Electromagnetismo en el espacio-tiempo de Minkowski (Teoría Electromagnética, Análisis tensorial)

1. ELECTROMAGNETISMO EN EL ESPACIO-TIEMPO DE
MINKOWSKI
Gil González Luis Gildardo, Navarro León Rodrigo, Gama Camacho Ángel Oswaldo
Departamento de Física, CUCEI, Universidad de Guadalajara, Av. Revolución 1500, GDL, Jal., 44330, México.
November 30, 2016
Abstract
En el proyecto que se presenta a continuación se partirá de las dos ecuaciones de Maxwell en su forma
tensorial utilizando la métrica de un espacio-tiempo de Minkowski, pues estas son tetradimencionales;
incluyen una dimension temporal y tres dimensiones espaciales, en donde una ecuación es homogénea
y la otra es no-homogénea, es decir, la ecuacion homogena describe los campos, mientras que la no-
homogenea describe las funetes que producen a los campos. Para así posteriormente resolviendo dichas
ecuaciones obtener dos ecuaciones de cada una, encontrando las ya conocidas cuatro ecuaciones de
Maxwell para un espacio tridimensional.
1 Introducción
La naturaleza de la luz ha sido una incógnita que ha llamado la atención del ser humano desde tiempos
remotos, sin embargo no hubo respuesta a ello hasta que se unificaron las teorías de la electricidad y el
magnetismo en una sola disciplina conocida como electromagnetismo, la cual está descrita completamente
por las ecuaciones de Maxwell. Estas muestran que un campo magnético variable en el tiempo actúa como
fuente de campo eléctrico y que un campo eléctrico variable en el tiempo actúa como fuente de campo
magnético. Estos campos (denotados por E y B) pueden sostenerse entre sí, formando una onda electromag-
nética que se propaga por el espacio. La luz visible emitida por el filamento incandescente de una bombilla
es un ejemplo de onda electromagnética; otros tipos de ondas electromagnéticas son producidos por fuentes
como las estaciones de radio y televisión, osciladores de microondas para hornos y radares, aparatos de
rayos X y núcleos radiactivos.
1.1 Ecuaciones de Maxwell y porque utilizar notación tensorial
Sabemos que cuando los campos eléctricos y magnéticos no varían con el tiempo es posible analizarlos de
manera independiente sin considerar sus interacciones. Sin embargo cuando los campos varían en el tiempo
ya no son independi entes.
La convención tradicional de la forma de las ecuaciones de Maxwell que describen la interacción entre los
campos y las fuentes que los producen en el espacio tridimensional en el Sistema Internacional de unidades
está dada por:
1

2. ∇·E = 4πρ (Ley de Gauss en electricidad) (1)
∇×B−
1
c
∂E
∂ t
=
4π
c
J (Ley de Ampere−Maxwell) (2)
∇×E +
1
c
∂B
∂ t
= 0 (Ley de induccion de Faraday) (3)
∇·B = 0 (Ley de Gauss en magnetismo) (4)
donde E el campo eléctrico, B el campo magnético; ρ la densidad de carga (función escalar), c es la veloci-
dad de la luz y J la densidad de corriente (función vectorial). Las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones no-
homogéneas dado que tienen fuente distinta de cero, mientras que las ecuaciones (3) y (4) son homogéneas
porque tienen fuente igual a cero. El sistema de ecuaciones de Maxwell es un conjunto de ecuaciones difer-
enciales parciales acopladas en los campos eléctrico y magnético.
En el caso importante de la electrostática y la magnetostática los campos son independientes del tiempo
de modo que las derivadas parciales respecto al tiempo son cero, sin embargo ese es un caso simplificado,
realmente los campos eléctrico y magnético si varían con el tiempo.
Aunque las cuatro ecuaciones de Maxwell describen de manera extraordinaria la electrodinámica en un es-
pacio tridimensional lo cual es excelente pues funcionan en practicamente todo problema, siempre y cuando
no varien los campos eléctricos y magnéticos con el tiempo, pero si los campos magneticos y electricos
varian con el tiempo se complica el problema y como ya se sabe desde Einstein, existe una cuarta dimension
la cual es el tiempo, asi es que si a las cuatro ecuaciones de Maxwell se le aplicara la metrica de Minkowski
obtendriamos dos ecuaciones en su forma tensorial que incluirian el tiempo y serian equivalentes a las 4
anteriores. De ahí que con 2 ecuaciones tensoriales más completas es posible describir de una mejor manera
a la electrodinámica.
2 Espacio-tiempo de Minkowski
El espacio de Minkowski (o espacio-tiempo de Minkowski) es una variedad lorentziana de cuatro dimen-
siones y curvatura nula, usada para describir los fenómenos físicos en el marco de la teoría especial de
la relatividad de Einstein. En dicho espacio, pueden distinguirse tres dimensiones espaciales ordinarias y
una dimensión temporal adicional, de tal manera que todas juntas forman una 4-variedad que representa al
espacio-tiempo.
El tensor métrico de dicho espacio puede ser representado de la forma:
ds2 = (−dx0)(dx0)+(dx1)(dx1)+(dx2)(dx2)+(dx3)(dx3)
Sin embargo es común renombrar las coordenadas utilizadas en términos de las coordenadas espaciales,
además del tiempo tal como se usa en la mecánica Newtoniana mediante la transformación; (x0,x1,x2,x3) −→
(ct,x,y,z) teniendo así la forma del tensor métrico dada por:
ds2 = −cdt2 +dx2 +dy2 +dz2
El cual se puede escribir en forma matricial como:
ds2 = (cdt,dx,dy,dz)




−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1








cdt
dx
dy
dz




2

3. Ó bien en forma tensorial como: ds2 = gijdxidxj, para i, j = 0,1,2,3, el cual se denomina métrica ó tensor
métrico.
De lo anterior es fácil observar que para el espacio considerado la matriz gij posee en las entradas sólo
valores constantes, análogamente su inversa tendrá unicamente constantes en las entradas y para este caso
será la misma.
gij = gij
=




−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 (5)
3 Desarrollo
Se parte de las ecuaciones de Maxwell en su forma covariante, en términos de las componentes del campo
electromagnético;
∇µFµν
=
4π
c
Jν
(6)
∇[µFνλ] = 0 (7)
donde Fµν es el tensor de campo electromagnético ó Tensor de Faraday, definido por
Fµν
=




0 −E1/c −E2/c −E3/c
E1/c 0 −B3 B2
E2/c B3 0 −B1
E3/c −B2 B1 0



 (8)
y Jν = (cρ,J) es el cuadrivector carga-corriente, que representa la fuente del campo Fµν.
Partiendo de la ecuación (6) tenemos que:
∇µFµν
= ∂µFµν
+Γ
µ
µλ Fλν
+Γν
µλ Fµλ
+Γ
µ
µλ Fµλ
=
4π
c
Jν
(9)
Sin embargo es fácil demostrar que los símbolos de Christoffel de (6) son todos iguales a cero debido a qué
la métrica de Minkowski tiene todas sus componentes constantes.
Por lo tanto tenemos:
∇µFµν
= ∂µFµν
=
4π
c
Jν
(10)
Ahora de (10) resolviendo por componentes tenemos
∂0F0ν
= ∂0F00
+∂0F01
+∂0F02
+∂0F03
(11)
∂1F1ν
= ∂1F10
+∂1F11
+∂1F12
+∂1F13
(12)
∂2F2ν
= ∂2F20
+∂2F21
+∂2F22
+∂2F23
(13)
∂3F3ν
= ∂3F30
+∂3F31
+∂3F32
+∂3F33
(14)
Con la componente F00 = F11 = F22 = F33 = 0 , para (11), (12), (13) y (14) respectivamente tenemos;
∂0F01 +∂0F02 +∂0F03 = −1
c ∂tE
∂1F10 +∂1F12 +∂1F13 = 1
c ∂1E1 −∂1B3 +∂1B2
3

4. ∂2F20 +∂2F21 +∂2F23 = 1
c ∂2E2 +∂2B3 −∂2B1
∂3F30 +∂3F31 +∂3F32 = 1
c ∂3E3 −∂3B2 +∂3B1
De tal manera que sumando la primer componente de las ecuaciones (11), (12), (13), (14), la cual es la
primer componente del cuadrivector de carga-corriente (cρ) obtenemos la ecuación (1); Ley de Gauss en
electricidad, la cual nos dice que la divergencia de E es proporcional a la densidad de carga en el punto,
y que entonces las cargas son las fuentes escalares de E. Por lo tando si la densidad de carga es positiva
tendremos un campo que emerge de ella, mientras que si la densidad de carga es negativa tendremos un
campo dirigido hacia ella:
∇·E = 4πJ0
c = 4πρ. (Ley de Gauss en electricidad)
Ahora bien sumando todas las demas ecuaciones llegamos a:
∂2B3 −∂3B2 −∂1B3 +∂3B1 +∂1B2 −∂2B1 − 1
c ∂tE = 4π
c J
de donde se observa que los primeros seis términos de la expresión son el rotacional del campo magnético,
donde (∂2B3 −∂3B2) está dirigido en la dirección ˆe1, (−∂1B3 +∂3B1) dirigido en la dirección ˆe2 y (∂1B2 −
∂2B1) dirigido en la dirección ˆe3 de modo que sabiendo esto llegamos a la ecuación (2); la Ley de Ampere-
Maxwell, la cual relaciona un campo magnético estático con la causa, es decir, una corriente eléctrica
estacionaria y explica que la circulación de la intensidad del campo magnético en un contorno cerrado es
proporcional a la corriente que recorre en ese contorno.:
∇×B− 1
c
∂E
∂ t = 4π
c J (Ley de Ampere−Maxwell)
Para (7) podemos notar que las derivadas covariantes pueden transformarse en derivadas parciales debido a
que al igual que en (6) los símbolos de Christoffel son cero.
∂[µFνλ] = 0. (15)
O de forma equivalente:
∂µFνλ +∂νFλµ +∂λ Fµν = 0. (16)
Definimos a Fµν como:
Fµν =




0 E1/c E2/c E3/c
−E1/c 0 −B3 B2
−E2/c B3 0 −B1
−E3/c −B2 B1 0



 (17)
Expandiendo para los valores de µ = 0,1,2,3. tenemos las ecuaciones:
∂0Fνλ +∂νFλ0 +∂λ F0ν = 0 (18)
∂1Fνλ +∂νFλ1 +∂λ F1ν = 0 (19)
∂2Fνλ +∂νFλ2 +∂λ F2ν = 0 (20)
∂3Fνλ +∂νFλ3 +∂λ F3ν = 0 (21)
Reescribiendo las ecuaciones (17) a (20) se tienen como resultados:
∂1F32 +∂2F13 +∂3F21 = 0. (22)
O de manera similar
4

5. ∂1B1
+∂2B2
+∂3B3
= 0. (23)
Lo cual es equivalente a la ecuación (4)
Finalmente se obtienen las tres siguientes ecuaciones:
∂2F03 +∂3F20 +
1
c2
∂0F32 = 0. (24)
∂3F01 +∂1F30 +
1
c2
∂0F13 = 0. (25)
∂1F02 +∂2F10 +
1
c2
∂0F21 = 0. (26)
O visto de otro modo cada una de las componentes vectoriales de la ecuación (3). Análogamente medi-
ante un procedimiento similar es posible llegar a la cuarta ecuación de Maxwell.
4 Referencias
References
[1] JOHN DAVID JACKSON, Classical Electrodynamics, tercera edición, págs 553-560. John Wiley and
sons, Inc.
[2] JOHN AUPING BIRCH, Una revisión de las teorías sobre el origen y la evolución del Universo, Mexico
2009, Universidad Iberoamericana, págs 567-602.
[3] https://estudiarfisica.com/2011/10/22/el-campo-electromagnetico-cuadripotencial-tensor-de-faraday-
ecuaciones-de-maxwell-lagrangiana-y-ecuacion-de-la-onda-electromagnetica/
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