2. Para el estudio de las relaciones métricas entre los elementos de los triángulos es
indispensable saber el concepto de proyección.
P
PROYECCIÓN
Proyección de un punto
La proyección de un punto P sobre una
recta l , es el pié de perpendicular P
bajada desde P, PP se llama proyectante.
l
P
Proyección de un segmento AB sobre una recta l
La proyección del segmento AB sobre la recta l es el segmento AI B I
cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B sobre l

3. A B B
A
l l
I I
A I
B AI B
Se lee: A I B I es la proyección
del segmento AB sobre la recte l

4. M
F
G
J
HI
l l l
I
E F GI MI
H
EF I : Proyección de EF
sobre I
H I G I : proyección de HG
Sobre l
MI : es la
Proyección de MJ
sobre l

5. Ejemplo: Ejemplo:
AH : es la proyección de AB AN : es la proyección de AM sobre AC
sobre AC
HC : es la proyección de BC NC : es la proyección de MC sobre AC
sobre AC
BM : es la proyección de AB sobre BC
MC : es la proyección de AC sobre BC

6. RELACIONES MÉTRICAS: Al trazar la altura »h» en el triángulo rectángulo BAC quedan
proyectados los dos catetos sobre la hipotenusa. Las proyecciones de los catetos b y c
son m y n respectivamente. Se cumple los siguientes teoremas:
1.Teorema de la altura relativa.
El cuadrado de la altura relativa a la
hipotenusa es igual al producto de
las proyecciones de los catetos sobre
la hipotenusa.
2
h m.n
2.Teorema de los catetos.
El cuadrado de un cateto es igual 3.Teorema de Pitágoras.
al producto de la hipotenusa por
la proyección del cateto sobre
la hipotenusa.
a2 b2 c 2
En un triángulo rectángulo también se cumple:
2 2
c a.n b a.m 1 1 1
b.c a.h
b2 c2 h2

7. Ejemplos: AB = 14 cm
1.Encuentra la altura.
Hallando h por : b.c a.h
( 14 ) ( 48 ) = 50 h
H = 13,44 cm
2.Encuentra la altura.
Desarrollo:
Primero hallamos AB por Pitágoras.
2 2 2
50 AB 48
Desarrollo:
2 2
50 48 AB
Aplicando Pitágoras:

8. 2 2 3.Encuentra «x»
AB 3 2 3
AB 15
Aplicando: b.c a.h
3 2 3 15h
Desarrollo:
6 15 2
h cm Aplicando: c a.n
15
x2 4 20
x 80
x 16 5 x 4 5cm

9. 4.Halla el valor de «x» 5.En un triángulo rectángulo ABC, un cateto
es 7 cm menor que el otro cateto y la
hipotenusa mide 8 cm mas que el cateto
menor. Encuentra el perímetro del triángulo
Desarrollo:
x +1
x -7
Desarrollo:
Aplicando: c2 a.n x
2 2 2
x 7 16 x 1 x 7 x2
x 7 16 x2 2 x 1 x 2 14 x 49 x 2
x 2 16 x 48 0
x 4 7cm Resolviendo: X = 12 y 4

10. el valor de x es 12 , para 4 no cumple. 1) Por dato:
Los lados del triángulo son: 5,12 y 13 m–n=7 m=n+7
Perímetro : 30cm
2) h2 mn
6.Hallar el perímetro de un triángulo
rectángulo, si la altura relativa a la 144 = ( n + 7 ) ( n )
hipotenusa mide 12 cm, y la diferencia
de las medidas de sus proyecciones n2 7n 144 0
ortogonales de sus catetos sobre la
hipotenusa mide 7 cm. ( n + 16 ) ( n – 9 ) = 0 n=9
Desarrollo: B Por lo tanto: m = 16
3) Hallando los lados del triángulo:
c b=m+n b = 25
a
12
c2 mb c2 16 25
m n C = 4.5 = 20
C
A H a2 b n a2 25 9
b a = 15
Perímetro : 25 + 20 + 15 = 60 cm

11. RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
Teorema de Euclides:
1.En un triángulo acutángulo, el cuadrado del
lado opuesto a un ángulo, es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados , menos
el doble del producto de uno de ellos por la
proyección del otro sobre el anterior.
2 2 2
a b c 2bm
2 2 2
c a b 2bn

12. 2.En un triángulo obtusángulo se
cumple que el cuadrado del lado
opuesto a un ángulo obtuso es
igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados, más el doble
del producto de uno de ellos por
la proyección del otro sobre el
anterior.
2 2 2
a b c 2bm

13. Teorema de la mediana
En todo triángulo, la suma de los
cuadrados de los lados es igual
a dos veces el cuadrado de la
mediana relativa al tercer lado
más la mitad del cuadrado del
tercer lado.
2
2 2 b
a c 2m
2

14. Teorema de la proyección de la mediana.
La diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual doble
producto del tercer lado por la proyección de la mediana sobre el tercer lado.
2 2
a c 2bn

15. Teorema de la bisectriz interior
En todo triángulo, el cuadrado del
segmento bisectriz interior es igual
al producto de los lados que forman
el vértice del cual se traza la bisectriz
menos el producto de los segmentos
que determina la bisectriz sobre el
lado opuesto.
2
BM a.c m.n

16. Ejemplos diversos: Aplicando:
2 2
1.Dos lados de un triángulo ABC miden x2 18 14 2 14 13
AB = 14 cm y AC = 18 cm. halla el lado BC
sabiendo que su proyección sobre el
lado AB = 1cm. x2 324 196 364
x2 520 364
Desarrollo:
x2 156 x 4 37
C
2. De la figura, halla x
18 x
A 13 H 1 B
14

17. Desarrollo:
h1 R
P
x/2
Q h2
h2
h1
x/2 x/2
En el triángulo BPR:
2
x 1
h1h2
2
En el triángulo AQH:

18. x
h1
2
4 x4
2 9x2
2 16
h1 2x 2
2
2 x x 9 16
h2 9
2
X =3 x 4
2 9 3
h2 x
2 X = 12
Multiplicando 2 y 3:
2 2
h1h2 9x
2 2
x
9 x2
2