Este documento describe diferentes tipos de transformaciones isométricas en geometría, incluyendo traslaciones, rotaciones y reflexiones. Explica cómo estas transformaciones cambian la posición de una figura sin alterar su forma o tamaño. También presenta ejemplos de cómo aplicar estas transformaciones y discute el trabajo del artista M.C. Escher, conocido por sus ilusiones ópticas creadas a través de teselaciones geométricas.

1. Unidad II : GeometríaUnidad II : Geometría
TRANSFORMACIONESTRANSFORMACIONES
ISOMÉTRICAS.ISOMÉTRICAS.
Profesora: Fionella Macklins
8° año básico

2. LOS EJE DE
COORDENADA
Plano cartesiano

3. El plano cartesiano esta formado por dos
rectas numéricas.
La recta horizontal es llamada eje de las
abscisas o de las equis (x).
La Recta vertical, eje de las ordenadas o
de las yes, (y).
El punto donde se cortan recibe el
nombre de origen.

4. Localización de un punto
en el plano cartesiano
Ubicación del punto A (4,3)
A) B(-3,4)
B) C(1,1)
C) D(-2,-4)

6. TRANSFORMACIONES
Es necesario tener presentes tres elementos:
•La figura original
•La operación que describe el cambio
•La figura que se obtiene después del cambio
En una transformación isométrica:
No se altera la forma ni el tamaño de la figura, ya que
sólo cambia la posición.
(orientación o sentido de ésta)(orientación o sentido de ésta)
ISOMÉTRICAS

7. Tipos de transformaciones isométricas

8. Ejemplos de transformaciones
isométricas en la naturaleza.

9. Se puede considerar una simetría como
aquel movimiento que aplicado a una figura
geométrica, produce el efecto de un
espejo.

10. Axial: Reflexión respecto a un eje
Central: Reflexión respecto a un punto

11. Cada punto y su imagen o simétrico
equidistan del eje de simetría.
El trazo que une un punto con su simétrico
es perpendicular al eje de simetría.
A’
A

12. El centro de rotación es el punto medio del
trazo que une un punto con su simétrico.
Una simetría central equivale a una rotación
en torno al centro de simetría en un ángulo de
180º.
O
A’
A

13. Las traslaciones, son aquellas isometrías que permite
desplazar en línea recta todos los puntos del plano.
Toda traslación queda definida por lo que se llama su
“vector de traslación”
Dirección: Horizontal, vertical u oblicua.
Sentido: Derecha, izquierda, arriba, abajo.
Distancia: Es la magnitud que existe entre el punto
inicial y la posición final de cualquier punto de la figura
que se desplaza.

14. Al deslizar la figura todos los puntos describen
líneas rectas paralelas entre sí.

15. En este caso se debe señalar las
coordenadas del vector de traslación.
Estas son un par ordenado de números
(x,y)
Donde x representa el desplazamiento
horizontal e y representa el
desplazamiento vertical.

16. •
A(4,6)
•
A’ (2,3)
Traslación de A(4,6)
a través del vector v(-2,-3)
Traslación de B(-5,2)
a través del vector v(4,4)
•
B(-5,2)
•
B’(-1,6)
Traslación de C(-4,-2)
a través del vector v(7,1)
•
C(-4,-2)
• C’(3,-1)

17. Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha.
Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda.
Signo positivo: desplazamiento hacia arriba.
Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

18. Permiten girar todos los puntos del plano.
Cada punto gira siguiendo un arco que tiene
un centro y un ángulo bien determinados, por
lo que toda rotación queda definida por su
centro de rotación y por su ángulo de giro.
Si la rotación se efectúa en sentido a las
manecillas del reloj, es negativa u horaria;
en caso contrario es positiva o antihoraria.

19. El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno
al cual se efectúa la rotación.
La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste
está determinado por un punto cualquiera de la figura, el
centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto
correspondiente de la figura obtenida después de la
rotación.
El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo
(horario)
O
M
M’
N’
N
.

20. Rotación en 90º en torno al origen:
A
x
y
A
x
y
A’
A’
x’
y’
x’
y’
Entonces: x’ = -y y’ = x
Luego: A(x,y) => A’(-y,x)

21. Rotación en 180º en torno al origen:
A
x
y
A’
x’
y’
A
x
y
A’
x’
y’
Entonces: x’ = -x y’ = -y
Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)

22. ¡Importante!
Toda transformación isométrica,
mantiene la forma y tamaño de una
figura geométrica, por lo tanto el
perímetro y el área no sufren
variación.

23. A
B
C
A’
B’
C’
A’’
B’’
C’’
A’’’
B’’’
C’’’
TRASLACIÓN DE FIGURAS
11 UNIDADES A LA DERECHA
5 UNIDADES ABAJO
8 UNIDADES A LA DERECHA Y 8 ABAJO

24. A’
B’
C’
A
B
C
A’’
C’’
90º
ROTACIÓN DE FIGURAS

25. A
B
C
A’
B’
C’
A’’
B’’
C’’
A’’’
B’’’
C’’’
REFLEXIÓN DE FIGURAS
CON EL EJE Y
CON EL EJE X
CON RESPECTO A LA RECTA m
m

26. Teselaciones de Martin Cornelis ESCHER
Hombre dedicado al arte y que tenía el deseo de
romper las limitaciones que impone el plano, para
poder mostrar que un plano es capaz de ilusiones
ópticas de gran profundidad.
“A pesar de que no tengo ningun conocimiento ni
enseñanza - de matemáticas -, habitualmente me
parece que tengo más cosas en común con los
matemáticos que con mis compañeros artistas”.
Si observamos detalladamente alguna de sus obras
podemos descubrir su dominio de la geometría.
A Escher le maravillaba todo tipo de teselados,
regulares o irregulares, y especialmente lo que él
llamó “metamorfosis”, donde las figuras cambian e
interactúan entre sí, y hasta a veces salen del plano.

27. Teselaciones de Escher

28. 28
TESELACIONES DE
ESCHER

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