IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

1. I.E 10214 – LA RAMADA MATEMÁTICA – 5º de Secundaria
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA
SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
En ocasiones se presentan razones  Sen(45º+30º) = Sen45º.Cos30º +
trigonométricas como por ejemplo: Sen 24º; Tg Sen30º.Cos45º
29º; etc. Pero podemos observa que:
2 3 1 2
24º = 8º + 16º 29º = 45º – 16º =   
2 2 2 2
Entonces surge la necesidad de utilizar otras 6 2
identidades para la suma y/o diferencia de dos = 
4 4
ángulos.
6 2
1. Fórmulas básicas  Sen 75º =
4
I. Para la Suma de Variables:
2. Reducir:
E = (sena + cosa) (senb + cosb)
Sen(x  y)  Senx.Cosy  Seny.Cosx
Solución:
operando:
Cos(x  y)  Cosx.Cosy  Senx.Seny E = sena.senb + sena.cosb + cosa.senb +
Cosa.cosb
E = sen(a + b) + cos(a – b)
Tgx  Tgy
Tg(x  y) 
1 Tgx.Tgy
3. Reducir: C = Cos ( 60º + x) + Cos ( 60º – x)
Solución:
II. Para la Diferencia de variables: C = Cos60.Cosx – Sen60.Senx + Cos60º.Cosx +
+ Sen60º.Senx
Sen(x  y)  Senx.Cosy  Seny.Cosx C = 2.Cos60º.Cosx
1
C = 2. .Cosx  C = Cosx
2
Cos(x  y)  Cosx.Cosy  Senx.Seny
4. Reducir: R = Tg + Tg + Tg.Tg,
Tgx  Tgy si:  +  = 45º
Tg(x  y) 
1  Tgx.Tgy Solución:
Como:  +  = 45º  Tg ( + ) = tg 45º
Tgα  Tgβ
Desarrollando: 1
1  Tgαgα.T
Ejercicios Resueltos Tg + Tg = 1 – Tg.Tg
1. Calcular: sen75º Trasladando términos:
Tg + Tg + Tg.Tg = 1
Solución:
C
tenemos que:
 C=1
sen75º = sen(45º + 30º)
-1- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

2. I.E 10214 – LA RAMADA MATEMÁTICA – 5º de Secundaria
07. Si: Tg ( 37º + x) = 4, hallar “Tg x”
Práctica Dirigida Nº 01 11 13 13
a) b) c)
16 16 15
11 10
01. Demostrar que: d) e)
Sen(x  y)  Senx.Cosy 15 13
 Ctgy
Senx.Seny
08. Siendo:
1 1
02. Demostrar que: Tg(x - y)  ; Tg(y  z) 
Sen(x  y)  Seny.Cosx 2 3
 Tgx Hallar: Tg (x + z)
Cosx.Cosy
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03. Demostrar que:
 π   π 
Cos   x



 Cos 

x 

3Senx 09. Siendo: Tg x + Tg y + Tg z = 4
 3   3  Calcular:
Sen(x  y) Sen(y  z) Sen(z  x)
C  
04. Demostrar que: Cosx.Cosy Cosy.Cosz Cosz.Cosx
6 2
Sen75º a) 3 b) 4 c) 6
4 d) 8 e) 12
05. Calcular Sen 67º
3 3 4 3 3 4 3 3 5 10. Reducir:
a) b) c)
10 10 10 Sen(x - y) Sen(y  z) Sen(z  x)
L=  
3 4 3 4 Cosx.Cosy Cosy.Cos z Cos z.Cosx
d) e)
10 10
a) 1 b) 0 c) 2
d) – 2 e) – 1
02. Calcular Tg 29º
15 16 17
a) b) c)
31 31 31
11. Sabiendo que “” y “” son agudos, tales que:
18 19 3 1
d) e) Sen = Sen =
31 31 13 5
Calcular: Tg ( – )
Sen(x  y)
06. Reducir: E   Tgy
Cosx.Cosy a) 3/7 b) 7/3 c) 4/7
d) 2/7 e) 1/7
a) Sen x b) Sen y c) Ctg y
d) Tg x e) Cos x
-2- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

3. I.E 10214 – LA RAMADA MATEMÁTICA – 5º de Secundaria
12. Si: Sena =
1
;  Є IIC; Cosb =
1
; β Є IVC d) – Tg x e) 0
2 2
Calcular: "sen(a + b)" 1
05. Si: Tg ( 45º – x) = , calcular tg x”
3
6 2 6 2 2 6
a) b) c) a) 1 b) 1/2 c) 1/3
4 4 4
b) 1/4 e) 2
d)  ( 6  2 ) e) 1
4
06. Siendo: Tg (x + y) = 4; Tg (z – y) = 2
Calcular: Tg (x + z)
13. Reducir: a) 2/3 b) – 6/7 c) 3/8
tg x  tg y d) 2/9 e) 4/9
E  tg x tg y
tg( x  y)
07. Sabiendo que “” y “” son agudos, tales que:
a)1 b) tgx c)tgy 2 2
Cos = Cos =
d) ctgx e) ctgy 29 13
Calcular: Tg( + )
a) 16/11 b) – 16/11 c) 6/11
d) – 6/11 e) 11/7
Tarea Nº 01
01. Demostrar que: 08. Siendo x + y = 60º, simplificar:
Tgx  Tgy Senx.Cosy  Cosx.Seny
 1  Tgx.Tgy C
Tg(x  y) Cosx.Cosy - Senx.Seny
Sen(x  y)  Senx.Cosy a) 1 b) 2 c) 1/2
02. Reducir: C
Cos(x  y)  Senx.Seny d) 3 e) 3/3
a) Tg x b) tg y c) Ctg x
d) Ctg y e) 1 09. Si: x + y = 45º
calcular: E = tgx + tgy + tgx tgy
Sen(x  y)  Senx.Cosy
03. Reducir: C 
Cos(x  y)  Cosx.Cosy a) 1 b) 2 c)3
d) 4 e) 5
a) –Tg x b) Tg y c) –Ctg x
d) Ctg y e) 1
Cos(x  y)
04. Reducir: C  Tg y
Senx.Cosy
a) Ctg x b) Tg x c) – Ctg x
-3- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz