Dibujo técnico e instrumentos

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DIBUJO TECNICO
ESCUELA MILITAR DE TOPOGRAFÍA DEL EJERCITO DIBUJO TECNICO ARQ. ANA MARÍA STEVERLYNCK CAREAGA

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1. DIBUJO TECNICO

2. INTRODUCCION AL DIBUJO TECNICO
Desde sus orígenes, el hombre ha tratado de comunicarse mediante grafismos o dibujos. Más que una técnica
gráfica basada en el uso de la línea, el dibujo es la expresión de una imagen que se hace en forma manual, es decir,
se usa la mano para realizarlo. Las primeras representaciones que conocemos son las pinturas rupestres, en ellas
no solo se intentaban representar la realidad que le rodeaba, animales, astros, al propio ser humano, etc., sino
también sensaciones, como la alegría de las danzas, o la tensión de las cacerías.
A lo largo de la historia, esta ansia de comunicarse mediante dibujos, ha evolucionado, dando lugar por un lado al
dibujo artístico y por otro al dibujo técnico. Mientras el primero intenta comunicar ideas y sensaciones, basándose en
la sugerencia y estimulando la imaginación del espectador, el dibujo técnico, tiene como fin, la representación de los
objetos lo más exactamente posible, en forma y dimensiones.
Los materiales que se pueden usar son muchos, como también la superficie donde se puede hacer. Los más usados
son el papel como soporte y el lápiz como el instrumento, pero actualmente se usa la computadora utilizando un
lapicero óptico (También conocido como Tabla o Tableta digitalizadora.) o un ratón de computadora, a consecuencia
de la utilización de la computadora en el dibujo técnico, con ellos se obtienen recreaciones virtuales en 3D, que si
bien representan los objetos en verdadera magnitud y forma, también conllevan una fuerte carga de sugerencia para
el espectador.

El dibujo técnico, como lenguaje, tiene las características siguientes:

Gráfico: por ser la forma más directa y simple de comunicación entre los técnicos con las áreas de fabricación,
construcción, montaje, etc.

Universal: como un lenguaje cualquiera existen diferentes reglas: AFNOR, UNE, DIN, ISO, (que tratan los sistemas
de representación, los tipos de vistas, los símbolos, etc.). En la actualidad todos prácticamente coinciden.

Preciso: de forma que quede perfectamente representado de cara a la ejecución material del proyecto.


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3. RAMAS DEL DIBUJO TÉCNICO
3.1. Dibujo arquitectónico: El dibujo arquitectónico abarca una gama de representaciones gráficas con las cuales
realizamos los planos para la construcción de edificios, casas, quintas, autopistas, iglesias, fábricas y puentes entre
otros. Se dibuja el proyecto con instrumentos precisos, con sus respectivos detalles, ajuste y correcciones, donde
aparecen los planos de planta, fachadas, secciones, perspectivas, fundaciones, columnas, detalles y otros.

3.2. Dibujo mecánico: El dibujo mecánico se emplea en la representación de piezas o partes de máquinas,
maquinarias, vehículos como grúas y motos, aviones, helicópteros y máquinas industriales. Los planos que
representan un mecanismo simple o una máquina formada por un conjunto de piezas, son llamados planos de
conjunto; y los que representa un sólo elemento, plano de pieza. Los que representan un conjunto de piezas con las
indicaciones gráficas para su colocación, y armar un todo, son llamados planos de montaje.

3.3. Dibujo eléctrico: Este tipo de dibujo se refiere a la representación gráfica de instalaciones eléctricas en una
industria, oficina o vivienda o en cualquier estructura arquitectónica que requiera de electricidad. Mediante la
simbología correspondiente se representan acometidas, caja de contador, tablero principal, línea de circuitos,
interruptores, toma corrientes, salidas de lámparas entre otros.

3.4. Dibujo electrónico: Se representa los circuitos que dan funcionamiento preciso a diversos aparatos que en la
actualidad constituyen un adelanto tecnológico como las computadoras, amplificadores, transmisores, relojes,
televisores, radios y otros.

3.5. Dibujo geológico: El dibujo geológico se emplea en geografía y en geología, en él se representan las diversas
capas de la tierra empleando una simbología y da a conocer los minerales contenidos en cada capa. Se usa mucho
en minería y en exploraciones de yacimientos petrolíferos.

3.6. Dibujo topográfico: El dibujo topográfico nos representa gráficamente las características de una determinada
extensión de terreno, mediante signos convencionalmente establecidos. Nos muestra los accidentes naturales y
artificiales, cotas o medidas, curvas horizontales o curvas de nivel.


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3.7. Dibujo urbanístico: Este tipo de dibujo se emplea en la organización de ciudades: en la ubicación de centros
urbanos, zonas industriales, bulevares, calles, avenidas, jardines, autopistas, zonas recreativas entre otros. Se
dibujan anteproyectos, proyectos, planos de conjunto, planos de pormenor.

3.8. Dibujo técnico de instalaciones sanitarias: Tiene por finalidad representar el posicionamiento de cada una de
las piezas sanitarias: ducha, lavamanos, retrete, etc. Incluyendo la ubicación de las tuberías internas o externas.

4. INSTRUMENTOS DE DIBUJO INSTRUMENTOS EMPLEADOS EN EL DIBUJO TÉCNICO

La realización de un dibujo técnico exige cálculo, medición, líneas bien trazadas, precisión en fin, una serie de
condiciones que hacen necesario el uso de buenos instrumentos, buenos materiales, y sumado a esto, el
conocimiento teórico que unido a la práctica hacen sobresalir a un dibujante.

4.1. Tablero de dibujo.
Es un instrumento de dibujo sobre el que se fija el papel para realizar el dibujo. Por lo general se construye de
madera o plástico liso y de bordes planos y rectos lo cual permite el desplazamiento de la regla T. El tamaño
depende del formato que se vaya a utilizar. Para el formato escolar es suficiente un tamaño de 40 centímetros de
altura por 60 centímetros de anchura. En los talleres de dibujo técnico, en lugar de tableros, se emplean mesas
construidas solamente para esta actividad, con las dimensiones e inclinación necesaria.
4.2. La regla T.
La regla T recibe ese nombre por su semejanza con la letra T. Posee dos brazos perpendiculares entre sí. El brazo
transversal es más corto. Se fabrican de madera o plástico. Se emplea para trazar líneas paralelas horizontales en
forma rápida y precisa. También sirve como punto de apoyo a las escuadras y para alinear el formato y proceder a
su fijación.


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4.3. Las escuadras.
Las escuadras se emplean para medir y trazar líneas horizontales, verticales, inclinadas, y combinada con la regla T
se trazan líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Pueden llevar graduados centímetros y milímetros. Las
escuadras que se usan en dibujo técnico son dos:
La de 45º que tiene forma de triángulo isósceles con ángulo de 90º y los otros dos de 45º.
La escuadra de 60º llamada también cartabón que tiene forma de triángulo escaleno, cuyos ángulos miden 90º, 30º
y 60º.

4.4. El transportador.
Es un instrumento utilizado para medir o transportar ángulos. Son hechos de plástico y hay de dos tipos: en forma
de semicírculo dividido en 180º y en forma de círculo completo de 360º. Los números están dispuestos en doble
graduación para que se puedan leer de derecha a izquierda y de izquierda a derecha, según donde esté la abertura
del ángulo.

4.5. El compás.
Es un instrumento de precisión que se emplea para trazar arcos, circunferencias y transportar medidas. Está
compuesto por dos brazos articulados en su parte superior donde está ubicada una pieza cilíndrica llamada mango
por donde se toma y maneja con los dedos índice y pulgar. Uno de los brazos tiene una aguja de acero graduable
mediante un tornillo de presión y una tuerca en forma de rueda. El otro brazo posee un dispositivo que permite la
colocación de portaminas u otros accesorios


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4.6. Clases de compás.
Compás de pieza: es el compás normal que al que se le puede colocar los accesorios como el portaminas o lápiz.
Compás de puntas secas: posee en ambos extremos puntas agudas de acero y sirve para tomar o trasladar
medidas.
Compás de bigotera: se caracteriza por mantener fijos los radios de abertura. La abertura de este compás se gradúa
mediante un tornillo o eje roscado. Es utilizado para trazar circunferencias de pequeñas dimensiones y
circunferencias de igual radio.
Compás de bomba: se utiliza para trazar arcos o circunferencias muy pequeñas. Está formado por un brazo que
sirve de eje vertical para que el portalápiz gire alrededor de él.

4.7. Lápices.

Los lápices son elementos esenciales para la escritura y el dibujo. Están formados por una mina de grafito y una
envoltura de madera. Pueden ser de sección redonda o hexagonal. Para dibujar son mejores los hexagonales
porque facilitan la sujeción entre los dedos y evitan que se ruede al dejarlos sobre la mesa de dibujo.

4.8. Grados de dureza de la mina.
La mina de los lápices posee varios grados desde el más duro hasta el más blando. Con los de mina dura se trazan
líneas finas de color gris y las más blandas líneas gruesas y de color negro. Están clasificados por letras y números.


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La H viene de la palabra hard que significa duro, la F significa firme y la B de black que significa negro. Los más
duros son: 4H, 3H, 2H y H. Los intermedios son: HB y F. Los más blandos son: B, 2B, 3B y 4B.
4.9. Portaminas o lapiceros.
Los portaminas son de metal o plástico y aloja en su interior la mina o minas que se deslizan mediante un resorte
hacia afuera, que han de servir para escribir o trazar. Las minas son de distinta dureza. Aventaja a los lápices por el
afilado de la mina y su resguardo.

4.10. Goma de borrar.
Las gomas de borrar se emplean para hacer desaparecer trazos incorrectos, errores, manchas o trazos sobrantes.
Por lo general son blandas, flexibles y de tonos claros para evitar manchas en el papel. Antes de borrar debe
asegurarse de que está limpia y si hemos de borrar partes pequeñas, trazos sobrantes o líneas cercanas, debemos
usar la plantilla auxiliar del borrado de acero laminado. Para eliminar del papel las partículas de grafito se usa una
goma pulverizada dentro de una almohadilla llamada borona.

4.11. El papel.
El papel es una lámina fina hecha de unas pastas de materiales distintos como trapos, madera, cáñamo, algodón y
celulosa de vegetales. Es utilizado en todo el mundo para escribir, imprimir, pintar, dibujar y otros. Existen de
diferentes tipos, tonos y texturas. Pero en el dibujo técnico se utilizan dos clases: el papel opaco y el papel
traslúcido. El papel opaco no es transparente, tiene varios tonos, desde el blanco al blanco amarillento. La cara
donde se dibuja es lisa y brillante. El papel traslúcido es transparente. Es utilizado para dibujos o copias de planos a
lápiz o tinta.

4.12. Masquin.
El papel se fijará al tablero gracias a la cinta adhesiva o tirro, la cual, si es de buena calidad no dejará huella ni en el
papel ni en el tablero.
Cortamos cuatro pedacitos de cinta adhesiva, de longitud 2,5 aproximadamente, y los colocamos en el borde
derecho de la mesa de dibujo, presionamos con los dedos de la mano izquierda, regla T y formato, pegamos en las
esquinas superiores las cintas, de manera que queden perpendiculares a las esquinas, sin que la cinta llegue al
margen de la lámina.

4.13. Escalimetro


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Es una regla o juego de reglas que contiene simultáneamente varias escalas diferentes.
Son muy comunes los escalímetros triangulares que contienen seis escalas.
Para usar un escalímetro, solo tienes que fijarte en las diferentes graduaciones que están xerografiadas en los
laterales. Estas escalas pueden ser de ampliación o reducción dependiendo de si la relación entre numerador y
denominador es mayor o menor a uno. Lo habitual es que sean de reducción 1/200, 1/100 etc. Para comprender
estas fracciones, el numerador son las unidades medidas en el plano o papel y el denominador las unidades reales.
Luego una escala de 1/50 significa que por cada unidad que midas en el papel equivale a 50 unidades reales. Si en
un plano de escala 1/5 una pieza mide 3 cm en el papel, quiere decir que en la realidad mide 15 cm. La relación
entre una magnitud real y una magnitud escalada es un factor que llamamos escala. Esta expresión viene dada por
la siguiente relación:

Unidades en el papel = Unidades Reales x Escala.

30 cm en escala 1:12,5 serían 2,4 cm

5. DIBUJO TECNICO NORMALIZADO.-


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Es un arte visual en el que se utilizan varios medios para representar algo en un medio bidimensional o
tridimensional
Podría afirmarse que el dibujo es el lenguaje universal porque sin mediar palabras, podemos transmitir ideas que
todos entiendan de modo gráfico. Hay dibujos que son reconocidos casi universalmente a los que se llama íconos.

5.1. El Artístico: utiliza dibujos para expresar ideas estéticas, filosóficas o abstractas.

5.2. El técnico: es el procedimiento utilizado para representar topografía, trabajo de ingeniería, edificios y piezas de
maquinaria, que consiste en un dibujo normalizado.

En ese entendido hay diferentes tipos de dibujos técnico ahora se describirán una serie de ellos que están
clasificados de distintos tipos de dibujos técnicos según:

6. CLASIFICACION DEL DIBUJO TECNICO NORMALIZADO
6.1. La norma DIN 199

6.1.1. La norma DIN 199 clasifica los dibujos técnicos atendiendo a los siguientes criterios:
6.1.2. Objetivo del dibujo
6.1.3. Forma de confección del dibujo.
6.1.4. Contenido.
6.1.5. Destino.

6.2. Clasificación de los dibujos según su objetivo:

Croquis: Representación a mano alzada respetando las proporciones de los objetos.
Dibujo: Representación a escala con todos los datos necesarios para definir el objeto.

Plano: Representación de los objetos en relación con su posición o la función que cumplen.
Gráficos, Diagramas y Ábacos: Representación gráfica de medidas, valores, de procesos de trabajo, etc.


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Mediante líneas o superficies. Sustituyen de forma clara y resumida a tablas numéricas, resultados de ensayos,
procesos matemáticos, físicos, etc.

6.3. Clasificación de los dibujos según la forma de confección:

6.3.1. Dibujo a lápiz: Cualquiera de los dibujos anteriores realizados a Lápiz.
6.3.2. Dibujo a tinta: Ídem, pero ejecutado a tinta.
6.3.3. Original: El dibujo realizado por primera vez y, en general, sobre papel traslúcido.
6.3.4. Reproducción: Copia de un dibujo original, obtenida por cualquier procedimiento.
6.3.5. Constituyen los dibujos utilizados en la práctica diaria, pues los originales son normalmente conservados y
archivados cuidadosamente, tomándose además las medidas de seguridad convenientes.

6.4. Clasificación de los dibujos según su contenido:
6.4.1. Dibujo general o de conjunto: Representación de una máquina, instrumento, etc., en su totalidad.
6.5. Dibujo de despiece: Representación detallada e individual de cada uno de los elementos y piezas no normalizadas
que constituyen un conjunto.
6.5.1. Dibujo de grupo: Representación de dos o más piezas, formando un subconjunto o unidad de construcción.
6.5.2. Dibujo de taller o complementario: Representación complementaria de un dibujo, con indicación de detalles
auxiliares para simplificar representaciones repetidas.
6.5.3. Dibujo esquemático o esquema: Representación simbólica de los elementos de una máquina o instalación.

6.6. Clasificación de los dibujos según su destino:
6.6.1. Dibujo de taller o de fabricación: Representación destinada a la fabricación de una pieza, conteniendo todos los
datos necesarios para dicha fabricación.
6.6.2. Dibujo de mecanización: Representación de una pieza con los datos necesarios para efectuar ciertas
operaciones del proceso de fabricación. Se utilizan en fabricaciones complejas, sustituyendo a los anteriores.
6.6.3. Dibujo de montaje: Representación que proporciona los datos necesarios para el montaje de los distintos
subconjuntos y conjuntos que constituyen una máquina, instrumento, dispositivo, etc.
6.6.4. Dibujo de clases: Representación de objetos que sólo se diferencian en las dimensiones.
6.6.5. Dibujo de ofertas, de pedido, de recepción: Representaciones destinadas a las funciones mencionadas.


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7. NORMAS DIN E ISO
7.1. La normalización con base sistemática y científica nace a finales del siglo XIX, con la Revolución Industrial en los
países altamente industrializados, ante la necesidad de producir más y mejor.
7.2. Pero el impulso definitivo llegó con la primera Guerra Mundial (1914-1918). Ante la necesidad de abastecer a los
ejércitos y reparar los armamentos, fue necesario utilizar la industria privada, a la que se le exigía unas
especificaciones de intercambio y ajustes.

8. NORMAS DIN
El 22 de Diciembre de 1917, cuando los ingenieros alemanes Naubaus y Hellmich, constituyen el primer organismo
dedicado a la normalización:
NADI - Normen-Ausschuss der Deutschen Industrie - Comité de Normalización de la Industria Alemana. Este
organismo comenzó a emitir normas bajo las siglas:
DIN que significaban Deustcher Industrie Normen (Normas de la Industria Alemana).
En 1926 el NADI Deutsches Normen-Ausschuss (Comité de Norma Alemanas)
que si bien siguió emitiendo normas bajos las siglas DIN, estas pasaron a significar "Das Ist Norm" – esto es norma
Y más recientemente, en 1975, cambio su denominación por:
DIN - Deutsches Institut für Normung (Instituto Alemán de Normalización)
Rápidamente comenzaron a surgir otros comités nacionales en los países industrializados, así en el año 1918 se
constituyó en Francia el AFNOR - Asociación Francesa n 1919 en Inglaterra se constituyó la organización privada
BSI - British Standards Institution.

9. NORMAS ISO
Ante la aparición de necesidad de coordinar los trabajos y experiencias de todos ellos, con este objetivo se fundó la:
International federation of the National Standardization Associations - ISA
Tras la Segunda Guerra Mundial, este organismo fue sustituido en 1947, por la
International Organization for Standardization ISO Organización Internacional para la Normalización. Con sede en
Ginebra, y dependiente de la ONU.

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A esta organización se han ido adhiriendo los diferentes organismos nacionales dedicados a la Normalización y
Certificación N+C.
En la actualidad son 140 los países adheridos, sin distinción de situación geográfica, razas, sistemas de gobierno,
etc.
El trabajo de ISO abarca todos los campos de la normalización, a excepción de la ingeniería eléctrica y electrónica
que es responsabilidad del CEI (Comité Electrotécnico.

10. IBNORCA EN BOLIVIA
El Instituto Boliviano de Normalización y Calidad - IBNORCA, es una asociación privada sin fines de lucro, creada
mediante Decreto Supremo Nº 23489 del 29 de abril de 1993 y fundada el 5 de mayo de 1993. La competencia
definitiva de sus actividades, le confiere el Decreto Supremo Nº 24498 del 17 de febrero de 1997, con el cual se crea
el Sistema Boliviano de Normalización, Metrología, Acreditación y Certificación - SNMAC. IBNORCA tiene a su
cargo dos pilares fundamentales de la calidad:

10.1. Normalización Técnica

10.2. Certificación de Calidad

11. REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y DIBUJO TÉCNICO
11.1. NB 101-75 Orientación al público - Símbolos - Pictogramas tipo en estaciones y coches
11.2. NB 138-76 Dibujo Técnico - Definiciones y clasificación
11.3. NB 111001-03 Dibujo técnico - Métodos de proyección - Parte 1: Generalidades
11.4. (Anula y reemplaza a la norma NB 139-76)
11.5. NB 111002-03 Dibujo técnico - Métodos de proyección - Parte 2: Representaciones
11.6. Ortogonales (Anula y reemplaza a la norma NB 139-76)
11.7. NB 111003-03 Dibujo técnico - Líneas (Anula y reemplaza a la norma NB 140-76)
11.8. NB 111004-03 Dibujo técnico - Escalas lineales para construcciones civiles y mecánicas (Anula y reemplaza a la
norma NB 141-76)

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11.9. NB 111005-03 Dibujo técnico - Representación de secciones y cortes en dibujo mecánicoNB 111006-03 Dibujo
técnico - Rayados indicadores de secciones y cortes

12. FORMATOS

12.1. CONCEPTO FORMATOS
Se llama formato a la hoja de papel en que se realiza un dibujo, cuya forma y dimensiones en mm. Están
normalizados. En la norma NB 111004:2003 Dibujo técnico - Escalas lineales para construcciones civiles y
mecánicas (Anula y reemplaza a la norma NB 141:1976).

12.2. DIMENSIONES
Las dimensiones de los formatos responden a las reglas de doblado, semejanza y referencia.
Según las cuales:

Un formato se obtiene por doblado transversal del inmediato superior.
La relación entre los lados de un formato es igual a la relación existente entre el lado de un cuadrado y su diagonal
es decir 12/1. Y finalmente para la obtención de los formatos se parte de un formato base de 1 m2.
Aplicando estas tres reglas, se determina las dimensiones del formato base llamado A0 Cuyas dimensiones serían
1189 x 841 mm.
El resto de formatos de la serie A, se obtendrán por doblados sucesivos del formato A0
La norma estable para sobres carpetas, archivadores, etc. dos series auxiliares B y C.
Las dimensiones de los formatos de la serie B, se obtienen como media geométrica de los lados homólogos de dos
formatos sucesivos de la serie A.


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Los de la serie C se obtienen como media geométricas de los lados homólogos de los correspondientes de la serie
A y B.

Excepcionalmente y para piezas alargadas, la norma contempla la utilización de formatos que denomina especial y
excepcionalmente que se obtienen de los multiplicando por 2, 4,6…Y Hasta 9 veces las dimensiones del lado corto
del formato


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En la tabla se indican los formatos unificados empleados en los dibujos técnicos de todas clases, calcos,
reproducciones, etc. En ella se indican las medidas del recuadro y las mínimas de las hojas no recortadas.


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Fig. 1. Tamaños unificados de las hojas para los dibujos técnicos.

Las tablas tiene el formato A4
Se puede también disponer de formatos alargados como los que se mencionan en la tabla y sobre los que no se
necesario extenderse

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Para los rollos de papel o tela para dibujar se han fijado las siguientes alturas mm, se recomiendan las indicaciones
en negrillas 1560; 1230; 900; 880; 660; 625; 450; 330.

13. PLEGADO

La norma establece la forma de plegar los planos . Este se harán en zigzag tanto en sentido vertical como
horizontal, hasta dejarlo reducido a las dimensiones del archivo .También se indica en esta norma que el cuadro de
rotulación, siempre debe quedar en la parte anterior a la vista.


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14. CUADRO DE ROTULO:

NB 111004-03 Dibujo técnico - Escalas lineales para construcciones civiles y mecánicas (Anula y reemplaza a
la norma NB 141-76)

14.1. Dibujos Técnicos – Cuadro de Rotulación
14.2. Dibujos Técnicos – Escritura – Caracteres Corrientes.

Toda representación gráfica de dibujo técnico debe contener un casillero de rotulación o cuadro de rótulo o carimbo.
Este es un casillero que debe contener la información respecto a la identificación de las personas que están
involucradas en el desarrollo del dibujo, quien revisa, nombre de la pieza representada, a la empresa a la cual
pertenece el plano además del material componente de la pieza.
Existen casilleros de identificación para una sola pieza como también cuando se trata de representaciones de
conjuntos en un plano que están compuestos por más de una pieza.
A continuación se presentan algunos modelos de casilleros utilizados en los formatos técnicos:


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15. LÍNEAS NORMALIZADAS

En el dibujo, las líneas tienen que ser claras y definidas, con el fin de lograr un trabajo con buena presentación y con
una disposición perfecta. Las líneas, al igual que su espesor, estarán en función directa de lo que represente el
dibujo.


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15.1. Clasificación de las líneas


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15.1.1. Las líneas se clasifican según su forma, su posición en el espacio y la relación que guardan entre sí.
15.1.2. Recta
15.1.3. Curva
15.1.4. Según su forma: Quebrada
15.1.5. Mixta
15.1.6. Según su Vertical
15.1.7. posición en el espacio: Horizontal
15.1.8. Inclinada
15.1.9. Paralelas
15.1.10. Oblicuas

15.2. Según la relación Convergentes que guardan entre s

15.2.1. Divergentes
15.2.2. Perpendiculares

15.3. Según su forma

15.3.1. Línea Recta: Son todas aquellas líneas en que todos sus puntos van en una misma dirección.
15.3.2. Línea Curva: Son las líneas que están constituidas en forma curva; pero a su vez sus puntos van en direcciones
diferentes.
15.3.3. Línea Quebrada: Esta línea está formada por diferentes rectas a su vez que se cortan entre sí y llevan
direcciones diferentes.
15.3.4. Línea Mixta: Está formada por líneas rectas y curvas que a su vez llevan direcciones diferentes.

15.4. Según su posición en el espacio


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15.4.1. Línea Vertical: Es la línea recta perpendicular al horizonte.
15.4.2. Línea Horizontal: Es la línea que corresponde al nivel del agua cuando esta se encuentra en repos
15.4.3. Línea Inclinada: Es la línea que desiste de su posición vertical y horizontal y presenta un extremo inclinado hacia
uno de sus lados.
15.4.4. Según la relación que guardan entre sí
15.4.5. Líneas Paralelas: Son dos o más líneas que estando en un mismo plano jamás llegan a unirse al proyectarse
sus extremos.
15.4.6. Línea Oblicua: Es la línea que se encuentra con la horizontal formando un ángulo que no es recto.
15.4.7. Líneas Convergentes: Son líneas que partiendo de puntos diferentes se unen en otro al proyectar sus extremos.
15.4.8. Líneas Divergentes: Son las líneas que parten de un mismo punto y al proyectar sus extremos se separan en
direcciones diferentes.
15.4.9. Línea Perpendicular: Es la línea que se encuentra con la horizontal formando un ángulo recto.
15.4.10. Líneas que se emplean en el Dibujo Técnico
15.4.11. Línea Llena y Gruesa: Para destacar aristas visibles de cuerpos y contornos.
15.4.12. Línea Llena y Delgada: Línea de cota y auxiliares de cotas (para señalar diferentes longitudes).
15.4.13. Línea de Trazos Cortos: Para aristas y contornos ocultos (no visibles)
15.4.14. Línea de Trazos y Puntos: Se utiliza para líneas de ejes y centrales. Esta línea debe comenzar y terminar en
trazos.
15.4.15. Línea a mano alzada: Se utiliza para indicar roturas en metales, piedras y madera.
15.4.16. Línea de Zig - Zag: Se utiliza para hacer interrupciones.


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15.5. Líneas de Guía para la altura


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No existen normas fijas en cuanto a las medidas y proporciones que deben tener las letras, signos y símbolos
rotulados; pero cualquiera que sean, estas medidas deben determinarse mediante dos líneas auxiliares o líneas de
guía, una superior y una inferior. La distancia entre estas dos líneas de guía nos determina el alto de cada elemento
rotulado.
Las líneas de guía deben ser paralelas, muy finas y trazadas con la mina del lápiz bien aguda.


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Entre cada par de líneas guía debe mantenerse la misma distancia a fin de obtener uniformidad en la rotulación.
Dicha distancia se recomienda determinar con un compás de punta seca o bigotera.

16. ESCALAS


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La razón de proporción entre las medidas de un dibujo y las magnitudes correspondientes del objeto real que
representa, se llama escala. Se representa por una fracción cuyo numerador se corresponde con las medidas del
dibujo y el denominador con las medidas de la realidad. E = Dibujo / Realidad.
Escala natural es la que se ha aplicado a un dibujo que tiene las medidas de la realidad. Se representa con la
fracción E = 1:1.
Escala de ampliación es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son mayores que en la realidad. Por ejemplo, E = 7:2
Escala de disminución es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son menores que las de la realidad. Por ejemplo, E
= 1:25.000.
Para aplicar una escala podemos multiplicar todas las medidas de la realidad por la escala, puesto que de la fórmula
de la escala se deduce que
Dibujo = E x Realidad
También podemos utilizar los escalímetros que existen en el mercado, que son reglas graduadas según las escalas
de uso más frecuentes. No obstante, podemos construir cualquier escala gráficamente.
Supongamos que queremos construir la escala E = 7/5. Tomamos un segmento de 7 cm reales y lo dividimos en 5
partes iguales aplicando el teorema de Thales. Dividiendo una de las unidades obtenidas en 10 partes obtenemos la
contraescala para medir las décimas.

s 0 1 2 3 4 5

Escala Grafica e=7/5
(Fig. 13).
Escalas. Construcción de escalas gráficas y volantes para la resolución de problemas específicos. (Fig. 13).

16.1. ESCALA GRÁFICA
Escala de normales: Relación entre la longitud o el grosos de las normales y la pendiente que representan.

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Escala de pendientes: Ver: diagrama de pendientes.
Escala de tintas hipsométricas: Gama de colores utilizada para la representación de las franjas latitudinales.
Escala del símbolo: Relación entre las dimensiones de un símbolo y el valor de los hechos y los fenómenos que
representa.
Escala gráfica: Escala expresada en forma de un segmento de línea recta que representa una distancia determinada
sobre el terreno.

Escala horizontal: Escala que se refiere a la dimensión horizontal de un perfil, un corte topográfico o cualquier otra
representación cartográfica y que suele ser la escala del mapa de referencia.
Escala intermedia: Escala que se usa en el desarrollo de un trabajo cartográfico y que se encuentra entre la escala
del mapa base y la escala del mapa definitivo.
Escala numérica: Escala representada en forma de número quebrado o en forma decimal. Nota: Puede
representarse escribiendo 1:500000 o bien 1/500000. A veces se expresa verbalmente mediante una equivalencia
de unidades (por ejemplo 1 centímetro del mapa equivale a 5 kilómetros del terreno).
Escala vertical: Escala que se refiere a la dimensión vertical de las alturas y que se utiliza especialmente en los
perfiles y cortes topográficos. Nota: Suele tener un valor diferente a la escala horizontal con el objeto de realzar la
representación de la altura.

16.2. ESCALAS NORMALIZADAS
Siempre que hagamos un dibujo o sea representemos un objeto, este no siempre encajara en el formato de papel
que hemos escogido. Por eso es necesario hacer una representación a escala de este objeto. Esto quiere decir que


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podemos dibujar el objeto más pequeño que su tamaño real (escala de reducción), o también en algunos casos
necesitemos dibujarlo más grande que su tamaño real (escala de ampliación).

Seas un estudiante de AutoCad o trabajes o seas dueño de una empresa, siempre es bueno tener un standard
tecnico. Por eso se crearon muchas normas de estandarización en distintos países, pero una sola para resumir
todas estas normas y convertirlas internacionales, entonces se creó la Organización Internacional para la
Estandarización.

Ahora las Escalas Normalizadas o estandarizadas según la norma ISO (Organizacion Internacional para la
Estandarizacion) son las siguientes:

16.3. Escala Natural
1:1 (Cuando el tamaño de la representación en el papel, coincide con el de la realidad).

16.4. Escalas de Reducción
17. 1:2
18. 1:5
19. 1:10
20. Y sus múltiplos (por diez), o sea 1:20, 1:50, 1:100, etc.

20.1. Escalas de Ampliación
2:1
5:1
10:1
Y sus múltiplos al igual que las escalas de reducción, son 20:1, 50:1, 100:1, etc.


30


31
17. LETRA TÉCNICA

17.1. Definición: La rotulación es el arte de escribir las letras y números con arreglos a unas normas ya establecidas.

17.2. Antecedentes de la rotulación: Fue durante el final del siglo XIX cuando C.W. Reinhardt (antiguo dibujante en
jefe de la Engineering News) vio la necesidad de crear un tipo de letra sencilla y legible, que pudiera ser hecha con
trazos simples. Es por ello que desarrollo alfabetos de letras mayúsculas y minúsculas, basado en letras góticas y en
una serie sistemática de trazos.

17.3. Estandarización de las letras: Después de Reinhardt, se empezaron a desarrollar una diversidad innecesaria y
confusa de estilos y formas de letras. Luego interviene entonces la American Standards Association, en 1935 para
establecer normas de letras que se conocen hoy en día como estándares (normas ASA).

17.4. Normalización: Los rótulos y cotas utilizados en el dibujo técnico no puede estar a criterio de cada quien, por
eso se establecen normas para evitar confusiones. • Venezuela (NORVEN ó COVENIN) fondo norma en Venezuela. •
Estados Unidos (ASA) asociación estándar americana. • España (UNE) unificación de normativas españolas. •
Argentina (IRAM) instituto argentino de normalización y certificación. • Alemania (DIN) instituto de normas alemanas.
ISO (Internacional Organization for Standarization) es una institución que busca unificar los sistemas existentes para
beneficio de la tecnología universal. A través de las famosas normas ISO9000 en Bolivia NB 111004-03 Dibujo técnico
- Escalas lineales para construcciones civiles y mecánicas (Anula y reemplaza a la norma NB 141-76).

17.5. Caligrafía DIN: Las letras normalizadas se rigen por las normas DIN, cuyas siglas significan Dat Ist Norm (esto
es normal). La caligrafía DIN designa los trabajos colectivos de la comisión alemana de normas. Y existen dos tipos:
DIN 16 y DIN 17.

17.6. Caligrafía DIN 17: Es la letra vertical normalizada, es la más utilizada y recomendada para rotular dibujos y
dimensiones. Se utiliza este tipo de letra para escribir letreros, ficheros, rotulo de planos, etc. • Letras Corrientes:


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presentan dimensiones de altura y ancho directamente proporcionales. • Letras estrechas: su alto no es proporcional a
su ancho. • Letras anchas: el ancho de las letras es mayor a su altura.

17.7. Caligrafía DIN 16:
Es la letra inclinada normalizada. Para muchos es la mas fácil de realizar, el trozo de letra y número es uniforme, su
inclinación es de 75º en relación con la línea horizontal. En las letras inclinadas, las partes circulares se hacen de
forma elíptica. Se utiliza para la rotulación de planos topográficos.

17.8. REGLAS DE ROTULACIÓN:

 Ancho de la letra: queda a juicio del rotularte.
 Alto de la letra: queda a juicio del rotularte.
 Separación entre letras: se toma el ancho de la letra y se divide entre cuatro
 Separación entre palabras: el resultado de la separación entre letras se suma tres veces.
 Separación entre líneas: corresponde a la misma medida del alto de la letra.
 El lápiz para hacer rótulos puede ser un lápiz medio suave con punta cónica. Generalmente se usan las series de los
H, específicamente 4H ó 6

Sugerencias:

 Afilar el lápiz hasta punta de aguja.
 Poner la punta ligeramente roma, haciéndolo girara suavemente sobre un papel.
 Entre letras gire ligeramente el lápiz para mantener la punta roma.
 Los trazos deben ser bien oscuros y bien delineados.
 La rotulación se realiza a mano alzada.
 Al momento de rotular se hace uso de líneas guías.

La rotulación es muy importante en el dibujo técnico, mediante ella se aclaran aspectos que el dibujo por sí solo no
puede explicar.


33
Ejemplo: un pequeño error en el rotulo de un plano de estructura podría generar grandes pérdidas a la constructora a
la hora de corregir el error.
Actualmente existen en el mercado diversos equipos mecánicos para el trazado de letras y números normalizados. Los
más sencillos están compuestos de plantillas llamadas normó grafos. También se encuentran letras transferibles o
adhesivos.

17.9. Lápices para rotular: El lápiz para hacer rótulos puede ser un lápiz medio suave con punta cónica.
Generalmente se usan las series de los H, específicamente 4H ó 6H. Sugerencias: • Afilar el lápiz hasta punta de
aguja. • Poner la punta ligeramente roma, haciéndolo girara suavemente sobre un papel. • Entre letras gire ligeramente
el lápiz para mantener la punta roma. • Los trazos deben ser bien oscuros y bien delineados. • La rotulación se realiza
a mano alzada. • Al momento de rotular se hace uso de líneas guías.

17.10. Importancia de la rotulación: La rotulación es muy importante en el dibujo técnico, mediante ella se aclaran
aspectos que el dibujo por si solo no puede explicar. Ejemplo: un pequeño error en el rotulo de un plano de estructura
podría generar grandes pérdidas a la constructora a la hora de corregir el error. Actualmente existen en el mercado
diversos equipos mecánicos para el trazado de letras y números normalizados. Los más sencillos están compuestos de
plantillas llamadas normó grafos. También se encuentran letras transferibles o adhesivos


34


35


36

18. MÉTRICA APLICADA.
Construcciones gráficas fundamentales.

18.1. DEFINICIÓN

A B

AB O BA=AB
Dados dos puntos A y B, se llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto
B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del
segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán ser interiores o exteriores al
segmento según pertenezcan o no a este.

18.1.1. Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen en común solamente un extremo. Según pertenezcan o no a la
misma recta, se clasifican en:
Los segmentos consecutivos no colineales, forman una figura llamada quebrada o poligonal. A su vez, una poligonal
puede ser abierta o cerrada según tengan o no extremos comunes, el primer y el último segmento que la forman.

A B C B C
A
18.1.2. Los segmentos como cantidades
El conjunto de los segmentos métricos, constituye una magnitud, de la que los segmentos son cantidades. Es
posible determinar entre ellos relaciones y efectuar las operaciones definidas para los elementos de una magnitud:


37
18.1.3. Comparación

Postulado de las tres posibilidades (Ley de Tricotomía): Dados dos segmentos, debe verificarse una y solo una de
las tres posibilidades siguientes:
Los segmentos son iguales:
El primero es mayor que el segundo
El primero es menor que el segundo
Posibilidades que se excluyen y se completan, es decir que al cumplirse una dejan de cumplirse las restantes, y
fuera de ellas no existe posibilidad alguna.

18.1.4. Igualdad
La igualdad de segmentos, verificable por superposición, goza de las siguientes propiedades:
Idéntica, reflexiva o refleja: Cualquier segmento es igual a sí mismo.
Recíproca o simétrica: Si un segmento es congruente con otro, aquel es congruente con el primero.
Transitiva: Si un segmento es congruente con otro, y este a su vez con un tercero, el primero es congruente con el
tercero.
Consecuencia: Si dos igualdades entre segmentos tienen sus primeros miembros iguales, los segundos tambien lo
son, y recíprocamente.

18.1.5. Desigualdad
La desigualdad de segmentos, goza de la propiedad transitiva para las relaciones de mayor y de menor.

18.1.6. Operaciones

Suma

A B C D E

AB+BC+CD+DE=AE


38
La suma de varios segmentos consecutivos colineales, da por resultado el segmento determinado por los extremos
no comunes de los segmentos considerados. Geométricamente, la suma de segmentos cualesquiera (es decir no
necesariamente consecutivos), se obtiene construyendo colinealmente segmentos ordenadamente congruentes con
los dados, y procediendo como se indica al principio. División por un número natural.

19. MEDIATRIZ Y BISECTRIZ.MEDIATRIZ

La mediatriz de un segmento [AB] es la recta de los puntos del plano equidistantes de A y B. Por razones de
simetría, la mediatriz corta el segmento [AB] por su mitad y perpendicularmente.
En un triángulo ABC, las mediatrices de los tres lados se cortan en un único punto, el circuncentro - O en la figura -
que es centro del círculo circunscrito al triángulo.
Prueba:
D

A B A B

C

Dos lados nunca son paralelos, por consiguiente tampoco lo son las mediatrices, que hacen ángulos rectos con
ellos. Sea O el punto de intersección de la mediatriz de [AB] con la de [BC]. Luego OA = OB, pero también OB =
OC. Estas dos igualdades implican que OA = OC, es decir que O también pertenece a la tercera mediatriz. Por lo
tanto las tres son concurrentes.
Autor: M.Romero Schmidtke


39
20. BISECTRIZ
La bisectriz de un ángulo o un sector angular es la recta que divide el ángulo en dos ángulos iguales. Propiedad: los
puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados (rectas) del ángulo.

A A

a
D D b
E
b a O b
O

C B C B
a b F a

Recíprocamente, Dos rectas, al cruzarse, forman cuatro ángulos, opuestos dos por dos. Estos definen dos
bisectrices. Los puntos equidistantes de las dos rectas son exactamente los puntos de las dos mediatrices. Este
resultado se establece fácilmente al recordar que una bisectriz es un eje de simetría de su ángulo, y que las
simetrías conservan las distancias.
En la figura, la bisectriz interior al ángulo xOy (en amarillo) es (zz’), y la exterior es (ww’). Se cortan formando un
ángulo recto. En efecto, si llamemos a la medida de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la medida del
ángulo xOx’ , que es plano. Dividimos por 2: zOw mide a + b = 90º.


40

21. PROPORCIONALIDAD
Proporcionalidad y semejanza. Conceptos fundamentales. Elementos que definen una semejanza. Determinación de
la media geométrica o proporcional.

21.1. Proporcionalidad direct
Las magnitudes que varían de forma que su razón permanece constante son directamente proporcionales
Las magnitudes de los segmentos a, b, c, y d son directamente proporcionales
a/b =c/d =
Teorema de Thales
Los segmentos determinados por un haz de rectas paralelas sobre un par de rectas concurrentes son directamente
proporcionales, y recíproco. (Fig. 7).
a/b=c/d
r
c
a

t u y

b

d
TEOREMA DE TLALES
(Fig. 7).
Basándonos en este teorema podemos dividir un segmento en partes iguales. Trazamos una recta concurrente con
el segmento dado. Tomamos n partes iguales sobre la recta a partir del extremo A del segmento, siendo n el número
de partes en las que queremos dividir el segmento. Unimos el extremo B con la última división de la recta y
trazamos paralelas por las demás divisiones. (Fig.8)


41
A B
U II
A B
II"
U"

DIVISION DE UNA SECANTE

(Fig.8)

21.2. Aplicaciones

Tercero proporcional
Sean los segmentos a y b, se llama tercero proporcional al segmento que verifica que:
a/b = b/c

Para hallarlo se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se dibujan consecutivamente los
segmentos a y b, y sobre la otra el segmento b. Uniendo los extremos de los segmentos a y b, y trazando una
paralela por el extremo del otro segmento b, se obtiene el segmento c. (Fig. 9)
a a/b=b/c
b

b

a

b c
Tercero proporcional
(Fig.9)


42

21.3. Cuarto proporcional

Sean los segmentos a, b y c, se llama segmento cuarto proporcional al segmento de que verifica que:
a/b = c/d
Para hallarlo, se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se sitúan consecutivamente los segmentos a y
b, y sobre la otra el segmento c. Uniendo los extremos de los segmentos a y c, y trazando por el extremo de b una
paralela, obtenemos el segmento d. (Fig. 10).
a
b a b= cd
c

b

a

c
d

Cuarta proporcional
(Fig. 10).

21.4. Medio proporcional

Sean los segmentos a y b, se llama medio proporcional el segmento c que verifica que:

a x b = c²

Si nos fijamos, nos daremos cuenta que se trata de un caso de tercero proporcional, puesto que la expresión
anterior también se puede escribir como:


43
a/c = c/b

Para su construcción podemos aplicar tanto el teorema de la altura como el del cateto, cuyos enunciados son los
siguientes:

Teorema de la altura.- En un triángulo rectángulo, la altura es media proporcional entre los segmentos en que divide
la hipotenusa.

Teorema del cateto.- En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección
de dicho cateto sobre ella.
Si aplicamos el teorema de la altura, situamos los segmentos a y b consecutivamente. Por el extremo común
levantamos una perpendicular. Trazamos el arco capaz del ángulo de 90º para el segmento suma (a+b). La
intersección de la perpendicular con el arco capaz es el vértice del triángulo rectángulo de hipotenusa (a + b) y de
altura c. (Fig. 9)

Aplicando el teorema del cateto, situamos los segmentos a y b sobre la misma recta con un extremo común. Por el
extremo no común del segmento menor levantamos una perpendicular, y seguidamente, trazamos el arco capaz del
ángulo recto para el segmento mayor a. El cateto c, cuya proyección es el segmento b, es la media proporcional
entre a y b. (Fig. 11 Y 12).
a

b a x b=c

a b b
a

Teorema de altura Teorema del cateto


44
(Fig. 11). (Fig. 12).

22. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS.
a

b a

h b

A

&
r=b r=h
r1
h

30.&
B a C
B a M C

(Fig. 14)
A raíz del último comentario, vuelvo a hacer hincapié en la importancia que tiene el concepto de lugar geométrico
para la resolución de la mayoría de los problemas de trazado geométrico.
En la mayoría de los problemas de construcción de triángulos, uno de los datos será alguno de los lados, el cual nos
servirá para fijar dos puntos y la recta que definen. A partir de estos elementos fijos el problema se reduce a
determinar la posición del tercer vértice. Ese vértice se encuentra en la intersección de dos lugares geométricos
cuya condición podemos deducir de los demás datos que nos den, resultado dos. (Fig. 14).

22.1. En un triángulo, los tres ángulos definen tres bisectrices (interiores).


45
Teorema: Las tres bisectrices del triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados y centro
del círculo inscrito en el triángulo (incentro).
y

w

z

b a
b a x
x O

z

w

y

22.2. Prueba: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de D y D’ (ver figura).
Como O pertenece a D, O es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D’, es equidistante de las
rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz
(interior) del ángulo C, es decir a D». Al ser equidistante a los tres catetos, existe un círculo tangente a ellos y de
centro O. (su radio es justamente la distancia común entre O y los catetos).


46

23. TRIÁNGULO

24. Son cuatro y siempre es posible dibujar tres en cualquier triángulo.
A

C
B
Definiciones

I - Siendo A,B y C tres puntos de un plano, no alineados, se llama triángulo ABC a la intersección de los ángulos
ABC, CAB y BCA.

II - Dados tres puntos no alineados, A, B y C, se llama triángulo ABC a la figura intersección entre:

El semiplano respecto de la recta AB que contiene al punto C (Fig.1)
El semiplano respecto de la recta AC que contiene al punto B (Fig. 2)
El semiplano respecto de la recta BC que contiene al punto A (Fig. 2)


47
A A
A

5

5
4,

4,
6,5

6,5
7,2
7,2
B B
6,5 6,5

7,2

B C C C

(Fig.1) (Fig. 2) (Fig. 3)

1.1. Tipos de triángulos

Por la longitud de sus lados se puede clasificar:

Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60°)
Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos.
Triángulo isósceles: Tiene dos lados iguales

A
7,
5,6

1

4,3
B C
(Fig. 4)


48
Por la medida de sus ángulos:

Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo rectángulo ( 90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les
denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
Triángulo obtuso u obtusángulo: uno de sus ángulos es mayor de 90º
Triángulo agudo o acutángulo: Todos sus ángulos son menores de 90º
Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.

1.2. Propiedades de los triángulos.

La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180°.
Para cualquier triángulo rectángulo cuyos catetos midan a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica que:(Teorema
de Pitágoras).

a2 + b2 = c2
Un triángulo es un polígono de tres lados.

1.3. Las líneas notables en un triángulo

Alturas: son segmentos perpendiculares a un lado y que pasan por el ángulo opuesto, el punto donde se cruzan
estas tres alturas se llama ortocentro.

1.4. Medianas: son los segmentos que van desde un vértice a la mitad del lado opuesto, el punto donde se cruzan se
llama baricentro.


49

1.5. Mediatrices: Son segmentos perpendiculares a los lados que se trazan desde el punto medio, el punto donde se
cruzan se llama circuncentro, este punto es el centro de una circunferencia que se circunscribe al triángulo.

1.6. Bisectrices: Las bisectrices de un triángulo son segmentos que dividen cada ángulo en dos partes iguales, las
bisectrices se cortan en un punto llamado incentro, este punto es el centro de una circunferencia inscrita.


50
24. CIRCUNFERENCIA.

Si se utiliza la palabra círculo bajo su definición Euclidiana entonces la superficie interior se nombra disco.

24.1. Definición matemática

En un sistema coordenado x-y, el círculo con centro C(x0, y0) y de radio r es el conjunto de todos los puntos pi {x,y}
tales que:
CIRCUNFERENCIA
DI O
RA

Ø 6,6

RO
CENT ET RO
D IAM

ARCO

(Fig. 5)


51
Si el círculo tiene su centro en el origen O(0,0), entonces la fórmula anterior puede simplificarse como:
x2 + y2 = r2.
El círculo con centro en el origen y de radio igual a 1 es llamado círculo unitario.

24.2. Propiedades
CIRCUNFERENCIA

DI O
CU ER
DA

NTE
RA
Ø 6,6

TANGE
R O
CENT ET RO

E
DIAM

NT
R O
CENT

CA
SE
ARCO

(Fig. 6)

Una línea que atraviesa el círculo por dos puntos se llama secante y una línea que toca el círculo en un solo punto
se llama tangente. Toda línea tangente es forzosamente perpendicular a el radio que va del punto de contacto al
centro del círculo. El segmento de recta de una secante que está acotado por el círculo se llama cuerda, es decir
una línea que une dos puntos cualesquiera del círculo. La cuerda más larga pasa por el centro del círculo y se llama
diámetro, éste está formado por dos radios colineales y divide al círculo en dos partes idénticas. Cada una de las
dos áreas del círculo que resultan de una cuerda es llamada segmento. Si se requiere distinguirlas entre si se les
denomina segmento mayor y segmento menor, dependiendo del área que cada una contenga.
Si solo una parte del círculo es conocida (un arco cualquiera), entonces el centro puede encontrarse con el siguiente
procedimiento:
Tómese dos cuerdas no paralelas.
Encuéntrese el punto medio de éstas cuerdas.
Trácense líneas perpendiculares sobre estos puntos medios.
El punto donde estas líneas se interceptan es el centro del círculo buscado. (Fig. 6)


52

L

D

(Fig. 6)
El radio correspondiente a un arco puede calcularse a partir de la longitud L de la cuerda y la distancia D que va del
centro de la cuerda al punto más cercano al círculo por varios métodos como son:
Por método geométrico.
Radios = ((L / 2)2 + D2) / 2D
Por método trigonométrico.
ARC O
M EN
S EC T OR
OR M
ENO R

S EC T ARC O
OR M MA Y
AYO R OR

(Fig.7)

Cualquier parte de la circunferencia comprendida entre dos radios se llama arco, y el área que este arco describe
junto con los radios que lo generan se llama sector. La razón entre la longitud del arco y el radio definen el ángulo
entre los dos radios en radianes, éste mismo valor define el tamaño del arco en radianes. (Fig.7).
Todo triángulo define varios círculos:
Circunscrito, pasa por los tres vértices.
Inscrito, tiene como tangentes a los tres lados del triángulo y el cual está totalmente contenido en éste.
Círculos externos, se ubican fuera del triángulo, son perpendiculares a un lado y a las extensiones de los otros dos.
Círculo de los nueve puntos, el cuál contiene varios puntos importantes del triángulo.


53
El Teorema de Tales dice que si los tres vértices de un triángulo están sobre un círculo dado con uno de sus lados
siendo el diámetro del círculo, entonces el ángulo opuesto a éste lado es un ángulo recto.
Dados tres puntos cualesquiera que no pertenezcan a una misma recta, existe un único círculo que contiene en
perímetro a estos tres puntos (este círculo se refiere como circunscrito a el triángulo definido por éstos puntos).
Dados tres puntos <(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)>, la ecuación del círculo está dada de forma simple por la determinante
matricial:
Un círculo es una forma de sección cónica, con excentricidad cero.
Un círculo de radio, r, tendrá una superficie o área de:
Y un perímetro de:

24.3. Simbología cristiana

El círculo es el elemento geométrico perfecto, representación de lo celestial. Es símbolo solar y de la morada divina.
Los ábsides son semicirculares: allí está simbólicamente Dios. La cúpula redonda es la morada de Dios en el cielo,
(incluso se pintaba con representaciones celestes y ángeles).El círculo se identificaba en la simbología cristiana con
la eternidad. Las figuras redondas simbolizan la eternidad por no tener principio ni fin. Representan también el cielo,
el mundo y la fortuna. La palabra latina caelum significa cielo, firmamento y forma circular. San Gregorio Magno veía
en la Osa Mayor que daba vueltas alrededor de la Polar sin alejarse nunca de ella.

25. CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Se dividen en paralelogramos y no paralelogramos. Una
diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos, lo que nos permite construirlos por triangulación.
Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos e iguales. Sus diagonales se cortan en sus puntos medios y
sus ángulos opuestos son iguales.
Los no paralelogramos pueden ser trapecios, si tienen dos lados paralelos, y trapezoides, si no tienen lados
paralelos.

25.1. Construcción de cuadriláteros.
Como hemos visto anteriormente, los cuadriláteros pueden construirse por triangulación, es decir, construyendo los
dos triángulos en que quedan divididos por una de sus diagonales.

54
Veamos algunos de los casos que pueden plantear cierta dificultad.

25.2. Cuadrado conociendo la diagonal.
Situamos la diagonal AC y seguidamente trazamos su mediatriz. Con centro en el punto medio de la diagonal
dibujamos una circunferencia de radio OA. Los puntos de intersección de la circunferencia y la mediatriz son los
vértices B y D del cuadrado.
B
A D C

C
A
O

B
(Fig. 15)
El ángulo opuesto a la diagonal es recto y los vértices B y D equidistan de A y C, razón por la cual trazamos el arco
capaz del ángulo recto respecto a la diagonal y la mediatriz de la misma.
Observa cómo el problema es el mismo que hallar las dos soluciones de un triángulo rectángulo isósceles del que
conocemos la base.


55

25.3. Rectángulo conociendo la diagonal y un lado
Este caso se resuelve de manera similar, pero necesitamos conocer uno de los lados porque los triángulos son
escalenos. (Fig. 16).
c
A C
a
D

r=a

A
O C

B
(Fig. 16).
Construcción de polígonos, en general y polígonos regulares de cualquier número de lados.

26. POLÍGONOS REGULARES

Método general para la construcción de polígonos conociendo el lado.
Se dibuja un segmento AB de magnitud igual al lado del polígono que queremos construir. Seguidamente, hacemos
centro en A y B, respectivamente, y trazamos dos arcos de circunferencia de radio igual a la magnitud del lado,
obteniendo el punto de intersección O.
Haciendo centro en el punto O trazamos la circunferencia de radio OA, circunscrita de un hexágono de lado AB.
Trazamosel diámetro perpendicular al lado AB y dividimos el radio OM en seis partes iguales. Cada división es el
centro de la circunferencia circunscrita de un polígono de lado AB y n número de lados. En la Fig. 17 se ha


56
representado el eneágono, trazando su circunferencia circunscrita de centro 9 y radio 9A.
A B

M 12
11
10
9
8
7
6

A B
(Fig. 17).

26.1. Método general para la construcción de polígonos conociendo el radio de la circunferencia
circunscrita.
A partir de un diámetro AB, dibujamos una circunferencia.
Dividimos el diámetro en un número n de partes iguales, siendo n el número de lados que ha de tener el polígono.
Haciendo centro en los extremos del diámetro, trazamos arcos de radio AB que se cortan en los puntos M y N.
Uniendo los puntos M y N, obtenemos sobre la circunferencia los vértices del polígono. (Fig. 18).
A
O
A
1
2
3
4 2
5

M 6 4
N
7 O

6

(Fig. 18)
26.2. Métodos particulares. Triángulo, hexágono y dodecágono.

57
En el hexágono se cumple que el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado.
Podemos dividir una circunferencia en seis partes iguales trazando dos arcos de circunferencia con centros en los
extremos de un diámetro y con el mismo radio de la circunferencia. (Fig.19)

O M

O M

(Fig.19)
Si se repite esta operación en otro diámetro perpendicular al primero, la circunferencia queda dividida en 12 partes
iguales.
Tomando sólo tres vértices no consecutivos del hexágono, se obtiene el triángulo equilátero. (Fig.19)
26.3. Cuadrado y octógono.


58
O M

O M

(Fig. 20)
Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro partes iguales. Si se trazan las bisectrices de los
cuadrantes se obtienen ocho partes iguales de la circunferencia. (Fig. 20)

26.4. Pentágono y decágono.
A
M

M r= MN

P
O
N

A B r

(Fig. 21) (Fig. 22)


59
Se dibuja la circunferencia circunscrita y se traza la mediatriz de uno de sus radios, OP por ejemplo. Con centro en el
punto medio del radio trazamos un arco de radio ME, que corta en F al diámetro PQ. De esta manera obtenemos los
segmentos EF y OF, iguales a los lados del pentágono y el decágono respectivamente. (Fig. 21).

26.5. Heptágono.

La mediatriz del radio OP de la circunferencia circunstrita corta a la circunferencia en el punto N, siendo MN igual a
la magnitud del lado del heptágono. (Fig. 22).

26.6. Hexágono conociendo el lado.
A B

O

A B
(Fig. 23.)


60
Construimos el triángulo equilátero de lado igual a la magnitud del lado AB del hexágono. El vértice O hallado es el
centro de la circunferencia circunscrita. (Fig. 23)
Pentágono conociendo el lado.

M

A B r
(Fig. 24

Se sitúa el lado AB dado prolongando uno de sus extremos. (Fig.24)
Se levanta una perpendicular por el extremo B y se traslada sobre ella la magnitud del lado para obtener el punto M.
Con centro en el punto medio del lado, trasladamos el punto M sobre la prolongación de AB determinando el punto
F.
La distancia AF es igual a la magnitud de la diagonal de pentágono.
Con las medidas del lado y la diagonal hallada construimos el pentágono por

Transformaciones geométricas.
Translaciones.
Giros.
Simetrías.

27. TRAZADO GRÁFICO DE CURVAS PLANAS.

27.1. Construcción del óvalo conociendo los ejes.
El óvalo es una curva cerrada compuesta por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí.


61
Se transporta la magnitud del semieje mayor sobre el semieje menor y obtenemos el punto E. Con centro en C y
radio CE determinamos sobre la recta AC, el punto F. La intersección de la mediatriz del segmento AF con los ejes
del óvalo, son centros de dos de arcos de la curva. Los otros dos se obtienen por simetría, y los puntos de tangencia
por intersección de las rectas que unen los centros con los arcos. (Fig. 25)

Ë

C

A
O
B

D O

(Fig. 25)
27.2. Construcción del ovoide del que se conoce el eje menor.
La mediatriz del eje AB, al cortar con la circunferencia de diámetro la magnitud de dicho eje y centro su punto
medio, determina el centro de uno de los arcos del ovoide. Los otros centros son los extremos y el punto medio de
AB. (Fig. 26)


62

A B

(Fig. 26

27.3. Espiral de dos centros.
Con centro en uno de los puntos y radio la distancia entre ellos, se traza un primer arco que determina, sobre la
recta que los une, el primer punto de tangencia.
La distancia del segundo centro al punto de tangencia hallado, es el radio del segundo arco. (Fig. 27)

B A

. (Fig. 27)
27.4. Espiral de tres centros.
Prolongamos los lados de un triángulo equilátero cuyos vértices son los centros de la espiral. Hacemos centro en el
primer vértice con radio igual al lado y trazamos el primer arco hasta cortar la prolongación del primer lado. (Fig. 28)


63

1

2 3

(Fig. 28)

28. GENERACIÓN DE LAS CÓNICAS POR SECCIÓN DEL CONO.
28.1. Curvas cónicas


64
ELIPSE PARABOLA HIPERBOLA

(Fig. 30)
Las curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución.
(Fig. 30)
Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta que gira alrededor de un eje, e, fijo con el que se
corta en un punto V.
Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con el eje de la superficie cónica, se producen las distintas
curvas cónicas. (Fig. 31)
ELIPSE PARABOLA HIPERBOLA

e e e

v p v p v p

(Fig. 31)
Si el ángulo es mayor, igual o menor que el semiángulo del vértice de la superficie cónica, se producen,
respectivamente, una elipse, una parábola o una hipérbola.

65
28.2. ELIPSE

28.3. Elementos de la elipse.
Las elipses poseen los siguientes elementos: (Fig. 32)
Ejes de simetría. Son perpendiculares en sus puntos medios. El valor del eje mayor AA' es 2a y el del eje menor BB'
2b. El pnto de intersección de los ejes es el centro de simetría.
Focos. Son dos puntos fijos F y F', situados sobre el eje mayor y simétricos respecto al eje menor. FF' es igual a 2c.
Radios vectores. Son los segmentos comprendidos entre los puntos de la elipse y los focos. La suma de los radios
vectores correspondientes a un mismo punto es igual a 2a.
Circunferencia principal. Es la que tiene su centro en el centro de la elipse y radio igual al semieje mayor.
Circunferencias Focales. Son las circunferencias con centro en los focos y radio igual a 2a.
La elipse es una curva cerrada y plana. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual al eje mayor 2a.
¨B
Circunferencia
Local A Circunferencia
P Principal

ra
dio
ve
ct
or F F
F
O F"
A A"

Ä A
r=2a

B"

B

(Fig. 32) (Fig. 33)
Sea Pn un punto cualquiera de la elipse, se cumple que:
PnF + PnF' = 2a
Para determinar los focos F y F' de una elipse conocidos los ejes, se hace centro en un extremo del eje menor,
B por ejemplo, y se traza un arco de radio igual al semieje mayor a. La intersección del arco con el eje mayor son
los focos de la elipse. (Fig. 33)


66
Sabiendo que B es un punto de la elipse, se cumple que:
BF + BF' = 2a, como BF=BF', por estar B en un eje de simetría, resulta que BF=BF'=a.

29. TRAZADO DE LA ELIPSE.
29.1. Método de los puntos.
Este método se basa en la definición de la elipse.
A partir de uno de los focos y hasta el centro de la elipse, dividimos el eje mayor AA', en segmentos
complementarios cuya suma es 2a.A1 + 1A' = A2 + 2A' = A3 + 3A' = 2a
Estos segmentos son las medidas de los radios vectores de un mismo punto. Hallamos los puntos que distan A1 de
un foco y 1A' del otro, y así, con los demás segmentos. (Fig. 34)
El trazado de la elipse se realiza a mano alzada.
B

F 1 2 3
F"

A
A"

B"
(Fig. 34)


67
B

A A"

(Fig. 35)
29.2. Método de afinidad
Dibujados los ejes, se trazan las circunferencias de centro en O y radios los semiejes de la elipse. (Fig. 35)
Por los extremos de los diámetros de la circunferencia mayor trazamos paralelas al eje menor y por los extremos de
los diámetros de la menor, paralelas el eje mayor.
Los puntos de intersección pertenecen a la elipse.
29.3. Parábola
La parábola es una curva abierta y plana. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. Siendo Pn un punto cualquiera de la parábola, se
cumple que:
PnF = Pnd
La parábola puede considerarse una elipse que tiene su centro en el infinito, y por tanto, sólo tiene un foco y un
vértice real. La circunferencia principal tiene su centro en el infinito y pasa por el vértice, es pues, la recta
perpendicular al eje mayor que pasa por el vértice. La circunferencia focal es una recta que coincide con la directriz,
ya que tiene su centro en el foco del infinito. El vértice equidista del foco y de la directriz. (Fig. 36).


68
d3
d

r=13

F
1 2 3

(Fig. 36)

29.4. Hipérbola
La hipérbola es una curva abierta y plana de dos ramas. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. Siendo Pn un punto
cualquiera de la hipérbola, se cumple que:
PnF - PnF' = AA' = 2a
La hipérbola tiene dos ejes de simetría, el eje real AA' = 2a y el eje imaginario BB' = 2b. Se cortan en el centro de
simetría O. La circunferencia principal tiene su centro en O y r = a. Las circunferencias focales tienen los centros en
F y F' y r = 2a.

Los focos se determinan sobre el eje real con una circunferencia de centro O y r = AB (Fig. 37).


69

B

A O A"
3 2 1 F F"

B"

(Fig. 37).

La hipérbola y la parábola, al igual que la elipse, se construyen por el método de los puntos aplicando las
propiedades de sus definiciones.


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