LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE LA UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

F A C U L T A D D E I N G E N I E R I A
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A
1
UNIDAD ACADEMICA SANTA CRUZ
Facultad de Ingeniería.
Ingeniería de Sistemas
PRIMER SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
CALCULO I
Elaborado por: Ing. Gualberto López Mendoza
Ing. Christian Ugarte Arenales
Ing. Erlan Alejo Lamas
Gestión Académica II/2006

2
UNIDAD ACADEMICA SANTA CRUZ
VISION DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollarla EducaciónSuperiorUniversitaria concalidady competitividad al servicio de
la sociedad.
Estimado (a) alumno (a):
La Universidadde Aquino Bolivia te brinda a través del Syllabus,la oportunidad de contar
con una compilación de materiales que te serán de mucha utilidad en el desarrollo de la
asignatura. Consérvalo y aplícalo según las instrucciones del docente.

3
SYLLABUS
Asignatura: Calculo I
Código: MAT – 102 A
Requisito: NINGUNO
Carga Horaria: 100 horas Teórico
Prácticas
Créditos: 5
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA
ASIGNATURA.
 Aplicar las definiciones y propiedades de
límite, derivadas e integrales en la
solución de problemas de cálculo.
 Aplicar métodos y técnicas de derivación
e integración en la solución de funciones
reales de variable real.
II. PROGRAMA ANALITICO DE LA
ASIGNATURA.
UNIDAD I: FUNCIONES Y LIMITES.
TEMA1. Funciones.
1.1. Par ordenado.
1.2. Producto cartesiano.
1.3. Representación gráfica de relaciones.
1.4. Dominio y rango de una relación.
1.5. Definición de función.
1.6. Gráfica de una función.
1.7. Cálculo del dominio y rango de una
función.
1.8. Tipos de funciones. Invectivas,
sobreyectivas y biyectivas.
1.9. Clasificación de funciones.
1.9.1. Funciones polinómicas.
1.9.2. Funciones algebraicas.
1.9.3. Funciones exponenciales y
logarítmicas.
1.9.4. Funciones trigonométricas y
trigonométricas inversas.
1.9.5. Funciones valor absoluto.
1.9.6. Funciones definidas por
secciones.
1.10. Funciones inversas.
1.11. Operaciones con funciones:
1.11.1. suma, resta y punto de
intersección entre dos funciones.
1.12. Composición de funciones.
TEMA 2. Límites.
2.1. Definición de límites.
2.2. Indeterminaciones.
2.3. Teoremas de límites.
2.4. Límites especiales.
2.5. Cálculo de límites. Algebraicos.
2.6. Exponenciales.
2.7. Trigonométricos.
2.8. Análisis de continuidad.
2.9. Aplicaciones de los límites.
UNIDAD II: DERIVADAS.
TEMA3. Derivadas.
3.1. Definición de derivada.
3.2. Interpretación y definición de la
derivada desde el punto de vista
geométrico.
3.3. Tabla de derivadas.
3.4. Derivada de función de función (regla de
la cadena).
3.5. Derivada de funciones inversas.
3.6. Derivada de funciones implícitas.
3.7. Derivadas de orden superior.
3.8. Regla de l’hospital
3.9. Máximos y mínimos
3.10. Análisis de una función.
3.11. Diferenciales
UNIDAD III: INTEGRALES.
TEMA4. Integrales indefinidas
4.1. Definición de integral indefinida o
antiderivada.
4.2. Propiedades.
4.3. Tabla de integrales.
4.4. Métodos de integración.
4.1.1. Método de sustitución.
4.1.2. Método de integración por
partes.
4.1.3. Método de integración de
trinomio.

4
4.1.4. Método de fracciones parciales.
4.1.5. Método de sustitución
trigonométrica.
4.5 Definición de integral definida.
4.6 Propiedades.
4.7 Regla de Barrow o teorema fundamental
del cálculo integral.
4.8 Aplicaciones de las integrales definidas.
4.9 Cálculo de áreas.
III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA
LAS BRIGADAS UDABOL
Las Brigadas están destinadas a incidir de
manera significativa en la formación
profesional integral de nuestros estudiantes y
revelan las enormes potencialidades que
presenta esta modalidad de la educación
superior no solamente para que conozcan a
fondo la realidad del país y se formen de
manera integral, sino, además, para que
incorporen a su preparación académica los
problemas de la vida real a los que resulta
imperativo encontrar soluciones desde el
campo profesional en el que cada uno se
desempeñará.
El trabajo de las Brigadas permite que
nuestros estudiantes se conviertan a mediano
plazo en verdaderos investigadores, capaces
de elaborar y acometer proyectos de
desarrollo comunitario a la vez que se
acostumbren a trabajar en equipos
interdisciplinarios o multidisciplinarios como
corresponde al desarrollo alcanzado por la
ciencia y la tecnología en los tiempos
actuales.
La ejecución de diferentes programas de
interacción social y la elaboración e
implementación de proyectos de desarrollo
comunitario derivados de dichos programas
confiere a los estudiantes, quienes son, sin
dudas, los más beneficiados con esta
iniciativa, la posibilidad de:
- Desarrollar sus prácticas pre-
profesionales en condiciones reales y
tutorados por sus docentes con procesos
académicos de enseñanza y aprendizaje
de verdadera “aula abierta”-
- Trabajar en equipos, habituándose a ser
parte integral de un todo que funciona
como unidad, desarrollando un lenguaje
común, criterios y opiniones comunes y
planteándose metas y objetivos comunes
para dar soluciones en común a los
problemas.
- Realizar investigaciones multidisciplinarias
en un momento histórico en que la ciencia
atraviesa una etapa de diferenciación y en
que los avances tecnológicos conllevan la
aparición de nuevas y más delimitadas
especialidades.
- Desarrollar una mentalidad, crítica y
solidaria, con plena conciencia de nuestra
realidad nacional.

5
ACTIVIDADES DE INCURSIÓN MASIVA EN
LA COMUNIDAD.
A lo largo del semestre se realizarán dos
incursiones masivas en la comunidad,
comprendida la primera entre el 2 y el 8 de
octubre y la segunda entre el 13 y el 19 de
noviembre. Con la finalidad de realizar
trabajos ya sean de recojo de información,
extensión o relacionada con los proyectos a
desarrollar en la asignatura o la carrera
IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA
 PROCESUAL O FORMATIVA
Durante el semestre se realizarán exámenes
prácticos, talleres y otras actividades de aula;
además de los trabajos de brigadas
realizados con la universidad .Cada uno se
tomará como evaluación procesual
calificándola entre 0 y 50 puntos.
 PROCESO DE APRENDIZAJE O
SUMATIVA
Se realizan 3 evaluaciones: 2 parciales con
contenido teórico – práctico y un examen final
que se calificará sobre un 50% cada una de
las evaluaciones.
V. BIBLIOGRAFÍA
BASICA.
 AYRES, FRANK Y ELLIOT MENDELSON.
Schaum. Cálculo Diferencial e Integral.
Tercera edición mejorada. Traducción de
Lorenzo Abellanas. McGraw Hill. México.
1997. (515.33 Ay74)
 PEDRO A GUTIERREZ La practica del
Calculo Diferencial e Integral S.C.
Editorial la Hoguera 1990.( 515.33 G97
v.1 - 515.33 G97 v.2)
 LARSON, ROLAND E. Y OTROS. Cálculo
y Geometría analítica. Sexta edición.
McGraw-Hill Interamericana Editores,
S.A. De C.V. México, D.F, 1999.( 515.15
L32)
 VICTOR CHUNGARA Apuntes de Calculo La
Paz Editorial Somaico 2004.( 515.35 C47 t.1)
 DEMIDOVICH, 5000 problemas de análisis
matemático, Moscú, Editorial MIR, 1980.( 515
D39)
 LEHMANN CHARLE, Geometría analítica,
México, Editorial Limusa, 1990.( 516.3 L52)
COMPLEMENTARIA.
 LARSON y hostetler edwards, Calculo con
Geometría Analítica, Tomo I. México, Editorial
Mc Graw Hill, 1997.( 515.15 L32)
 EDWARD, Cálculo y Geometría Analítica, Edit
prentice hall. México. 1994.
TAREAS
PROPUESTAS
TEMA(S) CON LOS
QUE
SE RELACIONA
LUGAR D ACCIÓN
FECHA
PREVISTA
Seminario sobre la
Importancia de las
Matemáticas en la
formación del ser
humano.
Todo el contenido
analítico de la
materia
Colegios y
establecimientos
educativos
Antes del primer
parcial
Diagnostico de
conocimiento de
matemáticas a
estudiantes de
secundaria
Todo el contenido
analítico de la
materia
Colegios y
establecimientos
educativos
Antes del segundo
parcial
Sugerencias de trabajos
prácticos a estudiantes
Todo el contenido
analítico de la
materia
Colegios y
establecimientos
educativos
Antes del segundo
parcial

6
 ZILL Dennis G., Cálculo con geometría
analítica, México, Editorial
Iberoamericana, 1997.
VI. CONTROL DE EVALUACIONES
1° evaluación parcial
Fecha
Nota
2° evaluación parcial
Fecha
Nota
Examen final
Fecha
Nota
APUNTES

7
VII. PLAN CALENDARIO.
SEMANA ACTIVIDADES OBSERVAC.
1 TEMA I
2 TEMA I
3 TEMA I
4 TEMA I
5 TEMA I
6 TEMA II EVAL PARC. I
7 TEMA II Presentación de notas
8 TEMA II
9 TEMA II
10 TEMA III
11 TEMA III
12 TEMA III
13 TEMA III EVAL PARC. II
14 TEMA III
15 TEMA IV Presentación de notas
16 TEMA IV
17 TEMA IV
18 TEMA IV
19 EVALUACION FINAL
20 SEGUNDA INSTANCIA Presentación de notas e Informe final

8
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: FUNCIONES
TITULO:Análisis de funciones
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primera etapa.
PAR ORDENADO.- Un par ordenado es una
pareja de elementos que guardan un orden
determinado:
Si:     y
b
;
x
a
y
,
x
b
,
a 



en donde;
componente
imer
X Pr

componente
Segundo
Y 
PRODUCTO CARTESIANO.- Dados dos
conjuntos A y B, se llama producto
cartesiano B
A al conjunto formado por
todos los pares ordenado cuyo primer
componente pertenece al conjunto A y el
segundo componente pertenece al conjunto
B; es decir:
 
 
B
y
A
x
y
,
x
B
A 




Nota: Si A tiene “m” elementos y B tiene “n”
elementos, el producto cartesiano B
A
tendrá n
m elementos
Ejemplo:
 
6
,
3
,
4
,
2
A  ;  
7
,
5
,
1
B 
       
         
      











7
,
6
,
5
,
6
,
1
,
6
,
7
,
3
,
5
,
3
,
1
,
3
,
7
,
4
,
5
,
4
,
1
,
4
,
7
,
2
,
5
,
2
,
1
,
2
B
A
PLANO COORDENADO.- Es el producto
cartesiano RxR donde R es el conjunto de
1
R
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7

9
todos los números reales,
consecuentemente el plano coordenado es
el conjunto de todos los pares ordenados de
los números reales. Gráficamente un plano
de coordenado esta formado por dos rectas
perpendiculares entre si
RELACIONES.- Se llama relaciones a
cualquier subconjunto de un producto
cartesiano dado; es decir una relación es
cualquier conjunto de par ordenado.
FUNCIONES.- Es el conjunto de pares
ordenados  
y
,
x entre los cuales no existe
dos pares ordenados con el mismo primer
componente, gráficamente una función es
aquella grafica en donde una recta vertical
corta en un solo punto a la función.
CLASIFICACION DE FUNCIONES:
Las funciones se clasifican en funciones:
lineales, cuadráticas, cúbicas, polinómicas,
racionales, irracionales, exponenciales,
logarítmicas, trigonométricas, valor absoluto,
definidas por sección, etc.
Para profundizar en el tema puede remitirse
al libro de texto en el capitulo
correspondiente.
CUESTIONARIO WORK PAPERS 1
1. Determinar el dominio de las
siguientes funciones:
1) 1
2

 x
Y
2) x
e
x
x
Y 

 2
3
3
3)
5
2


x
Y
4)
2
1



x
x
Y
5) 







3
x
x
Ln
Y
6) 








3
5
x
x
Ln
Y
7)
5 2
1
3 

 x
x
Y
8) 3
2
1
1



x
x
Y
9) 3
1
2


 x
e
Y
10) 81
2

 x
Y
11)  
3
log 2
2 

 x
x
Y x
12)
)
1
ln(
3
4
2




x
x
x
Y
13)
4
3
12
2
2
4
3





x
x
x
x
Y
14)
3
2
2
2



x
x
Y
15)
4
2


x
x
Y
x
y
I
II
III IV

10
2. Dadas las funciones; hallar el
Dominio, Grafica y Dominio de
Imagen:
1) 5
2 
 x
Y
2) 3
4 2


 x
Y
3) 2
3

 x
Y
4) 2
)
2
( 3



 x
Y
5) 2
3
5 2
3


 x
x
Y
6) 2
2
4
6 2
3
4




 x
x
x
x
Y
7)
3
3


x
Y
8)
2
6



x
x
Y
9)
1
2
2


x
Y
10)
4
3
2
2



x
x
Y
11) 4
1 

 x
Y
12)
3
2
2
2



x
x
Y
13) 1

 x
e
Y
14) 1

 x
e
Y
15) x
x
Y 
16)  
3
log 2 
 x
Y
17) )
2
4
(
2 

 x
Sen
Y
18) )
3
2
(
3 

 x
Cos
Y
19) )
tan(
3 

 x
Y
20) x
Y 
21) 1

 x
Y
22) 2

 x
Y
23) 3


 x
x
Y
24) 5


 x
x
Y
25) x
e
Y 
3. Encontrar la función inversa y graficar
la función original y la inversa:
1) 4
)
( 2

 x
x
f
2) 2
2
)
( 2


x
x
f
3) )
2
(
3
)
( 
 x
sen
x
f
4)
4
9
)
(



x
x
x
f
5)  
1
)
( 
 x
Ln
x
f
4. Realizar las siguientes composición
de funciones: FoG; GoF; FoF-1
y
graficarlas:
1) )
3
ln(
)
( 
 x
x
f y
2
)
( 3

 
x
e
x
g
2) 2
)
( 2

 x
x
f y
1
2
)
( 
 x
x
g
5. Graficar las siguiente funciones
definida por secciones:
1)









1
1
2
2
)
(
2
x
x
x
x
f
2)











2
2
3
)
2
cos(
2
)
( 2
x
x
x
x
f

-2< X <2
2≤ X <4
4≤ X <8
-Π< X ≤0
0< X ≤ 2
2<X <8

11
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: LIMITES
TITULO:Limites
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primera etapa
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN: Se dice que una
función  
x
f converge en el punto x0 hacia el
valor L o que su límite en x0 es L si para
cualquier  > 0, existe un  > 0 tal que
cumpla la siguiente condición:
  
 




 L
x
f
x
x 0
0
Entonces el límite de una función esta definida
por:   L
x
f
x
x

 0
lim
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES: Sean
 
x
f y  
x
g dos funciones tales que:
  A
x
f
x
x

 0
lim y   B
x
g
x
x

 0
lim se cumple
las siguientes propiedades:
 Límite de una suma o resta de dos
funciones:
   
     
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x 0
0
0
lim
lim
lim






 Límite de un producto de funciones:
   
     
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x 0
0
0
lim
lim
lim






Límite de un cociente de funciones:
 
 
 
 
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
0
0
0 lim
lim
lim


 







1. Calcular los siguientes limites:
1)
1
9
2
3
2
3
2
1
lim 




x
x
x
2)
2
1
1
2
1
lim 


 x
x
x
3)
3
2
4
3
2
4
3
1
lim 



 x
x
x
x
x
4)












 x
x
x 5
1
5
3
lim
4
5)












 1
1
1
1
3
0
lim x
x
x
6)
q
q
x
p
p
x
x 




2
2
2
2
0
lim
7) 









 2
5
2
2
6
3
2
2
2
lim x
x
x
x

12
8) 















 x
x
x
x
x
x
x
x
x 3
9
9
3
3
5
3
9
4
2
3
4
2
3
4
1
lim
9)
 
  













 a
x
a
x
a
x
a
x
a
x 2
2
1
2
2
lim
10) 











 3
4
2
3
4
3
1
lim x
x
x
x
x
11)
 













3
3
2
1
lim b
x
b
x
b
x
b
x
12) 









3
1 1
3
1
1
lim x
x
x
13)
4
1
2
3
3
2
lim 



 x
x
x
x
14)
1
2
2
lim 


 x
x
x
15) 











 7
3
1
5
2
lim x
x
x
x
16) 












 1
5
2
3
2
8
2
3
3
lim x
x
x
x
x
17)












 1
5
3
3
4
2
lim x
x
x
x
18)












 1
2
4
3
lim x
x
x
x
x
19)













 x
x
x
x
x
x
4 3
2
1
lim
20)
















5 4
4 4
3 2
2
1
1
1
1
lim x
x
x
x
x
21) 





 x
x
x tan
lim
0
22)










 1
)
1
(
lim
1 x
x
sen
x
23)
 
  







 x
sen
x
Sen
x 

4
lim
1
24) 






 
 x
Senx
x
lim
25) 







 b
x
senb
Senx
b
x
lim
26) 








x
x
x
3
cos
2
1
lim
3


27) 




 

3
0
tan
lim x
Senx
x
x
28) 




 
 x
x
Sen
x
)
3
(
lim
0

29)







 


 x
Senx
Senx
x
1
1
lim
0
30) 




 


 x
x
a
sen
x
a
sen
x
)
(
)
(
lim
0
31)

















2
1
0
)
3
(
lim
x
x x
x
Sen
32)
x
x x









5
1
lim
33)
x
x x
x









 2
2
1
2
lim
34)
1
1
2
3
2
lim











x
x x
x
35)   )
(
3
2
cos
1
lim
x
Sec
x
x



36)  x
x
x
1
0
cos
lim


13
37) 






 
 x
e x
x
1
2
0
lim
38) 






 
 x
Sen
e x
x 4
1
3
0
lim
39)  
 
)
2
ln(
1
2
ln
lim 




x
x
x
40) 




 

 x
a
x
a
x
)
ln(
)
ln(
lim
0
2 Dada las siguientes funciones ¿hallar el
dominio de función, dominio de imagen,
continuidad, intersección con los ejes,
Asíntotas y grafico:
1) 2
2
1
)
(
x
x
x
f


2)
1
4
)
(


x
x
x
f
3)
1
3
)
(
2



x
x
x
x
f
4)
1
)
1
ln(
)
(



x
x
x
f
5)
4
1
)
( 2
2



x
x
x
f
WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS
TITULO:Derivadas
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Segunda Etapa
DEFINICION DE LA DERIVADA: Sea una
función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se
toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es
un número infinitamente pequeño), a medida
que se hace tender h a cero, la recta secante
que une los puntos (x0,f(x0 )) y (x0 + h,f(x0 +
h)) tiende a confundirse con la tangente a la
curva en el punto (x0,f(x0 )).
Si αh es el ángulo que forma la secante con el
eje de las abscisas y α el ángulo que
determina la tangente con ese mismo eje, en

14
el triángulo rectángulo de vértices (x0,f(x0 )),
(x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:
Al hacer tender h a cero, y puesto que la
secante tiende a confundirse con un
segmento de la tangente, tg αh tiende a tg α
es decir, a la pendiente de la tangente a la
curva en el punto (x0,f(x0 )). Esto se
expresa matemáticamente así:
Puesto que la derivada de la función en un
punto x0 no es otra cosa que la pendiente de
la tangente a la curva (gráfica de la función)
en (x0, f(x0 )).
TABLA DE DERIVADAS:
Considerando a : u=f(x), v=g(x) , w=h(x):
funciones de “x” y además : c, n , a:
constantes
1.)   1

x
Dx
2.)   0

c
Dx
3.)   ´
´
´ w
v
u
w
v
u
Dx 




4.)   ´
cv
cv
Dx 
5.)   ´
´ uv
v
u
uv
Dx 

6.)   ´
1
v
nv
v
D n
n
x


7.) 2
´
´
v
uv
v
u
v
u
Dx








8.) 2
´
v
cv
v
c
Dx








9.)  
v
v
v
Dx
´
ln 
10.)   e
v
v
v
D a
a
x log
´
log 
11.)   a
a
v
a
D v
v
x ln
´

12.)   v
v
x e
v
e
D ´

13.)   u
u
v
u
v
u
u
D v
v
v
x ln
.
´.
.
´. 1

 
14.)   Cosv
v
Senv
Dx ´

15.)   Senv
v
Cosv
Dx ´


16.)   v
Sec
v
Tanv
Dx
2
´

17.)   v
CoSec
v
CoTanv
Dx
2
´


18.)   Tanv
Secv
v
Secv
Dx .
´

19.)   CoTanv
CoSecv
v
CoSecv
Dx .
´


20.)   2
1
´
v
v
arcSenv
Dx


21.)   2
1
´
v
v
arcCosv
Dx



22.)   2
1
´
v
v
arcTanv
Dx


23.)   2
1
´
v
v
arcCoTanv
Dx



24.)  
1
´
2


v
v
v
arcSecv
Dx
25.)  
1
´
2



v
v
v
arcCoSecv
Dx
CUESTIONARIO WORK PAPERS 3.
1. Derivar las siguientes funciones, aplicando
las reglas de derivación:
1) f(x)=  
50
2
4
3 
 x
x

15
2) f(x)=   
12
8
3 4
3


 x
x
x
x
3) f(x)=  
4
12
ln 5

 x
x
4) f(x)=  
Senx
x
a
8
log
5) f(x)=   5
2
1
3
ln 4
2
3
8 


 x
x
x
e
6) f(x)=  
)
ln(
cot 2
senx
x
g 
7) f(x)= 









x
x
x
sen
5
8
3
2
3
8) f(x)= x
e
x 4
3
ln
)
1
ln( 

9) f(x)=
 







 

)
3
cos(
8
ln
.
4
4
3 2
x
x
e Senx
x
10) f(x)= 







a
x
arcoSen
a
x
a )
(
2
2
11) f(x)=   1
4
4
)
10
(
)
10
( 

 x
x
Sen
arcoSen
12) f(x)=  
)
ln
/
)
cos(ln
4
x
Sen
x
x 
13) f(x)= 









2
1
ln
)
(
cot
x
x
x
x
ang
ar
14) f(x)=
 











x
Senx
x
e x
x
x
cos
3
.
2
cos
3
15) f(x)=
5
2
2
1
1
ln












x
x
x
x
a
16) f(x)= 









2
2
1
1
ln
x
x
17) f(x)=  2
3
cos x
e
ec
ar x

18) f(x)= 









)
4
ln(
cos
2
cos 2
x
x
x
19) f(x)= x
xln
20) f(x)=
)
log(
)
ln(
)
3
(
8
5
2
x
x
x


2. Derivar implícitamente las siguientes
funciones:
1) 0
3
3
3


 xy
y
x
2) xy
y
xy
x
sen 5
7
8
)
( 9
4



3) 2
5
2
2



x
e y
x
4) 2
2
cos y
x
x
x
y 

5) y
x
x
y


 2
2
6) )
( y
x
sen
ex


7) )
ln( 2
y
x
y
x
sen 









8)  
2
2
ln
cot y
x
x
y
arco 







9)   x
e
y
x y


 4
3
3
ln
10) 3
2
b
a
x
y
y
x


11) 6
4
2 2
2
4
2
2
4


 y
x
y
x
y
x
12)












y
x
y
x
e y
x
ln
13) y
x
y
x 

3
2
14) 1
cos 
 x
y
xSeny
15)   3
3
5 x
y
x
sen
ye y
x
sen












3. Derivar las siguientes funciones, aplicando el
método logarítmico de derivación.
1) X
x
y 
2) 6
5 
 X
y
3) X
X
SEN
e
y 
 )
(
4)
  
 
16
1
4
4




x
x
e
x
y
x

16
5) )
ln( 2
y
x
y
x
sen 









6)
 
2
2
7 4
2
)
1
4
2
(
)
3
2
(
2
3





x
x
x
x
y
7) )
2
3
2
.( 3
)
(
)
(


 
x
x
e
y X
COS
X
SEN
8) )
3
(
2 2
)
( x
x
y
senx
e 

9) 4
2
3
2
3
5
4
2
)
1
ln(
x
x
x
x
x
x
y





10) 









x
x
x
Sen
x
y
)
3
(
)
(
2
3
3
4. Calcular las derivadas de tercer y cuarto
orden de las siguientes funciones:
1) x
x
x
y 8
4
5



2) )
1
( 2

 x
sen
y
3) 8

 y
x
e
e
4) x
y
x 5
3
2


5) x
x
x
y
ex
5
2
8 2
3
6





5. Calcular los siguientes limites aplicando la
regla de L’ Hopital.
6) 









 
 senx
x
x
e
e x
x
x
2
lim
0
7) 







 senx
x
x
x
g
x
)
(
tan
lim
0
8) 




 

3
0
lim x
senx
x
x
9) 











 x
x
x
x
x 3
25
8
4
7
3
2
3
lim
10) 






 



4
5
8
8
9
7
2
lim x
x
x
x
11) 








 x
ex
x ln
lim
12) 






 x
x
x
x ln
ln
1
lim
1
13) 







2
2
0
1
1
lim x
x
sen
x
14)  x
x
senx
lim
0

15)  x
x
x
e
x
1
0
lim 

6. Encontrar la ecuación de la recta tangente
de las siguientes funciones:
1)
x
x
f 2
)
(  ; en x0 = 1
2)
2
3
)
( x
x
f  ; en x0 = -5
3)
2
)
( x
e
x
f 
 ; en x0 =
2
1
4)
x
x
f
1
)
(  ; en x0 = 1
5) )
1
ln(
)
( 
 x
x
f ; en x0=0
7. Realizar el análisis completo a las siguientes
funciones:
1)
1
)
(
2


x
x
x
f
2) 2
3
)
3
(
)
(


x
x
x
f
3) 2
1
1
)
(
x
x
x
f



4)
4
)
( 2
3


x
x
x
f
5)
x
e
x
x
f 2
)
( 

17
WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: INTREGRALES
TITULO:Métodos De integración.
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Etapa final
INTEGRAL INDEFINIDA
FUNCIÓN PRIMITIVA: Una función F(x) se
dice que es primitiva de otra función f(x)
cuando F'(x) = f(x), por ejemplo F(x) = x2
es
primitiva de f(x) = 2x, otra primitiva de f(x) =
2x podría ser F(x) = x2
+ 5 , o en general ,
F(x) = x2
+ C , donde C es una constante .
Por lo tanto una función f(x) tiene infinitas
primitivas. Al conjunto de todas las funciones
primitivas se le llama integral indefinida y
se representa por f x dx
( )

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
INDEFINIDA:
1ª f x g x dx
( ) ( )

 = f x dx
( )
 + g x dx
( )

2ª k f x dx
• ( )
  k f x dx
• ( )

TABLA DE INTEGRACION:
Considerando a : u=f(x), v=g(x) , w=h(x):
funciones de “x” y además : c, n , a:
constantes.
1.  
 c
x
dx
2.   


 



 wdx
vdx
udx
dx
w
v
u
3.   

 c
ax
dx
a
adx
4.  



c
n
v
dv
v
n
n
1
1
1


n
5. c
v
v
dv


 ln
6. c
a
a
dv
a
v
v


 ln
7.  
 c
e
dv
e v
v
8.  

 c
Cosv
Senvdv
9.  
 c
Senv
Cosvdv
10. c
Secv
c
Cosv
Tanvdv 




 ln
ln
11.  
 c
Senv
CoTanvdv ln
12.  

 c
v
Secv
Secvdv tan
ln
13.  

 c
CoTanv
CoSecv
CoSecvdv ln
f x dx
( )
 = F(x) + C  F'(x) = f(x)

18
14.  
 c
Tanv
vdv
Sec2
15.  

 c
CoTanv
vdv
CoSec2
16.  

 c
Secv
Tanvdv
Secv
17.  

 c
CoSecv
CoTanvdv
CoSecv
18. c
a
v
arcTan
a
a
v
dv




1
2
2
19. c
a
v
a
v
a
a
v
dv





 ln
2
1
2
2
20. c
v
a
v
a
a
v
a
dv





 ln
2
1
2
2
21. c
a
v
arcSen
v
a
dv



 2
2
22. c
a
v
v
a
v
dv






2
2
2
2
ln
23. c
a
v
arcSen
a
v
a
v
dv
v
a 




 2
2
2
2
2
2
2
METODOS DE INTREGRACION: Si la
función de la integral es una función
compuesta, la solución de esta integral será
resulta por diversos métodos dé integración,
entre estos métodos tenemos: sustitución,
por partes, sustitución trigonométrica,
fracciones parciales, etc. Para profundizar en
cada uno de estos métodos de integración
remítase al libro de texto.
1. Resolver las Integrales mediante la tabla
de integrales
1)  dx
e
x
x x
 
 7
2 6
2) dx
x
x
x
 









 1
)
tan( 3
2
3) dx
e
x
x
x x
 









1
3
7
4)   dx
x
e
x
x
x
sen x
 











 5
2
5
3
5)   dx
e
x
x
x
x x
 











7
tan
3
3
1
2. Resolver las Integrales por el Método de
Sustitución
1)  
  dx
x
3
4
1
2)  
  dx
x
x 4
5
.
7
3)  
dx
x
x
3
3
3
2
4)  

dx
x
x
x
18
2
15
5
3
2
5)  


dx
x
x
x
4
6
3
2
6)  
dx
x
x
1
8
8
7
7) 

dx
x
x
2
3
8)  
dx
x
x
3
2
5
3
2
9)  )
3
(
ln
3
2
x
x
dx
10) dx
x
x
x
x
x
x
 







 2
5
4
2
3
8
6
40
)
7
(
ln
7
3. Resolver las integrales por el método de
integración por partes.

19
1)  dx
x)
2
ln(
3
2) dx
xex
3
3)  dx
x
x )
ln(
2
4) dx
e
x x

2
2
.
5)  dx
x
x )
cos(
6)  dx
x
sen
x )
(
.
7) dx
x x
 5
.
2
8)
 
 
dx
x
x
2
4
)
2
ln(
9)  dx
x
arcsen )
3
(
5
10)  
 

 dx
x
x
xsen
xe x
)
1
ln(
)
(
5
sustitución trigonométrica
1)   2
2
9
2 x
x
dx
2) 

dx
x
x
4
2
3
4
3) 

dx
x
x
3
1
2
4)  
dx
x
x
x
2
2
2
5
5) 

2
2
5
x
dx
x
6)   2
2
)
1
(
3
x
dx
7)   )
1
( 2
x
xdx
8)   dx
x
x 2
2
9
9)  
dx
x
x
10
2
2
10)  
dx
x
x
x
2
2
2
Fracciones Parciales
1)  


)
4
5
(
)
9
3
(
2
x
x
dx
x
2)  
 6
7
3
3
x
x
dx
x
3)  
 )
2
3
( 2
2
x
x
dx
x
4)  




)
4
4
(
)
1
3
(
2
3
2
x
x
x
dx
x
x
5)  



)
3
2
(
)
3
3
(
2
4
2
x
x
dx
x
x
6)   )
1
( 4
4
x
dx
x
7)
 
   
 



1
1
3
3
2
3
2
x
x
dx
x
x
8)  


)
19
18
(
)
10
(
2
4
2
x
x
dx
x
9)
  
 
 2
2
1
4 x
x
x
dx
10)  


x
x
x
dx
x
6
5
)
9
(
2
3

20
WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: INTREGRALES
TITULO:Integrales definidas.
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Etapa final
El cálculo integral surgió de la necesidad de
resolver el problema de la obtención de
áreas de figuras planas. Para ello se
aproximaba exhaustivamente la figura cuya
área se deseaba calcular mediante
polígonos de áreas conocidas y apareció el
concepto de integral. Con esta idea apareció
el concepto de Integral Definida. Se llama
integral definida de la función f(x) 0 entre a y
b (a estos dos valores se les denomina
límites de integración), al área de la porción
de plano limitada por la gráfica de la función,
el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b
El siguiente teorema nos facilitará muchas
veces el cálculo de integrales.
Teorema: Sean f(x) y g(x), dos funciones
continuas sobre [a,b], entonces se verifica:
a)   

 


b
a
b
a
b
a
x
g
x
f
dx
x
g
x
f )
(
)
(
)
(
)
(
b) 


 
 k
dx
x
f
k
dx
x
kf
b
a
b
a
)
(
)
(
c) Si f 0
 en [ab]  

b
a
dx
x
f 0
)
( f x dx
d) Si f (x) g (x) 
x [a b]

 

b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f )
(
)
(
e)  
b
a
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
b
c
c
a
b
a
,
)
(
)
(
)
( 


 


f) 
 

a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(
g)  
a
a
dx
x
f 0
)
(
1. Resuelva las siguientes integrales
definidas.
1.
2.
3.
4.
5.

21
2. Para cada enunciado calcule el área
encerrada entre las curvas dadas;
grafique las funciones que intervienen en
el cálculo y encuentre analíticamente los
puntos de intersección entre las gráficas.
1.
2.
3.
4.
3. Calcule las siguientes áreas
1: Calcula el área bajo la curva f(x)=x2
,
limitada por x= 0 e x= 2.
2: Calcula el área bajo la curva f(x)= x3
-
2x+6, limitada por x= -1 e x= 2.
3: Calcula el área de la región marcada,
limitada por la función f(x)= -x2
+2x, entre
x = -1 y x = 4.
4: Calcula el área de la región limitada
por la función f(x)= -x2
+2x+4 y g(x)= x2
,
entre a = -1 y b = 1.5.
DIF`S # 1
UNIDAD O TEMA: 1
TITULO:FUNCIONES
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primera Etapa

22
Utilizando los apuntes de la materia de Física (Cinemática, caída libre) y Química (Leyes de los
gases), analizar todas las ecuaciones y graficarlas analíticamente analizando todas las variables
y constantes que tienen dichas ecuaciones, indicar a que tipo de función corresponden cada tipo
de grafica.
TAREA DEL DIF´s
Realizar una discusión grupal de la temática. Finalizando con una valoración a manera de
conclusión por escrito y entregar al docente.
CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA

23
DIF`S # 2
UNIDAD O TEMA: 2
TITULO:LIMITES
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primera Etapa
Se afirma que los límites nos proporcionan un lenguaje para describir el comportamiento de las
salidas de una función cuando las entradas tienden a un valor particular, además, el concepto de
limite es una de las ideas que distingue al calculo del algebra.
TAREA DEL DIF´s
Demuestre como se ponen de manifiesto estas afirmaciones en su especialidad mediante
ejemplos.

24
DIF`S # 3
UNIDAD O TEMA: 3
TITULO:DERIVADAS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Segunda Etapa
Según la definición de la derivada, esta es igual a la variación de la variable dependiente respecto a
la variable independiente
x
y
dx
dy
y




'
, según este análisis busque al menos dos ejemplos prácticos
de su especialidad donde se pueda aplicar dicha afirmación.

25
DIF`S # 4
UNIDAD O TEMA: 4
TITULO:INTEGRALES
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Etapa Final
Las integrales son herramientas matemáticas, de mucha utilidad para el estudio de algunos
fenómenos de la especialidad, demuestre esta afirmación mediante dos ejemplos prácticos..
CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo)

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