IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

1. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 5º de Secundaria
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL
ÁNGULO DOBLE
En ocasiones se presentan razones
trigonométricas como por ejemplo: Sen 32º;  Tg2 = ___________________
Tg 90º; etc. Pero podemos observa que:
32º = 2(16º) 90º = 2(45º)  Tg 20º = ___________________
Entonces surge la necesidad de utilizar otras
identidades para ángulos dobles
1. Fórmulas básicas
Ejercicios Resueltos
I. Para el seno del ángulo doble:
(Sen2)
2
1. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: Tg =
Sen2θ  2Senθ  Cosθ 3
Calcular: “Sen2”
 Sen2 = ___________________ Solución:
 Sen 40º = ___________________
2
 Sen8 = ___________________ De la condición: Tg =
3
En el triángulo rectángulo:
13 2
II. Para el coseno del ángulo doble:
(Cos2) 
3
Cos2θ  Cos 2θ  Sen 2θ Luego: Sen 2 = 2Sen.Cos
2 3
Sen2 = 2 
También:
13 13
12
Cos2θ  2Cos 2θ - 1 Sen2 =
13
Cos2θ  1 - 2Sen 2θ
2. Demostrar que:
(Senx + Cosx)2 = 1 + Sen2x
 Cos2 = ___________________
 Cos 40º = ___________________ Solución:
 Cos4 = ___________________ En el primer miembro, desarrollando:
(Senx + Cosx)2 = 1 + Sen2x
III. Para la tangente del ángulo doble:
2 2
(Tg2) Sen x  2Senx.Cosx  Cos x  1  Sen2x
1
2Tgθ 1 + 2Senx.Cosx = 1 + Sen2x
Tg2θ 
Sen2x
1 - Tg 2 θ  1 + Sen2x = 1 + Sen2x
-1- Lic. Edgar Raúl Delgado Vicuña

2. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 5º de Secundaria
3. Simplificar: 1
C  4Senx  Cosx  Cos2x  2  2Sen2x.Cox2x
4
Solución:
1 1 
= Sen4x … (Sen30º = y 30º = )
Recuerda que: 2Senx.Cosx = Sen2x 2 2 6
En la expresión:  
C  4Senx  Cosx  Cos2x  4x    x 
6 24
C = 2.2Senx.Cosx.Cos2x
Sen2x
Luego: C = 2Sen2x.Cos2x
Sen4x Práctica Dirigida Nº 01
 C = Sen4x
01. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: Ctg  = 4,
calcular: “Sen2”
4. Simplificar:
1 - Cos2 θ a) 4/15 b) 4/17 c) 8/15
C d) 8/17 e) 15/17
1 - Cos 2 θ
Solución:
En la expresión: 02. Si: Sen = 1/3,   IC
Calcular: “Sen2”
1 - Cos2θ 1  (Cos 2θ  Sen2θ)
C  2 2 2 2
1 - Cos2θ Sen2θ a) b) c)
9 3 9
 
  4 2 2
1  Cos 2 θ  Sen2 θ d) e)
C 9 6
Sen2 θ
Sen2θ  Sen2θ 2Sen2θ
C  03. Si: Cos =
3
,   IC
Sen2θ Sen2θ 13
Calcular: E = 13Sen2 + 1
 C=2
a) 7 b) 13 c) 12
d) 14 e) 6
1. Calcular un valor agudo de “x” que cumple:
1
Secx = Senx. Cos2x
8
Solución: 04. Hallar el valor de “Tg 2”.
1
Siendo Tg  =
1 4
En la condición: Secx = Senx. Cos2x 1 8
8 a) b) c) 9/17
4 15
1 d) 3/7 e) 4/15
1 1
.  Senx.Cos2x   Senx.Cosx.Cos2x
8 Cosx 8
Multiplicando por “2”:
05. Reducir: J = Sen2x.Secx – Tgx. Cosx
1
 2  2Senx.Cosx .Cos2x ...(2Senx.Cosx  Sen2x)
8 a) Senx b) 2Senx c) 0
1 d) Cosx e) 2Cosx
 Sen2x.Cox2 ; ahora multiplicamos por 2
x
4
-2- Lic. Edgar Raúl Delgado Vicuña

3. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 5º de Secundaria
1
2Cos x  Sen 2x 02. Si: Cos = ,   IC
06. Simplificar: A = 3
Cov x Calcular: A = 2 .Tg2 + 1
Si se sabe que: Cov x = 1 - Senx
a) 1/7 b) 2/7 c) 3/7
a) 2 b) 1 c) Cosx d) 4/7 e) – 1/7
d) 2Cosx e) 1/2Cosx
03. Reducir:
E = 4senx cosx cos2x
07. Reducir:
C = 8Senx.Cosx.Cos2x.Cos4x a) sen2x b )sen4x c) sen8x
d) cos2x e) cos4x
a) Sen2x b) Sen4x c) Sen8x
d) 2Sen4x e) 4Sen4x 04. Reducir:
E = Tgx . Cos2x + Ctgx . Sen2x
2
08. Reducir: J = Cos2x + 2Sen x
1
2 2 a) sen2x b) 2sen2x c) Senx
a) 1 + sen x b) Cos x c) 1 2
2 2
d) 2Cos x e) 1 + Cos x 1
d) Cosx e) cos2x
2
05. Reducir:
09. Simplificar la expresión:
3 3
K = Cos x  Senx  Sen x  Cosx E = (senx + cosx)2 - 1
a) Sen 2x b) 2.Sen 2x c) 0,5Sen 2x a) sen2x b) 2sen2x c)
1
Senx
d) 3.Sen 2x c) Cos 2x 2
1
d) Cosx e) cos2x
2
10. Del gráfico, calcular: “Cos”
06. Reducir:
3
E = (senx + cosx + 1) (senx + cosx - 1)
2  a) 1 b)-1 c) sen2x
 d) 2sen2x e)N.A.
4 4
3 2 5 07. Reducir: C = Cos x – Sen x
a) b) c)
5 3 6 2
a) Cos 2x b) 2Cos2x c) Cos2x
4 6 2
d) e) d) 2Cos 2x e) 0,5Cos2x
5 7
08. Del gráfico, calcular: “Sen”
Tarea Nº 01
 
01. Simplificar:
(2Senx - Sen2x)
A=  Ctg x
Vers x 1 3
Sabiendo que: Vers x = 1 – Cosx
2 1 3
a) 2 b) Cosx c) Senx a) b) c)
3 3 4
d) 2Senx e) 2Cosx
3 1
d) e)
5 6
-3- Lic. Edgar Raúl Delgado Vicuña

4. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS MATEMÁTICA – 5º de Secundaria
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