MATERIAL DIDACTICO DE COCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS PARA BACHILLERATO

1. Profesor: Ing. Mario Alberto Castillo Mellado

2. INDICE
INTRODUCCIÓN
RELACION DE PERTENENCIA
DETERMINACION DE CONJUNTOS
DIAGRAMAS DE VENN
CONJUNTOS ESPECIALES
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
UNION DE CONJUNTOS
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
DIFERENCIA SIMÉTRICA
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
PROBLEMAS

3. Un conjunto se puede entender como una
colección o agrupación bien definida de objetos de
cualquier clase. Los objetos que forman un
conjunto son llamados miembros o elementos del
conjunto.
Ejemplo:
En la figura adjunta tienes un
Conjunto de Libros

4. NOTACIÓN
Todo conjunto se escribe entre llaves { }
y se le denota mediante letras
mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se
separan mediante un punto o una coma.
Ejemplo:
El conjunto de los números naturales;
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ; se puede escribir
así:
L={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

5. Ejemplo:
A= {a,c,d,e} su cardinal n(A)=
B= {x,x,x,y,y,z} su cardinal n(B)=
En teoría de conjuntos no se acostumbra
repetir los elementos por ejemplo:
El conjunto {x, x, x, y, y, z } simplemente
será { x, y, z }.
Al número de elementos que tiene un conjunto
Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se
le representa por n(Q).
5
3
Ing:MACM

6. Para indicar que un elemento pertenece
a un conjunto se usa el símbolo: 
Si un elemento no pertenece a un
conjunto se usa el símbolo: 
Ejemplo: Sea M = {2,4,6,8,10}
2 M
 ...se lee 2 pertenece al conjunto M
5 M
 ...se lee 5 no pertenece al conjunto M
Ing:MACM

7. I) POR EXTENSIÓN
Hay dos formas de determinar un conjunto,
por Extensión y por Comprensión
Es aquella forma mediante la cual se indica
cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A) El conjunto de los números pares mayores
que 5 y menores que 20.
A = { 6,8,10,12,14,16,18 }
Ing:MACM

8. B) El conjunto de números negativos
impares mayores que -10.
B = {-9,-7,-5,-3,-1 }
II) POR COMPRENSIÓN
Es aquella forma mediante la cual se da una
propiedad que caracteriza a todos los
elementos del conjunto.
Ejemplo:
se puede entender que el conjunto P esta formado
por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
P = { los números naturales menores a 11}
Ing:MACM

9. Otra forma de escribir es: P = { x / x = número
nartural } se lee “ P es el conjunto formado
por los elementos x tal que x es un número
natural menor a 11 “
Ejemplo:
Expresar por extensión y por comprensión el
conjunto de días de la semana.
Por Extensión : D = { lunes, martes, miércoles,
jueves, viernes, sábado, domingo }
Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }
Ing:MACM

10. Los diagramas de Venn que se deben al
filósofo inglés John Venn (1834-1883)
sirven para representar conjuntos de
manera gráfica mediante dibujos ó
diagramas que pueden ser círculos,
rectángulos, triángulos o cualquier curva
cerrada.
A
M
T
7
2
3
6
9
a
e
i
o
u
(1,3) (7,6)
(2,4) (5,8)
8
4
1 5
Ing:MACM

11. A = o A = { } se lee: “A es el conjunto
vacío” o “A es el conjunto nulo “
CONJUNTO VACÍO
Es un conjunto que no tiene elementos,
también se le llama conjunto nulo.
Generalmente se le representa por los
símbolos: o { }


Ejemplos:
M = { números mayores que 9 y menores
que 5 } P = { x / }
1
0
X

Ing:MACM

12. CONJUNTO UNITARIO
Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 
 2
x / x 4 x 0
  
CONJUNTO FINITO
Es el conjunto con limitado número de
elementos.
Ejemplos:
E = { x / x es un número impar positivo menor
que 10 }
N = { x / x2 = 4 }
;

13. INCLUSIÓN
Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí
y sólo sí, todo elemento de A es también elemento
de B
NOTACIÓN : 
A B
Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de
B, A esta contenido en B , A es parte de B.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
B
A
Ing:MACM

14. PROPIEDADES:
I ) Todo conjunto está incluido en si mismo. 
A A
II ) El conjunto vacío se considera incluido en
cualquier conjunto.   A
III ) A está incluido en B ( ) equivale a decir
que B incluye a A ( )

A B

B A
IV ) Si A no está incluido en B o A no es
subconjunto de B significa que por lo menos un
elemento de A no pertenece a B. ( )

A B
V ) Simbólicamente:      
A B x A x B
Ing:MACM

15. Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q)
Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}
Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}
2; 3;
Números Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}
2; 3
1
2

1
5
1
2
4
3
Números Complejos ( C )
C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}
2; 3
1
2
 Ing:MACM

16. N
Z
Q
I
R
C
Ing:MACM

17. EJEMPLOS:
Expresar por extensión los siguientes conjuntos:
A )  
2
P x N/ x 9 0
   
B )
C )
D ) 

T x Q /(3x 4)(x 2) 0
    
E ) 

B x I/(3x 4)(x 2) 0
    
 
2
Q x Z / x 9 0
   
 
2
F x R / x 9 0
   
P={3}
Q={-3;3}
F = { }
 
4
T
3

 
B 2

RESPUESTAS
Ing:MACM

18. 7
6
5
5
6
A B
El conjunto “A unión B” que se representa asi
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.

A B


    
A B x / x A x B
Ejemplo:

 

 
A 1
;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8
7
3
1
4
2
Ing:MACM


 
A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9

19. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA
UNIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son
conjuntos
disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
B
AUB AUB
Ing:MACM

20. PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE
CONJUNTOS
1. A  A = A
2. A  B = B  A
3. A  Φ = A
4. A  U = U
5. (AB)C =A(BC)
6. Si AB=Φ  A=Φ  B=Φ
Ing:MACM

21. 7
6
5
5
6
A B
El conjunto “A intersección B” que se representa
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A y pertenecen a B.

A B


A B x / x A x B
    
Ejemplo:

 

 
A 1
;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8
7
3
1
4
2


A B 5;6;7
 
Ing:MACM

22. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son
conjuntos
disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
AB AB=B
B
AB=Φ
Ing:MACM

23. PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN
DE CONJUNTOS
1. A  A = A
2. A  B = B 
A
3. A  Φ = Φ
4. A  U = A
5. (AB)C =A(BC)
6. A(BC) =(AB)(AC)
A(BC) =(AB)(AC)
Ing:MACM

24. 7
6
5
5
6
A B
El conjunto “A menos B” que se representa
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A y no pertenecen a B.
A B



A B x / x A x B
    
Ejemplo:

 

 
A 1
;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8
7
3
1
4
2


A B 1;2;3;4
 
Ing:MACM

25. 7
6
5
5
6
A B
El conjunto “B menos A” que se representa
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a B y no pertenecen a A.
B A



B A x / x B x A
    
Ejemplo:

 

 
A 1
;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
8
7
3
1
4
2


B A 8;9
 
Ing:MACM

26. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B son
conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
A - B A - B
B
A - B=A
Ing:MACM

27. Dado un conjunto universal U y un conjunto
A,se llama complemento de A al conjunto
formado por todos los elementos del
universo que no pertenecen al conjunto A.
Notación: A’ o AC
Ejemplo:
U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} A ={1,3, 5, 7, 9}
y
Simbólicamente: 

A' x / x U x A
   
A’ = U - A
Ing:MACM

28. 1
2 3
4
5
6
7
8
9
U
A
A
A’={2,4,6,8}
PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO
1. (A’)’=A
2. AA’=U
3. AA’=Φ
4. U’=Φ
5. Φ’=U
Ing:MACM

29. PROBLEMA 1
PROBLEMA 2
PROBLEMA 3
PROBLEMA 4
PROBLEMA 5
FIN
Ing:MACM

30. Dados los conjuntos:
A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34}
B = { 2 ;4;6;...;26}
C = { 3; 7;11;15;...;31}
a) Expresar B y C por comprensión
b) Calcular: n(B) + n(A)
c) Hallar: A  B , C – A
SOLUCIÓN
Ing:MACM

31. Profesor: Ing. Mario Alberto Castillo Mellado