[Trigonometria 1] tpm001v1

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Teoría Preuniversitaria - Matemática

Trigonometría-1

Idea y elaboración
tpm001v1

Ing. Pablo Gonzalez
gonzalezp@innovacionysociedad.com.ar
pmgonzalez@yahoo.com

Ángulo en el plano
Idea y elaboración: Ing. Pablo Gonzalez – pmgonzalez@yahoo.com

Definición:
Un ángulo es la sección del plano que queda
formada cuando se cruzan:
• Dos rectas
• Dos semirrectas
• O dos segmentos
Así definidos, los ángulos son siempre positivos
(no tienen signo), y se usan para delimitar
polígonos
Por convención se toma del cruce el menor
ángulo que se ha formado

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1

Ángulo en el plano

Ej:

β

α

θ


Ángulo en el plano

Ángulo normal, estándar o normalizado:

y
LADO TERMINAL

ROTACIÓN AH

α
LADO INICIAL
VÉRTICE x


2

Unidades de ángulos

Grados sexagesimales
Asigna 360º a un giro completo
Radianes
Asigna ángulo 1 radián cuando el arco de
circunferencia es igual al radio
90º
Cuatro cuadrantes II I
180º 0º
III IV

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270º 5

El radián

s=r
1 rad
r

s α
2πr 360º
r 1 rad = 360º/2 π @ 57,3º


3

El radián

α s
360º 2πr
α s = 2 π r . α / 360º = 2 π r . α / 2 π

En grados En
sexagesimales radianes

s=r.α “arco = radio x ángulo en radianes”
Radián es la “unidad natural”
En
radianes


Algunos ángulos notables
90º = π / 2

60º = π / 3
45º = π / 4

30º = π / 6
0
180º = π
2π

270º = 3/2 π

4

Funciones trigonométricas

Presentación del tema: triángulos semejantes
y

α x



En todos los triángulos rectángulos
semejantes:
Hay coincidencia entre cocientes entre dos
lados cualesquiera de los triángulos:

a1 a2 a3
= = = ...
b1 b2 b3
Cocientes se llaman funciones trigonométricas
y dependen solamente del ángulo

5


y x
sen α = cos α =
h h
y
h
y x
α
tg α = ctg α =
x x y

h h
sec α = cos ec α =
x y


Signos de las funciones

sen cos tg

I + + +

S II + - -

T III - - +

C IV - + -

y x


6

Identidad trigonométrica

Ecuación de la circunferencia:
Puntos del plano que equidistan de un centro

h
x2 + y 2 = h2
sen 2α + cos 2 α = 1
1


Complementarios / suplementarios

Dos ángulos complementarios
son aquellos que suman un β
y
“recto”
α
α + β = 90º
x
Dos ángulos suplementarios son
aquellos que suman un “llano” y
β
β
α + β = 180º α α

x

7

Relaciones
trigonométricas

Igualdades entre funciones


Complementarios / suplementarios

⎛π ⎞
senα = cos ⎜ − α ⎟ 2
⎝2 ⎠

senα = sen (π − α ) 3

⎛π ⎞
cos α = sen ⎜ − α ⎟ 4
⎝2 ⎠

cos α = − cos (π − α ) 5


8

Com / sup / suma y resta de ángulos

⎛π ⎞
tgα = ctg ⎜ − α ⎟ 6
⎝2 ⎠

tgα = − tg (π − α ) 7

cos(α − β ) = cos α cos β + senα senβ 10

cos(α + β ) = cos α cos β − senα senβ 11


Doble / suma / resta

cos 2α = 2 cos 2 α − 1 12

cos 2α = 1 − 2 sen 2α 13

sen(α + β ) = senα cos β + senβ cos α 14

sen(α − β ) = senα cos β − senβ cos α 15


9

Doble / suma / resta sen y cos

sen 2α = 2senα cos α 16

p+q p−q
sen p + sen q = 2 sen cos 17
2 2

p−q p+q
sen p − sen q = 2 sen cos 18
2 2

p+q p−q
cos p + cos q = 2 cos cos 19
2 2


p+q p−q
cos p − cos q = − 2 sen sen 20
2 2

α α
sen α = 2 sen cos 21
2 2

α α
cos α = cos 2 − sen 2 22
2 2

α 1 + cos α
cos =± 23
2 2

10


α 1 − cos α
sen =± 24
2 2


Valores exactos de F.T

De algunos ángulos notables


11

α = 30º

lado

30º
lado
30º
Triángulo
equilátero lado

2
l l2 − l
1 4 = 3
sen 30º = 2 = cos 30º =
l 2 l 2

α = 45º

r
45º
45º

45º
Triángulo 45º
rectángulo r
isósceles

y y y x 2
sen 45º = = = = =
r x2 + y2 2x2 2 x 2

12

α = 60º

Usando propiedades de ángulos complementarios:

⎛π ⎞ 3
sen 60º = cos⎜ − 60º ⎟ = cos 30º =
⎝2 ⎠ 2
⎛π ⎞ 1
cos 60º = sen⎜ − 60º ⎟ = sen 30º =
⎝2 ⎠ 2


Cuadro sinóptico

0º 30º 45º 60º 90º

0 1 2 3 4
sen
2 2 2 2 2

4 3 2 1 0
cos
2 2 2 2 2


13

Recta: pendiente (m) - inclinación (θ)
A la luz de la trigonometría podemos expresar:

y
f (x)
P2
cateto
P1 θ opuesto

cateto m = tg θ
adyacente
θ x

θ: inclinación de la recta

Reducción de ángulos al primer giro

Todos los ángulos, sea cual sea su valor, tienen sus FT
iguales a las de algún ángulo equivalente del 1º giro
La operación que encuentra dicho ángulo del 1º giro
se llama “reducción al 1º giro”

1120º

2π 4π 6π


14

Cálculo de FT usando ángulos del I

El valor absoluto de todas las FT de ángulos en
cualquier cuadrante, puede hallarse usando
ángulos exclusivamente del I
II: visto en ángulos
suplementarios α
β
sen α = sen (π - α) β
cos α = - cos (π - α)



III: por opuestos por el vértice es β = γ

α γ sen α = - sen β
= - sen γ

β cos α = - cos β
= - cos γ


15


IV:

α sen α = - sen β

cos α = cos β
β


Área de un triángulo

Hallar el área de un triángulo conociendo dos
de sus lados y el ángulo comprendido

c a
h
α
b
b.h ⎫
A= ⎪ 1
2 ⎬ A = b c senα
⎪ 2
h = c senα ⎭

16

Distancia entre dos puntos (en el plano)

y
y2 P2

(y1‐y2)2
P1
y1
(x1‐x2)2
x
x1 x2

d (P ; P2 ) =
1 (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

Gráficas de F.T.

Análisis de las funciones trigonométricas


17

Función sen x
Seno

p 3p
0 2 p 2 2p
1 1

0 0 Ángulo

-1 -1
0 p p 3p 2p
2 2

Función sen x p
Seno
3p
0 2 p 2 2p

1 1

Dominio?
Conjunto imagen? 0 0 Ángulo

Paridad?
Máximos / mínimos?
-1 -1
0 p p 3p 2p
2 2

Período?
Inyectividad / sobreyectividad / biyectividad?
Positividad / Negatividad / Ceros?
Función inversa?


18

Función cos x
Coseno

p 3p
0 2 p 2 2p
1 1

0 0 Ángulo

-1 -1
0 p p 3p 2p
2 2

Función cos x p
Coseno
3p
0 2 p 2 2p

1 1

Dominio?
Conjunto imagen? 0 0 Ángulo

Paridad?
Máximos / mínimos? -1
0 p p 3p 2p
-1

2 2

Período?
Función inversa?


19

Seno y coseno juntas
p 3p 5p 7p

0 2 p 2 2p 2 3p 2 4p
1 1

0 0

-1 -1
0 p p 3p 2p 5p 3p 7p 4p
2 2 2 2

Se ve gráficamente que son la misma, desplazadas en x
sen x = cos (x ‐ π/2) cos x = sen (x + π/2)

Función tg x
Tangente

p 3p
0 2 p 2 2p

1 1
0 0 Ángulo
-1 -1

0 p p 3p 2p
2 2

20

Función tg x
Tangente
p 3p
0 2 p 2 2p

Dominio?
Conjunto imagen? 1
0
1
0 Ángulo
-1 -1

Paridad?
Máximos / mínimos? p
0 p 3p 2p

Período? 2 2

Función inversa?
Asíntotas?

Función ctg x
Cotangente

p 3p
0 2 p 2 2p

1 1
0 0 Ángulo
-1 -1

0 p p 3p 2p
2 2

21

Función ctg x 0
p
2
Cotangente

p
3p
2 2p

Dominio?
Conjunto imagen?
1 1
0 0 Ángulo
-1 -1

Paridad?
Máximos / mínimos? 0 p
2
p 3p 2p
2

Período?
Función inversa?
Asíntotas?

Función sec x
Secante

p 3p 5p 7p
0 2 p 2 2p 2 3p 2 4p

1 1
0 0 Ángulo
-1 -1

0 p p 3p 2p 5p 3p 7p 4p
2 2
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22

Función sec x 0
p
2 p
3p
2
Secante

2p
5p
2 3p
7p
2 4p

Dominio?
Conjunto imagen? 1
0
1
0 Ángulo
-1 -1

Paridad?
Máximos / mínimos?
Período?
0 p p 3p 2p 5p 3p 7p 4p
2 2 2 2

Función inversa?
Asíntotas?

Función cosec x
Cosecante

p 3p 5p 7p
0 2 p 2 2p 2 3p 2 4p

1 1
0 0 Ángulo
-1 -1

0 p p 3p 2p 5p 3p 7p 4p
2 2 2 2

23

Teorema del coseno

Permite hallar un lado de un triángulo,
conocidos los otros dos lados y el ángulo
comprendido entre ellos

c β a
α γ
b
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ

Teorema del seno

Cocientes entre lados y senos de ángulos
coinciden en todo triángulo

c β a
α γ
b
a b c
= =
senα senβ senγ


24

Funciones periódicas

Una función es periódica cuando:
Repite la misma gráfica (pares ordenados) de la
misma manera, en igual secuencia, a iguales
intervalos de x
El CICLO de una función es:
La forma geométrica (secuencia de pares
ordenados) más pequeña que se repite
El PERÍODO de una función es:
La distancia x en que la función recorre un ciclo
completo


Funciones periódicas

ciclo

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

-2 -1 1 2

Ninguna función
periódica es biyectiva Período = 1
(repite valores)

25


f(x) = ± A sen (ω x - ϕ) + c

valor medio
amplitud pulsación
Desplazamiento
Expansión o vertical
compresión Expansión o
vertical compresión
horizontal
fase inicial
2π
ω= Desplazamiento
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T horizontal 51


Ej f(x) = 4 sen 2x
p 3p
0 2 p 2 2p
4 4

A=4 1 1

T=π 0 0

-1 -1

-4 -4
0 p p 3p 2p
2 2

26

… continúa el ejemplo:

O también el análisis analítico:

− 1 ≤ sen2 x ≤ 1
− 4 ≤ 4 sen2 x ≤ 4 0 ≤ 2 x ≤ 2π
4 sen2 x ≤ 4 0≤ x ≤π
If = [−4 ; 4] T =π
A= 4



Ej f(x) = 4 sen (2x+π) 3
p p
0 2 p 2 2p
4 4

A=4
T=π 1 1

0 0

2x+π = 2(x-ϕ) -1 -1
ϕ = - π/2

-4 -4
0 p p 3p 2p
2 2

27

F. T. inversas

Ninguna FT es biyectiva (ninguna función
periódica lo es)
Para poder armar la FT inversa, se requiere
tomar un tramo que sea biyectivo, lo más
grande posible, de cada una de las FT


F. T. inversas
1.5 3.0

1.0 2.5
arc sen x arc cos x
0.5 2.0

1.5
- 1.0 - 0.5 0.5 1.0

- 0.5 1.0

- 1.0 0.5

- 1.5
- 1.0 - 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

-4 -2
arc tg x
2 4

- 0.5

- 1.0

28

arc sen x
p p p p
x
- -

2 4 0 4 2

arc sen x
1 1

sen x
0 0

-1 -1

-p -p 0 p p
2 4 4 2

arc p
cos x p p 3p
-
4 0 4 2 4 p
x

3 3

arc cos x
2 2

1 1

0 0

cos x
-1 -1
p p p 3p
- 0 p
4 4 2 4

29

arc tg x
tg x
p p p p
- -

2 4 0 4 2

x
1 1

0 0

-1
arc tg x -1

-p -p 0 p p
2 4 4 2


Apéndice

Funciones trigonométricas con calculadora
y ángulos dentro del primer giro


30

Unidades de los ángulos

Configurar para que trabaje con la unidad de
ángulos correcta
Grados sexagesimales
Radianes
Gradianes (nunca)
Tecla “mode” hasta que aparezca:

Luego presionar la tecla 1 (Degree)


Funciones y funciones inversas

Las calculadoras tienen las
tres funciones
trigonométricas básicas:
sin x
cos x
tan x
Y sus inversas:
sin-1 x arc sen x
cos-1 x arc cos x
tan-1 x arc tg x


31

Los resultados de las funciones inversas

Al hallar el valor de una función inversa de un
número, sea este positivo o negativo, siempre
se obtienen, si nos circunscribimos al primer
giro:
DOS ÁNGULOS
UNO EN UN CUADRANTE
OTRO EN OTRO CUADRANTE
LA CALCULADORA con las funciones “arc..”
SÓLO ENTREGA UNO DE ESTOS DOS ÁNGULOS,
es “tarea humana” hallar el otro ángulo


arc sen x de un número positivo

La calculadora
responde sólo con el
α2 α1
ángulo del primer
cuadrante α1 α1
Ej:
arc sen 0,5
responde 30º

La respuesta correcta es: α1= 30º y α2 = 150º

32

arc sen x de un número negativo

Y responde sólo con
un ángulo del IV, pero
negativo
Ej:
arc sen (‐0,5)
responde ‐30º
β β
α1 α2

arc cos x de un número positivo

La calculadora
α1
ángulo del primer
cuadrante. β
Ej:
arc cos 0,5
responde 60º

α2

33

arc cos x de un número negativo

La calculadora
α1
ángulo del segundo
cuadrante.
Ej:
arc cos (‐0,5)
responde 120º

α2

arc tg x de un número positivo

La calculadora
α1
ángulo del 1º
cuadrante.
Ej:
arc tg (raíz(3))
responde 60º

α2

34

arc tg x de un número negativo

La calculadora
α1
ángulo del segundo
cuadrante.
Ej:
arc tg (‐raíz(3))
responde ‐60º

α2

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Y por si todo lo anterior falla…


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