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TEMA: Ecuaciones en derivadas parciales SEMANA: 08
TURNO: MAÑANA PABELLÓN: B AULA: 604 SEMESTETRE: 2017 - I
Ecuaciones en derivadas parciales
INTRODUCCION
El diferencial total de una función diferenciable de varias variables se define por:
du
u
t
dt
u
x
dx
u
y
dy
u
z
dz    








..........
Las ecuaciones diferenciales ordinarias vinculan las derivadas de funciones de una variable. Los
métodos estudiados para EDOs no son en general aplicables a las ecuaciones en derivadas
parciales (EDP).
La solución numérica de las EDP es toda una disciplina; los problemas de mecánica de los
fluidos, transmisión de calor, cálculo de tensiones y deformaciones en sólidos, etc. son
expresados en términos de una EDP.
Las grandes exigencias planteadas al hardware en la resolución de EDPs han provocado que los
métodos y algoritmos traten de explotar al máximo las particularidades del problema.
Por ello, existen textos completos sobre técnicas particulares, trucos, etc. muy vinculadas al
problema específico. Esta situación, que podría interpretarse como negativa, muestra el interés
y la vigencia de las investigaciones sobre el tema.
Del conjunto de todas las posibles EDP, destacan las EDP de segundo orden, por modelar un
grupo importante de fenómenos. Su forma general es (en el caso bidimensional)
A
x
B
x y
C
y
D
x
E
y
F S
 

 
 
 






2
2
2 2
2
     
Definiciones.- Si A,B,C,...S, etc. no son funciones de   la ecuación se dice lineal.
Complementariamente, la EDP se califica de acuerdo a relaciones entre sus coeficientes,
Si
elíptica042
 ACB
parabólica042
 ACB
ahiperbólic042
 ACB
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Las EDP elípticas aparecen en problemas estacionarios de transmisión de calor, difusión de
partículas o vibración de una membrana.
Las ecuaciones parabólicas típicamente resultan de analizar la evolución temporal de los
problemas mencionados para ecuaciones elípticas, y otros.
Las ecuaciones de tipo hiperbólico son comunes en el análisis de transporte de masa en fluidos,
fenómenos ondulatorios y otros procesos.
APROXIMACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES
Para la solución de las EDP pueden utilizarse una gran variedad de técnicas. Entre otras técnicas
pueden mencionarse, los métodos de diferencias finitas, los métodos de elementos finitos, los
métodos de volúmenes finitos, los métodos espectrales, etc.
Todos ellos tienen defensores y detractores, en algunos casos irreconciliables. En realidad, cada
uno de ellos puede ser el mejor según la aplicación que se considere. Por ser el más sencillo, y
no requerir transformar la EDP, se analizará el método de las diferencias finitas (MDF).
El MDF se basa en propiedades de la expansión en serie de Taylor. Requiere cierta regularidad
en la grilla de trabajo, lo que complica de cierta manera el tratamiento de geometrías
irregulares.
La idea básica ya fue presentada. Consiste en aproximar la derivada parcial por cocientes
incrementales.
   
x
xuxxu
lim
x
u
u
x
x



 0

Para x finito, y  xu suficientemente regular
    .....
2




 x
uu
x
xuxxu
xxx
La aproximación de xu se dice de primer orden, y se denota  x0 si
     x
x
xuxxu
ux 


 0
El uso del cociente incremental no es más apropiado que otras opciones. Por ejemplo:
     2
0
2
x
x
xxuxxu
ux 



Más en general, y para una función definida sobre una red (también denominada grilla, retícula,
etc.) uniforme (o sea, con x constante), podría escribirse
 
x
ucubau
u iii
ix


  ......21
 p
x Error
Supóngase que se utilizan sólo los primeros tres sumandos.
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Desarrollando por Taylor cada una de las expresiones
      .......
62
32
1 



 ixxxixxixii u
x
u
x
uxuu
      .......
3
4
22 32
2  ixxxixxixii uxuxuxuu
 
           
x
xu
x
bcuxbcucba
u
ixxixi
ix





3
2
0
2
42
Imponiendo a b c   0; 2 1c b   ; 5.0,2,5.104  cbabc
   221
0
2
43
x
x
uuu
u iii
ix 


 
En este caso, la búsqueda se orientó a una expresión explícita. Podría haberse intentado una
expresión implícita      21
1
02 x
x
uu
uu ii
ixix 


 

que es de dos puntos y de segundo
orden.
Por lo que los valores de  xu resultan de resolver un sistema, en el cual todos los valores
funcionales de la grilla intervienen.
Con tres puntos, se puede lograr una estimación de cuarto orden
       411
11
034 x
x
uu
uuu ii
ixixix 


 

Los esquemas implícitos tienen como ventaja el mayor orden de aproximación frente a un
equivalente explícito. Como contraparte, exigen resolver un sistema de ecuaciones intermedio.
Los esquemas implícitos también son denominados Hermitianos.
ANÁLISIS DE LOS ESQUEMAS NUMÉRICOS
Hasta el momento, se ha insistido en la forma de aproximar al mayor orden posible una
ecuación diferencial con una ecuación en diferencias. Ello no garantiza que el resultado sea
"aceptable", en un sentido amplio. Para precisar conceptos, es necesario formular algunas
definiciones:
Definiciones
CONSISTENCIA: Un esquema en diferencias se dice consistente si la ecuación discretizada
tiende a la ecuación diferencial cuando x, y, t , etc. tienden a cero.
Esto es relativamente fácil de verificar, dado que plantear el desarrollo en serie de Taylor es
siempre posible.
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ESTABILIDAD: El esquema se dice estable si la diferencia entre la solución exacta y la
numérica permanece acotada n t , con t fijo, y siendo además la cota independiente de n.
Es decir,
  fijo, tktnxuun i
n
i 
Esta condición garantiza que los errores (por ejemplo, los iniciales) no se amplifican con el
tiempo. Es una condición para el esquema, y no para la ecuación diferencial. Nótese que esto es
muy parecido a decir que las soluciones de la EDP homogénea son acotadas en el tiempo.
En realidad, lo que interesa asegurar es que la solución exacta y la aproximada se parezcan;
por ello se define un nuevo concepto, el de convergencia.
CONVERGENCIA: El esquema será convergente, si x t, (fijos)
  tntxixtnxiuun
i
ni
t
x




,para0,lim
,
0
0
fijos
Se pueden vincular las dos primeras condiciones con la tercera, mediante el así llamado
Teorema de equivalencia de Lax. "Para un problema de valor inicial well posed con un esquema
de discretización consistente, la estabilidad es CN y S para la convergencia".
Por "well posed" se entiende un problema en el cual la solución en todo punto del dominio
depende en forma continua de las condiciones iniciales y de borde; ello implica que pequeñas
perturbaciones en éstas, producen pequeñas discrepancias en la solución.
ECUACIONES PARABÓLICAS
Son ejemplos de este tipo de ecuación los fenómenos transitorios de transmisión de calor en
sólidos, o de difusión molecular.
La forma más simple (unidimensional) del problema sería:
 
  






txder
txS
xt
,
,2
2





Se estudiarán a continuación los esquemas típicamente aplicados a esta tipo de EDP.
Euler hacia adelante (explícito):
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     ni
nini
txder
t
txtx
,
,, 1


 
Nota: Se indica con un círculo negro los valores incógnita, y con un círculo blanco los ya
conocidos.
Euler hacia atrás (implícito):
   
 1
1
,
,,





ni
nini
txder
t
txtx 
Crank-Nicholson (implícito)
Discretiza en  2
1, ni tx ; es de segundo orden en t
   
    nini
nini
txdertxder
t
txtx
,,
2
1,,
1
1




 
En cualquiera de los esquemas, debe justificarse la convergencia. Como ello es dificultoso, se
intenta justificar la estabilidad.
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Para ello se puede aplicar el criterio de Von Neumann. El mismo es aplicable a ecuaciones
lineales con ; el dominio debe ser no acotado, x=cte. y que los coeficientes de la EDP sean
también constantes.
En estas hipótesis, si la condición inicial es combinación lineal de otras funciones, la solución de
la EDP será a su vez combinación lineal de soluciones.
Una descomposición apropiada es la de series de Fourier (en variable compleja)
P.ej 1.....1
1
1 22


 
eee
z
mimii
Cada sumando de la serie está formado por un Nº real que multiplica a las funciones base
(denominadas "modos" o "armónicos")       N
m
jiN
m
n
m
n
ini eEtx

 

1
,
Así, para el m-ésimo armónico  
1 jeE N
m
ji
n
m
n
i


Para que el esquema sea estable, todos y cada uno de los modos debe permanecer acotado en
el tiempo, o sea, llamando
 
 
E
EG n
m
n
m
1

se tiene que
 
 
N
m
E
E
G n
m
n
m 
 

1
1
G es llamado factor de amplificación, y es en general, un número complejo. G depende de
 x t, , , etc.
Así, por ejemplo, para el esquema de Euler hacia adelante.
         
soluciónla
aónperturbacilaestudiasepues
homogénea,ecuaciónlaanalizaSe
2
2
11
1
xt
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i




 




   
 
 ijn
m
n
i eE
   
       
 
 
t
eE
eeeE
xt
eEE ijn
ijijijn
m
ijnn





 
 



pordividiendo;2 11
2
1
 
 
   

















2
2
22
1
2
1cos2121




sen
jj
n
m
n
m
x
t
Gee
x
t
E
E
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En este caso, G es real, y cumple 











 141
2
221 22
2
x
t
x
t
senG

1 4 1 2 4
2 2
     
 



t
x
t
x
 

t
x2
1
2

Se observa que, aun tendiendo a cero, no cualquier combinación de t , x es admisible; el
esquema converge sólo si se cumple la condición.
El criterio de Von Neumann no es una CN ó CS. Se podría decir, a los fines prácticos, que se usa
como CN y S, pero hay casos que no la cumplen y sin embargo son convergentes (y no es CS
por los efectos de no linealidad, etc. no considerados).
Para el caso de Euler hacia atrás
   
     
 1
1
11
12
1
2 








 n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
xt


Nuevamente, se estudia un único armónico
   
       
   111
2
1
2 





 ijijijnij
nn
eeeE
x
e
t
EE
;
si de divide entre
 
t
eE ijn


resulta:
 
 
 
   
 
    11cos211cos21 2
11
2
1


















x
t
E
E
E
E
x
t
E
E
n
n
n
n
n
n
 










1
1cos21
1
0
2
   x
t
G es incondicionalmente estable.
Se puede ver que, para Crank-Nicholson,
G
t
x
t
x

 
 
 
1 1
1 1
1
2
2









cos
cos
En general, G es un número complejo.
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BIBLIOGRAFÍA
Nakamura - Métodos numéricos aplicados con software
Hirsh - Numerical computation of internal and external flows. I
REFERENCIAS
https://www.google.com.pe/search?q=files%20upc%20cohortejun%202013%20webnode%20es%20MA
TEMATICA%20PARA%20INGENIE
https://urmate.jimdo.com/c%C3%A1lculo-integral/

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  • 1. FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES MÉTODOS NUMÉRICOS CICLO: V Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://jacobiperu.com/ 999685938 Página 1 de 8 TEMA: Ecuaciones en derivadas parciales SEMANA: 08 TURNO: MAÑANA PABELLÓN: B AULA: 604 SEMESTETRE: 2017 - I Ecuaciones en derivadas parciales INTRODUCCION El diferencial total de una función diferenciable de varias variables se define por: du u t dt u x dx u y dy u z dz             .......... Las ecuaciones diferenciales ordinarias vinculan las derivadas de funciones de una variable. Los métodos estudiados para EDOs no son en general aplicables a las ecuaciones en derivadas parciales (EDP). La solución numérica de las EDP es toda una disciplina; los problemas de mecánica de los fluidos, transmisión de calor, cálculo de tensiones y deformaciones en sólidos, etc. son expresados en términos de una EDP. Las grandes exigencias planteadas al hardware en la resolución de EDPs han provocado que los métodos y algoritmos traten de explotar al máximo las particularidades del problema. Por ello, existen textos completos sobre técnicas particulares, trucos, etc. muy vinculadas al problema específico. Esta situación, que podría interpretarse como negativa, muestra el interés y la vigencia de las investigaciones sobre el tema. Del conjunto de todas las posibles EDP, destacan las EDP de segundo orden, por modelar un grupo importante de fenómenos. Su forma general es (en el caso bidimensional) A x B x y C y D x E y F S                2 2 2 2 2       Definiciones.- Si A,B,C,...S, etc. no son funciones de   la ecuación se dice lineal. Complementariamente, la EDP se califica de acuerdo a relaciones entre sus coeficientes, Si elíptica042  ACB parabólica042  ACB ahiperbólic042  ACB
  • 2. FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES MÉTODOS NUMÉRICOS CICLO: V Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://jacobiperu.com/ 999685938 Página 2 de 8 Las EDP elípticas aparecen en problemas estacionarios de transmisión de calor, difusión de partículas o vibración de una membrana. Las ecuaciones parabólicas típicamente resultan de analizar la evolución temporal de los problemas mencionados para ecuaciones elípticas, y otros. Las ecuaciones de tipo hiperbólico son comunes en el análisis de transporte de masa en fluidos, fenómenos ondulatorios y otros procesos. APROXIMACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES Para la solución de las EDP pueden utilizarse una gran variedad de técnicas. Entre otras técnicas pueden mencionarse, los métodos de diferencias finitas, los métodos de elementos finitos, los métodos de volúmenes finitos, los métodos espectrales, etc. Todos ellos tienen defensores y detractores, en algunos casos irreconciliables. En realidad, cada uno de ellos puede ser el mejor según la aplicación que se considere. Por ser el más sencillo, y no requerir transformar la EDP, se analizará el método de las diferencias finitas (MDF). El MDF se basa en propiedades de la expansión en serie de Taylor. Requiere cierta regularidad en la grilla de trabajo, lo que complica de cierta manera el tratamiento de geometrías irregulares. La idea básica ya fue presentada. Consiste en aproximar la derivada parcial por cocientes incrementales.     x xuxxu lim x u u x x     0  Para x finito, y  xu suficientemente regular     ..... 2      x uu x xuxxu xxx La aproximación de xu se dice de primer orden, y se denota  x0 si      x x xuxxu ux     0 El uso del cociente incremental no es más apropiado que otras opciones. Por ejemplo:      2 0 2 x x xxuxxu ux     Más en general, y para una función definida sobre una red (también denominada grilla, retícula, etc.) uniforme (o sea, con x constante), podría escribirse   x ucubau u iii ix     ......21  p x Error Supóngase que se utilizan sólo los primeros tres sumandos.
  • 3. FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES MÉTODOS NUMÉRICOS CICLO: V Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://jacobiperu.com/ 999685938 Página 3 de 8 Desarrollando por Taylor cada una de las expresiones       ....... 62 32 1      ixxxixxixii u x u x uxuu       ....... 3 4 22 32 2  ixxxixxixii uxuxuxuu               x xu x bcuxbcucba u ixxixi ix      3 2 0 2 42 Imponiendo a b c   0; 2 1c b   ; 5.0,2,5.104  cbabc    221 0 2 43 x x uuu u iii ix      En este caso, la búsqueda se orientó a una expresión explícita. Podría haberse intentado una expresión implícita      21 1 02 x x uu uu ii ixix       que es de dos puntos y de segundo orden. Por lo que los valores de  xu resultan de resolver un sistema, en el cual todos los valores funcionales de la grilla intervienen. Con tres puntos, se puede lograr una estimación de cuarto orden        411 11 034 x x uu uuu ii ixixix       Los esquemas implícitos tienen como ventaja el mayor orden de aproximación frente a un equivalente explícito. Como contraparte, exigen resolver un sistema de ecuaciones intermedio. Los esquemas implícitos también son denominados Hermitianos. ANÁLISIS DE LOS ESQUEMAS NUMÉRICOS Hasta el momento, se ha insistido en la forma de aproximar al mayor orden posible una ecuación diferencial con una ecuación en diferencias. Ello no garantiza que el resultado sea "aceptable", en un sentido amplio. Para precisar conceptos, es necesario formular algunas definiciones: Definiciones CONSISTENCIA: Un esquema en diferencias se dice consistente si la ecuación discretizada tiende a la ecuación diferencial cuando x, y, t , etc. tienden a cero. Esto es relativamente fácil de verificar, dado que plantear el desarrollo en serie de Taylor es siempre posible.
  • 4. FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES MÉTODOS NUMÉRICOS CICLO: V Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://jacobiperu.com/ 999685938 Página 4 de 8 ESTABILIDAD: El esquema se dice estable si la diferencia entre la solución exacta y la numérica permanece acotada n t , con t fijo, y siendo además la cota independiente de n. Es decir,   fijo, tktnxuun i n i  Esta condición garantiza que los errores (por ejemplo, los iniciales) no se amplifican con el tiempo. Es una condición para el esquema, y no para la ecuación diferencial. Nótese que esto es muy parecido a decir que las soluciones de la EDP homogénea son acotadas en el tiempo. En realidad, lo que interesa asegurar es que la solución exacta y la aproximada se parezcan; por ello se define un nuevo concepto, el de convergencia. CONVERGENCIA: El esquema será convergente, si x t, (fijos)   tntxixtnxiuun i ni t x     ,para0,lim , 0 0 fijos Se pueden vincular las dos primeras condiciones con la tercera, mediante el así llamado Teorema de equivalencia de Lax. "Para un problema de valor inicial well posed con un esquema de discretización consistente, la estabilidad es CN y S para la convergencia". Por "well posed" se entiende un problema en el cual la solución en todo punto del dominio depende en forma continua de las condiciones iniciales y de borde; ello implica que pequeñas perturbaciones en éstas, producen pequeñas discrepancias en la solución. ECUACIONES PARABÓLICAS Son ejemplos de este tipo de ecuación los fenómenos transitorios de transmisión de calor en sólidos, o de difusión molecular. La forma más simple (unidimensional) del problema sería:            txder txS xt , ,2 2      Se estudiarán a continuación los esquemas típicamente aplicados a esta tipo de EDP. Euler hacia adelante (explícito):
  • 5. FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES MÉTODOS NUMÉRICOS CICLO: V Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://jacobiperu.com/ 999685938 Página 5 de 8      ni nini txder t txtx , ,, 1     Nota: Se indica con un círculo negro los valores incógnita, y con un círculo blanco los ya conocidos. Euler hacia atrás (implícito):      1 1 , ,,      ni nini txder t txtx  Crank-Nicholson (implícito) Discretiza en  2 1, ni tx ; es de segundo orden en t         nini nini txdertxder t txtx ,, 2 1,, 1 1       En cualquiera de los esquemas, debe justificarse la convergencia. Como ello es dificultoso, se intenta justificar la estabilidad.
  • 6. FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES MÉTODOS NUMÉRICOS CICLO: V Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://jacobiperu.com/ 999685938 Página 6 de 8 Para ello se puede aplicar el criterio de Von Neumann. El mismo es aplicable a ecuaciones lineales con ; el dominio debe ser no acotado, x=cte. y que los coeficientes de la EDP sean también constantes. En estas hipótesis, si la condición inicial es combinación lineal de otras funciones, la solución de la EDP será a su vez combinación lineal de soluciones. Una descomposición apropiada es la de series de Fourier (en variable compleja) P.ej 1.....1 1 1 22     eee z mimii Cada sumando de la serie está formado por un Nº real que multiplica a las funciones base (denominadas "modos" o "armónicos")       N m jiN m n m n ini eEtx     1 , Así, para el m-ésimo armónico   1 jeE N m ji n m n i   Para que el esquema sea estable, todos y cada uno de los modos debe permanecer acotado en el tiempo, o sea, llamando     E EG n m n m 1  se tiene que     N m E E G n m n m     1 1 G es llamado factor de amplificación, y es en general, un número complejo. G depende de  x t, , , etc. Así, por ejemplo, para el esquema de Euler hacia adelante.           soluciónla aónperturbacilaestudiasepues homogénea,ecuaciónlaanalizaSe 2 2 11 1 xt n i n i n i n i n i                  ijn m n i eE                 t eE eeeE xt eEE ijn ijijijn m ijnn             pordividiendo;2 11 2 1                          2 2 22 1 2 1cos2121     sen jj n m n m x t Gee x t E E
  • 7. FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES MÉTODOS NUMÉRICOS CICLO: V Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://jacobiperu.com/ 999685938 Página 7 de 8 En este caso, G es real, y cumple              141 2 221 22 2 x t x t senG  1 4 1 2 4 2 2            t x t x    t x2 1 2  Se observa que, aun tendiendo a cero, no cualquier combinación de t , x es admisible; el esquema converge sólo si se cumple la condición. El criterio de Von Neumann no es una CN ó CS. Se podría decir, a los fines prácticos, que se usa como CN y S, pero hay casos que no la cumplen y sin embargo son convergentes (y no es CS por los efectos de no linealidad, etc. no considerados). Para el caso de Euler hacia atrás            1 1 11 12 1 2           n i n i n i n i n i xt   Nuevamente, se estudia un único armónico                111 2 1 2        ijijijnij nn eeeE x e t EE ; si de divide entre   t eE ijn   resulta:                 11cos211cos21 2 11 2 1                   x t E E E E x t E E n n n n n n             1 1cos21 1 0 2    x t G es incondicionalmente estable. Se puede ver que, para Crank-Nicholson, G t x t x        1 1 1 1 1 2 2          cos cos En general, G es un número complejo.
  • 8. FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES MÉTODOS NUMÉRICOS CICLO: V Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://jacobiperu.com/ 999685938 Página 8 de 8 BIBLIOGRAFÍA Nakamura - Métodos numéricos aplicados con software Hirsh - Numerical computation of internal and external flows. I REFERENCIAS https://www.google.com.pe/search?q=files%20upc%20cohortejun%202013%20webnode%20es%20MA TEMATICA%20PARA%20INGENIE https://urmate.jimdo.com/c%C3%A1lculo-integral/