Este documento trata sobre el tunelaje de Landau-Zener en arreglos periódicos de guías ópticas en presencia de defectos puntuales. Analiza un modelo basado en la ecuación de Helmholtz paraxial para estudiar transiciones no adiabáticas, estableciendo una analogía con procesos cuánticos. Estudia la probabilidad de transición entre bandas de energía usando el resultado de Landau-Zener para un sistema de dos niveles, obteniendo analíticamente el coeficiente de transmisión en términos de la

1. FACULTAD DE FISICA
TUNELAJE DE LANDAU-ZENER EN ARREGLOS PERI´ODICOS
DE GU´IAS ´OPTICAS EN PRESENCIA DE DEFECTOS
PUNTUALES
POR
GREGORIO MARTINEZ LETELIER
Informe de pr´actica presentada a la Facultad de F´ısica de la
Pontificia Universidad Cat´olica de Chile, para
optar al grado acad´emico de Licenciado en F´ısica.
Supervisor : Dr. Luis Morales (PUC Chile)
Correctores : Dr. Edward Ar´evalo (PUC Chile)
Dr. Miguel Orszag (PUC Chile)
Julio, 2014
Santiago, Chile

2. Esta memoria va dedicada a mi madre.

4. Agradecimientos
En primer lugar quiero agradecer a mi profesor gu´ıa Luis Morales por su disposici´on,y
tiempo que dedic´o en ensen˜arme las herramientas necesarias para enfrentar este proyecto.
Un agradecimiento a mis ayudantes Isabel Mu˜nos y a Ariel Ignacio Norambuena, los cuales
me ayudaron a escribir esta memoria.
Quiero agradecer adem´as a P´ıa Homm y Piero Ferrari, quienes fueron muy importantes en
todo mi proceso de formaci´on, adem´as de grandes amigos y consejeros. Al profesor Rafael
Benguria por su apoyo incondicional. A Arrito por su apoyo durantes mis an˜os de carrera.
A los profesores Manuel Elgueta y Jose Lop´ez quienes me apoyaron en matem´aticas durante
mis a˜nos de Universidad.
Un especial agradecimiento a mi familia que siempre me ha apoyado y acompa˜nado en
todo. A los que ya han partido de este mundo que se que me est´an acompa˜nando desde el
cielo. Finalmente un agradecimiento a Cristian D´ıaz que me sac´o de muchos apuros.
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6. Resumen
En este trabajo analizamos un modelo que sirve para el estudio de las transiciones
no adiab´aticas en arreglos peri´odicos de gu´ıas de onda con presencia de defectos.
El modelo se basa en el uso de la ecuaci´on de Helmholtz en la aproximaci´on
paraxial, lo cual conduce a la llamada ecuaci´on Schr¨odinger ´optica no lineal para
ondas electromagn´eticas.
La relevancia de este trabajo radica en el estudio de la analog´ıa existente entre
procesos ´opticos cl´asicos y procesos cu´anticos de ´areas como materia condesada.
En particular, partiendo de la ecuaci´on de Schr¨odinger ´optica, obtenida dentro de
la aproximaci´on paraxial, se formul´o el problema an´alogo a un sistema cu´antico
de dos niveles que evoluciona a trav´es de un Hamiltoniano de Landau-Zener con
un par´ametro de control a que modela la rapidez con que cambia el ´ındice de
refracci´on del medio en el cual se propaga la onda.
Usando el resultado de Landau-Zener para la probabilidad de transici´on en un
sistema cu´antico de dos niveles, se obtuvo anal´ıticamente el coeficiente de trans-
misi´on asociado a la probabilidad de que la onda electromagn´etica que se propaga
en una gu´ıa peri´odica, pase de la banda inferior a la superior en t´erminos de la
brecha entre las banda, el par´ametro de control y el n´umero de onda.
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7. Abstract
In this work we analyse a model used to study the non adiabatic transitions in
periodic waveguides arrays with the presence of defects. The model is based on
the Helmholtz equation for the paraxial approximation, leading to the equation
known as no lineal optic s Schrdinger for electromagnetic waves.
The relevance of this work is based on the study of the analogy between classical
optical processes and quantum processes areas as condensed matter. Particularly,
starting from the optical Schrdinger equation, obtained into the paraxial approxi-
mation, the analogous problem was formulated to quantum system of two levels,
that develops through a Landau-Zener Hamiltonian with control parameter a,
that models the rapidity which changes the refraction index of the medium in
which the wave propagates.
Using the Landau-Zener result of the transition probability for a two-level quan-
tum system, is obtained analytically the coefficient of transmission associated
to the probability that the electromagnetic wave which propagates in a periodic
guide, is transmitted from the lower band to the upper band, in terms from the
gap between the bands, the control parameter and the wave number.
iv

9. ´Indice general
1. Introducci´on 1
1.1. Gu´ıa de ondas ´opticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. An´alogos ´optico - mec´anico cu´antico 6
2.1. Contexto hist´orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Oscilaciones de Bloch fot´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Transiciones de Landau-Zener 11
3.1. Evoluci´on Adiab´atica y No-adiab´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2. Transici´on de Landau-Zener para un sistema de dos niveles . . . . . . . . . 13
4. Transiciones entre bandas de energ´ıa 17
4.1. Ecuaci´on de Helmholtz Paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1. Hamiltoniano para la ecuaci´on de Helmholtz Paraxial . . . . . . . . 19
4.2. Modelo F´ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.1. Defecto puntual: Cambio local del ´ındice de refracci´on . . . . . . . . 24
4.2.2. Aproximaci´on de dos modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.3. Coeficiente de transmisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3. An´alisis del coeficiente de transmisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5. Conclusiones 31
Bibliograf´ıa 32

11. Cap´ıtulo 1
Introducci´on
Desde la antig¨uedad el hombre se ha dedicado a estudiar la propagaci´on de la luz y de
como sacarle provecho; de hecho, los griegos usaban espejos para transmitir informaci´on
a trav´es de la manipulaci´on ´optica de la luz solar. Ya en 1792, Claude Chappe dise˜n´o un
sistema de telegraf´ıa ´optica [1], que mediante el uso de un c´odigo, torres y espejos distri-
buidos a lo largo de los 200 km que separan Lille y Par´ıs, consegu´ıa transmitir un mensaje
en tan s´olo 16 minutos. Hoy en d´ıa, el uso de la luz guiada, confinada en gu´ıas de ondas
corresponde a un ´area de la F´ısica de un gran relevancia debido a su uso en la transmisi´on
de informaci´on a trav´es del uso de la luz. Podemos mencionar entre otros avances, la pro-
pagaci´on de la luz en fibras ´opticas y su alcance en la sociedad moderna reflej´andose en
las telecomunicaciones, en particular en el internet.
1.1. Gu´ıa de ondas ´opticas
La primera gu´ıa de onda fue propuesta por J.J Thomsom en 1893, al a˜no siguiente
fue verificada experimentalmente por O.J. Lodge. Posteriormente en 1897 Lord Rayleigh
y Jorge Fern´andez Quesada hicieron el an´alisis matem´atico de los modos de propagaci´on
de un cilindro met´alico hueco.
1

12. CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON
Una gu´ıa de onda es un medio material que sirve como soporte para que se propaguen
ondas [2], las cuales pueden ser ondas electromagn´eticas o mec´anicas como el sonido. En
particular una gu´ıa de onda ´optica es un material diel´ectrico donde puede propagarse
paquetes de ondas electromagn´eticas con distintas longitudes de ondas, incluyendo luz
visible. [2]. Las gu´ıas de ondas ´opticas pueden clasificarse seg´un su forma geom´etrica [4]
(planas, circulares, cil´ındricas, rectangulares, etc) tal como se puede observar en la siguiente
figura
Figura 1.1: Tres tipos de estructuras geom´etricas para gu´ıas de onda.
Una gu´ıa de onda posee una estructura b´asica formada por un n´ucleo y un revestimiento,
construidos con distintos ´ındices de refracci´on. Para lograr un confinamiento eficiente, es
decir, que el paquete de luz se propague a lo largo del eje del n´ucleo se requiere una relaci´on
entre ´ındice de refracci´on del n´ucleo y el ´ındice de refracci´on del revestimiento que cumpla
la condici´on de reflexi´on interna total (ver Figura 1.2 para mas detalle)
Luz Nucleo
Revestimiento
Revestimiento
Figura 1.2: Propagaci´on de la luz a lo largo del n´ucleo de la gu´ıa de ondas. Debido a que nn´ucleo >
nrecubrimiento se puede garantizar, debido a la Ley de Snell, que un porcentaje muy peque˜no de la
luz escape a trav´es del revestimiento y por ende, la luz se propagar´a mayoritariamente a lo largo
del n´ucleo.
2

13. 1.1. GU´IA DE ONDAS ´OPTICAS
Adem´as es relevante su estructura material (vidrio, pol´ımero, semiconductor, diel´ectri-
co) y propiedades f´ısicas como su ´ındice de refracci´on (de paso o gradiente), el cual se
puede explicar en la siguiente figura
salto
Figura 1.3: ´Indice de refracci´on de salto y de gradiente para un sistema f´ısico que consiste de dos
medios (rojo y azul) que poseen distinto ´ındice de refracci´on.
Una ventaja de usar estas estructuras para la propagaci´on de ondas electromagn´eticas
es que hace su transmisi´on eficiente ya que se reducen las perdidas de energ´ıa asociadas
a la disipaci´on t´ermica por efecto Joule. Por otra parte, su construcci´on es mucho m´as
simple que la de otros dispositivos usados para transmitir ondas electromagn´eticas, como
por ejemplo, el cable coaxial.
Una de sus principales limitaciones es que el ancho w de estas estructuras debe ser del
orden de la longitud de onda λ de la onda que queremos propagar, es decir w ∼ λ, y por
ejemplo, si quisi´eramos transmitir una onda electromagn´etica cuya frecuencia es ν = 10−1
MHz, se requerir´ıa la construcci´on de una gu´ıa de ondas con un ancho w ∼ λ = c/ν = 1
3

14. CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON
Km !, lo cual no es factible.
Otra caracter´ıstica ventajosa de estos sistemas ´opticos es que se puede construir gu´ıas
espaciadas con cierta periodicidad donde el´ındice de refracci´on presenta un comportamien-
to peri´odico. [26] A estas estructuras se les da el nombre de arreglos peri´odicos de gu´ıas de
ondas y son ´utiles puesto que permiten un mejor control sobre el flujo gu´ıado de luz. Un
ejemplo de un arreglo peri´odico se muestra en la siguiente figura
Figura 1.4: En esta imagen se observa un arreglo peri´odico de gu´ıas de ondas que consiste en
crear una periodicidad en el ´ındice de refracci´on a partir de la uni´on de dos materiales con ´ındice
de refracci´on distintos (n1, n2).
La propagaci´on de un paquete de onda en un medio de refracci´on modulado peri´odi-
camente, puede imitar la din´amica de una part´ıcula cu´antica en un potencial peri´odico.
Esta funci´on potencial restringe el movimiento de esta part´ıcula a una regi´on del espacio,
lo cual se ver´a m´as adelante en el desarrollo de este informe.
Potenciales peri´odicos poseen invarianza de traslaci´on rompiendo el espectro de onda
lineal, lo cual da lugar a la formaci´on de bandas de energ´ıa y brechas prohibidas entre dichas
bandas. En este sentido, la modulaci´on del ´ındice de refracci´on en sistemas ´opticos permite
establecer paralelos sorpredentes con otros sistemas f´ısicos donde par´ametros espaciales
son peri´odicamente modulados.
En particular, la propagaci´on de ondas electromagn´eticas en arreglos peri´odicos de
cristales fot´onicos han suscitado un gran inter´es debido a la similitud con problemas de
F´ısica del estado s´olido, tales como por ejemplo, oscilaciones de Bloch, tunelaje de Landau-
Zener en cristales semiconductores, etc.
En esta l´ınea, se basa la presente memoria, la cual aborda un ejemplo de analog´ıa entre
4

15. 1.1. GU´IA DE ONDAS ´OPTICAS
fen´omenos cl´asicos que involucra la propagaci´on de ondas electromagn´eticas y fen´omenos
de naturaleza cu´antica presentes en la f´ısica del estado s´olido. Esta se organiza de la
siguiente manera. En el Cap´ıtulo 2 se hace una breve introducci´on a ciertas analog´ıas entre
la ´optica cl´asica y la mec´anica cu´antica. En particular, se discute la analog´ıa existente
entre oscilaciones de Bloch de f´ısica del estado s´olido y las oscilaciones de Bloch fot´onicas
para gu´ıas ´opticas. El Cap´ıtulo 3 introduce los conceptos sobre transiciones de Landau-
Zener. En primer lugar se discute la diferencia entre evoluci´on adiab´atica y no-adib´atica,
en particular se ve la derivaci´on del llamado Teorema adiab´atico. Adem´as se ejemplifica
con el an´alisis de un modelo efectivo de dos niveles, para as´ı concluir con la probabilidad
de transici´on de Landau-Zener. El cap´ıtulo 4 detalla el sistema f´ısico a analizar, el cual
consiste en la propagaci´on de gu´ıas de ondas en una red ´optica peri´odica. En esta parte, se
utiliza la aproximaci´on paraxial como una herramienta ´util para poder resolver la ecuaci´on
adimensional de Schr¨odinger. Por otra parte, con la ayuda de la f´ormula de Landau-Zener,
se halla el coeficiente de transmisi´on asociado a la probabilidad de transici´on entre bandas,
lo cual conlleva a fen´omenos f´ısicos de gran inter´es para esta ´area de la F´ısica. Finalmente
en el Cap´ıtulo 5 se conluye con un breve an´alisis de los resultados y posibles l´ıneas de
investigaci´on.
5

16. Cap´ıtulo 2
An´alogos ´optico - mec´anico
cu´antico
Los recientes desarrollos te´oricos y experimentales sobre analog´ıas ´optica cu´antica prue-
ban que el estudio de la similitudes y la transferencia de ideas y conceptos entre temas
aparentemente no relacionados en el campo de la f´ısica son muy productivos en el avance
de la ense˜nanza, en la investigaci´on y la ciencia.
Similitudes entre las ondas ´opticas y las ondas mec´anicas han sido destacadas en muchas
ocasiones a trav´es del tiempo y esto se remonta a los primeros desarrollos de la f´ısica
cu´antica..
2.1. Contexto hist´orico
La analog´ıa entre la ´optica geom´etrica y la din´amica de part´ıculas Newtonianas expre-
sadas por la similitud formal entre el principio variacional de los rayos ´opticas de Fermi,
fue el punto de partida para el nacimiento de la mec´anica de ondas despu´es que De Broglie
publicara en 1923 su hip´otesis sobre las propiedades ondulatorias de la materia [5]. Los
efectos de onda tales como la interferencia y la difracci´on tan conocida en las ondas de luz
fueron tomadas de la ´optica y aplicadas exitosamente para el explicar el comportamiento
ondulatorio de las part´ıculas como el electr´on. Luego del desarollo de la mec´anica cu´antica
6

17. 2.2. OSCILACIONES DE BLOCH FOT ´ONICAS
y la disponibilidad de fuentes de laser coherente a mediados de los 60, la transferencia de
ideas y conceptos de la ondas mec´anicas a la ´optica ocurren continuamente hasta nuestros
d´ıas. Por ejemplo, el advenimiento de la integraci´on de fibras ´opticas a partir de los a˜nos
70, varios formalismos cu´anticos tales como m´etodos integrales de operaci´on y transmi-
si´on fueron adoptados masivamente para estudiar la propagaci´on de la luz en estructuras
diel´ectricas de gu´ıas de ondas no homog´eneas.
En la d´ecada pasada, estudios experimentales y te´oricos han visto un importante re-
surguimiento particularmente en el ´area de las analog´ıas ´opticas-cu´anticas [6], las que han
llamado gran inter´es. Entre las analog´ıas ´opticas-cu´anticas podemos mencionar algunos
ejemplos tales como: control coherente de tunelaje entre redes fot´onicas [7, 8], la localiza-
ci´on de la funci´on de onda en el modelo rotor cu´antico pateado [9], propagaci´on de ondas
en sistemas cu´anticos no-herm´ıticos [10], colapso y resurgimiento de la funci´on de onda [6],
tunelaje de Landau-Zener [11], entre otras.
Una analog´ıa de inter´es para este trabajo y que discutiremos a continuaci´on es la
llamada oscilaci´on de Bloch fot´onica.
2.2. Oscilaciones de Bloch fot´onicas
Las oscilaciones de Bloch se atribuyen comunmente a oscilaciones de electrones en un
cristal, sometido a un campo el´ectrico uniforme E [18]. A continuaci´on mostraremos la
derivaci´on anal´tica para la ecuaci´on de movimiento de un electr´on en presencia de un
campo el´ectrico
En un medio peri´odico la funci´on de onda electr´onica se puede escribir usando el Teorema
de Bloch, el cual establece que el autoestado de un electr´on viene dado por
ψk(r) = eik·r
uk(r) (2.1)
donde r es la posici´on del electr´on y p = k es su momentum.
7

18. CAP´ITULO 2. AN ´ALOGOS ´OPTICO - MEC ´ANICO CU ´ANTICO
El Hamiltoniano de este electr´on es Hk =
2
2m (−i + k)2
+ U(r), donde U(r) posee
la periodicidad de la red. Si el electr´on incrementa levemente su cuasimomento k, en q,
entonces a primer orden en Taylor se obtiene una correcci´on a su espectro dada por
εn(k + q) = εn(k) + εn(k) · q + .... (2.2)
Por otro lado, para el Hamiltoniano se tiene que
Hk+q = Hk +
2
m
q · (−i + k) +
2
2m
q2
= H0 + H (2.3)
donde la perturbaci´on a primer order en q esta dado por H =
2
m q·(−i +k). Recordemos
tambi´en que
εn(k + q) = εn(k) + d3
rψ∗
nH ψn, (2.4)
donde el valor esperado de la perturbaci´on es
d3
ru∗
n,kH un,k = q · ψn(k) | −i | ψn(k) . (2.5)
Al igualar los t´erminos de primer orden de la expansi´on de Taylor de las ecuaciones (2.2)
y (2.3), y conociendo el operador velocidad ˆv = −im , se llega a
ˆv =
1
εn(k). (2.6)
Si sobre este electr´on act´ua un campo electr´ıco uniforme E, entonces su ecuaci´on de mo-
vimiento semicl´asica es
dp
dt
= −eE, (2.7)
donde p = k, y con soluci´on para k(t)
k = k(0) −
e
Et. (2.8)
Por otro lado, la energ´ıa para un potencial peri´odico se puede expresar como εn(k) =
n cos(k · a), donde a es el par´ametro de la red el cual hace referencia a la distancia entre
8

19. 2.2. OSCILACIONES DE BLOCH FOT ´ONICAS
las celdas unitarias en una estructura cristalina. As´ı se llega a
ˆv = −
n
sin(k · a)a, (2.9)
donde la posici´on promedio del electr´on es
r(t) = dt ˆv (t) =
na
E · a
[cos(k(t) · a) − cos(k(0) · a)] . (2.10)
Puesto que k(t) es lineal en el tiempo, queda demostrado que el electr´on oscila bajo la
influencia de un campo el´ectrico externo. Un aspecto interesante de este fen´omeno es que
s´olo es v´alido en un r´egimen de peque˜nos valores de la intensidad del campo el´ectrico. Para
mayores valores tiene lugar un nuevo proceso conocido como tunelaje de Landau-Zener que
ser´a discutido en el pr´oximo cap´ıtulo.
Ahora analizaremos las oscilaciones de Bloch en critales fot´onicos. Cristales fot´onicos
son estructuras donde el ´ındice de refracci´on var´ıa peri´odicamente. Esta periodicidad hace
que el sistema posea invarianza de traslaci´on rompiendo el espectro de onda lineal, dando
lugar as´ı a la formaci´on de bandas de energ´ıa y brechas prohibidas entre dichas bandas. Por
tanto, la propagaci´on de la luz en cristales fot´onicos queda limitado a ciertas frecuencias.
Como consecuencia, modificaciones del espectro de energ´ıa pueden dar lugar a interesan-
tes fen´omenos incluyendo una reflexi´on total del paquete de onda. En este contexto vale
destacar como al propagar un haz de luz sobre un arreglo de gu´ıas de ondas curvadas [6],
la intensidad del campo el´ectrico del haz de luz puede describir oscilaciones transversales a
su direcci´on de propagaci´on, tal como se muestra en la figura [13]. Aqu´ı la amplitud de la
curvatura juega el mismo rol que hace el campo el´ectrico sobre un electr´on en un cristal.
Por tanto, estas oscilaciones de Bloch fot´onicas ocurren s´olo para un r´egimen de peque˜nas
curvaturas de las gu´ıas de ondas. Similar efecto al de una gu´ıa curvada puede generarse
a trav´es de la presencia de un defecto en el ´ındice de refracci´on, lo cual se abordar´a en
Cap´ıtulos posteriores.
9

20. CAP´ITULO 2. AN ´ALOGOS ´OPTICO - MEC ´ANICO CU ´ANTICO
Guias de
ondas
Guias de
ondas
x x
Figura 2.1: a) Imagen muestra dos paquete de ondas movi´endose a lo largo del eje de propagaci´on
de la gu´ıa, z. En a) El paquete oscila transversalmente al eje x describiendo oscilaciones de Bloch.
En b) el paquete de onda se expande y comprime peri´odicamente a lo largo de z.
10

21. Cap´ıtulo 3
Transiciones de Landau-Zener
En este cap´ıtulo se analiza las transiciones de Landau-Zener, que corresponden a cruces
no-adiab´aticos entre niveles de energ´ıa, los cuales pueden ocurrir cuando un sistema cu´anti-
co est´a sujeto a una fuerza externa. En este proceso el sistema se encuentra inicialmente en
un estado cu´antico | ψ0 el cual evoluciona ya sea adiab´atica o no adiab´aticamente hacia
otro estado cu´antico final que llamaremos | ψt . En otras palabras, el sistema est´a sujeto
a una perturbaci´on que depende de un par´ametro λ, llamado par´ametro de control. Se
estudia el caso con dependencia temporal, es decir, λ → λ(t).
11

22. CAP´ITULO 3. TRANSICIONES DE LANDAU-ZENER
3.1. Evoluci´on Adiab´atica y No-adiab´atica
Supongamos que tenemos un sistema cu´antico de dos niveles que evoluciona bajo la
acci´on de un Hamiltoniano dependiente del tiempo que denotaremos por H = H(λ(t)),
donde λ(t) es el par´ametro de control de nuestro sistema, el cual es funci´on del tiempo.
Los autoestados y autoenerg´ıas instant´aneos de este sistema satisfacen la ecuaci´on de
autovalores
H | ψn(λ) = En(λ) | ψn(λ) , n = 1, 2 (3.1)
En general la funci´on de onda | Ψ para el estado inicial se puede escribir como
| Ψ =
n=1,2
cn(t)eiθn(t)
| ψn(λ) , ψn(λ) | ψm(λ) = δnm (3.2)
donde θn(t) es la llamada fase din´amica y est´a dada por
θn(t) = −
1 t
0
En(λ) dτ, λ = λ(t), (3.3)
Los coeficientes cn(t) satisfacen la ecuaci´on
˙cn(t) = −cn ψn(λ) | ˙ψn(λ) −
m=n
cm(t)
ψm(λ) | ˙H | ψn(λ)
Em(λ) − En(λ)
ei(θm(t)−θn(t))
. (3.4)
De la ecuacion anterior se puede inferir que si
ψm(λ) | ˙H | ψn(λ)
Em(λ) − En(λ)
1, es decir las varia-
ciones del Hamiltoniano en el tiempo son muy peque˜nas en comparaci´on con las diferencias
entre las bandas de energ´ıa (ver [14] para detalles sobre el Teorema de adiabaticidad), en-
tonces la evoluci´on del sistema se reduce simplemente a
˙cn(t) = −cn ψn(λ) | ˙ψn(λ) , (3.5)
Esta es la llamada aproximaci´on adiab´atica, la cual se puede lograr haciendo variar
lentamente el par´ametro de control en el tiempo donde ˙H = ∂H
∂λ
˙λ. En particular cuando
˙λ ≈ 0, se tiene que, ˙H = ∂H
∂λ
˙λ ≈ 0, obteniendose la Eq.3.5. De esta ecuaci´on se infiere que
los modos de la funci´on de onda en la base de los autoestados instant´aneos del Hamiltoniano
12

23. 3.2. TRANSICI ´ON DE LANDAU-ZENER PARA UN SISTEMA DE DOS NIVELES
est´an desacoplados y por tanto evolucionan simplemente adquiriendo fases, de modo que
| Ψn(t) =| ψn(t) eiθn(t)
eiγn(t)
, (3.6)
donde θn(t) es la fase din´amica y γn(t) es la llamada fase geom´etrica dada por
γn(t) = −
t
0
ψn(λ) | ˙ψn(λ) dτ, conλ = λ(t) (3.7)
En caso de que la condici´on
ψm(λ) | ˙H | ψn(λ)
Em(λ) − En(λ)
1 no se satisface, entonces estamos en
presencia de un proceso no adiab´atico donde pueden tener lugar transiciones entre bandas
de energ´ıas. Una clara ilustraci´on de estas diferencias en la evoluci´on del sistema cuando
var´ıa el par´ametro de control λ se muestran en el siguiente esquema [15]
Figura 3.1: Evoluci´on Adiab´atica y No-adiab´atica.
3.2. Transici´on de Landau-Zener para un sistema de dos ni-
veles
Consideremos un sistema cu´antico de dos niveles con un par´ametro de control λ tal que
el Hamiltoniano se puede escribir de la siguiente forma
HLZ =

 1(λ) ∆/2
∆/2 2(λ)

 , ∆ ∈ R (3.8)
13

24. CAP´ITULO 3. TRANSICIONES DE LANDAU-ZENER
donde el t´ermino no diagonal representa una brecha (gap) dado por ∆ y los t´erminos
diagonales var´ıan con el par´ametro λ y est´an dados por
1(λ) = 0 + α1(λ − λ0), 2(λ) = 0 + α2(λ − λ0), (3.9)
donde α1 y α2 son factores de proporcionalidad entre las bandas de energ´ıa 1 y 2 para
∆ = 0 y el par´ametro de control, respectivamente. Para λ = λ0 se alcanza el mayor
acercamiento entre las bandas (ver Fig.3.2).
El Hamiltoniano dado en (3.8) est´a escrito en una base que llamaremos base diab´atica, la
cual est´a formado por los estados {| 1 , | 2 }, de modo que
(HLZ)ij = i | HLZ | j , | i , | j ∈ {| 1 , | 2 }, (3.10)
Los autovalores del Hamiltoniano (3.8) son
E1,2 =
1
2
1 + 2 ± (α1 − α2)2λ2 + ∆2 , (3.11)
donde ± indican los estados 1, 2, respectivamente. Las autoenerg´ıas dados en (3.11) repre-
sentan curvas hiperb´olicas en t´erminos del par´ametro λ, mientras que las energ´ıas 1,2(λ)
representan l´ıneas rectas en t´erminos del par´ametro λ. Por otra parte, para ∆ = 0 o
λ → ±∞ los autoestados del Hamiltoniano de Landau-Zener coinciden con los estados
diab´aticos (no-adiab´aticos) | 1 , | 2 (ver detalles en figura 3.2).
Para un sistema de Landau-Zener de dos niveles se tienen las siguientes condiciones
asint´oticas para los estados diab´aticos (no-adiab´aticos) y adiab´aticos:
| φ1(−∞) = | 1 , | φ2(−∞) =| 2 (3.12)
| φ1(∞) = | 2 , | φ2(∞) =| 1 (3.13)
Consideremos ahora que ´el par´ametro de control var´ıa en el tiempo de acuerdo a λ(t) = vt,
donde v es la rapidez de cambio. Si asumimos ahora que la funci´on de onda | ψ inicialmente
se prepara en el estado | ψ(t → −∞) =| φ1(−∞) =| 1 , se puede hallar la probabilidad
14

25. 3.2. TRANSICI ´ON DE LANDAU-ZENER PARA UN SISTEMA DE DOS NIVELES
Figura 3.2: Niveles de energ´ıa y tipo de evoluci´on en un sistema de Landau-Zener de dos niveles.
Las curvas hiperb´olicas E1,2(λ) corresponden a los autoestados instant´aneos del Hamiltoniano de
Landau-Zener, cuyo asint´otico est´a delimitados por las l´ıneas rectas segmentadas correspondientes
a los niveles de energ´ıa 1,2(λ).
de transici´on no adiab´atica de terminar en el estado | 2 , para el caso en que λ → ∞. La
expresi´on matem´atica para dicha probabilidad es [16, 17]
P|1 →|1 (t → ∞) = | 2 | φ(t → ∞) |2
= 1 − exp −
π∆2
2 |˙1 − ˙2|
= 1 − exp −
π∆2
2 v|α1 − α2|
= 1 − P|1 →|2 , (3.14)
donde P|1 →|2 = PLZ es la probabilidad de transici´on de una banda a la otra, la cual
es conocida como transici´on de Landau-Zener [16, 17].
De la an´alisis de la expresi´on PLZ se puede derivar varios escenarios. Por ejemplo, si fijamos
∆, la probablidad de transci´on va depender que tan r´apido o lento se var´ıe el par´ametro
de control λ. En este caso los comportamiento extremos de la evoluci´on est´an dados por:
Evoluci´on adiab´atica: Ocurre cuando v π∆2
2 |α1 − α2|
. Para este caso, la funci´on
15

26. CAP´ITULO 3. TRANSICIONES DE LANDAU-ZENER
de onda cambia siguiendo la banda de energ´ıa.
Transici´on no-adiab´atico: Tiene lugar cuando v π∆2
2 |α1 − α2|
. Para este caso,
la funci´on de onda evoluciona de manera tal que permanece en el estado inicial no-
adiab´atico | 1 .
Este criterio nos permite fijar la rapidez v con la cual se debe variar el par´ametro de control
λ(t) con el fin de lograr un ´optimo resultado.
16

27. Cap´ıtulo 4
Transiciones entre bandas de
energ´ıa
4.1. Ecuaci´on de Helmholtz Paraxial
A continuaci´on se quiere estudiar la propagaci´on de un haz de luz en un arrreglo
de gu´ıas de ondas. En rigor las ecuaciones de Maxwell y sus derivaciones proporcionan el
marco te´orico para una completa descripci´on de la propagaci´on de ondas electromagn´eticas
en medios transparentes. Sin embargo en muchos casos las ecuaciones derivadas de este
an´alisis resultan complicadas de procesar y simular. Es por eso, que bajo determinadas
condiciones se busca simplificar el estudio usando un marco te´orico apropiado. En esta
direcci´on apunta el uso de la aproximaci´on paraxial.
Consideremos una onda cl´asica dada por la funci´on Ψ(r, t) que satisface la ecuaci´on de
onda
2
Ψ(r, t) −
1
c2
∂2Ψ(r, t)
∂t
= 0. (4.1)
donde c es la velocidad de propagaci´on de la luz en el vac´ıo. La funci´on Ψ(r, t) puede
espresarse en forma compleja, con la ayuda de otra funci´on U(r, t), tal que
Ψ(r, t) = Re [U(r, t)] , (4.2)
17

28. CAP´ITULO 4. TRANSICIONES ENTRE BANDAS DE ENERG´IA
donde la funci´on U(r, t) satisface la misma ecuaci´on de onda (4.1). Por conveniencia escri-
bimos U(r, t) en forma polar,
U(r, t) = a(r)ei(ωt+ϕ)
, ω, ϕ ∈ R (4.3)
donde ω es la frecuencia, ϕ es la fase constante y a(r) es la amplitud de la onda. Insertando
entonces (4.3) dentro de la ecuaci´on (4.1) se obtiene
2
a(r) + k2
a(r) = 0, k2
=
ω2
c2
, (4.4)
donde la ecuaci´on (4.4) es la llamada ecuaci´on de Helmholtz. Con el fin de simplicar el
an´alisis se propone el siguiente antsatz
a(r) = A(r)e−ikz
. (4.5)
Este corresponde a una onda que se propaga a lo largo del eje z con una amplitud depen-
diente de r. Reemplazando (4.5) en la ecuaci´on (4.4) se obtiene
2
A(r) − 2ik
∂A(r)
∂z
= 0. (4.6)
Adicionalmente para mayor simplicaci´on asumimos que la amplitud de la onda var´ıa sua-
vemente a lo largo del eje z, approximaci´on comunmente conocida como paraxial [21]. Esto
puede ser expresado algebraicamente como
1
k
∂2A(r)
∂z2
∂A(r)
∂z
, Aproximaci´on paraxial. (4.7)
As´ı mismo se puede definir un Laplaciano transverso que s´olo dependa de las coordenadas
x e y, es decir, 2
⊥ = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 . Usando entonces la ecuaci´on (4.6) y la aproximaci´on
paraxial (4.7) se obtiene
2
⊥A(r) − 2ik
∂A(r)
∂z
= 0, (4.8)
la cual se conoce como “Ecuaci´on de Helmholtz Paraxial”.
18

29. 4.1. ECUACI ´ON DE HELMHOLTZ PARAXIAL
4.1.1. Hamiltoniano para la ecuaci´on de Helmholtz Paraxial
Para obtener el Hamiltoniano, se parte de la ecuaci´on de Helmholtz (4.4)
2
Ψ(r) +
ω2n2(x, y)
c2
Ψ(r) = 0, (4.9)
donde n(x, y) es el ´ındice de refracci´on del medio donde se propaga la onda, el cual depende
d´ebilmente de z por lo que se asume que s´olo depende de x e y. Considerando un ansatz
de la forma Ψ(r) = ψ(r)eik0z, y reemplazandolo en la ecuaci´on (4.9) se obtiene
2
⊥ψ(x, y) +
∂2ψ
∂z2
+ 2ik0
∂ψ
∂z
− k2
0ψ +
ω2n2
c2
ψ = 0, (4.10)
lo cual puede reescribirse como
−
1
2k0
∂2ψ
∂z2
− i
∂ψ
∂z
=
1
2k0
2
⊥ψ(x, y) +
k0
2
−1 +
ω2n2
k2
0c2
ψ. (4.11)
Definiendo n0 = k0c
ω como el ´ındice de refracci´on del sustrato la ecuaci´on (4.11) puede ser
expresada como
−
1
2k0
∂2ψ
∂z2
− i
∂ψ
∂z
=
1
2k0
2
⊥ψ(x, y) +
k0
2
n2(x, y)
n2
0
− 1 ψ, (4.12)
donde n(x, y) se refiere al ´ındice de refracci´on de la gu´ıa de onda.
Por otro lado, la aproximaci´on paraxial permite despreciar el t´ermino ∂2ψ
∂z2 quedando
i¯λ
∂ψ
∂z
= −
¯λ2
2n0
2
⊥ψ(x, y) +
n0
2
1 −
n2(x, y)
n2
0
ψ, (4.13)
donde ¯λ = λ
2π = n0
k0
. De esta forma podemos definir un Hamiltoniano semejante al de la
ecuaci´on de Schr¨odinger [19]
H = −
¯λ2
2n0
2
⊥ +
n0
2
1 −
n2(x, y)
n2
0
, (4.14)
19

30. CAP´ITULO 4. TRANSICIONES ENTRE BANDAS DE ENERG´IA
as´ı la ecuaci´on (4.13) puede escribirse como
i¯λ
∂ψ
∂z
= Hψ, (4.15)
donde ¯λ juega el rol de y z del tiempo t.
Asumimos ahora que el ´ındice de refracci´on var´ıa poco en y, es decir, s´olo depende de su
valor en x. Por tanto el Hamiltoniano se puede escribir como
H = −
¯λ2
2n0
∂2
∂x2
+
n0
2
1 −
n2(x)
n2
0
, (4.16)
donde se define la funci´on V (x) = n0
2 1 − n2(x)
n2
0
. Ahora bien, dado que la diferencia entre
n0 y n(x) es peque˜na, entonces el t´ermino n0 + n ≈ 2n0, por lo cual se obtiene
V (x) =
1
2n0
(n0 + n(x)) (n0 − n(x)) ≈
1
2n0
2n0 (n0 − n(x)) = n0 − n(x), (4.17)
as´ı, el Hamiltoniano queda de la siguiente manera
H = −
¯λ2
2n0
∂2
∂x2
+ n0 − n(x) = −
¯λ2
2n0
∂2
∂x2
+ V (x), (4.18)
donde V (x) corresponder´ıa al de un potencial sobre el cual se mueve una part´ıcula.
4.2. Modelo F´ısico
Hoy en d´ıa arreglos de gu´ıas de ondas de ondas son muy factibles de fabricar en el
laboratorio [26]. La propagaci´on de un haz de luz en un arreglo discreto de gu´ıas de ondas
puede describirse a trav´es de un Hamiltoniano como el de la Ec.4.18 usando una aproxi-
maci´on de largas longitudes de onda. En particular la peri´odicidad del arreglo de gu´ıas se
puede imitar empleando un potencial V (x) con ´ındice de refracci´on peri´odico [26]. Para
V (x) = −2w sin2
x la descripci´on de la propagaci´on de un haz de luz en la approximaci´on
paraxial queda determinado por la ecuaci´on
i
∂ψ
∂z
+
1
2
∂2ψ
∂x2
+ 2w sin2
xψ = 0, (4.19)
20

31. 4.2. MODELO F´ISICO
donde w representa la amplitud del potencial arm´onico. Aqu´ı se ha asumido ¯λ = 1 por
simplicidad.
Para el an´alisis de la propagaci´on de una onda es importante conocer el espectro de energ´ıa.
Para ello la funci´on de onda se propone como ψ(x, z) = eiβz ˜ψ(x), donde β es la constante
de propagaci´on. Puesto que el potencial V (x) representa una red peri´odica, esto permite
que las soluciones estacionarias de la Ec.4.19 puedan escribirse como funciones de Bloch
[18]
˜ψn,K(x) = eiKx
φn,K(x), (4.20)
donde K es el llamado cuasimomento y las funciones φn,K(x) tienen la periodicidad del
potencial, es decir, φn,K(x + L) = φn,K(x). L es el per´ıodo del potencial. Aqu´ı el ´ındice n
es un entero positivo que etiqueta la banda de energ´ıa.
Por otro la lado la periodicidad φn,K(x) nos permite escribir estas funciones en series
de Fourier,
˜ψn,K(x) = eiKx
l
aK
l ei2lx
, (4.21)
donde l ∈ Z.
Con lo antes dicho, y de acuerdo a la teor´ıa de Bloch [29], la esctrutura de bandas de
eneg´ıas puede determinarse del problema de autovalores
−β
(n)
K aK
l = HaK
l , (4.22)
donde
Hm,l = −
1
2
(2m + K)2
− w δm,l + w
[(δm,l+1 + δm,l−1)]
2
, (4.23)
de cuya diagonalizaci´on se pueden obtener los autovalores β
(n)
K . Aqu´ı cabe destacar que
β(n) = −E(n), donde E(n) corresponder´ıan a las energ´ıas de un potencial cu´antico.
La figura 4.1 nuestra las bandas de energ´ıas de la cual se deduce que s´olo existen
dos bandas de energ´ıa correspondientes al potencial peri´odico. El resto son par´abolas que
permanecen invariantes antes los efectos de la modulaci´on del potencial. Estas par´abolas
21

32. CAP´ITULO 4. TRANSICIONES ENTRE BANDAS DE ENERG´IA
0 1 2
Κ
-10
0
β
0 0.5 1 1.5 2
K
β
Figura 4.1: Panel izquierdo: Bandas de energ´ıas, constante de propagaci´on β vs K. Panel derecho:
Region amplificada del espectro de energ´ıa la cual muestra las dos bandas exclusivas al potencial
per´ıodico. La amplitud del potencial es w = 0,25. En el panel derecho se muestran curvas con
distintos colores para β. Verde: Valor exacto. Azul: Resultado anal´ıtico Ec.4.26. Las curvas son
sim´etricas con respecto a K = 1, donde s´olo se plotea la mitad del espectro a modo de comparar.
corresponden a el estado de movimiento de una part´ıcula libre. El c´alculo n´umerico de las
bandas fue realizada con ayuda del programa Mathematica [30].
Tratemos ahora de encontrar con cierta approximaci´on un resultado an´alitico para estas
dos bandas de energ´ıa y sus autofunciones. Para ello asumimos el ansatz
ψ = Ae−ix
+ Beix
ei(βz+κx)
, (4.24)
x
n(x)
Figura 4.2: Potencial −V (x) vs x. Perfiles del cuadrado de la intensidad de la luz correspondientes
a las bandas superior e inferior dentro del potencial, respectivamente.
22

33. 4.2. MODELO F´ISICO
y lo sustituimos en la Ec.4.19. Despreciando t´erminos superiores a e±ix e igualando los
t´erminos del mismo exponente obtenemos el sistema de ecuaciones acopladas
−β


A
B

 =


[(κ − 1)2]/2 − w w/2
w/2 [(κ + 1)2] − w




A
B

 ,
de donde se obtiene la ecuaci´on secular
[(κ − 1)2]/2 − w + β w/2
w/2 [(κ + 1)2]/2 − w + β
= 0.
A partir de esta ´ultimo ecuaci´on secular, obtenemos la siguiente relaci´on de dispersi´on
λ2
− (κ2
+ 1)λ +
(κ2 − 1)2 + w2
4
= 0, (4.25)
donde λ = −β + w. Hallando las ra´ıces de Ec.4.25 obtenemos para β
β±(κ) =
±
√
w2 + 4κ2 − 1 − κ2
2
+ w. (4.26)
Las autofunciones respectivas se puede facilemente derivar de sustituir los autovalores
en la ecuaci´on secular y obtener los valores para A y B. Despu´es de un poco de algebra se
obtiene
ψ± =
2κ ±
√
w2 + 4κ2
w
e−ix
− eix
ei(β±κ)z+κx)
, (4.27)
donde ψ+ (ψ−) corresponde a la banda superior (inferior). Notese que para κ = 0,
β+ − β− = w, lo cual corresponde al m´aximo acercamiento entre las bandas inferior y
superior. Esto significa que hay un corrimiento o detuning entre el par´ametro κ propuesto
en nuestro ansatz y el quasimomento de la red peri´odica K, es decir K = κ+1. Mas all´a de
este detuning, podemos comprobar que la relaci´on de dispersion obtenida anal´ıticamente
concuerda perfectamente con el resultado exacto del c´alculo de las bandas tal como muestra
la Fig.4.1.
Por otro lado, a partir de las Ecs.4.27 se obtiene para κ = 0, es decir K = 1, las
amplitudes de los modos estacionarios de las bandas superior e inferior, |ψ+| = 2 sin x
23

34. CAP´ITULO 4. TRANSICIONES ENTRE BANDAS DE ENERG´IA
y |ψ−| = 2 cos x, respectivamente. La Fig. 4.2 muestra las curvas correspondientes a los
cuadrados de las intensidades de la luz en las dos bandas, donde adem´as aparece ploteado
el potencial peri´odico. De comparar las curvas es f´acil inferir que la intensidad de la luz en
la banda superior est´a concentrada entre los centros de las gu´ıas de ondas, mientras que la
intensidad de la luz en la banda superior se concentra sobre las gu´ıas de ondas.. De ah´ı que
preparar la funci´on en una banda sea relativamente f´acil al dise˜nar un haz de luz con una
intensidad |ψ+| o |ψ−|. As´ı mismo a la salida del arreglo ´optico se puede determinar en
que banda se encuentra o si corresponde a una superposici´on, al proyectar la funci´on de
onda a la salida del arreglo ψout sobre uno de estos estados, | ψout|ψ± |2. Esto ´ultimo nos
permite determinar si hay transiciones entre bandas de energ´ıa en caso de que hubiesen.
4.2.1. Defecto puntual: Cambio local del ´ındice de refracci´on
En lo siguiente nos interesa analizar la transici´on que experimenta un paquete de onda
entre bandas de energ´ıas originadas por la presencia de defectos puntuales aislados en un
arreglo peri´odico. El defecto puntual que analizaremos a continuaci´on corresponde a un
salto en el ´ındice de refracci´on [20]. Cambios en el ´ındice de refracci´on puntual puede
lograrse de m´utiples maneras. Una forma sencilla de lograr dicho cambio sin alterar la
estructura peri´odica de forma permanente, es a trav´es de la aplicaci´on de un campo el´ectrico
local. Dentro de la aproximaci´on de largas longitudes de ondas la descripci´on del salto en
el continuo es remplazado por una rampa de pendiente −α y altura A, tal como se muestra
en la figura 4.3 [20].
En este nuevo escenario, es conveniente para un posterior an´alisis separar el potencial
en partes: uno que representa un salto y otro peri´odico representa el arreglo peri´odico de
gu´ıas de ondas. Con esto podemos reescribir la ecuaci´on adimensional de Schr¨odinger
i
∂ψ
∂z
+
1
2
∂2ψ
∂x2
+ W(x) + 2w sin2
x ψ = 0. (4.28)
24

35. 4.2. MODELO F´ISICO
Banda Inferior
Banda Superior
Figura 4.3: Ilustraci´on de la combinaci´on de dos gu´ıas de ondas con un salto en el ´ındice de
refracci´on , la amplitud del “salto” es A el cual aparece reemplazado por una rampa de pendiente
−α.
El t´ermino W(x) da cuenta del salto en el potencial cuya expresi´on est´a dado por
W(x) =



0 si x < 0,
−αx si 0 < x < A/α
−A si x > A/α,
,
A : altura del salto
α : pendiente
, (4.29)
A continuaci´on estudiaremos la transici´on entre la banda de arriba y la banda de abajo
donde est´a salto representado por una rampa (0 < x < A/α). Mediante una transformaci´on
de la forma ψ → ψ(x, z)eizW(x), de la ecuaci´on (4.28) se obtiene
i
∂ψ
∂z
+
1
2
∂
∂x
− izα
2
ψ + 2w sin2
x ψ = 0, (4.30)
donde α representa la rapidez con que cambia el momento en la Ec.4.30. Como resultado
si se toma un punto inicial en la banda inferior es posible demostrar la existencia de una
transici´on a la banda superior mediante el control de la amplitud del defecto (ver Fig. 4.4).
De hecho, del an´alisis de esta Fig.4.4 se infiere que para que ocurra una transici´on desde
la banda inferior a la banda superior, la amplitud del salto debe satisfacer la condici´on
∆β + w < A < ∆β + w + d, (4.31)
25

36. CAP´ITULO 4. TRANSICIONES ENTRE BANDAS DE ENERG´IA
0 1 2
K
β
0 1 2
K
β
0 1 2
K
β
A
A
Estado Inicial
Estado Final
d
Figura 4.4: Esta figura nos muestra el potencial de salto en la parte superior adem´as de las dos
bandas y el tunelaje en t´erminos del gap w, la amplitud del salto A, el ancho de la banda superior
d.
donde ∆β = βK=1 − βK=Kinicial
. La cota inferior se refiere al m´ınimo valor necesario que
debe tener A para alcanzar la banda superior. En cambio, la cota superior indica el valor
m´aximo para la amplitud del salto a partir del cual, la banda inferior queda por debajo de
la amplitud de la barrera y tiene lugar una reflexion total.
En la pr´oxima secci´on se analiza cual es la probabilidad de esta transici´on.
4.2.2. Aproximaci´on de dos modos
Como las transiciones entre bandas ocurren alrededor de los puntos donde se evitan las
bandas, podemos obviar el resto de las bandas de energ´ıas y concentrarnos alrededor del
punto K = 1. Por lo que en buena aproximaci´on la funci´on de onda puede escribirse como
superposici´on de los modos de las bandas inferior y superior.
Proponemos entonces para la funci´on de onda el siguiente ansatz [32]
ψ(x, z) = a(z)eiKx
+ b(z)ei(K−2)x
. (4.32)
26

37. 4.2. MODELO F´ISICO
Insertando este ansatz en la ecuaci´on (4.28), se obtiene
i ˙a(z)eiKx
+ ˙b(z)ei(K−2)x
= −
1
2
iKa(z)eiKx
+ i(K − 2)b(z)ei(K−2)x
− iαt
2
−w a(z)eiKx
+ b(z)ei(K−2)x
+
w
2
e2ix
+ e−2ix
a(z)eiKx
+ b(z)ei(K−2)x
. (4.33)
El desarrollo del segundo t´ermino de la Ec.4.33 es
iKa(z)eiKx
+ i(K − 2)b(z)ei(K−2)x
− iαt
2
= −K2
a2
(t)e2iKx
−(K − 2)2
b2
(z)e2i(K−2)x
+ α2
z2
+ 2Ka(z)eiKx
αz + 2(K − 2)b(z)ei(K−2)x
αz +
2K(K − 2)a(z)b(z)e−2ix
+ 2a(z)eiKx
αz − 2b(z)ei(K−2)x
αz. (4.34)
Igualando los t´erminos de la Ec.4.33 con exponentes del tipo eiKx y ei(K−2)x y utilizando
la expansi´on Ec.4.34 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
i
da
dz
= −αzaeiKx
+
w
2
b, (4.35)
i
db
dz
= αzbei(K−2)x
+
w
2
a, (4.36)
donde se acoplan los modos a(z) y b(z). Haciendo tender K → 1, se obtiene el siguiente
sistema de ecuaciones
i
da
dz
= −αza +
w
2
b, (4.37)
i
db
dz
= αzb +
w
2
a, (4.38)
Este sistema de ecuaciones se puede escribir matricialmente, para ello se define αz = ε0 y
se define la matriz
H =


−ε0 w/2
w/2 ε0

 , (4.39)
y el estado
ψ =


a(z)
b(z)

 , (4.40)
27

38. CAP´ITULO 4. TRANSICIONES ENTRE BANDAS DE ENERG´IA
de modo que el sistema de ecuaciones acopladas (4.38) se puede reescribir como idψ
dz = Hψ.
De acuerdo a lo visto en secciones anteriores, la probabilidad de transici´on entre la banda
inferior y superior para el Hamiltoniano efectivo Ec.(4.39) se puede escribir de la forma
P−→+(z → ∞) = e−πw2
2α , (4.41)
donde (−) representa la banda inferior y (+) da cuenta de la banda superior. Notese que
esta f´ormula s´olo est´a determinado por los par´ametros α y w.
Sin embargo al incluir un defecto (barrera) se debe tener en cuenta que existe parte de
la func´ıon de onda que se refleja y otra que se trasmite.
4.2.3. Coeficiente de transmisi´on
Ahora calcularemos el coeficiente de transmisi´on para la intensidad la onda transmi-
tida desde la banda inferior a la banda superior. Para ello definiremos el coeficiente de
transmisi´on como
T = probabilidad de transici´on ×
intensidad incidente
intensidad total
= P−→+(z → ∞)
I incidente
Itotal
, (4.42)
donde la probabilidad de transici´on de Landau-Zener est´a dada por
P−→+(z → ∞) = e−π w2
4α . (4.43)
Dado que la onda se puede escribir como
Ψ± =
2κ ±
√
w2 + 4κ2
w
e−ix
− eix
ei(β±z+κx)
= C±e−ix
+ D±eix
, (4.44)
donde C± y D± est´an asociadas a las amplitudes de probabilidad de las ondas planas e−ix
y eix, respectivamente, donde ± etiquetan las bandas superior e inferior. La intensidad
total para la banda inferior est´a dada por
Itot = |C−|2
+ |D−|2
, (4.45)
28

39. 4.2. MODELO F´ISICO
usando la ecuaci´on (4.44) se obtiene
|C−|2
+ |D−|2
=
2κ −
√
w2 + 4κ2
2
w2
+ 1 =
2κ −
√
w2 + 4κ2
2
+ w2
w2
. (4.46)
Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que la intensidad de la onda incidente se
puede normalizar a uno. As´ı I incidente = 1, con lo cual se obtiene
T =
w2
2κ −
√
w2 + 4κ2
2
+ w2
e−π w2
4α . (4.47)
29

40. CAP´ITULO 4. TRANSICIONES ENTRE BANDAS DE ENERG´IA
4.3. An´alisis del coeficiente de transmisi´on
El coeficiente de transmisi´on T(α, w, κ) dado en (4.47) es una funci´on de tres par´ametros
α (aceleraci´on), w (ancho del gap) y k (n´umero de onda de tunelaje). Como resultado si
se fija, el n´umero de onda κ o el ancho del gap w se obtienen los siguientes gr´aficos
(a) Para κ = 0,2
Figura 4.5: En este gr´afico se muestra el comportamiento del coeficiente de transmisi´on en funci´on
de los par´ametros α y w, lo cual define la supercie de la figura izquierda. Sobre la superficie se
grafican las curvas asociadas a distintos valores del ancho del gap w manteniendo κ = 0,2. En
la figura de la derecha se puede observar el comportamiento del coeficiente de transmisi´on para
κ = 0,2 y distintos valores del gap w.
Este gr´aficos representan la transmitividad (coeficiente de transmisi´on) de Landau-
Zener para distintos valores de la amplitud del potencial w. Se observa que para
valores peque˜nos de w la transmisi´on es mayor.Por otro lado, mientras m´as ancho
sea el gap, la transmisi´on es menor.
(b) Para w = 0,5
30

41. 4.3. AN ´ALISIS DEL COEFICIENTE DE TRANSMISI ´ON
Figura 4.6: En este gr´afico se muestra el comportamiento del coeficiente de transmisi´on en funci´on
de los par´ametros κ y α, lo cual define la supercie de la figura izquierda. Sobre la superficie se grafican
las curvas asociadas a distintos valores de α, manteniendo w = 0,5. En la figura de la derecha se
puede observar el comportamiento del coeficiente de transmisi´on para w = 0,5 y distintos valores
de α.
31

42. Cap´ıtulo 5
Conclusiones
En este proyecto se investig´o el problema del tunelaje Landau-Zener para un paquete
de onda que se propaga en una red peri´odica en presencia de un salto en el ´ındice de
refracci´on. Es decir, como un haz de luz puede, inducido por un defecto, transitar de una
banda a otra mientras se propaga en un arreglo p´eriodico ´optico.
Para este an´alisis determinamos primeramente las bandas de energ´ıa num´ericamente. Pos-
teriormente, con el objetivo de obtener informaci´on acerca de las autofunciones derivamos
anal´ıticamente la relaci´on de dispersi´on, as´ı como las autofunciones. Esto permiti´o obtener
informaci´on sobre la preparaci´on del haz de luz sobre la bandas de energ´ıa. Adicionalmen-
te, usando un m´etodo matem´atico de aproximaci´on se obtuvo un Hamiltoniano efectivo
de donde se deriv´o una expresi´on para la probabilidad de transiciones entre bandas de
energ´ıas. Como resultado importante se llega a una expresi´on para la transmitividad que
est´a determinado por la amplitud del potencial peri´odico y del salto en el ´ındice de refrac-
ci´on, as´ı como tambi´en por el n´umero de onda del paquete de onda que se propaga.
Lo abordado en esta memoria puede extenderse a la propagaci´on de un haz de luz en un
medio con propiedades de emisi´on y absorci´on.
El estudio de analog´ıas ´opticas similares a estas pudieran formar parte de dispositivos
´opticos de las nuevas tecnolog´ıas en el futuro.
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43. Bibliograf´ıa
[1] A. A. Huurdeman. The Worldwide History of Telecommunications. Wiley-IEEE Press,
2003.
[2] A. W. Snyder and J. Love. Optical waveguide theory. Chapman & Hall, 1983.
[3] Optoelectr´onica y comunicaci´on ´optica, C.S.I.C, 1988
[4] course.ee.ust.hk/elec509/notes/Lect4-Optical
[5] S. Diner, The wave-particle realism, Kluwer Academic Publisher, 1984.
[6] S. Longhi, Laser & Photon. Rev. 3, No.3, 243-261 (2009).
[7] S. Longhi, Phys. Rev. A 83, 034102 (2011).
[8] G. Della Valle et al., Phys. Rev. Lett. 98, 263601 (2007).
[9] http://steck.us/dissertation/das_diss_04_ch4.pdf
[10] L. Morales-Molina and S. A. Reyes, J. Phys. B 44, 205403 (2011).
[11] R. Morandotti, et al., Phys. Rev. Lett. 83, 4756 (1999).
[12] R. A. Depine, Nuevos materiales: Cristales fot´onicos, metamateriales y sus aplicacio-
nes, Conferencia en la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires, Instituto de
Investigaci´on y Desarrollo, 2004.
[13] D. Dragoman and M. Dragoman. Quantum-Classical Analogies. Springer, 2004.
[14] D. M. Tong, K. Singh, L. C. Kwek and C. H. Oh, Phys. Rev. Lett. 95, 110407 (2005).
33

44. BIBLIOGRAF´IA
[15] G. E. Murgida. Control Cu´antico Coherente mediante transiciones de Landau-Zener.
Tesis Doctoral, 2010.
[16] L. Landau, Phys. Sov. Union 2, 4 (1932).
[17] C. Zener, Non-Adiabatic Crossing of Energy Levels, Proceedings of the Royal Society
of London, Series A 137 6 (1932).
[18] Ch. Kittel. Introduction to Solid State. John Wiley & Sons, 8th Edition, 2005.
[19] J. A Fleck, PIER 11, 103 (1995).
[20] R. Khomeriki and S. Ruffo, Phys. Rev. Lett. 94 113904 (2005).
[21] Ray Optics, R.K. Verma, Discovery Publishing House, 2006.
[22] M. Lax, W. H. Louisell and W. B. McKnight, Phys. Rev. Lett. 11, 1365 (1975).
[23] M. Jona-Lasinio, et al., Phys. Rev. Lett. 91, 230406 (2003).
[24] T. Persch, et al., Phys. Rev. Lett. 83, 4752 (1999).
[25] M. Raizen, Ch. Salomon, and Q. Niu, Physics Today 50 , 30 (1997).
[26] F. Lederer, G. I. Stegeman, D. I. Christodoulides, G. Assanto, M. Segev and Y. Sil-
berberg, Phys. Rep. 463, 1 (2008).
[27] E.T. Whittaker and G.N. Watson, A course of Modern Analysis. Cambridge University
Press, 1927.
[28] M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publica-
tions, 1964.
[29] F. Bloch, Z. Phys. 52, 555 (1928).
[30] http:www.wolfram.com/mathematica/
[31] T Salger, C. Geckeler, S. Kling, and M. Weitz, Phys. Rev. Lett. 99, 190405 (2007).
[32] B. Wu and Q. Niu, Phys. Rev. A 61, 023402 (2000).
34