1. Caos
y
Fractales
Rafael Caballero Roldán

2. Fractales ….. ¿qué es eso?
Definiciones imprecisas: Un fractal es una figura
• Auto-semejante
• Que contiene copias de si misma
• Definida de forma recursiva
Veamos algunos ejemplos

3. Ejemplo 1: Hoja de helecho
Ampliar y girar

4. Ejemplo 1: Hoja de helecho
En la naturaleza la
autosemejanza se
pierde tras unas pocas
iteraciones
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/selfsimilar/

5. Ejemplo 2: Árboles
Desde luego parecen árboles …

6. Ejemplo 2: Árboles
… pero son ramas …

7. Ejemplo 3: Costas
Un pequeño trozo de costa aumentado
resulta igual de “natural” que el trozo mayor

8. Ejemplo 4: Señales
La teoría de fractales se aplica a la bolsa, a la
previsión de seísmos, etc.

9. Y aún hay más …
Nubes Brécol
Grietas ¡Música!

10. Pero, ¿todo esto qué tiene que ver con la
Informática ?
Los fractales son fáciles de modelizar mediante la
geometría fractal
Esto permite simular en un ordenador sistemas
de naturaleza fractal
Aplicaciones:
• Generación de gráficos para representar árboles,
montañas, nubes, etc.
• Simulación de evolución de sistemas complejos
(terremotos, movimiento de fluidos)
• Otras aplicaciones: algoritmos de compresión …

11. Geometría Fractal
Dentro de la geometría fractal podemos distinguir
dos tipos de fractales:
• Objetos construidos a partir de copias
exactas (escaladas) de si mismos à fractales
regulares
• Objetos auto-semejantes, pero que no están
construidos sólo a partir de copias exactas de
si mismos à fractales no regulares

12. Fractales Regulares
Se definen generalmente de la siguiente manera:
• Se parte de una figura inicial
• Se aplican unas reglas de transformación,
que generan varias nuevas figuras a partir de
la inicial
• A cada una de las nuevas figuras se le aplica
de nuevo las reglas de transformación ….. y
así hasta el infinito
• Sólo podemos dibujar aproximaciones finitas
(unas cuantas iteraciones)

13. Ejemplo: conjunto de Cantor
Definido por Georg Cantor en 1877
Construcción:
1 1/3 1/3
Figura Inicial Transformación Iteración Iteración Iteración
El conjunto se obtendría tras infinitas iteraciones
Reglas de transformación:
• Tomar cada segmento actualmente el conjunto
• Dividir el segmento en 3 y eliminar la parte central

14. Ejemplo: conjunto de Cantor
El conjunto está construido a partir de 2 (o 4, o 8
o 16) copias exactas de sí mismo:
x3 x3
Definición más precisa del conjunto:
• Sean c1(x) = x/3, c2(x)=x/3 + 2/3, c(A) = c1(A) U c2(A), p.t. conjunto A
• Definimos C0 = [0,1], Ck+1 = c(Ck) para k=0
• Entonces el conjunto de Cantor es límite de la sucesión {Ck} kà∞

15. Ejemplo: conjunto de Cantor
C0 = (segmento [0,1])
C1 = c(C0) = c1(C0) U c2(C0) = c1( ) U c2 ( )=
=( )U ( )=
C2 = c(C1) = c( ) = .…. =
Pregunta: Sea C el conjunto de Cantor ¿Cuánto vale c(C) ?
c(C) = c1 ( ) U c2( ) =
=( )U( ) = = C
El conjunto de Cantor es un punto fijo para la aplicación c

16. Ejemplo: triángulo de Sierpinski
Definido por Waclaw Sierpinski (1882 – 1969)
Construcción:
Figura Inicial Transformación

17. Ejemplo: triángulo de Sierpinski

18. Triángulo de Sierpinski
Cada triángulo está construido a partir de
3 copias de tamaño ½:
1

19. Triángulo de Sierpinski
Igual que en el conjunto de Cantor, el triángulo se
Puede definir formalmente:
• s1(x,y) = (½ x, ½ y) s1
• s2(x,y) = (½ x + ½ , ½ y) s3 s2
• s3(x,y) = (½ x + ¼ , ½ y + ½ )
• s(A) = s 1(A) U s2(A) U s3(A) 1
• S0 = , Sk+1 = s(Sk) para k=0
• El triángulo de Sierpinski es el límite de {Sk} kà∞

20. Triángulo de Sierpinski
Se cumple que:
• S0 =
• S1 =
• S2 =
Si S es es triángulo de Sierpinski, se cumple que
s(S) = S
El triángulo de Sierpinski es un punto fijo para la
transformacion s

21. La familia Sierpinski
Alfombra de Sierpinski :
Cubo de Sierpinski :
Se utiliza en la construcción de circuitos:

22. Fractales No Regulares
Algunos se pueden definir, igual que los regulares
como el límite de una sucesión de conjuntos:
• Se parte de una figura inicial (conjunto de puntos)
• A partir del conjunto inicial se genera uno nuevo
aplicando un conjunto de funciones, generalmente
transformaciones afines:
x e
f(x,y) = a b +
cd y f
• Ejemplos: hojas, árboles, etc.
Otros se definen como los puntos para los que
una serie converge ( ej.: conjunto de Mandelbrot)

23. Ejemplo: hoja
Fractal no regular
Definido mediante 4 funciones

24. Ejemplo: hoja
f2
Funciones:
• f1(x,y) = (0, 0.2y+10 )
• f2(x,y) = (0.85x+0.04y, -0.04x+0.85y+100)
• f3(x,y) = (0.2x-0.26y, 0.23x+0.22y+100)
• f4(x,y) = (-0.15x+0.3y, 0.26x+0.24y+28)
f3
f4
f1 f1
El tallo se logra poniendo la x constante

25. ¿Cómo dibujarlos?
Formalmente, f contractiva si d(a,b) > d(f(a),f(b))
para todo a,b (d es una distancia)
Teorema: Sea f una función contractiva en un
espacio completo. Entonces:
• f tiene un único punto fijo p, tal que f(p)=p
• Dado un punto x cualquiera, la sucesión
s0 = x, si+1 = f(si), i=0
converge al punto fijo p

26. ¿Cómo dibujarlos?
El teorema dice que no importa la figura inicial;
aplicando las transformaciones acabamos
siempre en el punto fijo
Método para dibujar un fractal definido por una
serie de transformaciones {f1, f2, ..,fn}:
• Empezar por una figura cualquiera F
• F’ = f1(F) U f2(F) U ….. U fn(F)
• Repetir el paso anterior tomando F = F’
De está forma iremos viendo formarse el fractal,
que es el punto fijo de {f1,…..,fn}

27. Ejemplo: Sierpinski a partir de Mandelbrot
Transformaciones del conjunto de Sierpinski:
s1(x,y) = (½ x, ½ y)
s2(x,y) = (½ x + ½ , ½ y)
s3(x,y) = (½ x + ¼ , ½ y + ½ )
Figura inicial: foto de B. Mandelbrot
…

28. El juego del caos
El método anterior es válido pero costoso:
Incluso si se parte de un solo punto pronto
tenemos que trabajar con figuras formadas por
muchos puntos
Alternativa propuesta por M. Barnsley:
1. Partir de un punto p cualquiera
2. Elegir una {f1,…,fn} al azar
3. Aplicarla para obtener un nuevo punto p
4. Dibujarlo y repetir el paso 2
Estadísticamente equivale a aplicar todas las
funciones, pero es menos costoso

29. La dimensión de los fractales
La dimensión de los objetos fractales no es obvia:
.
Dimensión 0 Dimensión 1 Dimensión 2 Dimensión
¿?
B. Mandelbrot propuso un método para conocer
la dimensión de un fractal

30. La dimensión de los fractales
Idea: Si una figura de dimensión D se puede
componer a partir de n copias de escala 1/s se tiene
que sD = n . Ejemplos:
• Una línea de longitud 1 se puede componer a partir de 2 copias de
longitud ½ (21 = 2 , dimensión 1)
• Un cuadrado de lado 1 se puede componer a partir de 4
cuadrados de longitud ½ (22 = 4, dimensión 2)
• Un cubo de lado 1 se puede componer a partir de 8
cubos de longitud ½ (23 = 8, dimensión 3)
• Un triángulo de Sierpinski de lado 1 se puede componer
a partir de 3 copias de lado ½ (2D=3 ) à D= log 3/log 2
1
D = 1,584… ¡dimensión fraccionaria!

31. El conjunto de Mandelbrot
(ejemplo de fractal no regular)
Una charla sobre fractales tiene que mencionar
por fuerza el conjunto de Mandelbrot:

32. ¿De donde salen los colores?
Normalmente se dibujan:
• Los puntos del conjunto en negro
• Para los que no son del conjunto se elige un
color relacionado con el número de iteraciones
en el que se ha tenido que |Zn| > 2
• Se trata de que a valores de n similares les
correspondan colores similares

33. Conjunto de Mandelbrot
También se pueden hacer representaciones
3D:
Sascha Ledinsky

34. ¿Dónde está la auto-semejanza?
Al aumentar áreas de cerca del borde se
encuentran “pequeños” conjuntos de
Mandelbrot y muchas maravillas
http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/selfsimilar/index.html

35. Caos
La palabra caos se utiliza para describir el
comportamiento de sistemas no lineales
Característica de los sistemas no lineales:
Un pequeño cambio en un parámetro produce
un gran cambio en el resultado final
Suelen emplearse para modelar la evolución en el
tiempo de procesos complejos: plagas, el clima,
movimiento de fluidos, etc.

36. Caos
Un caso: agrupación de partículas con
movimiento browniano (ej. Partículas de hollín):
Aspecto fractal

37. Caos
Otro ejemplo interesante: se ha comprobado que
la molécula del glucógeno tiene naturaleza fractal:
Biophys J, September 1999, p. 1327-1332, Vol. 77, No. 3
The Fractal Structure of Glycogen: A Clever Solution to Optimize Cell Metabolism
Ruth Meléndez, Enrique Meléndez-Hevia, and Enric I. Canela