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ACADEMIA




                                                           FORMULARIO DE TRIGONOMÉTRIA


                                                                                                                               IDENTIDADES
                TRIANGULOS NOTABLES                                                                                         TRIGONOMÉTRICAS

                  45º
                                                             60º                                  53º            PITAGORICAS
                                                                                                                                             1 − sen 2 x = cos 2 x
        2                                       2                                      5
                                                                                                        3
                                                                                                                 sen 2 x + cos 2 x = 1       1 − cos 2 x = sen 2 x
                        1                                                1

  45º                                   30º                                  37º
        1                                              3                                   4
                                                                                                                 1 + tg 2x = sec 2 x         sec 2 x − tg 2 x = 1
                                                                                                                 1 + ctg 2 x = csc 2 x       csc 2 x − ctg 2 x = 1
                   127°                                    153°                                   75°
        5                                      10           2                        4
                    2
                                1                                    1                                  6-   2
  53°                                     37°
   2                                       2                                 15°
            2                                      3                                       6+ 2
                                                                                                                 POR COCIENTE

                                                                                                                               senx               cos x
                  74º                                      76º                                    82º
                                                                                                                       tgx =             ctgx =
  25                                           17                                   5 2                                        cos x              senx
                            7                                    1                                      1
16º                                     14°                                    8º
            24                                     4                                       7                     RECÍPROCAS
                                                                                                                                                               1
                                                                                                                                                    csc x =
                  62º                                                                             59º            senx. csc x = 1                             senx
      17                                                                               31
                        8                                         1                                     3                                                      1
                                         45°                                                                     cos x. sec x = 1                   sec x =
28°                                      2                                     31º
                                                                                                                                                             cos x
        15                                     2 +1                                         5
                                                                                                                 tgx.ctgx = 1
                                                                                                                                                             1
                                                                                                                                                    ctgx =
                                                                                                                                                            tgx

                                                                                                                               IDENTIDADES AUXILIARES
      RAZONES TRIGONOMETRICAS DE
          ÁNGULOS NOTABLES


                            30º                60º               45º               37º             53º
                                1               3                 2                3               4
            sen
                                2              2                 2                 5               5
                                 3             1                  2                4               3
            cos
                                2              2                 2                 5               5
                                 3                                                 3               4                 IDENTIDADES PARA ARCOS
             tg                                3                 1
                                3                                                  4               3
                                                                                                                           COMPUESTOS
                                                3                                  4               3
            ctg                     3                            1
                                               3                                   3               4             sen(x ± y) = senx.cosy ± cosx.seny
                            2 3                                                    5               5             cos(x ± y) = cosx.cosy m senx.seny
            sec                                2                  2
                             3                                                     4               3
                                                                                                                              tgx ± tgy
                                          2 3                                      5               5             tg(x ± y) =
            csc                 2                                 2                                                          1 m tgx.tgy
                                           3                                       3               4



                                                                                                                               Prof. Julio C. Cerón Velásquez
IDENTIDADES AUXILIARES PARA COMPUESTOS
                                                               IDENTIDADES PARA ARCO
     sen(x + y).sen(x - y) = sen 2 x − sen 2 y
                                                                       DOBLE
     cos(x + y).cos(x - y) = cos 2 x − sen 2 y
                 sen(x ± y)                             sen2x = 2senx.cosx
     tgx ± tgy =                                        cos2x = cos 2 x − sen 2 x
                 cos x. cos y
                   sen(y ± x)
    ctgx ± ctgy =                                            cos2x = 2cos 2 x - 1                       AUXILIARES
                   senx.seny
                                                             cos2x = 1 − 2 sen 2 x
                   cos(x ± y)                                                             2cos 2 x = 1 + cos2x
    1 m tgx.tgy =
                  cos x. cos y                                                            2sen 2 x = 1 - cos2x
                                                                 2tgx
                    cos(x ± y)                          tg2x =                            ctgx + tgx = 2csc2x
    ctgx.ctgy m 1 =                                            1 - tg 2 x
                    senx.seny                                                             ctgx − tgx = 2ctg2x
    tgx ± tgy ± tg(x ± y).tgx.tgy = tg(x ± y)                                             sec2x + 1 = tg 2x.ctgx
                                                                                          sec2x − 1 = tg 2x.tgx

                                                                           Triangulo del ángulo doble
                   PROPIEDADES


1) asenx±bcosx=        a 2 + b2   .sen(x±θ) tal que:                       2   x
                                                                          tg                                       2
                                                                                                         sen2x= 2tg x
               b                               a                     1+                   2 tg x
                                                                                                                1 + tg2 x
   senθ =                 y        cos θ =
            a 2 + b2                         a 2 + b2                2x                                              2
                                                                                                         cos2x= 1 –tg x
                                                                                                                1 + tg2 x
                                                                      1 – tg 2 x
2) ∀ x ∈ R se cumple que:
   - a 2 + b 2 ≤ asenx ± bcosx ≤ a 2 + b 2

   (MINIMO)                            (MAXIMO)                IDENTIDADES PARA ARCO
                                                                       MITAD

   AUXILIARES PARA TRES ANGULOS
                                                                                             AUXILIARES
                                                           x    1 − cos x
1) Si A + B + C = 180°                                  sen = ±                                              x
                                                           2        2                      cscx + ctgx = ctg
     Se cumple:                                                                                              2
                                                                   1 + cos x                                x
   tgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC                            cos
                                                              x
                                                                =±                         cscx − ctgx = tg
                                                              2        2                                    2
   ctgA.ctgB+ctgA.ctgC+ctgB.ctgC=1
                                                             x    1 − cos x
2) Si: A+B+C=90°                                        tg     =±
                                                             2    1 + cos x
     Se cumple:
                                                        Donde el signo ± dependerá del cuadrante en el que se
   ctgA+ctgB+ctgC=ctgA.ctgB.ctgC
                                                                 x
   TgA.tgB+tgAtgC+tgB.tgC=1                             ubique
                                                                 2




                                                                          Prof. Julio C. Cerón Velásquez
CASO II
    IDENTIDADES PARA ARCO
            TRIPLE                                     Para el producto de dos términos, Senos y/o
                                                       Cosenos a suma o diferencia.

     sen3x = 3senx - 4sen 3 x                          Siendo : x > y
     cos3x = 4cos 3 x - 3cosx
              3tgx - tg 3 x                                  2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x − y)
     tg3x =
               1 - 3tg 2 x                                   2 Seny Cosx = Sen(x + y) − Sen(x − y)
                                                             2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x − y)
                  AUXILIARES
                                                             2 Senx Seny = Cos(x − y) − Cos(x + y)
     sen3x = senx(2cos2x + 1)
     cos3x = senx(2cos2x − 1)
                                                       2. SERIES TRIGONOMETRICOS
                2cos2x + 1 
     tg3x = tgx                                      Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos
                2cos2x + 1                           están en progresión aritmética.


     4 senx .sen(60° − x ).sen(60 ° + x ) = sen 3x
                                                                                             Sen nr       ( )
     4 cos x. cos(60° − x ). cos(60° + x) = cos 3x
                                                     Senα + Sen(α +4 + Sen(α + 2r) + ..... =
                                                                                                 2
                                                                                                                       (
                                                                                                                 Sen P + U        )
     tgx .tg(60° − x ).tg(60 ° + x ) = tg 3x
     tgx + tg(60° + x) + tg(120 ° + x ) = 3tg 3x
                                                     1444444 r)     24444444
                                                               “n” términos
                                                                                      3
                                                                                             Sen r
                                                                                                 2         ()          2




                                                                                               Sen nr     ( )
      TRANSFORMACIONES                               Cosα + Cos (α +4 + Cos (α + 2r) + ..... =
                                                                                                   2
                                                                                                                       (
                                                                                                                  Cos P + U       )
                                                                                                           ()
                                                     14444444       r)
                                                                     24444444           4
                                                                                        3                               2
       TRIGONOMÉTRICAS                                          “n” términos                   Sen r
                                                                                                   2


1. IDENTIDADES PARA LA SUMA Y
   PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS                               P : primer ángulo; U : último ángulo
                                                               r = razón
CASO I : Para la suma o diferencia de dos Senos
o Cosenos a producto.
                                                       3. SERIE ESPECIAL DE COSENOS

                      A+B      A −B                Propiedad ∀n ∈ Z +
  SenA + SenB = 2Sen      Cos      
                      2        2 

  SenA − SenB = 2Sen  A − B  Cos  A + B 
                                        
                                                     Cos   ( 2nπ+ 1 ) + Cos ( 2n3π 1 ) + Cos ( 2n5π 1 ) + .... n tér min os = 1
                                                                                 +                +                           2
                      2           2 
                                                       Propiedad ∀n ∈ Z +
  CosA + CosB = 2Cos  A + B  Cos  A − B 
                                        
                      2           2 

  CosB − CosA = 2Sen  A + B  Sen  A − B 
                                        
                                                     Cos   ( 2n2π 1 ) + Cos ( 2n4π 1 ) + Cos ( 2n6π 1 ) + .... n términ os = − 1
                                                                +                +                +                            2
                      2           2 


                                                                         Prof. Julio C. Cerón Velásquez
4. PRODUCTOS TRIGONOMETRICOS                                                                   3. TEOREMA DE TANGENTES
                                                                                                      Dado un triángulo ABC

Sen   ( 2nπ+ 1) Sen ( 2n2π+ 1 ) Sen ( 2n3π+ 1 )....Sen ( 2nnπ+ 1) =                      2n + 1
                                                                                          2n                                B



      ( 2nπ+ 1 ) Cos ( 2n π 1 )                      ( 2n π 1 )                    ( 2n π 1 ) = 21
                                                                                                                            B
Cos                     2                    Cos        3          .... Cos           n
                          +                               +                             +         n                 c                        a



Tg    ( 2nπ+ 1 ) Tg ( 2n2π 1 ) Tg ( 2n3π 1 ) ... Tg ( 2nnπ 1 ) =
                         +             +                 +
                                                                                            2n + 1         A
                                                                                                                    A

                                                                                                                                b
                                                                                                                                                 C
                                                                                                                                                           C

                                                                                                                Se cumple:



         RESOLUCION DE TRIANGULOS                                                                          I. a – b =
                                                                                                                         tg A – B
                                                                                                                              2     (            )
                OBLICUOS                                                                                        a+b     tg A + B
                                                                                                                              2     (            )
            1.      TEOREMA DE SENOS                                                                            b–c =
                                                                                                                         tg B – C
                                                                                                                              2      (           )
                                                                                                                                    (             )
                                                                                                           II.
                   En todo triángulo ABC de circunradio R se verifica                                           b+c     tg   B+C
                                     (O: centro).                                                                             2

                         B                                                                                 III. a – c =
                                                                                                                          tg A–C
                                                                                                                              2       (           )
                    c                a
                                                           • a = 2R sen A
                                                           • b = 2R sen B
                                                                                                                a+c      tg  A+C
                                                                                                                              2      (             )
                                             R
                          O                                • c = 2R sen C
               A
                             b                   C
                                                                                                      4. TEOREMA DE PROYECCIONES
                                                           También:
                                                                                                                        C

                     a = b = c       = 2R
                   sen A sen B sen C                                                                                                        a
                                                                                                                b


            2. TEOREMA DE COSENOS                                                                           A                                          B
              En todo triángulo ABC                                                                   A                                                        B
                                                                                                            b cos A
                                 B                                                                                                        c cos B
                                                                                                                                C
                                                      a
                     c

                    A                                                                                 Se cumple:
              A                                                            C
                                             b
                                                                                                       C = b cos A + c cos B
                                                                                                       Tambien:
       Se cumple:

                   a 2 = b2 + c 2 – 2bc cos A                     .......... (1)                       a = b cos C + c cos B
                     2       2           2
                   b = a + c – 2ac cos B                          .......... (2)                       b = a cos C + c cos A
                   c 2 = a 2 + b2 – 2ab cos C .......... (3)

             Si de (1) se despeja cos A obtenemos:

                            2   2    2
                   cos A = b + c – a
                              2bc


                                                                                                                   Prof. Julio C. Cerón Velásquez

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  • 1. ACADEMIA FORMULARIO DE TRIGONOMÉTRIA IDENTIDADES TRIANGULOS NOTABLES TRIGONOMÉTRICAS 45º 60º 53º PITAGORICAS 1 − sen 2 x = cos 2 x 2 2 5 3 sen 2 x + cos 2 x = 1 1 − cos 2 x = sen 2 x 1 1 45º 30º 37º 1 3 4 1 + tg 2x = sec 2 x sec 2 x − tg 2 x = 1 1 + ctg 2 x = csc 2 x csc 2 x − ctg 2 x = 1 127° 153° 75° 5 10 2 4 2 1 1 6- 2 53° 37° 2 2 15° 2 3 6+ 2 POR COCIENTE senx cos x 74º 76º 82º tgx = ctgx = 25 17 5 2 cos x senx 7 1 1 16º 14° 8º 24 4 7 RECÍPROCAS 1 csc x = 62º 59º senx. csc x = 1 senx 17 31 8 1 3 1 45° cos x. sec x = 1 sec x = 28° 2 31º cos x 15 2 +1 5 tgx.ctgx = 1 1 ctgx = tgx IDENTIDADES AUXILIARES RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 30º 60º 45º 37º 53º 1 3 2 3 4 sen 2 2 2 5 5 3 1 2 4 3 cos 2 2 2 5 5 3 3 4 IDENTIDADES PARA ARCOS tg 3 1 3 4 3 COMPUESTOS 3 4 3 ctg 3 1 3 3 4 sen(x ± y) = senx.cosy ± cosx.seny 2 3 5 5 cos(x ± y) = cosx.cosy m senx.seny sec 2 2 3 4 3 tgx ± tgy 2 3 5 5 tg(x ± y) = csc 2 2 1 m tgx.tgy 3 3 4 Prof. Julio C. Cerón Velásquez
  • 2. IDENTIDADES AUXILIARES PARA COMPUESTOS IDENTIDADES PARA ARCO sen(x + y).sen(x - y) = sen 2 x − sen 2 y DOBLE cos(x + y).cos(x - y) = cos 2 x − sen 2 y sen(x ± y) sen2x = 2senx.cosx tgx ± tgy = cos2x = cos 2 x − sen 2 x cos x. cos y sen(y ± x) ctgx ± ctgy = cos2x = 2cos 2 x - 1 AUXILIARES senx.seny cos2x = 1 − 2 sen 2 x cos(x ± y) 2cos 2 x = 1 + cos2x 1 m tgx.tgy = cos x. cos y 2sen 2 x = 1 - cos2x 2tgx cos(x ± y) tg2x = ctgx + tgx = 2csc2x ctgx.ctgy m 1 = 1 - tg 2 x senx.seny ctgx − tgx = 2ctg2x tgx ± tgy ± tg(x ± y).tgx.tgy = tg(x ± y) sec2x + 1 = tg 2x.ctgx sec2x − 1 = tg 2x.tgx Triangulo del ángulo doble PROPIEDADES 1) asenx±bcosx= a 2 + b2 .sen(x±θ) tal que: 2 x tg 2 sen2x= 2tg x b a 1+ 2 tg x 1 + tg2 x senθ = y cos θ = a 2 + b2 a 2 + b2 2x 2 cos2x= 1 –tg x 1 + tg2 x 1 – tg 2 x 2) ∀ x ∈ R se cumple que: - a 2 + b 2 ≤ asenx ± bcosx ≤ a 2 + b 2 (MINIMO) (MAXIMO) IDENTIDADES PARA ARCO MITAD AUXILIARES PARA TRES ANGULOS AUXILIARES x 1 − cos x 1) Si A + B + C = 180° sen = ± x 2 2 cscx + ctgx = ctg Se cumple: 2 1 + cos x x tgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC cos x =± cscx − ctgx = tg 2 2 2 ctgA.ctgB+ctgA.ctgC+ctgB.ctgC=1 x 1 − cos x 2) Si: A+B+C=90° tg =± 2 1 + cos x Se cumple: Donde el signo ± dependerá del cuadrante en el que se ctgA+ctgB+ctgC=ctgA.ctgB.ctgC x TgA.tgB+tgAtgC+tgB.tgC=1 ubique 2 Prof. Julio C. Cerón Velásquez
  • 3. CASO II IDENTIDADES PARA ARCO TRIPLE Para el producto de dos términos, Senos y/o Cosenos a suma o diferencia. sen3x = 3senx - 4sen 3 x Siendo : x > y cos3x = 4cos 3 x - 3cosx 3tgx - tg 3 x 2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x − y) tg3x = 1 - 3tg 2 x 2 Seny Cosx = Sen(x + y) − Sen(x − y) 2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x − y) AUXILIARES 2 Senx Seny = Cos(x − y) − Cos(x + y) sen3x = senx(2cos2x + 1) cos3x = senx(2cos2x − 1) 2. SERIES TRIGONOMETRICOS  2cos2x + 1  tg3x = tgx  Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos  2cos2x + 1  están en progresión aritmética. 4 senx .sen(60° − x ).sen(60 ° + x ) = sen 3x Sen nr ( ) 4 cos x. cos(60° − x ). cos(60° + x) = cos 3x Senα + Sen(α +4 + Sen(α + 2r) + ..... = 2 ( Sen P + U ) tgx .tg(60° − x ).tg(60 ° + x ) = tg 3x tgx + tg(60° + x) + tg(120 ° + x ) = 3tg 3x 1444444 r) 24444444 “n” términos 3 Sen r 2 () 2 Sen nr ( ) TRANSFORMACIONES Cosα + Cos (α +4 + Cos (α + 2r) + ..... = 2 ( Cos P + U ) () 14444444 r) 24444444 4 3 2 TRIGONOMÉTRICAS “n” términos Sen r 2 1. IDENTIDADES PARA LA SUMA Y PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS P : primer ángulo; U : último ángulo r = razón CASO I : Para la suma o diferencia de dos Senos o Cosenos a producto. 3. SERIE ESPECIAL DE COSENOS  A+B  A −B Propiedad ∀n ∈ Z + SenA + SenB = 2Sen   Cos    2   2  SenA − SenB = 2Sen  A − B  Cos  A + B      Cos ( 2nπ+ 1 ) + Cos ( 2n3π 1 ) + Cos ( 2n5π 1 ) + .... n tér min os = 1 + + 2  2   2  Propiedad ∀n ∈ Z + CosA + CosB = 2Cos  A + B  Cos  A − B       2   2  CosB − CosA = 2Sen  A + B  Sen  A − B      Cos ( 2n2π 1 ) + Cos ( 2n4π 1 ) + Cos ( 2n6π 1 ) + .... n términ os = − 1 + + + 2  2   2  Prof. Julio C. Cerón Velásquez
  • 4. 4. PRODUCTOS TRIGONOMETRICOS 3. TEOREMA DE TANGENTES Dado un triángulo ABC Sen ( 2nπ+ 1) Sen ( 2n2π+ 1 ) Sen ( 2n3π+ 1 )....Sen ( 2nnπ+ 1) = 2n + 1 2n B ( 2nπ+ 1 ) Cos ( 2n π 1 ) ( 2n π 1 ) ( 2n π 1 ) = 21 B Cos 2 Cos 3 .... Cos n + + + n c a Tg ( 2nπ+ 1 ) Tg ( 2n2π 1 ) Tg ( 2n3π 1 ) ... Tg ( 2nnπ 1 ) = + + + 2n + 1 A A b C C Se cumple: RESOLUCION DE TRIANGULOS I. a – b = tg A – B 2 ( ) OBLICUOS a+b tg A + B 2 ( ) 1. TEOREMA DE SENOS b–c = tg B – C 2 ( ) ( ) II. En todo triángulo ABC de circunradio R se verifica b+c tg B+C (O: centro). 2 B III. a – c = tg A–C 2 ( ) c a • a = 2R sen A • b = 2R sen B a+c tg A+C 2 ( ) R O • c = 2R sen C A b C 4. TEOREMA DE PROYECCIONES También: C a = b = c = 2R sen A sen B sen C a b 2. TEOREMA DE COSENOS A B En todo triángulo ABC A B b cos A B c cos B C a c A Se cumple: A C b C = b cos A + c cos B Tambien: Se cumple: a 2 = b2 + c 2 – 2bc cos A .......... (1) a = b cos C + c cos B 2 2 2 b = a + c – 2ac cos B .......... (2) b = a cos C + c cos A c 2 = a 2 + b2 – 2ab cos C .......... (3) Si de (1) se despeja cos A obtenemos: 2 2 2 cos A = b + c – a 2bc Prof. Julio C. Cerón Velásquez