π m -1
ω = 2π f = 50π rad/s → f = ω 2π = 25 Hz → T = 1 f = 0.04 s
k = 2π λ = 0.40π m -1 → λ = 2π 0.40π = 5 m
ω 50π
Velocidad de propagación c= = = 125 m/s
k 0.40π
b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda.
d y ( x, t )
= 0.05 ⋅ 50π cos(0.40π x + 50π t ) = 2.5π cos(0.40π x + 50π t ) (m/s)
dt
12

13. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 10 (continuación)
c) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija por
ambos extremos, ¿cuál será la ecuación de la onda estacionaria resultante de Ayuda
la interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo y ⎛ A− B ⎞ ⎛ A+ B ⎞
sin A − sin B = 2 sin ⎜ ⎟ cos⎜ ⎟
que se propaga en sentido contrario?. ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria
y2 ( x, t ) = −0.05 sin (k x − ω t )
Se invierte la fase
c) La onda que se propaga en sentido contrario es de la onda reflejada
La superposición de las dos, llamando y1(x,t) a la primera, es: 0.40π m -1 50π rad/s
y1 ( x, t ) = 0.05 sin (k x + ω t ) = 0.05 sin k x cos ω t + 0.05 cos k x sin ω t
y2 ( x, t ) = −0.05 sin (k x − ω t ) = −0.05 sin k x cos ω t + 0.05 cos k x sin ω t
Suma: y1 ( x, t ) + y2 ( x, t ) = 0.10 cos k x ⋅ sin ω t
y1 ( x, t ) + y2 ( x, t ) = 0.10 cos(0.40π x ) ⋅ sin (50π t ) Onda estacionaria
A− B ⎞ ⎛ A+ B ⎞
Procedimiento alternativo: usando la relación trigonométrica sin A − sin B = 2 sin ⎛
⎜ ⎟ ⋅ cos⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
y1 ( x, t ) = 0.05 sin (k x + ω t ) A = k x +ω t A − B = 2ω t
y2 ( x, t ) = −0.05 sin (k x − ω t ) B = k x −ω t A + B = 2k x
y1 ( x, t ) + y2 ( x, t ) = 0.05 sin (k x + ω t ) − 0.05 sin (k x − ω t ) = −0.10 cos k x ⋅ sin ω t
y1 ( x, t ) + y2 ( x, t ) = 0.10 cos(0.40π x ) ⋅ sin (50π t )
d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria es igual que la distancia entre dos
nodos consecutivos (puntos donde la amplitud es nula)
Hay un nodo si cos(0.40π x ) = 0 0.40π x = (2n + 1) π / 2 (n entero)
2n + 1 Cuando n = 0 → x0 = 1.25 m
Posiciones de los nodos xn =
0.80 Cuando n = 1 → x1 = 3.75 m
13
(Véase que es la mitad de la longitud
Distancia entre vientres = distancia entre nodos = x1 − x0 = 2.5 m de onda de las ondas que interfieren)

14. Problemas resueltos ondas y sonido
PROBLEMA 11
La ecuación del segundo armónico de una onda estacionaria en una cuerda de 10 m de longitud sometida a
una tensión de 50 N está dada por
y ( x, t ) = 8 sin (0.2π x ) ⋅ sin (20π t ) x en m, y en cm, t en s
a) Determinar la frecuencia y velocidad de propagación de las ondas viajeras cuya interferencia produce la
onda estacionaria en esta cuerda y calcular la densidad lineal de masa.
b) Escribir la ecuación de onda del término fundamental. Hallar la máxima velocidad de vibración de un punto
de la cuerda en este modo, suponiendo que la amplitud máxima es igual que la del segundo armónico.
c) Determinar las posiciones de los nodos del cuarto armónico. y (cm)
10
a) Parámetros de la onda k 2 = 0.2π m -1 ω2 = 20π rad ⋅ s -1
8
6
. estacionaria 2π 2π ω 20π 4
λ2 = = = 10 m f2 = 2 = = 10 Hz
k 2 0.2π
2
2π 2π 0
ω2 20π T 50
-2
v= = = 100 m/s v=
T
µ= = 4 = 5 ⋅10 −3 kg/m
-4
k2 0.2π µ v 2
10 -6
-8
x (m)
b) Las frecuencias de todos los armónicos son ω2 -10
f n = n ⋅ f1 ω1 = = 10π rad ⋅ s -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
. múltiplos enteros del término fundamental 2
λ 2L 2L
Longitud de onda: L = n n λn = λ1 = = 20 m k1 = 2π / λ1 = 2π / 20 = 0.1π m -1
2 n 1
y1 ( x, t ) = 8 sin (0.1π x ) ⋅ sin (10π t ) x en m, y en cm, t en s vmax = y1 ( x, t )]max = 80π cm/s
&
10
y (cm)
2L 2π2π
λ4 = =5m = 0.4π m -1
8
c) Ecuación 4º armónico k4 = =
λ4
6
4 5
ω4 = 4ω1 = 40π rad ⋅ s -1
4
2
Hay un nodo para cada valor x que verifica
y4 ( x, t ) = 8 sin (0.4π x ) ⋅ sin (40π t )
0
sin (0.4π x ) = 0 -2
-4
x en m, y en cm, t en s
x1 = 0 x2 = 2.5 x3 = 5 x4 = 7.5 x5 = 10 (m)
-6
-8 14
-10
x (m)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10