1. Mec´anica estad´ıstica de un modelo
no lineal de desnaturalizaci´on del ADN
Javier Mun´arriz
Directores: Andrey V. Malyshev, Francisco Dom´ınguez-Adame
Universidad Complutense de Madrid
Departamento de F´ısica de Materiales
(Dated: 2 de diciembre de 2011)
En el presente trabajo, realizamos un an´alisis sistem´atico de la din´amica del modelo de cadena de
ADN introducido por Peyrard, Bishop, y Dauxois en un amplio rango de temperaturas. El estudio
de las fluctuaciones, de las correlaciones entre bases y de la transici´on de fase nos permite ofrecer
una visi´on global, especialmente ´util para su aplicaci´on en modelos electr´onicos de ADN.
I. INTRODUCCI´ON
El estudio de las propiedades del ADN, tradicional-
mente ligado al ´ambito de la biolog´ıa, ha conocido un
nuevo enfoque en los ´ultimos a˜nos, tras ser propuesto
como elemento constitutivo de una nueva electr´onica de
tama˜no molecular. Al estar las bases compuestas de anil-
los arom´aticos perpendiculares al eje de la mol´ecula, ex-
iste un acople de orbitales π paralelo a dicho eje, que
determina las propiedades el´ectricas de la cadena [1]. Los
experimentos realizados han mostrado resultados muy
dispares para dichas propiedades seg´un las caracter´ısti-
cas de la preparaci´on y la t´ecnica de medici´on empleada,
incluyendo comportamientos caracter´ısticos de aislantes
[2, 3], semiconductores [4–8] y conductores [9–12]. Por
tanto, la caracterizaci´on el´ectrica del ADN y su depen-
dencia del instrumento de medida, iones presentes, con-
tactos empleados, etc. es una cuesti´on que permanece
abierta y que tiene consecuencias en posibles aplicaciones
en dispositivos nanoel´ectricos (para una exposici´on detal-
lada, v´ease [13]). Para representar este comportamien-
to el´ectrico, y adem´as de los c´alculos ab-initio [14, 15],
que por su complejidad computacional est´an restringi-
dos a un peque˜no n´umero de bases, existen numerosos
modelos tight-binding (v´ease por ejemplo [16, 17]). Por
tratarse de un sistema cuasi unidimensional, el desorden
y la localizaci´on inducidos por el entorno juegan un pa-
pel fundamental en el transporte de cargas [18]. Debido
a la interacci´on electr´on-fon´on, el movimiento de la carga
puede estar acoplado al entorno y al movimiento de las
bases, motivo por el que es conveniente realizar un an´ali-
sis detallado del comportamiento din´amico de la cadena.
Una de las caracter´ısticas m´as sobresalientes de esta
din´amica es la desnaturalizaci´on del ADN, proceso por
el que esta macromol´ecula biol´ogica se separa en sus dos
hebras constituyentes. De hecho, y principalmente debido
a su conexi´on directa con la termodin´amica y la mec´anica
estad´ıstica, la desnaturalizaci´on comenz´o a ser estudiada
por f´ısicos mucho antes de que se acu˜nara el concepto de
electr´onica molecular. Se sabe que su desencadenante es
la ruptura de los puentes de hidr´ogeno que unen las bases
de ambas cadenas. Dado que entre la citosina y la guanina
(C-G) se suelen formar tres enlaces de hidr´ogeno, mien-
tras que entre la adenina y la timina (A-T) se forman
0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
yn Å
0.02
0.04
0.06
0.08
V yn eV
0
2
4yn Å 0
2
4
yn 1 Å
0.0
0.2
0.4
0.6
W eV
Figura 1: Perfil de los potenciales empleados en el modelo
de Peyrard-Bishop-Dauxois. En la imagen superior, el po-
tencial de Morse V (yn), y en la inferior, el de interacci´on
W(yn, yn+1). El potencial de Morse penaliza energ´eticamente
valores negativos de las coordenadas, por lo que ´unicamente
representamos valores yn, yn+1 ≥ −0,5 ˚A.
´unicamente dos, la concentraci´on de uno u otro tipo de
bases ejerce una gran influencia en la temperatura a par-
tir de la cual se produce una separaci´on total de ambas
hebras [19]. Dicha ruptura se mide experimentalmente
mediante espectroscop´ıa con rayos ultravioleta.
Din´amicamente, la desnaturalizaci´on viene precedida
por la formaci´on de burbujas en el ADN [20], es decir, re-
giones donde las bases se separan mucho m´as all´a del
alcance de la interacci´on por puentes de hidr´ogeno.
Este comportamiento y sus implicaciones se ha podi-
do modelizar mediante el modelo no lineal de Peyrard-

2. 2
Bishop-Dauxois [21]. En este trabajo estudiaremos las
propiedades termodin´amicas de la cadena en este mode-
lo, en particular las correlaciones en el movimiento de las
bases.
II. MODELO DE
PEYRARD-BISHOP-DAUXOIS
Para implementar la fenomenolog´ıa de la desnatural-
izaci´on en un modelo f´ısico v´alido, necesitamos varios in-
gredientes. Por una parte, hemos de definir un potencial
para la separaci´on de una base con su complementaria,
que d´e cuenta de la presencia de los enlaces de hidr´ogeno
mencionados. Dicho potencial ha de ser muy asim´etrico,
de tal forma que las dos bases repelan cuando se acer-
can demasiado, y apenas interaccionen cuando se alejan
por encima de un umbral (v´ease Fig. 1). Adem´as, intro-
duciremos una interacci´on entre bases vecinas, debido a
que est´an unidas a trav´es de un grupo fosfato, por lo que
no pueden evolucionar de un modo independiente. Final-
mente, hemos de modelar la interacci´on de la cadena con
el entorno, para dar cuenta de la acci´on de la temperatu-
ra.
El hamiltoniano del sistema de las bases [21] es el sigu-
iente:
H =
N
n=1
1
2
m ˙y2
n + V (yn) + W(yn, yn+1) , (1)
siendo yn la variable que describe la separaci´on entre
bases complementarias asign´andose yn = 0 a la posici´on
de equilibrio, y V, W los potenciales siguientes:
V (yn) = D0 e−αyn
− 1
2
(2)
W(yn, yn+1) =
k
2
1 + ρe−β(yn+1+yn)
×(yn+1 − yn)2
(3)
El potencial V (yn) es el potencial de Morse, emplea-
do habitualmente para modelizar enlaces de hidr´ogeno.
W(yn+1, yn) era en el art´ıculo original de Peyrard-Bishop
[22] parab´olico (l´ımite ρ = 0 o β = 0), lo cual permit´ıa
obtener la funci´on de partici´on del sistema anal´ıticamente
hasta una cierta temperatura. Sin embargo, con ese mod-
elo la temperatura de desnaturalizaci´on estaba en un ran-
go muy amplio, contrariamente a los experimentos. El
t´ermino exponencial hace que el potencial deje de ser
´unicamente un potencial de interacci´on entre bases con-
secutivas, ya que la ley de acci´on y reacci´on deja de ser
v´alida:
∂W
∂yn
+
∂W
∂yn+1
= 0, (4)
implicando la presencia de un potencial externo a ambas
part´ıculas.
Sin embargo, la introducci´on de dicho t´ermino tiene
una base f´ısica muy clara, ya que la interacci´on en-
tre bases consecutivas cambia radicalmente al separarse
dichas bases en la desnaturalizaci´on, debido al cambio en
la configuraci´on electr´onica. Por ello, cuando la cadena
no esta separada, yn, yn+1 0, con lo que W(yn, yn+1)
se comporta como un potencial arm´onico de constante
k = k(1 + ρ), mientras que tras la desnaturalizaci´on
yn, yn+1 0, con lo que tenemos un potencial k = k.
Los valores de par´ametros empleados, son los m´as ha-
bituales dentro de la literatura, seleccionados de modo
emp´ırico para que se ajusten a las curvas de desnat-
uralizaci´on del ADN [21], siendo D0 = 0,04 eV, α =
4,45 ˚A
−1
, k = 0,04 eV/˚A, ρ = 0,5, β = 0,35 ˚A
−1
.
El modelo expuesto tiene una extensi´on natural cuan-
do introducimos una funci´on de onda electr´onica (mod-
elo de Peyrard-Bishop-Holstein, PBH [23]). Sin entrar
en detalles por ir m´as all´a del objetivo del presente es-
tudio, simplemente diremos que este modelo consiste en
una ecuaci´on cl´asica para el movimiento de las bases, una
ecuaci´on de Schr¨odinger discretizada para los electrones
en la banda de conducci´on, y un acoplo entre ambos, de
tal forma que la din´amica del electr´on viene dada por su
hamiltaniano m´as el siguiente t´ermino extra:
H = Hel +
n
χyn|ψn ψn|, (5)
donde |ψn denota los estados de Wannier.
Este sistema tiene una gran riqueza fenomenol´ogica,
pendiente de ser testeada experimentalmente. Sin em-
bargo, el intento de incluir el efecto de la temperatura
y del desorden en estas ecuaciones da lugar a numerosas
posibilidades, por lo que es necesario un estudio en pro-
fundidad del comportamiento de la cadena a temperatura
finita.
Cuando introducimos un ba˜no t´ermico para la cadena,
la funci´on de ondas del electr´on percibir´a dicho ba˜no a
trav´es del t´ermino de acoplo. Sin embargo, debido a pro-
cesos como el de formaci´on de burbujas, es de esperar
que el ruido introducido en la ecuaci´on electr´onica deje
de ser blanco o completamente descorrelacionado, para
pasar a tener un cierto color para bases pr´oximas. Este
hecho se vuelve especialmente relevante cuando el elec-
tr´on est´a confinado en un n´umero peque˜no de bases.
III. INTEGRACI´ON DE LA ECUACI´ON
ESTOC ´ASTICA.
A partir del hamiltoniano (1) y de sus ecua-
ciones asociadas, obtenemos un conjunto de ecuaciones
del movimiento deterministas, que introducimos en la
ecuaci´on de Langevin, que separa la acci´on del ba˜no
t´ermico en un t´ermino de fluctuaci´on y otro de disipaci´on:
dyn
dt
= vn (6)
m
dvn
dt
= −V (yn) − W (yn, yn−1)
−W (yn, yn+1) − mγvn(t) + ξ(t), (7)

3. 3
denotando el s´ımbolo prima derivaci´on respecto a la
variable yn, y siendo ξ(t) el ruido blanco gaussiano,
definido a trav´es de las siguientes relaciones:
ξ(t) = 0 (8)
ξ(t)ξ(t ) = 2kBTγδ(t − t ) (9)
A lo largo de esta investigaci´on, emplearemos m =
300 a.m.u. para la masa de la base, y γ = 0,005 ps−1
para
el coeficiente de disipaci´on. Para esta ´ultimo magnitud
tomamos valores de referencia en la literatura.
El algoritmo a emplear para integrar las ecuaciones
(6,7) ser´a el desarrollado en [24, 25], ci˜n´endonos al de-
nominado 3o4s2g (v´alido hasta tercer orden, emplea 4
subpasos para cada paso de la integraci´on, y 2 n´umeros
aleatorios gaussianos por cada paso y variable con ruido).
Merece la pena profundizar en el significado de la in-
tegraci´on estoc´astica. Por brevedad, nos ce˜niremos a una
´unica variable. La ecuaci´on a resolver ser´a:
dx
dt
= f(x) + A(t) (10)
Si realizamos el desarrollo recursivo de esta ecuaci´on
para obtener x(∆t), sustituyendo en cada momento f(x)
por su desarrollo en serie, obtenemos un desarrollo con
una parte determinista D (id´entica a una ecuaci´on difer-
encial con A(t) = 0) y una parte estoc´astica S:
x(∆t) = x(0) + D(∆t, ∆t2
, . . .) (11)
+ S(∆t1/2
, ∆t3/2
, ∆t2
, ∆t5/2
, . . .) (12)
Para una ecuaci´on determinista, es evidente que un al-
goritmo de resoluci´on v´alido hasta orden o ha de anular
todos los coeficientes de ∆tn
, n ≤ o. En una ecuaci´on
estoc´astica, debemos hablar de validez estad´ıstica, por
lo que para tener un algoritmo v´alido hasta orden o, es
necesario no s´olo que la parte determinista sea v´alida
hasta dicho orden, sino que adem´as todos los promedios
de momentos de S tambi´en lo sean. Dadas las especiales
propiedades de la distribuci´on gaussiana, se puede de-
mostrar que basta con comprobar los dos primeros mo-
mentos, S y S2
.
No podemos terminar esta secci´on sin discutir si real-
mente un algoritmo de 4 subpasos merece la pena para
esta integraci´on, pues recordemos que 4 subpasos impli-
ca evaluar 4 veces las derivadas de los potenciales, con
sus t´erminos exponenciales correspondientes. En reali-
dad, todo depende del paso de tiempo ∆t escogido. As´ı,
tenemos que estar seguros que dicho paso es suficiente-
mente fino en relaci´on con las escalas de tiempo del po-
tencial. Una posible estimaci´on de dicha escala de tiem-
pos es la frecuencia de los potenciales, obtenida realizan-
0 100 200 300 400 500
T (K)
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
Calorespecificoporparticula(eV/K)
Figura 2: Calor espec´ıfico en funci´on de la temperatura para
una cadena de 1024 sitios.
do la aproximaci´on parab´olica. As´ı,
V (r) = D0 e−αyn
− 1
2
D0α2
y2
n
⇒ ωM =
2D0α2
m
= 7,13 ps−1
(13)
W(yn, yn+1)
k
2
(yn+1 − yn)2
⇒ ωint =
k
m
= 1,13 ps−1
(14)
En ambos potenciales tenemos escalas del orden del pi-
cosegundo, por lo que la elecci´on de un paso ∆t = 0,01 ps
es adecuada. Para dicho tama˜no de paso, el algoritmo
empleado y una integraci´on de primer orden ofrecen re-
sultados estad´ısticamente compatibles para temperaturas
suficientemente altas, pero es preferible emplear el algo-
ritmo de orden superior, por la posible extensi´on de este
trabajo a sistemas con funciones de onda electr´onicas,
pues en estos ´ultimos la conservaci´on de la norma exige
una integraci´on m´as fina.
El programa completo ha sido programado en C, em-
plendo t´ecnicas propias de HPC (High Performance Com-
puting) mediante las librer´ıas BLAS (Basic Linear Alge-
bra Subprograms) y VML (Vector Mathematical Func-
tions) de Intel, y paralelizando el c´odigo en la medida de
lo posible.
IV. TRANSICI´ON DE FASE EN EL MODELO
DE PEYRARD-BISHOP-DAUXOIS.
Como paso previo al estudio de la transici´on de fase
en la cadena de ADN, comprobaremos que el sistema no
est´a dentro de la acci´on del teorema de Van Hove [26]
(para una discusi´on detallada, v´ease [27]). Dicho teore-
ma demuestra que no pueden existir transiciones de fase
en sistemas unidimensionales con interacciones de cor-
to alcance, cuando se cumplen las condiciones de homo-
geneidad, inexistencia de campos externos, y part´ıculas
de n´ucleo duro. En nuestro sistema, la homogeneidad se

4. 4
0 100 200 300 400 500
T (K)
2
4
6
8
10
CumulantedeBinder
0 100 200 300 400 500
N = 250
N = 500
N = 1000
N = 2000
340 360 380
2
4
6
8
0 100 200 300 400 500
T (K)
2
4
6
8
CumulantedeBinder
0 100 200 300 400 500
N = 250
N = 500
N = 1000
480 520 560
2
2.5
3
3.5
Figura 3: Cumulante de Binder para el modelo de Peyrard-Bishop-Dauxois (imagen izquierda), con interacci´on entre bases
arm´onica y para el modelo de Peyrard-Bishop original (imagen derecha), con interacci´on arm´onica. En ambos casos, empleamos
condiciones de contorno r´ıgidas. En los cuadros interiores, zonas pr´oximas a las transiciones.
cumple, ya que tomamos una cadena con un ´unico tipo
de bases. Sin embargo, la segunda condici´on, tal y como
est´a formulada por van Hove, no es v´alida para nuestro
sistema, pues implica que el potencial dependa exclusi-
vamente de la distancia entre part´ıculas, algo que no se
cumple en ning´un caso para el potencial de Morse, que
depende ´unicamente de la posici´on yn de las part´ıculas.
Por tanto, el sistema no presenta ninguna limitaci´on que
le impida experimentar una transici´on de fase, algo ya de-
mostrado anal´ıticamente por Suris [28] para un sistema
continuo con un potencial V gen´erico y W arm´onico, y
extendido posteriormente [29] para el caso estudiado.
Una de las caracter´ısticas m´as destacadas de una tran-
sici´on de fase es el comportamiento del calor espec´ıfico,
que presenta una singularidad en el punto cr´ıtico. En la
Fig. 2, se representa dicha magnitud frente a la temper-
atura. N´otese que la curva tiene un pico muy pronunciado
en torno a T = 355 K. Sin embargo, sin un estudio detal-
lado del calor espec´ıfico y de su comportamiento cr´ıtico
en el l´ımite termodin´amico, no tenemos una confirmaci´on
definitiva de la existencia de una transici´on de fase, por
lo que buscaremos otras se˜nales caracter´ısticas de una
transici´on.
A. Determinaci´on de la temperatura de transici´on
mediante el cumulante de Binder
Con el objetivo de entender mejor esta transici´on,
tomaremos el cumulante de Binder, formulado original-
mente para el modelo de Ising [30]. Dicho funcional es-
tudia el tipo de distribuci´on del par´ametro de orden a
una temperatura dada, relacionando su segundo y cuar-
to momento. Normalmente, para un sistema finito la dis-
tribuci´on se ve afectada por el tama˜no del sistema, salvo
excepciones como la completa independencia de los sitios,
o la transici´on.
En nuestro caso, emplearemos como par´ametro de or-
den las propias variables yn, pues caracterizan la tran-
sici´on de una cadena de ADN entrelazada a dos hebras
separadas, quedando por tanto el cumulante definido co-
mo:
U =
y4
n
y2
n
2
(15)
Propiamente, el cumulante de Binder para un par´ametro
de orden O es U = 1 − O4
/3 O2 2
.
La raz´on fundamental para emplear dicho funcional
es la analog´ıa entre la separaci´on yn de las bases, y la
magnetizaci´on en modelos de esp´ın tipo Ising. As´ı, en
la cadena de ADN para bajas temperaturas esperamos
que las bases adyacentes est´en descorrelacionadas, pues
no hay suficientes fluctuaciones t´ermicas para crear bur-
bujas que las correlacionen. Sin embargo, conforme au-
mentamos la temperatura, incrementamos el tama˜no de
dichas burbujas, hasta que igualan el tama˜no total de
la cadena, separ´andose. En este momento, las posiciones
consecutivas estar´an muy correlacionadas. En el caso de
la magnetizaci´on en modelos de esp´ın, tendremos el mis-
mo esquema, salvo que en este caso son las fluctuaciones
las que descorrelacionan los espines vecinos, por lo que el
comportamiento para baja temperatura ser´a an´alogo al
de alta temperatura en el modelo de ADN, y viceversa.
En Fig. 3 se representan los cumulantes de Binder para
distintas temperaturas en los casos de potencial de inter-
acci´on anarm´onico y arm´onico. En ambos casos, cuan-
do T tiende a 0, los cumulantes se aproximan a 3. Es-
to nos permite suponer que en dicho l´ımite, la distribu-
ci´on de las yn es aproximadamente gaussiana, pues es-
ta distribuci´on presenta dicha relaci´on entre momentos.
Por tanto, para temperaturas muy bajas las bases es-
tar´an completamente descorrelacionadas, siendo el rui-
do t´ermico (gaussiano) la ´unica contribuci´on a la fun-
ci´on de partici´on. Para temperaturas muy superiores a
la de transici´on, tambi´en se llega a un l´ımite, que de-
pende de las condiciones de contorno. As´ı, para condi-

5. 5
0 100 200 300 400 500 600
T(K)
0
10
20
30
40
50
<R>(Å) N=256
N=512
N=1024
0 100 200 300 400 500
T (K)
0.1
0.2
0.3
0.4
σR
/R
0 100 200 300 400 500
0.1
0.2
0.3
0.4
N = 250
N = 500
N = 1000
Figura 4: En la imagen de la izquierda, valor medio del rango de las yn en funci´on de la temperatura, para Ntot =256, 512 y
1024. En la imagen de la derecha, cociente entre la desviaci´on est´andar del rango y el propio rango, para los mismos tama˜nos
de cadena.
ciones de contorno r´ıgidas (y0 = yn+1 = 0), tenemos
U(T Tc) 1,6, mientras que para condiciones de con-
torno libres (W(y0, y1) = W(yn, yn+1) = 0), obtenemos
U(T Tc) 1,27.
Para estimar las temperaturas de transici´on, calcu-
lamos num´ericamente los puntos de corte entre las dis-
tintas l´ıneas, realizando para ello una interpolaci´on lin-
eal. Promediando las estimaciones de dicha temperatu-
ra, dadas por las abcisas de los puntos de corte, obten-
emos una temperatura de transici´on Tc = 356,0 ± 0,4K
para el caso del potencial de interacci´on anarm´onico, y
Tc = 515,4 ± 0,6K, cuando el potencial es arm´onico.
B. Fluctuaciones cr´ıticas
Es conocido que una de las caracter´ısticas fundamen-
tales de una transici´on de fase es el comportamiento
cr´ıtico de las fluctuaciones en torno a ´este. Con el objeti-
vo de avanzar en la comprensi´on de dichas fluctuaciones,
definimos a continuaci´on el rango de una configuraci´on
dada, como:
R(t) = sup
n
{yn(t)} −´ınf
n
{yn(t)} (16)
Tal y como esperamos debido a todo lo estudiado an-
teriormente, esperamos que el rango sea una funci´on cre-
ciente de la temperatura, tal y como efectivamente se
comprueba en la parte izquierda de la Fig. 4. Esta mag-
nitud nos permite determinar en qu´e momento las fluc-
tuaciones del sistema adquieren tama˜nos comparables al
del propio sistema, ya que a partir de estas temperaturas,
las l´ıneas para diferentes tama˜nos del sistema se separan.
Adem´as, si comparamos las lineas en la zona de temper-
aturas superiores a la cr´ıtica, vemos que el rango escala
de un modo bastante preciso como
√
N. Esto nos permite
extraer informaci´on sobre la forma de las burbujas.
Como una forma de medir la intensidad de las fluctua-
ciones, comparamos la desviaci´on est´andar del rango con
el propio rango. Esta medida es una forma de comprobar
si para una determinada temperatura, existe un dominio
de un tama˜no concreto de burbujas, en cuyo caso obten-
dremos un valor bajo para el cociente, o si por el contrario
existe una mezcla de tama˜nos, con un cociente asociado
m´as alto. En la imagen derecha de la Fig. 4 podemos
comprobar que, efectivamente, σR/R presenta un pico
en torno al punto cr´ıtico, se˜nal de que en esta zona las
fluctuaciones presentan un comportamiento cr´ıtico.
V. FUNCI´ON DE CORRELACI´ON ESPACIAL
Con el fin de intentar comprender c´omo afecta el rui-
do t´ermico a la din´amica de la cadena, calcularemos las
funciones de correlaci´on espacial de la cadena para distin-
tas temperaturas. Para ello, simularemos una trayectoria
suficientemente larga. A partir de la funci´on de autocor-
relaci´on temporal de un par´ametro de orden:
ρO(t) =
1
T − t
τ=T −t
τ=0
O(τ + t) − ¯O O(τ) − ¯O
O2 − O 2
, (17)
obtendremos el tiempo exponencial, medida del tiempo
de termalizaci´on del sistema, y el tiempo integrado, asoci-
ado al tiempo que tarda el sistema en descorrelacionarse
[31]. En ambos casos, y dado que las colas de la funci´on de
autocorrelaci´on tienen errores que, acumulados, pueden
llegar a ser muy importantes, empleamos m´etodos auto-
consistentes para el c´alculo.
Por tanto, dada la funci´on de autocorrelaci´on tempo-
ral, tomamos las configuraciones correspondientes a los
tiempos t0 = 10τexp, t1 = t0 + 2τint, t2 = t1 + 2τint, . . ., y
realizamos el estudio para dichas configuraciones.
En Fig. 5 se representa el comportamiento de las fun-
ciones de autocorrelaci´on para una cadena de 1024 sitios
y condiciones de contorno peri´odicas. Podemos obser-
var que la formaci´on de burbujas tiene un gran impacto

6. 6
0 100 200 300 400 500
Distancia (bases)
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ρ(n)
T = 280 K
T = 340 K
T = 360 K
T = 500 K
0 100 200
0.1
1
1 10 100
0.01
0.1
1
Figura 5: Funci´on de autocorrelaci´on espacial de la posici´on de
las bases para diferentes temperaturas y Ntot = 1024. Debido
a las condiciones de contorno peri´odicas, ρ(n) = ρ(Ntot − n).
En los cuadros interiores, representaci´on log-lineal y log-log.
0 100 200 300 400 500 600
T (K)
0
25
50
75
100
125
Distanciadecorrelacion(bases)
N = 1024
N = 256
N = 512
Figura 6: Distancia de autocorrelaci´on en funci´on de la tem-
peratura, para distintos tama˜nos de la cadena.
20
40
60
-4
0
4
yn
(Å)
0 100 200 300 400 500
Numero de base
-1
0
1
Figura 7: Instant´aneas tomadas durante las evoluciones de ca-
denas de 512 sitios, para T = 150 K (inferior), T = 330 K
(medio) y T = 450 K (superior). La l´ınea roja muestra el
promedio de las yn. Podemos observar que, conforme aumen-
ta la temperatura, la excitaci´on se aproxima al tama˜no del
sistema.
sobre la funci´on de autocorrelaci´on. Para una temper-
atura mayor o igual que la de transici´on, la existencia
de correlaciones de largo alcance se hace evidente, impi-
di´endonos definir una distancia de correlaci´on, pues el de-
caimiento no es exponencial. Sin embargo, si nos ce˜nimos
a valores de la funci´on de correlaci´on positivos y estable-
cemos un corte para ρ = 0,1, la porci´on de funci´on que
nos queda se ajusta de un modo suficientemente correc-
to a una ca´ıda exponencial, a partir de la cual pode-
mos definir una distancia de autocorrelaci´on efectiva, tal
y como se muestra en Fig. 6. Esta figura nos permite
diferenciar entre dos reg´ımenes: por debajo de la tran-
sici´on, las perturbaciones producidas por el ruido tienen
un tama˜no caracter´ıstico del orden de una base, con lo
que el tama˜no total de la cadena no tiene ninguna rel-
evancia. Por el contrario, para temperaturas superiores
a Tc, las excitaciones son de la misma magnitud que el
tama˜no de la cadena, tal y como se muestra en Fig. 7, con
lo que ´este afecta notablemente al valor de la distancia de
autocorrelaci´on, que crece de un modo aproximadamente
lineal con el n´umero de bases.
VI. CONCLUSIONES
En el presente trabajo, hemos estudiado las
propiedades termodin´amicas de la cadena en el
modelo de Peyrard-Bishop-Dauxois. Hemos observado
con diversos m´etodos (calor espec´ıfico, cumulante de
Binder y fluctuaciones cr´ıticas) que en este modelo
existe una transici´on de fase con una temperatura bien
definida en torno a Tc = 355 K. Esta temperatura
est´a dentro del rango de valores experimentales para la
desnaturalizaci´on del ADN.
Adem´as, hemos comprobado que en las cadenas de
ADN biol´ogicas (con temperaturas superiores a la del
punto de fusi´on del agua) existen correlaciones fuertes
entre las variables yn, es decir, que el valor de la dis-
tancia entre las bases complementarias (C-G o A-T) de-
pende de un modo notable de los valores de sus vecinos.
Sin embargo, es necesario un estudio m´as completo de las
funciones de correlaci´on, para una previsible redefinici´on
de la distancia de correlaci´on en los casos de ca´ıda no
exponencial.
Al introducir una ecuaci´on electr´onica acoplada (ver
Ec. 5), la aproximaci´on adiab´atica, por la que las bases
permanecen congeladas durante el movimiento elec-
tr´onico, hace que las posiciones yn de las bases act´uen
como un desorden en la diagonal de dicho hamiltoniano,
lo cual afecta de un modo fundamental a las propiedades
de transporte y localizaci´on electr´onicas. N´otese que en
el presente estudio no hemos incluido el efecto de una
hipot´etica funci´on de onda electr´onica sobre la configu-
raci´on de la cadena, proporcional en cada sitio a la den-
sidad de la funci´on de onda en ´el. Es en esta ´ultima ´area
donde este trabajo encuentra su extensi´on natural.

7. 7
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