El documento describe un árbol binario de búsqueda auto-balanceado (ABB). Fue inventado en 1985 y mantiene un balance al realizar rotaciones para colocar los elementos más accedidos cerca de la raíz. Ofrece búsquedas rápidas y eficientes al mantener este balance, aunque en el peor de los casos una operación puede tardar O(n). Describe los métodos de inserción, eliminación, búsqueda y biselación utilizados en este tipo de árboles.

1. Instituto Tecnológico de Costa Rica
Curso:
Ingeniería en Computación
Estructuras de Datos
Angulo Chavarría Sleyter
Céspedes García Robert
Cubero Mora Adrián
Lewis Mora Benjamín

2. Fue implementado por primera vez en 1985.
Fue inventado por Robert Tarjan y Daniel Sleator.

3. Son arboles binarios, pero su característica fundamental es que se
encuentra auto-balanceado. Donde los elementos accesados
recientemente se encuentran en la parte posterior del árbol. Realiza una
serie de rotaciones para colocar donde correspondan esos elementos.

4. La búsqueda es mas rápida y eficiente.
Reduce el tiempo total de consumo accediendo a los elementos mas
utilizados.
Facilita el acceso a la memoria.
Requieren menos espacio que otros arboles como: ABB (Balanceados).
Su implementación es mas fácil y sencilla.
Se minimizan los requerimientos de la memoria.

5. No son perfectamente balanceados (ya que cuando el árbol vuelve a su estado
inicial, el árbol se desbalancea).
En el peor de los casos una operación puede tarde O(n). (Donde n es el numero
de nodos del árbol).
Las operaciones individuales pueden llegar a ser largas y costosas.

6. Son arboles binarios.
Se encuentran balanceados.
La profundidad del árbol puede ser muy grande.
La búsqueda puede tonarse tediosa cuando el árbol se encuentra
en su forma original, es decir después de que el árbol ordeno los
elementos mas utilizados cerca de la raíz, y vuelve a su estado
original.
Utiliza una serie de rotaciones para ordenar los elementos para que
queden cerca de la raíz.

7. Algoritmos importantes
Dentro de los algoritmos importantes encontramos:
Inserción.
Eliminación.
Búsqueda.
Operación de biselación.

8. Método de Insertar
El método de insertar en este árbol consiste, en insertar únicamente en las
hojas, siempre y cuando la raíz este llena. Sino el elemento a insertar se
inserta en la raíz, como lo hace el árbol binario de búsqueda. Este árbol al
ir haciendo las inserciones va ordenando los elementos de manera que los
menores queden a la izquierda del nodo ( este elemento funciona como
una “raíz” de cada subárbol) y los mayores a la derecha. De esta manera
se facilita la búsqueda. Y deja el elemento en la parte posterior del árbol.

9. Pasos del método de Insertar
1.Primeramente se pregunta si el árbol esta
vacío. Si lo esta inserta el elemento como raíz.
2.Si el árbol ya tiene elementos, busca cual
sería la posible posición de ese elemento a
insertar.
3.Cuando ya obtiene la posición donde va el
elemento verifica que sea una hoja y lo
inserta.
4.Después realiza una serie de rotaciones
hasta lograr que el árbol quede
ordenado, pero dejando el nuevo elemento
insertado como raíz.

10. Método de eliminar
Para realizar el método de eliminar son necesarias dos operaciones de
biselación. Primeramente se busca el nodo a eliminar , con esto se determina
si es necesaria la primera biselación , ya que si el nodo no es encontrado se
tomará el ultimo nodo encontrado y este pasará a la raíz. Si el valor a eliminar
es encontrado se le realizara el método de biselación para colocarlo en la raíz
y luego eliminarlo. Cuando se elimina como es un ABB quedan dos nodos
separados por lo que hay que seleccionar un nodo raíz , la cual se puede
determinar con el mayor valor del la parte izquierda o el menor valor de la
parte derecha.

11. 1.Se busca el valor a eliminar.
2.Si el valor no fue encontrado se coloca
como raíz el ultimo nodo visitado.
3.Si el valor fue encontrado , se coloca el
nodo del valor como raíz y se elimina. Al
eliminar el nodo raíz quedaran 2 partes del
árbol separadas.
4.Para unirlas se toma el valor mayor de la
parte sub-izquierda del árbol, y se coloca
como raíz uniendo las dos partes. También se
puede unir con el valor menor del árbol subderecho, utilizando el mismo proceso de
colocarlo como raíz.

12. Método de Buscar
La búsqueda en este tipo de árbol se realiza modificando la estructura del
árbol, es decir conforme se vaya encontrando el elemento buscado, ese
elemento sube hasta quedar como raíz del árbol, es decir los elementos
recientemente buscados estarán en la parte superior del árbol. El descenso de
los elementos se realiza como en los arboles binarios de búsqueda.

13. Pasos del método de Buscar
1.Se pregunta si el árbol se encuentra vacío. Si lo esta se
indica que no hay elementos.
2.De lo contrario se empieza a recorrer el árbol (ya sea
por anchura o profundidad), y se pregunta si el elemento
de ese nodo es igual al elemento buscado, si lo es indica
que lo encontró, deja este elemento como raíz haciendo
una serie de rotaciones o biselaciones.
3.Sino dice que no se encuentra el elemento buscado y
hace unas rotaciones dejando el ultimo nodo visitado
como raíz.

14. La operación de biselación lo que pretende es ir haciendo rotaciones hasta
acomodar el nodo como raíz, esto lo realiza a través de ciertas condiciones
que deben cumplir las rotaciones para no dejar el árbol desbalanceado y
desordenado.
Podemos mencionar que existen 3 casos:
•Caso 1: Que el elemento sea un hijo izquierdo o derecho de la raíz.
Realizando una rotación simple ya sea a izquierda o derecha.
•Caso 2: Que el elemento sea nieto izquierdo o derecho de la raíz.
Realizando una rotación doble siendo para la derecha o izquierda según
corresponda el caso.
•Caso 3: Que el elemento sea un hijo derecho o izquierdo del padre, pero
ese mismo elemento es nieto izquierdo o derecho de la raíz. Lo que se hace
es una rotación doble combinada es decir derecha-izquierda o izquierdaderecha según corresponda.

15. Casos de Biselación
Caso 1:
Si el elemento es un hijo izquierdo de la raíz del árbol, entonces hace
una rotación simple a la derecha.
Para efecto de este
ejemplo x es elemento
a biselar.
Si el elemento es un hijo derecho de la raíz del árbol, entonces hace
una rotación simple a la izquierda.
Para efecto de este
ejemplo x es elemento
a biselar.

16. Caso 2:
Si el elemento es hijo y nieto izquierdo de una hoja y de la raíz del
árbol respectivamente, entonces hace una rotación doble a la derecha.
Para efecto de este
ejemplo x es hijo de p;
y nieto de q.
Si el elemento es hijo y nieto derecha de una hoja y de la raíz del
árbol respectivamente, entonces hace una rotación doble a la izquierda.
Para efecto de este
ejemplo x es hijo de p;
y nieto de q.

17. Caso 3:
Si el elemento es hijo derecho y nieto izquierdo de una hoja y de la
raíz del árbol respectivamente, entonces hace una rotación doble
izquierda-derecha.
Para efecto de este
ejemplo x es hijo de p;
y nieto de q.
Si el elemento es hijo izquierdo y nieto derecho de una hoja y de la
raíz del árbol respectivamente, entonces hace una rotación doble
derecha-izquierda.
Para efecto de este
ejemplo x es hijo de p;
y nieto de q.