Syllabus cálculo 2

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
SEGUNDO SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
CÁLCULO II
Versión modificada de la gestión I/2010, por:
Ing. Veronica Jaldin Mita
Gestión Académica I / 2013
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 1

UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R.M. 288/01
VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la
sociedad.

SYLLABUS
Asignatura: CALCULO II
Código: MAT 112 C
Requisito: MAT 102 C
Carga Horaria: 100 Horas
Créditos: 10
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.
Al final del curso el estudiante deberá ser capaz de:
• Dominar los conocimientos básicos del cálculo diferencial, de las derivadas
parciales y de las ecuaciones diferenciales.
• Analizar sistemas de costos basados en el costeo estándar, tendiente a
optimizar la rentabilidad de la gestión, mediante el control en el uso de los
recursos aplicados a la suma de procesos productivos.
• Definir y calcular Integrales Indefinidas o Antiderivadas ya sea con empleo
de tablas o los diferentes métodos enseñados.
• Calcular el área entre dos o más curvas.
• Diferenciar entre escalares y vectores.
• Representar los vectores geométricamente.
• .Hallar la ecuación de una recta en el espacio además de resolver ejercicios
de aplicación mediante los conceptos de rectas paralelas y ortogonales el
ángulo entre dos rectas.
• Hallar le ecuación de un Plano usando las diversas formas de notación,
además de encontrar las ecuaciones de planos paralelos y ortogonales y sus
ejercicios e aplicación
• Calcular derivadas parciales de orden superior.
• Aplicar la Regla de la Cadena en funciones compuestas.
• Derivar implícitamente.
• Calcular los máximos y mínimos de una función de dos o más variables.
• Calcular la matriz Hessiana.
• Aplicar la matriz Hessiana en el cálculo de puntos críticos
II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.

UNIDAD I: DERIVADAS PARCIALES
1.1. Introducción
1.1.1. Concepto de derivada
1.1.2. Tabla de derivación
1.2. Derivadas Parciales y su notación
1.2.1. Concepto de derivadas parciales
1.2.2. Definición de derivadas parciales
1.2.3. Interpretación geométrica de las derivadas parciales
1.3. Calculo de derivadas parciales de primer orden
1.3.1. Derivadas parciales de funciones de dos y tres variables
1.3.2. Regla de la cadena
1.3.3. Derivación Implícita
1.4. Derivadas parciales de orden superior
1.4.1. Notación e interpretación
1.4.2. Derivadas parciales de orden superior de dos y tres variables
1.5. Jacobianos
1.6. Diferenciales de primer y segundo orden
UNIDAD II: APLICACIONES DE LA DERIVADA PARCIAL
2.1. Máximos y Mínimos de una función de dos variable
2.1.1 Condiciones de máximo y mínimo
2.1.2 Criterios de determinación de máximo o mínimo
2.2. Máximos y Mínimos de una función de tres variables
2.2.1 Máximos y mínimos relativos
2.3. Máximos y Mínimos condicionadas
2.3.1 Condiciones de máximos y mínimos condicionadas
2.4. Aplicaciones en Economía
2.4.1 Costo mínimo para dos o más artículos
2.4.2 Ingreso máximo por dos o más artículos
2.4.3 Utilidad o beneficio máximo
UNIDAD III GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO
TEMA 3: VECTORES
3.1 Escalares y Vectores
3.2 Representación Geométrica
3.3 Sistema de coordenadas en el Espacio
3.4 Modulo de un Vector
3.5 Álgebra Vectorial y Propiedades
3.6 Vectores Componentes
3.7 Producto Escalar
3.8 Producto Vectorial

TEMA 4: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
6.1. Distancia entre dos puntos
4.2. División de un Segmento según una Razón dada
4.3. Ángulos Directores, Cósenos Directores y Números
Directores
4.4. La Recta
4.4.1. Ecuación Vectorial de la Recta
4.4.2. Ecuación Paramétrica de la Recta
4.4.3. Ecuación Simétrica de la Recta
4.4.4. Rectas Paralelas y Ortogonales
4.4.5. Angulo entre Dos Rectas
4.4.6. Distancia Mínima entre Dos Rectas (Rectas que se cruzan)
4.5. El Plano
4.5.1. Definición
4.5.2. Ecuación Vectorial del Plano
4.5.3. Ecuaciones Paramétricas del Plano
4.5.4. Ecuación General del Plano
4.5.5. Planos Paralelos y Ortogonales
4.5.6. Intersección de Planos
4.5.7. Intersección entre Recta y Plano
4.5.8. Plano Paralelo a una Recta y Plano Perpendicular a una Recta
4.5.9. Distancia de un Punto a un Plano
4.5.10. Angulo entre Recta y Plano
4.5.11. Distancia Mínima entre un Plano y una Recta que no esta
contenida
4.5.12. Angulo entre dos Planos
UNIDAD IV: INTEGRALES
TEMA 6 :INTEGRALES INDEFINIDAS Y DEFINIDAS
5.1. Concepto de integral Indefinida simple
5.1.1 Antiderivada y función primitiva
5.2. Calculo de la Integral Indefinida Simple
5.2.1 Tabla de integración
5.2.2 Integración por tabla
5.3. Métodos de Integración
5.3.1 Método de sustitución
5.3.2 Método de Fracciones Parciales
5.3.3 Método de Por Partes
5.3.4 Integración trigonométrica
5.4. Integrales Múltiples
5.4.1Integrales Dobles
7

Integrales Triples
5.5. Integrales Definidas Simple
5.5.1 Concepto de Integral definida simple
5.5.2 Calculo de Integral definida simple
5.6. Integral Definida Múltiple
5.6.1 Concento de Integral definida doble
5.6.2 Cálculo de Integral definida doble
5.6.3 Cálculo de Integral definida triple
UNIDAD V: SERIES
6.1Concepto y definición de Sucesiones
6.1.1 Sucesiones
6.1.2 Límite de sucesiones
6.2 Series numéricos
6.2.1Criterios de convergencia y divergencia
6.3. Series de potencia
6.3.1. Series Geométricas
6.3.2 Series positivos y series negativos
6.3.3 Series de términos alternos
6.4. Aplicaciones de las series en economía
III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL
Las brigadas están destinadas a incidir de manera significativa en la
formación profesional integral de nuestros estudiantes y revelan las
enormes potencialidades que presentan esta modalidad de la educación
superior no solamente para que conozcan a fondo la realidad del país y se
formen de manera integral, sino, además, para que conforme a su
preparación académica los problemas de la vida real a los que resulta
imperativo encontrar soluciones desde el campo profesional en el que
cada uno se desempeñará.
El trabajo de las brigadas permite que nuestros estudiantes se conviertan
a mediano plazo en verdaderos investigadores, capaces de elaborar y
acometer proyectos de desarrollo comunitario a la vez que se
acostumbren a trabajar en equipos interdisciplinarios o multidisciplinario
como corresponde al desarrollo alcanzado por las ciencias y la tecnología
en los tiempos actuales.

La ejecución de diferentes programas de interacción social y la
elaboración e implementación de proyectos de desarrollo comunitario
derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes son,
sin dudas, los más beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:
• Desarrollar sus prácticas pre-profesionales en condiciones reales y
tutorados por sus docentes con procesos académicos de
enseñanza aprendizaje de verdadera “aula abierta”.
• Trabajar en equipos habituándose a ser parte integral de un todo
que funciona como unidad, desarrollando un lenguaje común,
criterios y opiniones comunes y planteándose metas y objetivos
comunes para dar solución en común a los problemas.
• Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento
histórico en que la ciencia atraviesa una etapa de diferenciación y
en que los avances tecnológicos conlleva la aparición de nuevas y
más delimitadas especialidades.
• Desarrollar una mentalidad crítica y solidaria con plena conciencia
de nuestra realidad nacional.
IV. EVALUACION DE LA ASIGNATURA
• PROCESUAL O FORMATIVA
A lo largo del semestre se realizarán repasos cortos y otras actividades de
aulas, además de los trabajos prácticos y sus respectivas defensas. Cada
uno se tomará como evaluación procesual calificándola entre 0 y 50 puntos.
• DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE O SUMATIVA
Se realizan dos evaluaciones parciales con contenido teórico y práctico. El
examen final consistirá en un examen escrito de todo el avanzado. Cada
una de estas se calificará entre 0 y 50 puntos.
V. BIBLIOGRAFIA
• CHUNGARA V; “Cálculo II”, Teoría y Problemas. Sig-Top 515.35 C47 t.2

• AYRES, F; “Ecuaciones diferenciales. Sig top 515.35 Ay74
• LEITHOLD F; “Cálculo”, Ed. Mc GrawHill, 1992. Sig-Top 515.3 L53
• LARSON, R, ”Calculo y geometría analitica”. Sig-Top 515.15 L32 c.2
• Emir F. Vargas Peredo; “CALCULO para Ciencias Económicas y
Financieras”, Edit. Maac Print, 2 005.
• Charles H. Lehmann; “GEOMETRÍA ANALÍTICA”, Edit. Limusa, 1.990.
• Murray H. Protter y Charles B. Morrey; “CALCULO CON GEOMETRÍA
ANALITICA”, Edit. Fondo Educativo Interamericano, U.S.A. 1.980.
• Roland E. Larson, Robert P. Hostetler y Bruce H. Edwards; “CALCULO Y
GEOMETRIA ANALITICA-Volumen II”, Edit. Mc Graw-Hill, México 1.995.
• Frank Ayres y Elliot Mendelson; “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”,
Edit. Mc Graw-Hill, México 1991.
• William Anthony Granville; “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”, Edit.
Uthea.
• Dennis G. Zill; “CALCULO CON GEOMETRÍA ANALITICA”, Edit.
Iberoamericana, 1997.
• Victor Chungara Castro; “APUNTES Y PROBLEMAS DE CALCULO II”,
2.000.
• Demidovich; “5000 PROBLEMAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO”, Edit. Mir,
Moscú 1980.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA.
• CHUNGARA, V, “Ecuaciones diferenciales”. Sig-Top 515.35 Ch47 c.2
• ESPINOZA, E. “Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones”. Sig- Top
515.35 Es65
VI. CONTROL DE EVALUACIONES
1° evaluación parcial

Fecha:
Nota:
2° evaluación parcial
Fecha:
Nota:
Examen final
Fecha:
Nota:
APUNTES
VII. PLAN CALENDARIO
SEMANA ACTIVIDADES ACADÉMICAS OBSERVACIONES
1ra. avance de materia TEMA I
2da. Avance de materia TEMA I
3ra. Avance de materia TEMA I
4ta. Avance de materia TEMA II
7ma. Avance de materia Primera Evaluación
8va. Avance de materia Primera Evaluación Presentación de notas

9na. Avance de materia TEMA III Presentación de notas
10ma. Avance de materia TEMA III
11ra. Avance de materia TEMA IV
12da. Avance de materia TEMA IV
13ra. Avance de materia Segunda Evaluación
14ta. Avance de materia Segunda Evaluación Presentación de notas
15ta. Avance de materia TEMA IV Presentación de notas
16ta. Avance de materia TEMA V
17ma. Avance de materia TEMA V
18va. Avance de materia TEMA V
19na. Avance de materia Evaluación Final
20va. avance de materia Evaluación Final Presentación de notas
21va. Avance de materia
Cierre de Gestión
2da. Instancia
Presentación de notas

VIII. WORK PAPER´S Y DIF´S
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Derivadas parciales de primer orden y de orden superior
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Parcial
DERIVADAS PARCIALES
Conceptos y definiciones:
Conceptualmente la derivada de una función es la variación de la variable dependiente
con respecto a la variable independiente, por ejemplo la velocidad, que es la variación
de la distancia con respecto al tiempo.
Propiedades Básicas:
0)( =′c
1
)( −
=′ nn
nxx
uccu ′=′)(
vuvu ′±′=′± )(
vuvuuv ′+′=′)(
2
v
vuvu
v
u ′−′
=
′







En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las derivadas parciales de primer orden:
),(),( yxfyyxf yx
1. a) xyyxyyxyxf −+−= −− 2
5
5
2
4
3 32
2),( b)
2
3
5
2
3
2 52
2),( −+−= −
yyxyxf
x
2. a) 3
2
2
23
2),( −+−= −
xy
xy y
exyxf b)
xyyexyyxf x
ln232),( 32
−+−= −−
3. a) yxyxyxf x
y
y
x
23),( 5
2
4
3 33
+−+−= b) yxyxf x
y
y
x
23),( 5
12
4
12
+−−=
−−
4. a) yxyxf yx
y
y
x
3
4
5
2
3
12
12
32
),( +−−= −
−
−
+
b)
11
23),( 32
13
3
32 −−
+−−= −
−
−
−
yxyxf x
y
xy
x
5. a) yxyxyxf ln)3(2),( 32
−−= b) x
eyxyyxf 22
22),( −
−−=
6. a) yexyyyxf
x
+−−=
−332
)2(3),( b) y
xeyyxxyxf
−
+−−= 22),( 33
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las derivadas parciales de segundo
orden: ),(y),(),,(),,( yxfyxfyxfyxf yyyxxyxx
7. a) y
exyxxyyxf −
−+−= 233
32),( b) 5ln)12(2),( 32
+−−= xyxyxf
8. a) 5
2
3
),( +−−=
xy
y
x
x
y
yxf b) xy
x
y
y
x
yxf 2
2
13
3
12
),( −
−
−
+
−
−
=
9. a) 53)2(2),( 23
+−−= yyxxyxf b) xyyeyxf y
xx
32),( 2
22
−+= −
−−

10. a) 3)32ln(2),( 12
12
−+−= +
+
y
x
xyyxf b) 3)3(2),( 2
23
−+−= −
−
y
yx
yxxyxf
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las derivadas parciales: yx zyz
11. a) 2222
2=+−+ xyzzyx b) 3222333
3=−++ zyxzyx
12. a) 2=−++ xyzzyx b) 3333
3=−++ xyzzyx
13. a) 1
2
=+− xyxyze
z
b) 3
2
=+−
yzx
exyze
Hallar los diferenciales de las funciones indicadas
)
)
) ( ) ( )
) 1tanln
lnln
12 32
+





=
++=
−
+
−
+
−
=
−+=
x
y
fd
senzsenyefc
yx
yx
yx
yx
fb
yxfa
x
e
Hallar los diferenciales de orden superior indicados
)
)
)
) ( )
) ( ) ( )
) ( )
) ( ) fdzyyxfg
fdxyzff
fdyxfe
fdyefd
fdyxyyxxfc
fd
y
x
fb
fdxyxfa
zyx
zyx
yx
x
yx
2322
,,
2
,,
3
,
3
,
33223
2
234
;
;
;ln
;cos
;33
;
;5
+=
=
+=
=
−+−=
=
+=

Aplicando la regla de la cadena, calcular las derivadas indicadas
) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
)
)
) ( )
)
) 1,0:,;3
1,2::,;
0,1::,cos,;
2,;
45,23,12;
,:;3,;23
:;,13;
23
22
222
222
432
,
42
,
35
,
532
,
====−=
−==−=+=+=
=====++=
=+==
+=−=+==
=+=+=
=+=+=
tscuandoeyexyxywg
tscuandotsytsxyxwf
tscuandosentsztsystxzyxwe
stytsxsenyxzd
tztytxzyxwc
uuhallartsystxyxub
uhallartytxyxua
ts
stststyx
tttyx

WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Máximos y Mínimos
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer parcial
Hallar máximos o mínimos de las siguientes funciones.
1. a) 35121232),( 22
++−+= yxyxyxf
2.- b) 25321212),( 22
−−−−= yxyxyxf
3. a) 2051233),(
22
++−−+= yxxyyxyxf
4.- b) 531253),(
22
−−−+−= yxyxxyyxf
5. a) 26101643),(
22
+−−++= yxxyyxyxf
6.- b) 8316410),( 22
−−−+−= yxyxyxyxf
7.- yx
xyyxf
6464
),( ++=
8.- yx
xy
yxf
23
18
),(
+
=
9. a) 25287),,( 222
+++−−++= zyxxyzyxzyxf
10.- b) 15728),,( 222
−−−−+−−= zyxzyxxzzyxf

WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Máximos y mínimos
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Evaluación Final
Resolver los siguientes problemas de aplicación práctica de los máximos y mínimos.
1.Dadas las funciones de costo y de ingreso: 30163 21
2
221
2
1 +−−+−= qqqqqqC
25316 2
221
2
121 +−+−+= qqqqqqI . Hallar el costo mín., ingreso máx. y utilidad
máx.
2.Una fábrica produce dos tipos de artículos, de unidades q1 y q2, cuyos precios son p1
y p2, respectivamente. Costos unitarios c1, c2; costo fijo Cf. Hallar la máxima ganancia y
los precios que maximiza la utilidad.
a) Si 2604 11 =+ pq ; 4206 22 =+ pq ; 644;36;60 21 === Cfcc
b) Si 1503 11 =+ pq ; 18012 22 =+ pq ; 1500;12;30 21 === Cfcc
3. Hallar la máxima ganancia en la producción de dos artículos, de unidades q1 y q2,
cuyos precios son p1 y p2, respectivamente. El costo total de producción es Ct.
a) Si 405 11 =+ pq ; 303 22 =+ pq ; 2
221
2
1 32 qqqqCt ++=
b) Si 1002 11 =+ pq ; 1803 22 =+ pq ; 2
221
2
1 2208 qqqqCt +−−=

WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: GEOMETRÌA ANALITA EN EL ESPACIO
TITULO: VECTORES
FECHA DE ENTREGA:
1.-Graficar los siguientes vectores:
a) )4,5(−=
→
A b) )2,3( −−=
→
B c) )6,3( −=
→
C d) )2,4,1( −−=
→
D
e) )4,2,1(=
→
E f) )1,3,2( −−−=
→
F g) )5,1,5( −=
→
G h) )2,4,5( −=
→
H i)
)6,3,2(=
→
I j) )3,2,2( −−−=
→
J k) )0,4,0( −=
→
K .
2.- Para los anteriores vectores hallar sus Módulos.
3.- Hallar el valor de K, para que el vector )1,,3( −−=
→
kA tenga por modulo 10.
4.- Si: )2,4,1( −−=
→
D ; )4,2,1(=
→
E ; )1,3,2( −−−=
→
F ; )5,1,5( −=
→
G , hallar:
a)
→→→→
+++ GFED b)
→→→→
−++ GFED 23
5.- Hallar ||;
→→→→
°° BABA con los siguientes pares de vectores:
a) )7,5,1(=
→
A , )2,6,3( −−=
→
B b) )0,1,4( −−=
→
A , )5,0,2(−=
→
B c) )3,1,7( −−−=
→
A ,
)2,2,3( −=
→
B d) )5,0,1( −=
→
A , )3,5,2( −=
→
B e) )5,1,7(=
→
A , )2,3,1(=
→
B f)
)6,1,4(−=
→
A , )9,1,0( −=
→
B
6.- Si: ),7,2( tA =
→
, )3,6,5( −=
→
B , hallar t para:
a) 0=°
→→
BA b) 8=°
→→
BA
7.- Hallar por producto escalar el ángulo entre:
a) )4,2,1( −−=
→
A , )2,6,3( −−=
→
B b) )9,3,4( −=
→
A , )9,8,1(−=
→
B
c) )5,0,1( −=
→
A , )0,5,4(−=
→
B d) )5,4,2( −=
→
A , )9,2,1( −−=
→
B

e) )7,1,4(=
→
A , )6,7,9(=
→
B .
8.- Hallar los ángulos interiores del triángulo de vértices:
a) A(3,-1,4); B(2,2,-1) y C(-1,3,1)
b) A(-2,1,3); B(1,-1,1) y C(2,4,1)
c) A(3,1,3); B(-1,-1,2) y C(0,4,1)
9.- Hallar el parámetro k si:
a) )4,2,( −=
→
kA , )2,6,3( −−=
→
B , °=45φ b) )9,3,4( −=
→
A , )5,,4( kB =
→
,
°= 68,57φ c) )3,1,2( −−=
→
A , ),6,7( kB =
→
,
→→
⊥ BA
d) ),1,4( kA −−=
→
, )6,7,9(=
→
B ,
→→
⊥ BA .
10.- Hallar
→→
×BA con los siguientes pares de vectores:
a) )7,5,1(=
→
A , )2,6,3( −−=
→
B b) )0,1,4( −−=
→
A , )5,0,2(−=
→
B c) )3,1,7( −−−=
→
A ,
)2,2,3( −=
→
B d) )5,0,1( −=
→
A , )3,5,2( −=
→
B e) )5,1,7(=
→
A , )2,3,1(=
→
B
11.- Hallar por producto vectorial el ángulo entre:
a) )4,2,1( −−=
→
A , )2,6,3( −−=
→
B b) )9,3,4( −=
→
A , )9,8,1(−=
→
B c)
)3,1,2( −−=
→
A , )2,2,1( −−=
→
B d) )5,0,1( −=
→
A , )0,5,4(−=
→
B e)
)5,4,2( −=
→
A , )9,2,1( −−=
→
B f) )7,1,4(=
→
A , )6,7,9(=
→
B .
12.- Por el producto vectorial, hallar las áreas del paralelogramo y triángulo de los
siguientes vectores:
a) )7,2,7( −−=
→
A , )5,0,2(−=
→
B b) )3,1,3( −−=
→
A , )5,6,4(=
→
B
13.- Calcular el área del triángulo de vértices:
a) A(3,-3,2); B(-3,1,2) y C(2,4,-2)
b) A(1,1,-1); B(2,-1,3) y C(5,4,6)
c) A(-4,-4,-2); B(4,1,2) y C(2,4,-1)
14.- Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los siguientes pares de
vectores:
a) )2,1,3( −=
→
A , )4,3,1( −=
→
B b) )6,4,2(=
→
A , )7,5,1(=
→
B .
15.- Calcular )(
→→→
×° CBA en los siguientes vectores:
a) )1,7,5(=
→
A ; )4,8,2(=
→
B ; )9,3,6(=
→
C
b) )2,5,3( −=
→
A ; )4,1,2( −=
→
B ; )3,2,1( −=
→
C
16.- Hallar el volumen del paralelepípedo entre:
a) )2,1,1( −=
→
A ; )2,4,3( −=
→
B ; )4,1,5( −−=
→
C
b) )2,3,1(=
→
A ; )1,1,2( −=
→
B ; )1,2,1( −=
→
C

17.- Calcular )(
→→→
×× CBA en los siguientes vectores:
a) )3,7,2(=
→
A ; )9,1,8(=
→
B ; )5,2,4(=
→
C
b) )2,1,1(−=
→
A ; )1,2,1( −=
→
B ; )1,3,2( −=
→
C
WORK PAPER # 5
TITULO: LA RECTA
FECHA DE ENTREGA:

1.- Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos:
a) A(-3,5,4) y B(7,-6,6)
b) A(1,2,2) y B(3,-5,4)
c) A(1,3,3) y B(2,7,6)
2.- Hallar las ecuaciones de las medianas y su punto de intersección en los triángulos
de vértices:
a) A(4,1,4); B(-2,3,-3) y C(3,6,7)
b) A(-2,-3,2); B(3,0,0) y C(0,4,0)
c) A(5,-3,1); B(-1,1,2) y C(3,-1,5)
d) A(4,0,2); B(3,1,4) y C(2,5,0)
3.- Si los puntos medios de un triángulo son los puntos A, B y C. Hallar las
coordenadas de los vértices:
a) A(3,-2,1); B(3,1,1) y C(4,1,-1)
b) A(1,1,1); B(-1,-2,1) y C(2,4,4)
c) A(0,3,1); B(3,3,2) y C(2,4,1)
4.- Hallar los puntos de trisección y bisección del segmento que une los puntos A(3,1,-
1) y B(-2,2,3).
5.- Determinar si las líneas rectas son paralelas, ortogonales ó ninguna de ellas. Si no
son ni paralelas, ni ortogonales, calcule el ángulo entre las rectas.
a)
1
1
5
2
5
3
:1
+
=
−
+
=
− zyx
L y
5
8
3
7
2
5
:2
+
=
+
=
− zyx
L
b)
4
62
8
148
2
63
:1
−
=
−
−
=
− zyx
L y
1
7
4
8
6
62
:2
−
−
=
+
=
+ zyx
L
c)
2
2
9
63
4
62
:1
−
=
−
−
=
− zyx
L y
2
72
3
36
2
24
:2
−
=
−
−
=
− zyx
L
d)
2
6
2
3
6
63
:1
−
−
=
+
=
−
− zyx
L y
3
3
2
2
1
2
:2
−
=
−
=
− zyx
L
e)
1
1
2
2
2:1
+
=
−
∧=
zy
xL y 3
3
2
5
:2 =∧
−
= z
yx
L
f)
3
3
2
2
1
2
:1
+
=
−
=
−
+ zyx
L y
1
3
2
2
1
2
:2
−
+
=
−
=
+ zyx
L
g)
0
8
1
2
0
1
:1
+
=
−
=
+ zyx
L y
0
1
0
2
1
3
:2
−
=
+
=
− zyx
L
6.- Encuentre la recta que pasa por A(3,1,5) y es paralela a la recta
tztytxL +−=+=−= 4;32;4: .
7.- Encuentre la recta que pasa por A(2,1,4) y sea perpendicular a la recta
tztytxL 33;;41: +==+−= .

8.- Encuentre la recta que pasa por A(3,1,-2) y es perpendicular a la recta
1
1
1
2
1
1
:
+
=
+
=
+ zyx
L .
9.- Hallar los puntos de intersección de la recta L con cada uno de los
planos coordenados. tztytxL +−=+=+= 2,87,23:
10.- Hallar la distancia mínima entre las rectas formadas por los puntos A y B y los
puntos C y D. (Rectas que se cruzan).
a) A(5,-2,3), B(1,2,5) y C(3,1,2), D(2,5,-1)
b) A(2,-2,2), B(3,-1,0) y C(2,2,1), D(-3,2,-2)
11.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,-3,4) y es perpendicular a
cada una de las rectas
5
2
1
3
2
2
:1
+
=
−
−
=
+ zyx
L y
25
2
2
4
:2
−
=
−
=
+ zyx
L .
12.- Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las rectas
)3,2,2()4,3,3(:1 tPL += y )0,2,1()1,6,1(:2 −+−= λQL .
13.- Determine el punto de intersección de las rectas
a) )3,2,1()1,1,1(:1 tPL += y )13,8,3()0,1,2(:2 λ+=PL .
b) )3,2,1()17,7,1(:1 −+−= tPL y
514
7
:2
−
==
− zyx
L
14.- Calcule la distancia del punto A a la recta L:
a) A(3,2,5) , RttPL ∈+−= );1,2,3()1,2,2(:
b) A(3,2,5) ,
3
5
4
27
1
42
:
zyx
L
−
=
−
−
=
−
15.- Hallar la ecuación de la línea recta que es perpendicular al plano 2x+3y-4z+7=0 y
que pasa por el punto A(3,2,7).

WORK PAPER # 6
TITULO: EL PLANO
FECHA DE ENTREGA:
1.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A y tiene el vector normal N .
a) A(1,4,2) , )4,1,3( −=N
b) A(2,1,-5) , )2,0,3(=N

c) A(4,-2,-5) , )2,3,0( −=N
2.- Hallar la ecuación del plano que pasa por A y que es perpendicular a la recta L.
a) A(2,-1,3) , tztytxL 4,31,21: −=+=+−=
b) A(1,2,-3) , tztytxL 31,22,: +=−−==
c) A(2,-1,-2) , tzytxL 21,0,32: −−==+=
3.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos no colineales siguientes:
a) A(2,-1,5), B(6,2,-3) y C(1,0,7)
b) A(8,-5,-5), B(0,9,4) y C(2,3,-2)
c) A(2,2,1), B(-1,2,3) y C(3,-5,-2)
4.- Determine si los planos son paralelos o perpendiculares:
a) 0723:1 =−+− zyxP y 0823:2 =++− zyxP
b) 0582:1 =+−+ zyxP y 01252:2 =−−− zyxP
c) 01437:1 =−−+ zyxP y 02185:2 =+−− zyxP
5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y que es perpendicular al plano dado
Q.
a) A(-2,3,1) , 0332: =−++ zyxQ
b) A(-1,0,-2) , 032: =++ zxQ
c) A(2,-1,-3) , 4: =xQ
6.- Hallar la ecuación del plano que pasa por A y que es paralelo al plano Q.
a) A(1,-2,-1) , 0423: =+−+ zyxQ
b) A(-1,3,2) , 0532: =+−+ zyxQ
c) A(3,0,2) , 012: =++ yxQ
7.- Hallar la ecuación del plano que contiene a la rectas 1L y 2L
a)
1
1
3
2
2
1
:1
−
=
−
=
+ zyx
L ,
2
1
1
2
1
1
:2
−
=
−
−
=
+ zyx
L
c)
2
1
01
2
:1
+
==
+ zyx
L ,
1
1
32
2
:2
+
==
+ zyx
L
d)
1
2
3
1
2
:1
−
+
=
−
=
zyx
L ,
13
1
2
2
:2
−
=
+
=
− zyx
L
e)
31
1
2
2
:1
zyx
L =
−
+
=
−
,
3
2
12
1
:2
+
=
−
=
+ zyx
L
8.- Hallar la ecuación del plano que pasa por A y que contiene a la recta dada L.
a) A(3,-1,2) ,
23
1
2
2
:
−
=
+
=
− zyx
L
b)A(1,-2,3) , tztytxL 22,22,1: −=+=+−=

9.- Calcule la intersección de los planos siguientes:
a) 01252:1 =−−− zyxP y 0582:2 =+−+ zyxP
b) 05:1 =−−− zyxP y 031352:2 =+−+ zyxP
c) 0523:1 =+−+ zyxP y 0322:2 =−++ zyxP
10.- Hallar el punto de intersección de la recta L y el plano Q.
a)
2
1
3
1
2
1
:
−
−
=
+
=
− zyx
L y 0523: =−+− zyxP
b)
2
2
01
1
:
+
==
+ zyx
L y 032: =++ zxP
c)
1
1
3
3
2
2
:
−
=
−
=
+ zyx
L y 0332:2 =−++ zyxP
11.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta 1L y que es paralelo a 2L .
a)
2
1
3
2
2
2
:1
−
−
=
−
=
− zyx
L ,
1
1
2
1
3
1
:2
+
=
−
=
+ zyx
L
b)
3
1
3
2
2
3
:1
+
=
−
−
=
−
− zyx
L ,
22
1
3
1
:2
−
=
+
=
− zyx
L
12.- Hallar la distancia del punto A al plano Q.
a) A(2,1,-1) , 0522: =++− zyxQ
b) A(-1,3,2) , 05432: =−+− zyxQ
c) A(3,-1,2) , 09623: =−−+ zyxQ
13.- Hallar la mínima distancia de la recta L al plano Q.
a)
4
5
4
1
3
2
:
−
=
−
−
=
+ zyx
L y 05634: =−−− zyxP
b)
2
1
3
1
2
1
:
−
−
=
+
=
− zyx
L y 0523: =−+− zyxP
c)
1
1
3
3
2
2
:
−
=
−
=
+ zyx
L y 0332: =−++ zyxP
14.- Hallar el ángulo entre los dos planos.
a) 0632:1 =+−+ zyxP y 04:2 =−++ zyxP
b) 0532:1 =−+− zyxP y 07223:2 =−+− zyxP
c) 024:1 =−+ yxP y 062:2 =−+ zyP

WORK PAPER # 7
UNIDAD O TEMA: GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
TITULO: LA ESFERA
FECHA DE ENTREGA:
1.- Hallar la ecuación general de la esfera, que cumplen las siguientes condiciones:
a) Centro C = (3,5,3) y Radio r = 2.
b) Diámetro esta entre los puntos (1,2,5) y (3,6,1)
c) Centro C = (2,4,4) y pasa por el origen de coordenadas
d) Centro C = (2,4,3) y tangente al plano P: 2x+2y+z-9=0.
e) Centro C = (3,5,4) y tangente a la recta
L:
3
4
6
2
2
2 −
=
−
=
− zyx
f) Centro C = (3,2,-2) y es tangente al plano x+3y-2z+1=0
2.- Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos no colineales siguientes:
a) (6,5,6), (5,1,7), (2,4,3), (2,5,4)
b) (9,0,1), (3,12,1), (12,3,13), (0,0,4)

3.- Hallar el Centro y Radio de las siguientes esferas:
a) 04864222
=+−−−++ zyxzyx
b) 015428222
=−+−−++ zyxzyx
c) 013181236999 222
=+−+−++ zyxzyx
d) 0946222
=+−+++ zyzyx
e) 010642222
=+−+−++ zyxzyx
f) 012428222
=++−+++ zyxzyx
g) 4222
=++ zyx
h) 013642222
=++−−++ zyxzyx
WORK PAPER # 8
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES
TITULO: Integración por Tabla
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial
INTEGRALES SIMPLES
Concepto y Definición:
Conceptualmente la Integral indefinida es el proceso inverso de la derivada de una
función.
Es decir, ∫ +=⇔=′ cxFdxxfxfxF )()()()( , donde c es una constante.
Por ejemplo; ∫ +=⇔=′ cxxdxxx
22
22)(

∫ +=⇔=′ cxdxxxx 3223
33)(
Propiedades básicas:
∫ += ckxkdx
∫ ∫= dxxfkdxxkf )()(
∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las integrales indicadas.
1. a) ∫ dxx 4
b) ∫ dx
x2
1
2. a) ∫3
x
dx
b) ∫ dyay 2
3
3. a) ∫ 2
2
t
dt
b) ∫ x
dx
2
4.-a) ∫ dxax b) ∫ dtt3
3
5.-
∫ −+− dxxxx )352( 3
2
2
3
b) ∫
+−
dy
y
yy
3
5
52
6.- a) ∫ + dyyy 3
)1( b) ∫
−
dx
x
xx 24 2
7. a) ∫ +
+
−
−
dx
xxx
)
2
1
9
3
4
2
( 222 b) ∫ −+
−
−
+
dx
xxx
)4
2
3
3
2
2
3
( 22
8. a) ∫ +
−
−
+
dx
xxx
)
2
1
5
3
4
2
( 22 b) ∫ −+
+
−
−
dx
xxx
)4
2
3
3
2
2
3
( 222
9. a) ∫ +
+
−
−
dx
xxx
)
2
1
9
3
4
2
(
22 b) ∫ +
−
−
+
dx
x
xx
)
3
2
3
2
2
3
(
22
10. a) ∫ +
−
−
+
dx
xxx
)
2
1
9
3
4
2
( 322 b) ∫ −+
+
−
−
dx
xxx
)1
2
3
3
2
2
3
( 222

11. a) ∫ +
−
−
−
dx
xxx
)
2
5
4
3
9
2
( 322 b) ∫ +
−
−
−
dx
xxx
)
3
2
3
2
2
3
(
22
1 2. a) ∫ +
−
−
−
dx
xxx
)
2
5
4
3
4
2
( 322 b)
∫ +
+
−
+
dx
xxx
)
2
2
2
2
3
( 222
13. a) ∫ +
−
−
−
dx
xxx
)
2
5
9
3
9
2
(
2 b) ∫ −
+
+
−
+
dx
xxx
)
4
4
4
2
4
3
( 22
WORK PAPER # 9
TITULO: Métodos de Integración
FECHA DE ENTREGA:
1.- a) ∫ − dxx 357 b) ∫ − dxx 11
)32(
2.- a) ∫ −
dx
x3
12
3
b) ∫ −
dx
x
3
)12(
2
3.- a) ∫ +
dx
x 32
4
b) ∫ −
dx
x32
3

4.- a) ∫ −−+ dxxx )8114( 3
b) ∫ −−+ dxxx )5432( 43
5.- a) ∫ −
−
+
dx
xx
)
13
3
34
2
( b) ∫ +−
−
dx
xx
)
2
3
3
2
31
4
( 33
6.- a) ∫ −
−
+
−
dx
xx
)2
4
1
7
7
( 2 b) ∫ −
+
−
+
−
dx
xxx
)
5
3
5
4
5
5
(
22
7.- a) ∫ +−
−
dxe
xx
x
)
2
4
12
3
( 2
5 b) ∫ −
−
+
+−
dx
xx
e x
)
37
6
3
2
( 2
2
8.- a) ∫ −
+
+
−
−
dx
xxx
]
34
2
13
5
)2(
2
[
33 b) ∫ +
−
−
+− dx
xx
x ]
2
3
2
4
21[ 22
5
Calcule las integrales por el método de Sustitución
1.- ∫ +⋅ dxxx 354
)92()3( 2.- ∫ −+⋅+ dxxxx 632
)835()15(
3.- ∫ −+⋅+ dxxxx )235()15( 32
4.- ∫ +
dy
y
y
52
3
2
5.- ∫ ⋅ xdxxsen cos4
6.- ∫ dx
x
xln
7.- ∫
−
⋅ dxex x2
8.- ∫ ⋅ dxex x3
22
9.- ∫ dx
x
x
5
10.- ∫ ⋅ xdxx2
2
11.- ∫ + dyy 6
)1( 12.- ∫ − dyy 9
)31(
13.- ∫ +
dy
y 3
)32(
7
14.- ∫ − dyy 5
)2(
15.- ∫ − dyy 7
)34( 16.- ∫ + dyy 12
17.- ∫ + dyy3 49 18.- ∫ +57 y
dy
19.- ∫ +
dy
y 76
24
20.- ∫ − 2
)53( y
dy
21.- ∫ + dyysen )1(π 22.- ∫ dy
y
3
cos
π
23.- ∫ −⋅ dyyy 12
24.- ∫ −⋅ dyyy 102
)21()3(

25.- ∫ +⋅ dyxy 543
)1()( 26.- ∫ +⋅ dyyy 142
)1()(
27.- ∫ −⋅ dyyy 2
32 28.- ∫ +⋅ dyyy 32
43
29.- ∫ −⋅ dyyy 3 2
1 30.- ∫ +
dy
y
y
12 2
31.- ∫ +
dy
y
y
2
31
3
32.- ∫ ⋅ ydyysen 4cos45 3
33.- ∫ ⋅ dyyy 43
cos 34.- ∫ +⋅ dyyy 143
35.- ∫ +
dy
y
y
3 3
2
1
36.- ∫ +
+
dy
yy
y
2
12
37.- ∫ −12 y
dy
38.- ∫ +
dy
y
y
2
31
39.- ∫ −
dy
y
y
3
2
4
40.- ∫ ++
+
dy
yy
y
14
1
2
41.- ∫ +
dy
seny
y
1
cos
42.- ∫ ⋅ yy
dy
ln
43.- ∫ +1y
dy
44.- ∫ −
dy
y
y
2
1
45.- ∫ ++
+2
dy
yy
y
1
1
2 46.- ∫ ++
+
dy
yy
y
32
1
2
47.- ∫ dy
y
y )ln( 3
48.- ∫ −
2
dy
y
ysen
2cos1
49.- ∫ ⋅ 2
)(ln yy
dy
50.- ∫ +−
−
dy
yy
yy
13
2
23
2
51.- ∫ +⋅ )1( yy
dy
52.- ∫ ⋅ dyyy )2cos( 32
53.- ∫ +
dy
y
y
43
2
)5(
54.- ∫ −⋅ dyyy 3 32
42
55.- ∫ ⋅senydyy3
cos 56.- ∫ ⋅ dyyy 32
4cos
57.- ∫ ⋅ ydyysen 3cos35
58.- ∫ dy
y
ycos
59.- ∫ +⋅ 2
)1( yy
dy
60.- ∫ ++
+
dy
yy
y
32
)34(
2
61.- ∫ +−
−
dy
yy
y
53
2
)16(
2
62.- ∫ +⋅++ dyyyy )1()12( 42
63.- ∫ +⋅+ dyyyy 3 32
6)2( 64.- ∫
−
dye y21
65.- ∫ − daa 53 66.- ∫ −
dt
t 2
)52(
1
67.- ∫ −
dy
y25
1
68.- ∫ −
−
−
+
dy
ee
ee
yy
yy

69.- ∫ −
dt
t31
1
70.- ∫ −
−
du
u
u
14
12
2
71.- ∫ − dxxx 1032
)1( 72.- ∫ −
+
dx
x
x
2
49
32
73.- ∫ dx
x
e x
74.- ∫
−
dxe x25
75.- ∫ dx
e
x
x3
2
76.- ∫ −
+
dx
e
e
x
x
1
32
77.- ∫ 





−
dy
e
e
y
2
1
3
78.- ∫ dx
x
x)2ln(
79.- dyyyy 102
)24()2( +++∫ 80.- ∫ ++
+
dx
xx
x
32
)13(
32
81.- ∫ +−
−
dx
xx
x
12
14
2 82.- ∫ + dxxx 12
83.- ∫ +
dt
t
t
3 3
2
8
84.- ∫ + dttt 32
1
85.- ∫ −
dx
x
e
n
xn
1
86.- dx
e
ex
x
x
∫
−
2
)12(
87.- ∫ 2
1
3 x
ex
dx
88.- ∫ ++
+
dx
xx
x
22
)1(
2
89.- dx
e
e
x
x
∫ + 2
1
90.- ∫ xx
dx
ln
91.- ∫
−
dxxe x2
92.- ∫ +
dx
x
x
22
)1(
93.- ∫ dxxe xsen2
2cos 94.- ∫ dxx x2
2
95.- ∫ −
dx
e
e
x
x
2
3
96.- ∫ +
θ
θ
θ
d
sen
cos1
97.- ∫ xx
dx
ln
98.- ∫ +
+
dx
x
x
9
12
2
99.- ∫ −
−
dx
x
x
2
5
2
100.- ∫ +
−
dx
xx
senx
3
)cos2(
)2(
101.- ∫
+
dx
e
e
x
x2
1
102.- ∫ + x
xdxsen
2cos3
2
2
103.- ∫ − x
dx
23
104.- ∫ +14
3
x
dxx
105.- ∫ xdxsen5 106.- ∫ dxxsenx )( 32
107.-
∫ dxe
x
2 108.- ∫ x
dxxsen

109.- ∫
+
⋅ dxex x 12
110.- ∫ x
dxx)cos(ln
111.-
[ ]∫ +⋅ 2
)(ln1
ln
xx
xdx
112.- ∫ dx
xsen
x
2
2cos
113.- ∫ 





− dx
x
x
2
1
114.- ∫ x
dxx 3
)(ln
115.- ∫ ⋅ xx
dx
ln
116.- ∫ + 2
)2( x
x
e
dxe
117.- ∫ +1x
x
e
dxe
118.- ∫ ⋅ dxxsenx )3( 2
119.- ∫
x
x
dx
1
cos2 120.- ∫ senx
xdx2
cos
121.- ∫
−
dxe x3
122.- ∫
+−
⋅ dxex x2
1
123.- ∫
−
⋅ dxex senx
cos 124.- ∫
−
⋅ dxe
x
xln21
WORK PAPER # 10
TITULO: Métodos de Integración
FECHA DE ENTREGA:
1.- a) ∫ −+
+
dx
xx
x
)2)(1(
52
b) ∫ +−
+
dx
xx
x
)2)(12(
34
2.- a) ∫ +−
−
dx
xxx
x
)12)(1(
25
b) ∫ −+−
−
dx
xxx
x
)32)(13)(2(
56

3.- a) ∫ −+
−
dx
xx
x
6
34
2 b) ∫ −−
−
dx
xx
x
43
52
2
4.- a) ∫ −−
+
dx
xx
x
82
12
2 b) ∫ −−
+
dx
xx
x
12
52
2
5.- a) ∫ −−
−−
dx
xxx
xx
2
232
23
2
b) ∫ +−−
−−
dx
xxx
xx
22
223
23
2
6.- a) ∫ −−
+
dx
xx
x
23
12
3 b) ∫ ++
+
dx
xx
x
)4)(1(
32
2
7.- a) ∫ +
dx
x
x
4
3
2 b) ∫ −
dx
x
x
2
4
4
8.- a) ∫ −
dx
x
x
1
2
3
2
b) ∫ −
dx
x
x
3 4
3
3
3
9,- a) ∫ +
dx
x
x
23
2
)2(
2
b) ∫ −+
+
dx
xx
x
22
)2(
12
10.- a) ∫ − dxxx 32
)12( b) ∫ − dxxx 22
11.- a) ∫ + dxxx 23 3
1 b) ∫ − dxxx 475
)32(
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las integrales indicadas.(METODO DE
INTEGRACION POR PARTES)
1.- ∫ ⋅ dxex x3
2.- ∫ ⋅ xdxsenx 3

3.- ∫ xdxx ln 4.- ∫ dyey y32
5.- ∫ dxee xx
)ln(2
6.- ∫ xdxx cos3
7.- ∫ dyye y5
8.- ∫
−
duue u2
9.- ∫ vdvev
cos 10.- ∫ ⋅ xdxx ln
11.- ∫xsenxdx 12.- ∫ ⋅senxdxx 2
13.- ∫ ⋅ ydyy ln2
14.- dxex x
∫
23
15.- ∫ dx
x
x
2cos
2
2 16.- ∫ −
⋅
dx
x
xx
4
ln
2
17.- ∫ ⋅ ydysene y
2 18.- ∫ ⋅ xdxsene x
23
19.- ∫ ⋅−
xdxe x
3cos
20.- a) ∫ xdxln b) ∫ xdxx ln
21.- a) ∫ dxxx ln2
b) ∫ dxxe x2
22.- a) ∫
−
dxex x2
b) ∫ xdxarctan
WORK PAPER # 11
TITULO: Integrales Definidas y Cálculo de Área

FECHA DE ENTREGA:
Calcular las siguientes integrales definidas
1.- a) ∫−
+−
1
1
2
)143( dxxx b) ∫−
−+−
1
2
23
)132( dxxxx
2.- a) ∫ +−
5
1
)212( dxxx b) ∫ +−+
1
0
)121( dxxx
3.- a) ∫ −
+
2
1
)
23
2
3
2
( dx
x
x
b) ∫−
−
+
2
1
)
2
3
2
2
( dx
x
x
En cada una de las siguientes figuras, calcular el área de la región sombreada.
4.- a) b)
y = x2
– x – 1 y = x + 2
2x + 3y = 6
-3
-2
Graficar la región limitada por las curvas dadas y calcular su área:
1.- xyxyxx −==== ,,4,2 2
2.- 22
16,,2,2 xyxyxx −==−==
3.- xyxyxx 12,,3,0 2
====
4.- yxyxyy ==== ,,
4
3
,0 2
5.- xyxyxx −===−= ,,0,2 3
6.- xyxyxx
2
1
,1,3,0 =+===
7.- 4,2,2,1 2
=+=== yxyxxx
8.-
42
,,
2
1
,0 xyxyxx ====
9.- 42
, xyxy ==
10.-
1
1
,0,3,0
+
====
x
yyxx
11.- xyxx === 2
,2,1

12.- 2
,0,2,0 yxxyy ====
13.- 2
1,01,1,1 yxyxyy −==+−=−=
14.- 4,,1 2
=== xyyxy
15.- 22
18, yxyx −==
16.- xyxy == 22
,
17.- 3
, xyxy ==
18.- 1,142
=++= yxxy
19.- 052,242
=+−++= yxxxy
20.- 22,22
+=−= xyxy
21.- 2
9
,0,2,1
y
y
xxyy
−
====
22.- 2,1,3,2
==== yyxyxy
23.- 0,
2
,4,2 2
>=== x
x
yxyxy
24.- 0,1,2,1 2
==== yyxxx
25.- 1,
2
1
,2,1 2
==== yxxyxx (Obtener el área de todas las
regiones formadas)
WORK PAPER # 12
TITULO: Integrales Dobles
FECHA DE ENTREGA:
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las integrales dobles que se indican.
1.- a) dxdyxy )32( −∫∫ b) dxdyyx )32( −∫∫
2.- a) dxdyyx )432( ++∫∫ b) dxdyyx )432( 23
++∫∫
3.- a) dxdyyx )132( 3 ++∫∫ b) dxdyyxyx )32( 23
++∫∫

4.- a) dxdyyxxy∫∫ − )3( 22
b) dxdyxyyx∫∫ +− )123( 22
5.- a) dxdy
yx
)
2
32
( 2
−∫∫ b) dxdyxy
x
y
∫∫ −+ )2(
6.- a) dxdy
yxx∫∫ + )
2
2
3
( 2 b) dxdyxy
xy
xy∫∫ −− )3
2
2
(
7.- a) dxdyyx 3
)2( +∫∫ b) dxdyyx∫∫ −2
WORK PAPER # 13
UNIDAD O TEMA: SERIES
TITULO: Sucesiones, Series y Series de Potencias
FECHA DE ENTREGA:
Encuentre la expresión más simple para el enésimo término de las sucesiones que se
dan a continuación.
1.- a) ...,13,11,9,7,5 b) ...,26,17,10,5,2
2.- a) ...,13,11,9,7,5 −−− b) ...,26,17,10,5,2 −−
Escribe cinco primeros términos de las sucesiones que se dan a continuación.
3.- a) 1,
2
1
≥






+
+
n
n
n
b) 1,
1
1
2
≥






+
−
n
n
n

4.- a) 1,2,1, 1021 −==≥+= −−− aanaaa nnn b)
1,2,1, 1021 =−=≥−= −−− aanaaa nnn
Calcular la suma de los primeros diez términos de las series que se dan a continuación.
5.- a) ...13107 +++ b) ...15105 +++
6.- a) 1,)2/1( ≥∑ n
n
b) 1,)2/3( ≥∑ n
n
En cada uno de los siguientes incisos, encuentre una serie de potencias de x de la
función dada.
7.- a) x
exf
2
)(
−
= b)
x
xf
21
1
)(
−
= c) 2
2
)(
x
e
xf
x−
=

DIF ’s # 01
TITULO: Concepto de integral indefinida
FECHA DE ENTREGA:
Conceptualmente la integral indefinida es el proceso inverso de la derivada.
)()()()( xfxFcxFdxxf =′⇔+=∫
TAREA PARA DIF ‘s:
A partir de la tabla de derivación generar la tabla de integración de funciones básicas.

DIF ’s # 02
UNIDAD O TEMA: INTEFRALES
TITULO: Concepto de integral definida
FECHA DE ENTREGA:
La integral definida geométricamente represente el área comprendida entre a y b bajo
la curva que representa a f(x)
Sea f(x) una función definida en [a,b] como se muestra en el siguiente diagrama
f(x)
a b
El área de la región sombreada es: A = ∑ ∆xxf )(

Como, si 0→∆x entonces dxx ≅∆
Por lo tanto, A = ∫
b
a
dxxf )(
A partir de este concepto generalizar la forma de determinar el área de una región
arbitraria.
DIF ’s # 03
TITULO: Concepto de derivada y de derivada parcial
FECHA DE ENTREGA:
Conceptualmente, la derivada de una función de una variable es la variación o el
cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente.
A partir de este concepto, determinar el significado o el concepto de la derivada parcial
y su interpretación geométrica

DIF ’s # 04
TITULO: Concepto de demanda y oferta
FECHA DE ENTREGA:
A partir del conocimiento adquirido en la asignatura de “Economía”, dar a conocer el
concepto de demanda y oferta, sus ecuaciones y la característica de su gráfica.
Para cierto producto la cantidad demandada es 100 unidades, si el precio es 10
unidades monetarias, y 60 unidades si el precio es 20 unidades monetarias. Hallar la
ecuación de la curva de demanda, suponga que es lineal.

DIF ’s # 05
UNIDAD O TEMA: DERVADAS PARCIALES
TITULO: Definición de Ingreso y Ingreso marginal
FECHA DE ENTREGA:
A partir del conocimiento adquirido en la asignatura de “Economía”, dar a conocer la
definición de ingreso, función ingreso, ingreso marginal y la característica de su gráfica.
Para cierto producto la ecuación de demanda es: 1223 =+ pq
Donde q = cantidad y p = precio
Determine la función de ingreso, en función de la cantidad.

DIF ’s # 06
UNIDAD O TEMA: DERVADAS PARCIALES
TITULO: Definición de Costo y Costo marginal
FECHA DE ENTREGA:
definición de Costo, función Costo, Costo marginal y la característica de su gráfica.
Para cierto producto el costo unitario es 2 unidades monetarias y el costo fijo es de
1500 unidades monetarias.
Determine la función de costo total, en función de la cantidad.

DIF ’s # 07
TITULO: Definición de Utilidad y Utilidad marginal
FECHA DE ENTREGA:
definición de Utilidad beneficio, función de Utilidad, Utilidad marginal y la característica
de su gráfica.
Considerando los datos de DIF 6 y 7, determine la función de utilidad.

DIF ’s # 08
TITULO: Condiciones de máximo y mínimo relativos
FECHA DE ENTREGA:
A partir del conocimiento de Cálculo I, dar a conocer las condiciones de máximo y
mínimo relativos, y generalizar para funciones de más de una variable.
Para la función de dos variables: 222),(
22
+−++= yxyxyxf
Analice se tiene un máximo o un mínimo relativo.

DIF ’s # 09
UNIDAD O TEMA: APLCACIONES DE DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Función de utilidad de dos variables
FECHA DE ENTREGA:
Considere una empresa que produce dos tipos de productos. Es decir,
q1 = cantidad demandada del primer tipo
q2 = cantidad demandada del segundo tipo
p1 = precio del primer tipo
p2 = precio del segundo tipo
c1 = costo unitario del primer tipo de producto
c2 = costo unitario del segundo tipo de producto
cf = costo fijo de la empresa
Ecuaciones de demanda:




=+
=+
22222
11111
kpbqa
kpbqa
Determine la utilidad en función de las cantidades q1 y q2.

DIF ’s # 10
TITULO: VECTORES
FECHA DE ENTREGA:
1.- Sean A(1,-2,1), B(1,-3,4) y C(2,4,-1). Calcular:
a) A + B b) A + 2B –3C c) CBA
4
1
)(
2
1
+−
2.- Sean A(1,4,-1), B(2,5,4) y C(0,4,0). Calcular:
a) A + C b) CAB −+−
2
1
c) CBA −+ )(
2
1
3.- Si A(1,2,1), B(-1,3,2) realizar gráficamente las siguientes operaciones:
a) A – B b) BA
2
5
3
1
− c) AB
3
1
5
2
−
4.- Dados los vectores P y Q, en cada una de las ecuaciones determinar un vector R
que satisfaga:
a) P(2,3,5), Q(1,3,-4); 3R – 2P + Q = 0.
b) P(1,2,-1), Q(0,3,1); R – 3P - Q = 2R
c) P(0,5,1), Q(3,1,-1); 5R + P + 3Q = 2Q
5.- Si A(3,1,4) y B(2,-1,-3). Calcular la longitud o módulo de:
a) A +B b) 2A – 3B c) 5B - 3A
6.- Indicar cuáles de los siguientes pares de vectores son paralelos y en tal caso, si
tienen el mismo sentido.
a) P(2,4,6), Q(4,3,2) b) P(5,7,3), Q(15,21,9)
c) P(-2,-1,2), Q(8,4,-8)
7.- Sean M(3,0,5) y N(2,-1,-3). Calcular:
a) NM  b) )()( NMNM −+ 
c) )4()23( NMNM +− 
8.- Demostrar que el ángulo que forman A(1,2,1) y B(2,1,-1) es el doble del que forman
C(1,4,1) y D(2,5,5).
9.- Sean A(1,2,-3), B(1,-1,0) y C(-1,-2,1). Calcular:
a) BA× b) )()( BABA −×+
c) )32()2( ABCA −×−
10.- Calcular el área del paralelogramo de lados:

a) a = (5,3,1) y b = (3,7,-1)b) c = (1,3,2) y d = (-2,-4,3)
c) e = (3,5,-2) y f = (1,0,-2)
11.- Calcular el área del triángulo de vértices:
a) M(1,5,4), N(-1,-2,-1) y O(0,2,-3)
b) b) P(-2,1,3), Q(3,0,6) y R(4,5,-1)
c) A(2,4,4), B(3,6,2) y C(1,2,6)
d) D(3,3,2), E(1,1,5) y F(2,6,3)
12.- Dados los pares de vectores: A(3,1,5) y B(2,7,4); A(2,1,0) y B(-5,2,1) y
A(3,5,2) y B(1,2,5)
a) Graficar los vectores.
b) Calcular: BA − , BA , BA  , BA× y BA× .
c) Mediante el producto vectorial, calcule el área del triángulo entre A y B.
d) Hallar el ángulo que forman los vectores utilizando el producto escalar y el
producto vectorial.

DIF ’s # 11
TITULO: LÍNEA RECTA
FECHA DE ENTREGA:
1.- Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos:
a) A(3,2,4) y B(7,6,6) b) C(2,4,2) y D(3,6,4) c)
E(1,2,5) y F(3,6,1) d) G(-1,-2,2) y H(2,4,-1) e) I(1,0,2) y J(3,6,5)
f) E(3,2,4) y F(2,3,-4)
2.- Dados los vértices P,Q y R de un triángulo. Calcular la longitud de la mediana que
parte de P.
a) P(2,4,2), Q(1,1,5) y R(3,7,3)
b) P(-1,2,3), Q(0,-1,7) y R(1,0,-3)
3.- Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son A(-2,-3,-2),
B(-3,1,4) y C(2,3,-1).
4.- Dados los puntos A(1,2,3) y B(3,6,7). Hallar las coordenadas de los puntos que
dividen al segmento AB en 3 partes iguales.
5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
a) A(1,2,2) y B(3,5,4) b) C(3,2,4) y D(3,6,2) c)
E(2,3,5) y F(-3,4,7) d) G(8,-3,2) y H(5,0,1) e) I(1,1,1) y J(-3,2,-1)
f) K(1,3,2) y L(2,-1,4)
g) M(1,0,5) y N(-2,0,1) h) O(4,-2,0) y P(3,2,-1) j) Q(5,5,-2)y R(6,4,-4)
6.- Hallar la ecuación de la recta en todas sus formas posibles, si:
a) P(5,3,-2) y el vector dirección (2,-3,2).
b) P(-1,-3,-5) y el vector dirección (-2,7,3).
c) P(3,6,3) y el vector dirección (1,2,4).
7.- Hallar el vector dirección y un punto que pertenezca a las rectas:
a)
8
5
9
4
7
2
:
−
=
−
=
− zyx
L b)
53
7
4
6
:
zyx
L =
+
=
−
c) 6;9
5
4
: =−=
−
zy
x
L
8.- Halle tres puntos que pertenezcan a las rectas:

a)
8
42
2
7
9
1
:
−
=
−
=
− zyx
L b)
3
9
4
8
2
7
:
−
=
−
=
− zyx
L
c) 8;
39
5
: ==
−
z
yx
L
9.- Decidir si las rectas M y N son perpendiculares:
a)
4
1
3
1
2
2
:
−
=
−
+
=
− zyx
M y
3
1
2
1
3
2
:
−
=
+
=
−
− zyx
N
b)
3
1
2
1
1
:
+
=
+
=
zyx
M y
2
4
3
1
0
3
:
+
=
−
+
=
− zyx
N
c)
3
3
2
2
1
2
:
+
=
−
=
−
+ zyx
M y
1
3
2
2
1
2
:
−
+
=
−
=
+ zyx
N
d)
5
8
3
1
4
5
:
+
=
−
=
+ zyx
M y
1
4
2
7
3
4
:
+
=
+
=
− zyx
N
e)
0
1
1
1
0
2
:
−
=
+
=
− zyx
M y
0
1
0
2
1
3
:
−
=
+
=
− zyx
N
10.- Hallar las ecuaciones de las medianas del triángulo cuyos vértices son A(4,0,2),
B(3,1,4) y C(2,5,0).
11.- Hallar la ecuación de la recta que cumple con las siguientes condiciones:
a) Pasa por P(3,1,5) y es paralela a la recta
tztytxL +−=+=−= 4,32,4:
b) Pasa por P(-6,5,3) y es paralela a la recta
6
53
2
3
2
4
:
+
=
−
=
−
+ zyx
L
c) Pasa por P(2,1,4) y es perpendicular a la recta )3,1,4()3,0,1(: tPL +−=
d) Pasa por P(2,-1,5) y es perpendicular a la recta
)1,3,2()1,2,3(: −+−= λPL
12.- Hallar el punto de intersección entre las rectas:
a)
1
1
3
4
2
3
:
−
−
=
−
=
− zyx
L y
6
8
2
3
4
5
:
−
=
−
=
− zyx
M
b)
1
3
2
3
2
1
:
−
=
−
=
− zyx
L y
2
6
2
7
1
2
:
−
=
−
=
−
− zyx
M
c)
1
4
2
2
3
1
:
−
=
−
=
− zyx
L y
2
2
4
3
1
4
:
−
=
−
=
− zyx
M
d)
3
1
1
4
1
3
:
−
+
=
−
=
−
− zyx
L y
1
7
1
2
4
:
−
=
−
=
zyx
M
13.- Hallar la mínima distancia entre la recta L y el punto P.
a)
2
4
1
5
2
3
:
−
=
−
=
− zyx
L y P(8,9,7).
b)
3
2
6
5
2
1
:
−
−
=
−
=
− zyx
L y P(4,6,5).

c)
2
7
3
5
4
3
:
−
=
−
=
− zyx
L y P(7,8,9).
d) L = (1,2,-1) + t(3,4,1) y P(1,1,1).
e) L: x=t,y=1-t,z=3+t
14.- Hallar la mínima distancia entre las rectas:
a)
1
6
2
4
2
5
:
−
=
−
=
− zyx
L y
1
8
2
7
2
9
:
−
=
−
=
− zyx
M
b)
2
4
3
6
3
4
:
−
=
−
=
− zyx
L y
2
4
4
7
2
3
:
−
=
−
=
− zyx
M
c) )0,1,1()2,3,1(: −+= tPL y )0,2,1()0,0,2(: λ+=QM
d) tztytxL 3,2,: === y tztytxM 31,22,1: −=+=−=
15.- Hallar el ángulo entre las siguientes rectas.
a)
4
32
37
1
:
−
+
==
−
− zyx
L y
4
9
2
8
3
5
:
+
=
−
−
=
+ zyx
M
b) )1,1,4()1,2,1(: tPL += y )0,2,1()0,0,2(: λ+=QM
c) tztytxL −=+=−= ,23,24: y tztytxM 31,31,1: −=+=+=
d) )7,2,3(),3,1,6(: −−− BAL y )5,2,3(),1,2,4(: −DCM
16.- Hallar los ángulos agudos del triángulo cuyos vértices son A(1,0,1), B(2,-2,3) y
C(7,-2,4).
DIF ’s # 12

TITULO: EL PLANO
FECHA DE ENTREGA:
1.- Hallar la ecuación del plano, cuyo vector normal es N y pasa por el punto P.
a) N(1,3,2) y P(2,5,3). b) N(0,2,0) y P(3,5,4). c) N(1,1,2) y
P(3,4,4). d) N(1,3,2) y P(0,0,0).
e) N(1,3,2) y P(2,5,3). f) N(1,-4,2) y P(5,-1,3).
g) N(3,1,-4) y P(1,4,2). h) N(3,0,2) y P(2,1,-5).
2.- Hallar las ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados:
a) P(2,2,3), Q(3,5,2) y R(1,4,3).
b) P(1,2,1),Q(2,-1,0) y R(4,1,-2).
c) P(7,2,3), Q(4,5,6) y R(-1,0,1).
d) P(2,-1,1), Q(-2,1,3) y R(3,2,-2).
e) P(-3,2,4), Q(1,5,7) y R(2,2,-1).
f) P(1,4,-4), Q(2,5,3) y R(3,0,-2).
g) P(1,-2,1), Q(2,0,3) y R(0,1,-1).
h) P(2,2,1), Q(-1,2,3) y R(3,-5,-2).
3.- Graficar los siguientes planos.
a) 10x-7y-z+19=0 b) 34x-7y-4z+19=0
c) 8x-5y+4z-21=0 d) 3x-2y-5z+10=0
4.- Hallar la ecuación del plano que pasa por P y que es perpendicular a la recta L:
a) P(2,-1,3) y tztytxL 4,31,21: −=+=+−= .
b) P(-1,2,-3) y tztytxL 31,21,51: +−=+=+−= .
c) P(-2,-1,5) y L: A(2,-1,2), B(-3,1,-2).
d) P(6,4,-2) y L: A(7,-2,3), B(1,4,-5).
5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por Q y que es perpendicular al plano dado.
a) Q(-2,3,1) y P: 2x+3y+z-3=0.
b) Q(1,-2,-3) y P: 3x-y-2z+4=0.
c) Q(1,2,3) y P: x-y+2z=0.
6.- Hallar la ecuación del plano que pasa por Q y que es paralelo al plano dado.
a) Q(1,-2,-1) y P: 3x+2y-z+4=0.
b) Q(-1,3,2) y P: 2x+y-3z+5=0.
c) Q(1,2,-3) y P: 3x-y+2z=4.
d) Q(3,-2,6) y P: 4y-3z+12=0.
7.- Hallar la ecuación del plano que pasa por Q y que es paralela a la recta dada.

a) Q(2,-1,3),
4
2
2
2
3
1
:
−
=
−
+
=
− zyx
L
b) Q(1,-2,0),
4
3
1
2
2
2
:
−
=
−
+
=
− zyx
L
8.- Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas L y M.
a)
1
1
3
2
2
1
:
−
=
−
=
+ zyx
L y
2
1
1
2
1
1
:
−
=
−
−
=
+ zyx
M
b)
2
1
01
2
:
+
==
+ zyx
L y
1
1
32
2
:
+
==
+ zyx
M
c)
1
2
3
1
2
:
−
+
=
−
=
zyx
L y
13
1
2
2
:
−
=
+
=
− zyx
M ML //
d)
31
1
2
2
:
zyx
L =
−
+
=
−
y
3
2
12
1
:
+
=
−
=
+ zyx
M ML //
9.- Hallar la ecuación del plano que pasa por P y que contiene a la recta L.
a) P(3,-1,2),
23
1
2
2
:
−
=
+
=
− zyx
L
b) P(1,-2,3), tztytxL 22,22,1: −=+=+−=
10.- Hallar las ecuaciones en forma paramétrica de la recta de intersección de los
planos dados.
a) 3x+2y-z+5=0 , 2x+y+2z-3=0
b) x+2y-z+4=0 , 2x+4y+3z-7=0
11.- Hallar el punto de intersección de la recta y plano dados.
a) 3x-y+2z-5=0,
2
1
3
1
2
1
:
−
−
=
+
=
− zyx
L
b) 2x+3y-4z+15=0,
3
4
2
1
2
3
:
+
=
−
−
=
+ zyx
L
c) 4x+2y+5z=85,
3
6
8
14
6
1
:
−
=
−
−
=
− zyx
L
12.- Hallar el ángulo entre los planos.
a) 2x-y+2z-3=0 , 3x+2y-6z-11=0
b) 2x-y+3z-5=0 , 3x-2y+2z-7=0
c) 3x+y-z+3=0 , x-y+4z-9=0
13.- Hallar la distancia del punto Q al plano P.
a) Q(-1,2,1), P=(4,0,-1)+s(0,1,0)+t(1,3,-1).
b) Q(4,1,3), P: x+y+z=6.
14.- Hallar los puntos de intersección de la recta L con los planos coordenados XY, YZ
y XZ.
a) 4,
5
10
3
9
: =
−
+
=
−
z
yx
L

b)
3
3
6
12
1
4
:
−
+
=
−
=
− zyx
L
15.- Hallar la ecuación del plano paralelo que diste 6 unidades del plano x-2y-2z-12=0.
16.- Hallar la ecuación del plano paralelo que diste 21 unidades del plano 2x+3y+6z-
12=0.
17.- Hallar la distancia del punto P(3,-2,1) al plano formado por los tres puntos no
colineales A(1,2,3), B(3,2,1) y C(-1,-2,2).
DIF ’s # 13
TITULO: LA ESFERA
FECHA DE ENTREGA:

1.- Hallar la ecuación general de la esfera que tiene su centro C y radio r.
a) C(0,2,5), r = 2 b) C(4,-1,1), r = 5.
2.- Hallar la ecuación de la esfera con centro en el punto (2,4,4) y que pasa por el
origen de coordenadas.
3.- Hallar la ecuación general de la esfera que tiene su centro en C(-2,1,1) y es
tangente al plano de coordenadas XY.
4.- Hallar la ecuación de la esfera cuyo diámetro está entre A y B
a) A(1,2,5) y B(3,6,1). b) A(2,0,0) y B(0,6,0).
5.- Hallar el centro y el radio de la esfera cuya ecuación es:
a) 04864222
=+−−−++ zyxzyx
b) 018246222
=+−+−++ zyxzyx
c) 015428222
=−+−−++ zyxzyx
d) 01862222
=+++−++ zyxzyx
d) 0191029222
=++−+++ zyxzyx
d) 01186999 222
=++−++ yxzyx
d) 0338324444 222
=++−−++ zyxzyx
6.- Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos:
a) A(9,0,1), B(3,12,1), C(12,3,13) y D(0,0,4).
b) A(6,5,6), B(5,1,7), C(2,4,3) y D(2,5,4).
7.- Hallar la ecuación general de la esfera de Centro C y que es tangente al plano P.
a) C(3,-5,4), P: 2x-3y+z-8=0.
b) C(-1,2,0), P: x+2y+z+2=0.
DIF ’s # 14
UNIDAD O TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES
TITULO: Ecuaciones diferenciales de primer orden
FECHA DE ENTREGA:

La siguiente ecuación diferencial de primer orden describe el crecimiento de la
población en Bolivia: 03,0
2,0
=−
−
dtedp
t
Donde p = población y t = tiempo
Si la población actual es de 8,5 millones de habitantes, determinar la población dentro
los diez años.

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