El documento analiza el triángulo de Sierpiński como un fractal, explorando sus propiedades como la autosimilitud y la dimensión fraccionaria mediante espacios métricos. Se define un espacio métrico específico y se aplica una función iterativa para observar cómo se forma el fractal, destacando la importancia de recurrir a una sucesión infinita en lugar de un número finito de aplicaciones. Finalmente, se concluye que el atractivo de la sucesión coincide con el triángulo de Sierpiński y se demuestra que existe una unicidad en el límite de este proceso.

1. Triángulo de Sierpiński
Alumno: Isac Orlando Mayta Calderón
Profesora: Ramirez Mundaca Flor Eunice

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Introducción
En la actualidad no se tiene una definición clara que responda el que
es un fractal; sin embargo, esto no es impedimento para poder estudiar
algunos fractales mediante sus propiedades como:
• Autosimilitud.
• Independencia de escala.
• Dimensión fraccionaria.
haciendo uso de espacios métricos y sistema iterados de funciones,
entre ellos está el famoso triángulo de Sierpiński.

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Empezamos la construcción definiendo nuestro espacio métrico
que será (ℝ2
, 𝑑𝑢).
Construimos nuestro espacio métrico (𝐻(ℝ2), ℎ(𝐴, 𝐵)), donde:
• 𝐻(ℝ2
) es el conjunto de todo los conjuntos compactos de ℝ2
(plano cartesiano).
• ℎ(𝐴, 𝐵) es la métrica de Hausdorff de compacto a compacto en
ℝ2.
en ese espacio métrico construido localizamos el conjunto
compacto llamado 𝑆0 (semilla) que será el triángulo con los
vértices (0,0); (1,0) y
1
2
,
3
2
. Podemos notar que ese triángulo
(conjunto) es compacto por qué es cerrado y totalmente acotado.
Triángulo de Sierpiński

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Ahora, tomando las funciones
𝑤1 𝑧 =
𝑧
2
𝑤2 𝑧 =
𝑧
2
+
1
2
𝑤3 𝑧 =
𝑧
2
+
1
4
+
3
4
𝑖
Construimos nuestro SIF = ℝ2; 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3 y W = 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3 .
Veamos el resultado de aplicar una vez W sobre el triángulo
definido anteriormente.
Triángulo de Sierpiński
w3
w1
w2

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Como vemos el triángulo se reduce en escala en diferentes
lugares del plano.
Veamos el resultado de aplicar una vez más (dos veces) W sobre
el triángulo definido anteriormente.
Triángulo de Sierpiński
𝑊
𝑊
𝑊
𝑊
Si realizamos está función W varias veces
¿Obtendremos el fractal?
la respuesta es que sí, pero antes debemos tener en cuenta unas
observaciones.

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¿Cuántas veces debemos usar la función para obtener el fractal?
Si usamos la función una cantidad finita de veces, ya no tendrá
esa propiedad de autosimilitud todo el tiempo; por lo tanto, es
necesario recurrir a la construcción de una sucesión donde cada
término sea el resultado obtenido cada vez que aplicamos la
función.
Triángulo de Sierpiński
La meta es averiguar el punto límite de está sucesión y ver que
propiedades más se cumple.
Notamos que el resultado de aplicar la función W infinitas veces
(atractor) es lo que buscamos.

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También notamos que se cumple las siguientes propiedades
Es notorio que el resultado obtenido al aplicar una vez la función
en el conjunto, el resultado está contenido en su predecesor. Por
ese motivo concluimos que el atractor coincide con
Triángulo de Sierpiński
Otra propiedad que se cumple es que

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Usando la distancia de Hausdorff vemos que se cumple que la
distancia cada vez es menor
Triángulo de Sierpiński
Y mejor aún, que en el infinito, está distancia tiende a cero; o sea,
en el infinito, hay unicidad en lo que buscamos, el triángulo de
Sierpiński.

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Comentario final:
La construcción anterior de (𝐻(ℝ2
), ℎ(𝐴, 𝐵)) es importante porque
el SIF que definimos sobre ℝ2
también estaría bien definido sobre
𝐻(ℝ2) porque, como demostramos en clase, cualquier función
continua aplicada sobre un compacto conduce a otro compacto. Y
como el triángulo definido al inicio es compacto, está en 𝐻(ℝ2
),
luego al aplicarle el SIF varias veces llegaríamos que en el punto
límite, este fractal estaría en 𝐻(ℝ2) (Espacio donde vive el fractal)
y por el teorema de intersección de Cantor (compactos encajados),
sabemos que la intersección final que coincide con el atractor,
existe y es no vacío; y, a parte, como vimos, también es único que
es lo que buscabamos.
Triángulo de Sierpiński