Transformaciones_Isometricas_B8_2024.pptx

Isometrías
Víctor Morgado Pradenas

Plano Cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares.
La recta horizontal es el eje X y la recta vertical es el eje Y. Tiene 4 cuadrantes.
Dado un punto P del plano cartesiano, (x, y) es el par ordenado
que representa su ubicación; donde x es conocida coma abscisa
(coordenada horizontal) e y como ordenada (coordenada vertical).
Un segmento puede ser ubicado en un plano cartesiano según las
coordenadas de sus puntos extremos; mientras que una figura
plana o figura 2D según las coordenadas de sus vértices.

Transformaciones Isométricas
La palabra isometría, significa igual medida, por lo tanto, en una
transformación isométrica:
1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura (figuras congruentes).
2) Solo cambia la posición (orientación o sentido de esta).

Traslación
Es el movimiento que se realiza al deslizar una figura en línea recta, manteniendo su
forma y tamaño.
Una traslación en el plano, corresponde a una aplicación T(a, b) que transforma un punto
P(x,y), en otro P´(x + a, y + b).
P(x, y)
T(a, b)
P´( x + a, y + b )
Ejemplo 1:
P(2, 1)
T(3, – 5)
P´(2 + 3, 1 + –5)
P´(5, – 4)

P(2, 1)
T(3, – 5)
P´(5, – 4)
– 1 1 2 3
3
1
2
4
y
x
4 5
– 3
– 2
– 4
– 5
P
P´
La aplicación T(a, b) se denomina VECTOR DE TRASLACIÓN

Ejemplo 2:
El triángulo PQR, de vértices P(1, 2), Q(3, 1) y R(4, 3) se traslada al aplicar el
vector traslación T(– 4, 2),
Luego, las coordenadas de sus nuevos vértices son: P´, Q´ y R´.
P(1, 2)
T(– 4,2)
P´(– 3, 4)
Q(3, 1) Q´(– 1, 3)
R(4, 3) R´(0, 5)

Gráficamente, el triángulo se traslada 4 unidades hacia la izquierda y 2
unidades hacia arriba.
1
2
3
4
2 3 4
–1
–2
–3
1
5
P(1, 2) P´(–3, 4)
Q(3, 1) Q´(–1, 3)
R(4, 3) R´(0, 5)

Rotación
<
Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de rotación
en un ángulo determinado.
La rotación es positiva si es en sentido antihorario (contrario a los punteros del reloj).
O
O: centro de rotación

Rotación
90° 180° 270° 360°
A(x, y)
Punto
Ángulo
Si el punto A (x, y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° o en 360°; se
transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla:
(–y, x) (–x, –y) (y, –x) (x, y)
Ejemplo 1:
90° 180° 270° 360°
A(5, –8)
Punto
Ángulo
(8, 5) (–5, 8) (–8, –5) (5, –8)
Una rotación negativa (o en sentido horario) de 90º equivale a una rotación positiva(o antihoraria)
270º, y viceversa.

Rotación
A
1
2
3
4
2 3 4
–1
–2
–3
1
5
Si el punto A (2, 3) gira con respecto al origen en 90°, se transforma en el
punto A´(– 3, 2).
A´

Simetría o Reflexión
Tipos de simetrías:
Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a
una figura geométrica, produce el efecto de un espejo (refleja la figura).
Simetría axial: reflexión respecto de un eje.
Eje de Simetría

1
2
3
4
2 3 4
-1
-2
-3
1
5
A A’
eje de simetría: x = 1
M
AM = MA’
La simetría axial corresponde a una transformación geométrica que hace corresponder a
cada punto A del plano, otro A’, tal que la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada
eje de simetría.
AA’ es perpendicular al eje de simetría

Simetría central:
O : centro de simetría
O
A A´
AO = OA’
reflexión respecto de un punto.

La simetría central corresponde a una transformación isométrica de modo que el
“simétrico” de un punto A, con respecto a un punto O, es A`, donde OA = OA` y A`
pertenece a la recta AO.
Ejemplo:
OA = OA´
OC = OC´
OB = OB´
La simetría central equivale a una rotación de 180º con respecto a un punto.
O
3
1
2
4
2 3 4
-1
-2
-3
1
5
A A´
B
B´
C
C´
x

Transformaciones isométricas
COMPOSICIÓN DE
TRANSFORMACIONES
Corresponde a la aplicación sucesiva de distintas
transformaciones isométricas. Es importante aplicar las
transformaciones en el orden que se indique, ya que no
siempre son conmutativas.
Traslación
Rotación
Simetría central
Simetría axial

1. Al punto (6, – 4) se le aplica una traslación obteniendo el punto (12, – 8). Si al
punto (– 3, 5) se le aplica la misma traslación, entonces se obtiene el punto
A) (– 6, 10)
B) (– 9, 9)
C) (9, – 3)
D) (3, 1)
E) (6, 9)
Apliquemos nuestros conocimientos
¿Cuál es la alternativa
correcta?
Habilidad: Aplicación
D
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.

correcta?
Habilidad:Comprensión
B
2. El triángulo rectángulo de la figura adjunta, se rota sucesivamente con centro en el origen del
sistema de ejes coordenados, en 60° y en sentido antihorario. ¿En cuál de las opciones se
muestra mejor la posición en que queda el triángulo después de 90 rotaciones?

correcta?
Habilidad: Comprensión
C
3. En el sistema de ejes coordenados de la figura se ha ubicado el punto P(a, b), ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) El simétrico de P con respecto al eje x es P’(a, − b).
II) El simétrico de P con respecto al origen es P”(− a, − b).
III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro punto que está
en el primer cuadrante.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III

Eje de Simetría
Es aquella recta que atraviesa una figura dividiéndola en dos partes simétricas con respecto
a la recta.
1. Existen figuras que no tienen eje de simetría.
2. Existen figuras que tienen sólo un eje de simetría.
3. Existen figuras que tienen más de un eje de simetría.
4. La circunferencia tiene infinitos ejes de simetría
Observación:

Centro de Simetría
Sea P el centro de simetría de una figura entonces cada punto de la figura
tiene su respectivo simétrico con respecto a P en ella misma.
1. El centro de simetría es único.
2. La distancia desde un punto de la figura al centro de simetría es la
misma distancia desde el centro de simetría a su punto homólogo.
3. Para cada punto de la figura existe su punto homólogo en la misma figura.
4. No todas las figuras tienen centro de simetría.
5. En una circunferencia el centro de simetría es el centro de la circunferencia.
Observación:

Teselación
Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre
completamente una superficie plana, de manera que no queden espacios y no se
superpongan las figuras.
Ejemplos:

Teselación del plano por polígonos regulares
Los tres polígonos regulares que cubren el plano son:
Triángulo equilátero
Cuadrado
Hexágono regular
Solo estas tres figuras teselan, en forma regular, el plano.

Teselación
Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una
figura inicial.
Simetría
+ Traslación

Transformaciones isométricas
Teselación
Simetría
Traslación
Central
O
A A´
Axial
Rotación
Composición

Transformaciones_Isometricas_B8_2024.pptx

Más contenido relacionado

Similar a Transformaciones_Isometricas_B8_2024.pptx

Último

Transformaciones_Isometricas_B8_2024.pptx