Ondas en interfaz.pdf

Comportamiento de las
Comportamiento de las
ondas en una interfaz
ondas en una interfaz

Condiciones de frontera en una interfaz
Campos variables con el tiempo
 Ley de Faraday: lim
w → 0
∮
C
⃗
E .d ⃗
l =− ∂
∂ t
∬⃗
B.d ⃗
s
⃗
E1.
̂
t dl+ ⃗
E2 .(−̂
t )dl=− ∂
∂ t
Bw dl →0
E1t =E2t
̂
n
̂
t
w
1
2
⃗
E1 ⃗
E2
l
C
 Ley de Gauss: lim
w→0
∯
S
⃗
D .d ⃗
s=Qenc
lib
⃗
D1 .(−̂
n)d s+ ⃗
D2 . ̂
nd s=(ρlib
w ds+σlib
ds)=σlib
ds
D2n −D1n =σ
lib
̂
̂
⃗
D1
⃗
D2

 Ley de Ampère-Maxwell:
lim
w →0
∮
C
⃗
H .d ⃗
l =I
lib
+ ∂
∂ t
∬ ⃗
D .d ⃗
s
⃗
H 1. ̂
t dl+ ⃗
H 2.(−̂
t)dl= j
lib
dl+ ∂
∂t
D w dl= j
lib
dl
( ⃗
H1− ⃗
H 2).̂
t = j
lib
Ley de Gauss magnética: lim
w → 0
∯
S
⃗
B.d ⃗
s=0
⃗
B1.(−̂
n)d s+ ⃗
B2 . ̂
nd s=0
B2n =B1n
̂
̂
C
⃗
H1
⃗
H2
̂
̂
⃗
B1
⃗
B2

 Una onda plana incide en forma normal sobre una interfaz.
 Las distintas zonas se caracterizan por el índice de refracción
complejonC , por la impedanciaη, o por la constante
dieléctrica efectiva ϵr , ef .
 Los campos EM cumplen
con las condiciones de frontera.
Incidencia normal de Ondas
Incidencia normal de Ondas
sobre una interfaz
sobre una interfaz
z
x
y
n2C
n1C
⃗
Ei
⃗
H i
⃗
Si
i
r
t

Los distintos materiales se caracterizan por sus índices
de refracción reales n1 y n2 , y se supone μr=1, en ambos medios.
Supongamos una onda plana y armónica en z incidiendo desde
el medio 1 al 2. Sin perder generalidad, se supone que el campo eléctrico
incidente esta polarizado
sobre el eje x.
⃗
E=̂
x E0 e
j(ωt−k z)
, E0∈ℝ
Condiciones de frontera:
E1t =E2t ⇒Ei+ Er=Etr [1]
H 1t=H 2t ⇒ Hi+ H r=H t
entonces:
Ei
η1
−
Er
η1
=
Etr
η2
[2]
Interfaz dieléctrico - dieléctrico
z
x
y
n2
n1
⃗
Ei
⃗
H i
⃗
ki
i
r
t
⃗
Er
⃗
H r
⃗
kr
⃗
Etr
⃗
H tr
⃗
ktr

De las ecuaciones anteriores [1] y [2]
Se definen los coeficientes complejos de reflexión y trasmisión:
r=
Er
Ei
y t=
Etr
Ei
de donde en este caso:
r=
1−η1/η2
1+ η1/η2
=
1−n2/n1
1+ n2/n1
t=
2
1+ η1/η2
=
2
1+ n2/n1
z
x
y
n2
n1
⃗
Ei
⃗
H i
⃗
ki
i
r
t
⃗
Er
⃗
H r
⃗
kr
⃗
Etr
⃗
H tr
⃗
ktr

Supongamos que el medio 2 es un buen conductor para cierta frecuencia:
σ ∈ℝ ,ϵr=1,μr=1, tan δ= σ
ωϵ ≫1, y el medio 1 el vacío.
 Los coeficientes característicos del medio son:
α=β=√ωμ0 σ /2, η=
η0
√tan δ
e
j π/4
 Los coeficientes de reflexión
y trasmisión y sus límites:
r=
1−η0/ η
1+η0/η
→−1
t=
2
1+η0/η
≃
2
√tan δ
e
jπ/4
→0
Interfaz dieléctrico – conductor
Efecto piel
Efecto piel
z
x
y
n2C
n1
⃗
Ei
⃗
H i
⃗
ki
i
r
t
⃗
Er
⃗
H r
⃗
kr
⃗
Etr
⃗
H tr
⃗
ktr

Los tres campos en ambas regiones son:
⃗
Ei =̂
x E0 ej(ωt−k z)
, E0∈ℝ ,
⃗
H i=̂
y
E0
η0
e j(ω t−k z)
,
⃗
Er=̂
x r E0 ej(ωt+ k z)
=−̂
x E0 e j(ω t+ k z)
⃗
H r=−̂
y r
E0
η0
e
j(ω t+ k z)
=̂
y
E0
η0
e
j(ω t+k z)
⃗
Et=̂
xt E0e jω t−γ z
=̂
x
2 E0
√tan δ
e j(ω t−β z+π /4)
e−α z
≪E0
⃗
H t=̂
y t
E0
η e jωt−γ z
=̂
y
2 E0
η0
e( jω t−β z)
e−αz
Efecto piel
Efecto piel

Corriente superficial - Efecto piel
Corriente superficial - Efecto piel
Por ley de Ohm dentro del material la densidad de corriente volumétrica
⃗
J=σ ⃗
Et=̂
x σ
2 E0
√σ/ωϵ
e−γ z
e j(ωt+ π/4)
.
Integrando se obtiene la coorriente total: I =∫0
l
∫0
∞
σ Et dz dy≡∫0
l
j dy
de donde
σ Et l
γ = j l ,⇒⃗
j=
2 E0
η0
e jωt
̂
x
Por otro lado, si tomamos la interfaz como la zona de corriente,
mas alla de la interfaz , ⃗
H 2=0
Según las condiciones de frontera en z=0 ̂
n×( ⃗
H 2− ⃗
H1)=⃗
j
de donde −̂
n× ⃗
H1=⃗
j=
2 E0
η0
e jωt
̂
x

Efecto piel en muy buenos conductores
Efecto piel en muy buenos conductores σ
σ/
/ωε
ωε>>1
>>1
● En el caso estático la densidad de
corriente está distribuida en forma
homogénea dentro del cable.
● El el caso de tener campos de
alterna con cierta frecuencia,
la corriente dentro del cable
tiende a irse corriendo hacia la
superficie, convirtiéndose
en densidad de corriente
superficial en el límite de σ/ωε infinito.
⃗
E
V0 cos(ωt)
σ
ω
→ ∞
σ
ω
→ ∞
σ=0,n=1
⃗
J =σ ⃗
E
⃗
J

σ/
/ωε
ωε>>1
>>1
En el límite σ
ω 
→ ∞
η/η0=√ω0
σ e
jπ/4
→ 0
 Si ω es suficientemente grande, pero aún σ/ω ≫1,
entonces el campo quedará contenido dentro del cable,
pero muy cercano a la superficie,
=β=ω
c √
σ
ω0
→ ∞
 Sin embargo cuando ω es extrictamente cero
=β=ω
c √
σ
ω0
→ 0
=0 y la corriente es homogénea.

σ/
/ωε
ωε>>1
>>1
En un modelo simplificado, consideremos
una lámina de material muy buen conductor.
⃗
Ein=̂
x[ Ae
j(ωt−β z)
e
−α z
+ Be
j(ωt+β z)
e
α z
] ,
⃗
Edown=̂
xC e
j(ωt−k z)
,
⃗
Eup=̂
x G e j(ωt+ k z)
,
Llamando a x=e jβd + αd
, y y=ej k d
Para x=d :
A/ x+ B x=G y ,
A/ x−B x=−G y η/ η0
z=+ d
z=−d
⃗
H B
⃗
EB
⃗
EA
⃗
H B
̂
kG
̂
kC
̂
k A
̂
k B
⃗
H A
σ
ω
→∞
n=1,σ=0

σ/
/ωε
ωε>>1
>>1
Además Ay Bson iguales por simetría
y proporcionales al voltaje externo aplicado
∫−d
d
dz A[eγ z
+ e−γ z
]=
2d V 0
l
⇒ A∝V 0
La solución de las ecuaciones anteriores será:
G=(((η/η0+ 1) x2
+ η/η0−1) y A)/(2η/η0 x)
En el límites siguientes:
σ
ω
→∞
η/η0=√ω0
σ e jπ/4
→0
α=β=ω
c √
σ
ω 0
=k
√
σ
ω0
→∞
G→ A
e
( j+ 1)k d
√
σ
ω0
√
σ
ω0

σ/
/ωε
ωε>>1
>>1
Campo eléctrico dentro del conductor
para los valores de
=β=7 1/ m ,
d=1m
A=B=1V /m,
5δ≃0.7m
⃗
E
z

Aproximación del rayo
Aproximación del rayo
Camino óptico
Camino óptico
LCO=∑
i
ni
li
→∫
A
B
n(⃗
r)dr
Aunque en general las ondas no son planas, si nos situamos
lejanos a cualquier fuente, se las puede aproximar por ondas planas.
Se define la dirección del rayo, siguiendo la dirección del vector
de Poynting⃗
S(⃗
k o⃗
β)
De aquí en adelante vamos a trabajar en medios no disipativos:
σ=0,ϵr∈ℝ,o sea, el índice de refracción nC =n∈ℝ ,n(ω)> 1 y κ≃0.
Si el índice depende de la posición,n(⃗
r) entonces los frentes de
onda pueden distorsionarse cuando avanzan y ya no ser planos.
Consideramos despreciables los fenómenos de difracción, o sea: λ≫ltípica
sino, ya no es valida la aproximación de rayo.
Se define la longitud de camino óptico:

Incidencia oblicua
Incidencia oblicua
Refracción de ondas: Ley de Snell
Refracción de ondas: Ley de Snell
La refracción es el fenómeno en el cual, la onda transmitida cambia
de dirección en la interfaz entre dos medios.
Todas las ondas en dos o tres dimensiones presentan este fenómeno el
sonido, ondas en el agua, ondas electromagnéticas, etc.
El cambio de dirección esta relacionado a un cambio de la velocidad
de la onda en el medio.
Este cambio en la dirección responde a las condiciones de borde en la
interfaz.

Principio de Fermat
Principio de Fermat
Camino óptico
Camino óptico
Teorema de Malus-Dupin: Si sobre cada rayo que sale de un
foco emisor de luz tomamos caminos ópticos iguales, el lugar
geométrico de estos puntos, generan una superficie que es normal
a todos los rayos. A esta superficie se le denomina frente de onda.
δ( LCO)=δ∫
A
B
n(⃗
r )dl=0
Principio de Fermat (1662): El camino óptico recorrido por la
luz para ir de un punto a otro es tal que, éste recorrido es
estacionario respecto a las variaciones de los caminos posibles.
En general entre dos puntos, el rayo sigue la trayectoria que
tiene la menor longitud de camino óptico, que es equivalente al
tiempo que demora.

Ley de Snell
Principio de Fermat
t (x)=
√d
2
+ x
2
vi
+
√b
2
+ (a−x)
2
vt
dt
dx
=0⇒
x
vi √d
2
+ x
2
−
(a−x)
vt √b
2
+ (a− x)
2
=0
sin
(θi)
vi
−sin
θt
vt
=0
de donde: ni sin θi=nt sin θt
x
d
b
a
P
F
N
θi
θt
ni
nt
Dados dos puntos fijos, la fuente F
y el punto de llegada P, el camino que
lleva menos tiempo, es el que
minimiza la longitud de camino óptico.

Cada punto al cual llega una onda, se convierte en una fuente de onda
esférica secundaria.
La envolvente de todas estas ondas
generadas, crean un nuevo frente de onda.
Principio de Huygens(1678)
Walter Fendt - Huygens principle

Reflexión
Refracción
Los triangulos:o P A y ABo
son idénticos, ya que tiene la base
común y AB=o P=λi
y un ángulo opuesto recto, de donde
θi=θr
En el triangulo:o B A,
el ángulo en o es θi
En el triangulo:oC A ,
el ángulo en A es θt
de donde: sinθi=λi/l ;sinθt=λt /l
sinθi
/λi
=sinθt
/λt
o
P B
A
C
θi
θi
λi
λi
̂
ki
̂
kr
̂
kt
Fi
Fr
Ft
θt
θt
θr
l
Walter Fendt

Índice de refracción real: n para λ0 = 589.3 nm
Gas Helio 1.000036
aire 1.0002926
dióxido de carbono 1.00045
Hielo 1.31
agua liquida (20°C) 1.333
glicerina 1.4729
sal en piedra 1.516
policarbonato 1.59
bromino 1.661
vidrio típico 1.5 to 1.9
cubic zirconia 2.15 to 2.18
diamante 2.419
Índice de refracción real
Índice de refracción real
para algunos medios transparentes
para algunos medios transparentes

La componentes perpendiculares
siempre son tangentes a la interface:
Ei , ⊥+ Er , ⊥ =Et , ⊥
Las componentes paralelas:
Ei ,∥ , Er ,∥ Et, ∥
se desomponen en tangencial
y normal a la interface:
⃗
Ei ,∥=Ei ,n ,∥ ̂
n+ Ei ,t , ∥
̂
t
Descomposición del campo eléctrico
Descomposición del campo eléctrico
respecto al plano de incidencia y al plano de la
respecto al plano de incidencia y al plano de la
interfaz
interfaz

Campos E y H en incidencia oblicua
Campos E y H en incidencia oblicua
Los campos E y H en incidencia oblicua con un ángulo θi
se escriben:
⃗
Ei= ⃗
E0i cos(ωt−ki cosθi z−kisin θi x)
⃗
Er= ⃗
E0r cos(ωt+ ki cosθr z−ki sinθr x)
⃗
Et= ⃗
E0t cos(ωt−kt cosθt z−kt sinθt x)
Las componentes de los campos E0i
, E0r
y E0t
se descomponen en
componentes paralelas y perpendiculares
al plano de incidencia.
Este se define como el plano
que contiene a los vectores ki
, kr
y kt
.
Et
⃗
E
⃗
ki
θi
θr
θt
⃗
kt
n
̂
z
̂
y
θi
̂
z
̂
x

Ley de Snell a` la Maxwell
Ley de Snell a` la Maxwell
Las componentes de E tangenciales a la
superficie tiene que cumplir con las
condiciones de borde en la interfaz z = 0.
Se tiene que cumplir que ∀x ,t y z=0:
Eit+ Ert=Etr t
E0it cos(ωt−ki sinθi x)+
E0rt cos(ωt−kisinθr x)=
E0t cos(ωt−kt sinθt x)
de donde se deduce que:
sinθi=sinθr
ki sinθi=kt sinθt
Et
⃗
E
⃗
ki
θi
θr
θt
⃗
kt
n
̂
z
̂
y
θi
̂
z
̂
x

E1t =E2t de donde: ̂
y: E0i+ E0r=E0t
Para la componente tangencial de ⃗
H
H1t=H 2t ⇒ ̂
x: −H0i cosθi+H0r cosθr=−H0t cos θt
de donde:
E0i
ηi
cos θi−
E0r
ηi
cosθi=
E0t
ηt
cosθt
Se obtiene el sistema:
{
1+r⊥ =t ⊥
1−r⊥ =t ⊥
cosθt
cosθi
ηi
ηt }
Componente eléctrica
Componente eléctrica perpendicular
perpendicular
al plano de incidencia
al plano de incidencia
Suponiendo que los materiales no son magnéticos (μr
=1)
Aplicamos las condiciones de borde en el campo E que en este
caso es tangencial y su relacionado H que tiene ambas componentes.
Caso no magnético μr
≃1
como μr≃1⇒
ηi
ηt
=
nt
ni

r ⊥ ≡
(E0r
E0i
)⊥
=
ni cos θi −nt cosθt
ni cos θi + nt cosθt
,
t ⊥ ≡
(E0t
E0i
)⊥
=
2cosθi ni
ni cos θi+ nt cosθt
(r=1)
Joptics – Universitat de Barcelona
r ⊥≡
(E0r
E0i
)⊥
=
ηt cosθi−ηi cosθt
ηt cosθi+ ηi cosθt
,
t ⊥ ≡
(E0t
E0i
)⊥
=
2cosθi ηt
ηt cosθi−ηi cosθt
Componente eléctrica perpendicular
perpendicular al plano
al plano
incidencia
incidencia
Coeficientes de Fresnel

sin sin
i i t t
n n
 

Ley de Snell
Componente eléctrica paralela
paralela al plano incidencia
al plano incidencia
r∥≡
(E0r
E 0i
)∥
=
nt cosθi−ni cos θt
nt cosθi+ ni cos θt
,
t∥≡
(E0t
E0i
)∥
=
2ni cos θi
nt cosθi + ni cosθt
r∥≡
(E0r
E0i
)∥
=
ηi cosθi−ηt cosθt
ηi cosθi+ ηt cosθt
,
t∥≡
(E 0t
E0i
)∥
=
2ηt cosθi
ηi cosθi+ ηt cosθt

i
t∥ ,t ⊥
r∥
,r ⊥
Coeficientes de reflexión y transmisión de
Fresnel:
Fresnel: Caso:
Caso: n
ni
i < n
< nt
t (n
(ni
i=1 y n
=1 y nt
t=1.5)
=1.5)

Fresnel:
Fresnel: Caso:
Caso: n
ni
i > n
> nt
t (1.5 y 1)
(1.5 y 1)

Considerando r∥=0 existe un ángulo
θi≠0 / θi+ θt → π/2
de donde:
tan(θi−θt)
tan(θi+ θt)
→ 0
⇒ni sinθB=nt sin(π/2−θB)=nt cosθB
⇒tan θB=
nt
ni
Ángulo de Brewster:
Ángulo de Brewster:
Polarización por reflexión
Polarización por reflexión
B
t
90º
B
⃗
E ⃗
E⊥
r∥=
nt cos θi−ni cosθt
nt cos θi+ ni cosθt
=
nt cosθi−nt
sinθt
sinθi
cosθt
nt cosθi+ ni cosθt
=
=
sinθi cosθi−sinθt cosθt
sinθi cosθi+ sinθt cosθt
=
sin(2θi)−sin(2θt)
sin(2θi)+ sin(2θt)
=
=
sin(θi−θt)cos(θi+ θt)
sin(θi+ θt)cos(θi−θt)
=
tan(θi−θt)
tan(θi+ θt)

No hay reflexión si se incide con luz
polarizada en el plano de incidencia
r ⊥=
Er ⊥
Ei ⊥
=
ni
2
−nt
2
ni
2
+ nt
2
Er∥=0
Polarización por ángulo de Brewster
Polarización por ángulo de Brewster
Para el ángulo de Brewster la luz reflejada está totalmente
polarizada perpendicular al plano de incidencia.

Reflectancia y transmitancia

La intensidad se define como I≡̂
k .〈 ⃗
S 〉=
1
2
ℝ[ ⃗
E× ⃗
H *
]=ℝ[
1
2
E0 E0
* 1
η]
Tomando de aqui para adelante ℝ[ ηi, t]=ηi ,t la Reflectancia se define
R≡
Pref
Pinc
=
I r Acosθr
Ii Acosθi
=r r*
,
y la trasmitancia :T≡
Ptras
Pinc
=
It Acosθt
I i Acosθi
=
(ηi cosθt
ηt cosθi
)t t
*
, Si μr=1⇒T =
(nt cosθt
ni cosθi
)t t
*
Como no hay disipasión,, por conservación de la energía tienen que cumplir:
R∥+ T∥=1 , R⊥+ T ⊥=1
Para el caso que todo sea real: R=
r∥
2
+ r ⊥
2
tanβ2
1+ tan β
2
; T=
(ηi cosθt
ηt cos θi
)(t∥
2
+ t ⊥
2
tanβ2
1+ tan β
2 )
donde tan β=E0 ⊥ / E0∥ y obviamente se cumple: R+ T =1

Inversión temporal de las ecuaciones de
Inversión temporal de las ecuaciones de
Maxwell
Maxwell
Todas las ecuaciones de la física (Newton, Maxwell, etc), son
ecuaciones independientes del tiempo, o sea, la ecuación es valida
para cualquier tiempo. El mismo experimento, en las mismas
condiciones da el mismo resultado, independiente de la hora en
que se haga.
También es cierto que la ecuación en si, no sabe si el tiempo transcurre
hacia adelante, o hacia atrás. Esto se llama invariancia frente a la
inversión temporal. (Ver cualquier fenómeno en un vídeo en reversa).
Esta invarianza da lugar a ciertas relaciones (relaciones de Stokes)
entre los coeficientes de reflexión y trasmisión.
La única ley que determina una dirección del tiemo es la segunda
ley de la termodinámica, donde la dirección del tiempo va de la mano
del aumento de Entropía.

Inversión temporal de las ec. de Maxwell
Inversión temporal de las ec. de Maxwell
Relaciones de Stokes
Relaciones de Stokes
E0 r E0
t E0
(t ' t+ r
2
) E0 r E0
t E0
(r ' t+ tr) E0
ni
nt
ni
nt
 Debido a la invariancia frente a la inversión temporal , ambos casos deben ser
posibles y dar el mismo resultado. De aqui que se debe cumplir:
t ' t+ r2
=1⇒t ' t=1−r2
r ' t+ t r=0⇒r '=−r
donde r es el coeficiente de reflexión en la interfaz que va de ni a nt ,
y r ' el coef. que va de nt a ni ,etc.
 Estas relaciones se pueden verificar directamente usando los coeficientes de Fresnel.

Refracción total interna (RTI), c
Refracción total interna (RTI), caso,
aso, n
ni
i > n
> nt
t
Modo evanescente
Modo evanescente
Cuando una onda OE pasa de un medio de índice mayor a uno menor
el rayo asociado se aleja de la normal.
Para cierto angulo de incidencia el angulo trasmitido es igual a 90º ;
al ángulo (de incidencia) correspondiente se le llama ángulo RTI: θRTI
.
Por encima del ángulo θRTI
no existe onda trasmitida, o sea toda la
energía se refleja, del lado trasmitido existe una onda “evanecente”.
Debido a que para ángulos θi
>θRTI
, se cumple todavía la ley de Snell:
ni
/nt
sin θi
=sin θt
>1 , pero el cos(θt
) es ahora un número imaginario.
Esto genera un desfasaje entre las componentes en la onda reflejada.

Modo evanescente
Modo evanescente
θRTI
x
y
z
nt
ni
Ángulo de reflexión total interna:ni
sinθRTI
=nt
sin θt
=nt
Para ni>nt : existe un ángulo crítico RTI:sinθRTI=
nt
ni
Si θi >θRTI ⇒sinθt>1⇒cosθt=± j
√(
ni
nt
)
2
sin
2
θi−1=± j B∈ Im
El campo trasmitido será:
⃗
Et =t ⃗
E0 exp[ j(ωt−kt cosθt z−kt sinθt x)]
ℝ[ ⃗
Et ]=∣t∣ ⃗
E0 e
−kt B z
cos(ωt−kt sinθt x+)
donde: kt
=ω
c
nt
y elijo para la raiz el signo negativo
físicamente correcta.
met.reading.ac.uk
Frustrated total internal reflection

Modo evanescente
Modo evanescente
Desfasaje en la reflexión: Polarización
El ángulo θt
es complejo y pierde su sentido geométrico. Sin embargo
R[θt
]=π/2, lo que genera que sin(θt
)  R >1 y cos(θt
)  Im .
La onda trasmitida se propaga paralela a la interfaz, con una amplitud
que no decae en esa dirección sino que decae en forma exponencial
en dirección perpendicular a la interfaz.
Los coeficientes de reflexión y trasmisión r y t son complejos, pero de
de modulo 1 por lo que se generan desfasajes diferentes según la
componente sea paralela o perpendicular.
Esto último cambia la polarización de la onda reflejada con respecto
a la incidente, sin cambiar la amplitud de la misma.
met.reading.ac.uk

Modo evanescente
Modo evanescente
⃗
Er=r ⃗
E0 exp[ j(ωt−ki cosθi z−ki sinθi x)], donde: ki=ω
c
ni.
Los coeficientes de Fresnel se convierten en:
r⊥ =
A+ jB
A− jB
=e
2 j ψ
, donde: A=
ni
nt
cosθi y tan ψ=B/ A
similar: r∥=e
2 jδ
, donde: tan δ=(ni
nt
)
2
tan ψ
met.reading.ac.uk

Desfasaje en la reflexión, por RTI
Desfasaje en la reflexión, por RTI

Aplicación de Incidencia total
Aplicación de Incidencia total
interna frustrada: FTIR
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http://www.cs.nyu.edu/~jhan/ftirsense/

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