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Ondas en interfaz.pdf

1) El documento describe las condiciones de frontera para campos electromagnéticos variables en el tiempo en una interfaz entre dos medios. 2) Explica cómo se definen los coeficientes de reflexión y transmisión para ondas que inciden normalmente en la interfaz entre dos dieléctricos. 3) También cubre el caso de una interfaz entre un dieléctrico y un buen conductor, donde el coeficiente de transmisión tiende a cero y el de reflexión a menos uno.

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Comportamiento de las Comportamiento de las ondas en una interfaz ondas en una interfaz
Condiciones de frontera en una interfaz Condiciones de frontera en una interfaz Campos variables con el tiempo Campos variables con el tiempo  Ley de Faraday: lim w → 0 ∮ C ⃗ E .d ⃗ l =− ∂ ∂ t ∬⃗ B.d ⃗ s ⃗ E1. ̂ t dl+ ⃗ E2 .(−̂ t )dl=− ∂ ∂ t Bw dl →0 E1t =E2t ̂ n ̂ t w 1 2 ⃗ E1 ⃗ E2 l C  Ley de Gauss: lim w→0 ∯ S ⃗ D .d ⃗ s=Qenc lib ⃗ D1 .(−̂ n)d s+ ⃗ D2 . ̂ nd s=(ρlib w ds+σlib ds)=σlib ds D2n −D1n =σ lib ̂ ̂ ⃗ D1 ⃗ D2
Condiciones de frontera en una interfaz Condiciones de frontera en una interfaz Campos variables con el tiempo Campos variables con el tiempo  Ley de Ampère-Maxwell: lim w →0 ∮ C ⃗ H .d ⃗ l =I lib + ∂ ∂ t ∬ ⃗ D .d ⃗ s ⃗ H 1. ̂ t dl+ ⃗ H 2.(−̂ t)dl= j lib dl+ ∂ ∂t D w dl= j lib dl ( ⃗ H1− ⃗ H 2).̂ t = j lib Ley de Gauss magnética: lim w → 0 ∯ S ⃗ B.d ⃗ s=0 ⃗ B1.(−̂ n)d s+ ⃗ B2 . ̂ nd s=0 B2n =B1n ̂ ̂ C ⃗ H1 ⃗ H2 ̂ ̂ ⃗ B1 ⃗ B2
 Una onda plana incide en forma normal sobre una interfaz.  Las distintas zonas se caracterizan por el índice de refracción complejonC , por la impedanciaη, o por la constante dieléctrica efectiva ϵr , ef .  Los campos EM cumplen con las condiciones de frontera. Incidencia normal de Ondas Incidencia normal de Ondas sobre una interfaz sobre una interfaz z x y n2C n1C ⃗ Ei ⃗ H i ⃗ Si i r t
Los distintos materiales se caracterizan por sus índices de refracción reales n1 y n2 , y se supone μr=1, en ambos medios. Supongamos una onda plana y armónica en z incidiendo desde el medio 1 al 2. Sin perder generalidad, se supone que el campo eléctrico incidente esta polarizado sobre el eje x. ⃗ E=̂ x E0 e j(ωt−k z) , E0∈ℝ Condiciones de frontera: E1t =E2t ⇒Ei+ Er=Etr [1] H 1t=H 2t ⇒ Hi+ H r=H t entonces: Ei η1 − Er η1 = Etr η2 [2] Interfaz dieléctrico - dieléctrico Interfaz dieléctrico - dieléctrico z x y n2 n1 ⃗ Ei ⃗ H i ⃗ ki i r t ⃗ Er ⃗ H r ⃗ kr ⃗ Etr ⃗ H tr ⃗ ktr
De las ecuaciones anteriores [1] y [2] Se definen los coeficientes complejos de reflexión y trasmisión: r= Er Ei y t= Etr Ei de donde en este caso: r= 1−η1/η2 1+ η1/η2 = 1−n2/n1 1+ n2/n1 t= 2 1+ η1/η2 = 2 1+ n2/n1 Interfaz dieléctrico - dieléctrico Interfaz dieléctrico - dieléctrico z x y n2 n1 ⃗ Ei ⃗ H i ⃗ ki i r t ⃗ Er ⃗ H r ⃗ kr ⃗ Etr ⃗ H tr ⃗ ktr
Supongamos que el medio 2 es un buen conductor para cierta frecuencia: σ ∈ℝ ,ϵr=1,μr=1, tan δ= σ ωϵ ≫1, y el medio 1 el vacío.  Los coeficientes característicos del medio son: α=β=√ωμ0 σ /2, η= η0 √tan δ e j π/4  Los coeficientes de reflexión y trasmisión y sus límites: r= 1−η0/ η 1+η0/η →−1 t= 2 1+η0/η ≃ 2 √tan δ e jπ/4 →0 Interfaz dieléctrico – conductor Interfaz dieléctrico – conductor Efecto piel Efecto piel z x y n2C n1 ⃗ Ei ⃗ H i ⃗ ki i r t ⃗ Er ⃗ H r ⃗ kr ⃗ Etr ⃗ H tr ⃗ ktr
Los tres campos en ambas regiones son: ⃗ Ei =̂ x E0 ej(ωt−k z) , E0∈ℝ , ⃗ H i=̂ y E0 η0 e j(ω t−k z) , ⃗ Er=̂ x r E0 ej(ωt+ k z) =−̂ x E0 e j(ω t+ k z) ⃗ H r=−̂ y r E0 η0 e j(ω t+ k z) =̂ y E0 η0 e j(ω t+k z) ⃗ Et=̂ xt E0e jω t−γ z =̂ x 2 E0 √tan δ e j(ω t−β z+π /4) e−α z ≪E0 ⃗ H t=̂ y t E0 η e jωt−γ z =̂ y 2 E0 η0 e( jω t−β z) e−αz Interfaz dieléctrico – conductor Interfaz dieléctrico – conductor Efecto piel Efecto piel
Interfaz dieléctrico – conductor Interfaz dieléctrico – conductor Corriente superficial - Efecto piel Corriente superficial - Efecto piel Por ley de Ohm dentro del material la densidad de corriente volumétrica ⃗ J=σ ⃗ Et=̂ x σ 2 E0 √σ/ωϵ e−γ z e j(ωt+ π/4) . Integrando se obtiene la coorriente total: I =∫0 l ∫0 ∞ σ Et dz dy≡∫0 l j dy de donde σ Et l γ = j l ,⇒⃗ j= 2 E0 η0 e jωt ̂ x Por otro lado, si tomamos la interfaz como la zona de corriente, mas alla de la interfaz , ⃗ H 2=0 Según las condiciones de frontera en z=0 ̂ n×( ⃗ H 2− ⃗ H1)=⃗ j de donde −̂ n× ⃗ H1=⃗ j= 2 E0 η0 e jωt ̂ x
Efecto piel en muy buenos conductores Efecto piel en muy buenos conductores σ σ/ /ωε ωε>>1 >>1 ● En el caso estático la densidad de corriente está distribuida en forma homogénea dentro del cable. ● El el caso de tener campos de alterna con cierta frecuencia, la corriente dentro del cable tiende a irse corriendo hacia la superficie, convirtiéndose en densidad de corriente superficial en el límite de σ/ωε infinito. ⃗ E V0 cos(ωt) σ ω → ∞ σ ω → ∞ σ=0,n=1 ⃗ J =σ ⃗ E ⃗ J
Efecto piel en muy buenos conductores Efecto piel en muy buenos conductores σ σ/ /ωε ωε>>1 >>1 En el límite σ ω  → ∞ η/η0=√ω0 σ e jπ/4 → 0  Si ω es suficientemente grande, pero aún σ/ω ≫1, entonces el campo quedará contenido dentro del cable, pero muy cercano a la superficie, =β=ω c √ σ ω0 → ∞  Sin embargo cuando ω es extrictamente cero =β=ω c √ σ ω0 → 0 =0 y la corriente es homogénea.
Efecto piel en muy buenos conductores Efecto piel en muy buenos conductores σ σ/ /ωε ωε>>1 >>1 En un modelo simplificado, consideremos una lámina de material muy buen conductor. ⃗ Ein=̂ x[ Ae j(ωt−β z) e −α z + Be j(ωt+β z) e α z ] , ⃗ Edown=̂ xC e j(ωt−k z) , ⃗ Eup=̂ x G e j(ωt+ k z) , Llamando a x=e jβd + αd , y y=ej k d Para x=d : A/ x+ B x=G y , A/ x−B x=−G y η/ η0 z=+ d z=−d ⃗ H B ⃗ EB ⃗ EA ⃗ H B ̂ kG ̂ kC ̂ k A ̂ k B ⃗ H A σ ω →∞ n=1,σ=0
Efecto piel en muy buenos conductores Efecto piel en muy buenos conductores σ σ/ /ωε ωε>>1 >>1 Además Ay Bson iguales por simetría y proporcionales al voltaje externo aplicado ∫−d d dz A[eγ z + e−γ z ]= 2d V 0 l ⇒ A∝V 0 La solución de las ecuaciones anteriores será: G=(((η/η0+ 1) x2 + η/η0−1) y A)/(2η/η0 x) En el límites siguientes: σ ω →∞ η/η0=√ω0 σ e jπ/4 →0 α=β=ω c √ σ ω 0 =k √ σ ω0 →∞ G→ A e ( j+ 1)k d √ σ ω0 √ σ ω0
Efecto piel en muy buenos conductores Efecto piel en muy buenos conductores σ σ/ /ωε ωε>>1 >>1 Campo eléctrico dentro del conductor para los valores de =β=7 1/ m , d=1m A=B=1V /m, 5δ≃0.7m ⃗ E z
Aproximación del rayo Aproximación del rayo Camino óptico Camino óptico LCO=∑ i ni li →∫ A B n(⃗ r)dr Aunque en general las ondas no son planas, si nos situamos lejanos a cualquier fuente, se las puede aproximar por ondas planas. Se define la dirección del rayo, siguiendo la dirección del vector de Poynting⃗ S(⃗ k o⃗ β) De aquí en adelante vamos a trabajar en medios no disipativos: σ=0,ϵr∈ℝ,o sea, el índice de refracción nC =n∈ℝ ,n(ω)> 1 y κ≃0. Si el índice depende de la posición,n(⃗ r) entonces los frentes de onda pueden distorsionarse cuando avanzan y ya no ser planos. Consideramos despreciables los fenómenos de difracción, o sea: λ≫ltípica sino, ya no es valida la aproximación de rayo. Se define la longitud de camino óptico:
Incidencia oblicua Incidencia oblicua Refracción de ondas: Ley de Snell Refracción de ondas: Ley de Snell La refracción es el fenómeno en el cual, la onda transmitida cambia de dirección en la interfaz entre dos medios. Todas las ondas en dos o tres dimensiones presentan este fenómeno el sonido, ondas en el agua, ondas electromagnéticas, etc. El cambio de dirección esta relacionado a un cambio de la velocidad de la onda en el medio. Este cambio en la dirección responde a las condiciones de borde en la interfaz.
Principio de Fermat Principio de Fermat Camino óptico Camino óptico Teorema de Malus-Dupin: Si sobre cada rayo que sale de un foco emisor de luz tomamos caminos ópticos iguales, el lugar geométrico de estos puntos, generan una superficie que es normal a todos los rayos. A esta superficie se le denomina frente de onda. δ( LCO)=δ∫ A B n(⃗ r )dl=0 Principio de Fermat (1662): El camino óptico recorrido por la luz para ir de un punto a otro es tal que, éste recorrido es estacionario respecto a las variaciones de los caminos posibles. En general entre dos puntos, el rayo sigue la trayectoria que tiene la menor longitud de camino óptico, que es equivalente al tiempo que demora.
Ley de Snell Principio de Fermat t (x)= √d 2 + x 2 vi + √b 2 + (a−x) 2 vt dt dx =0⇒ x vi √d 2 + x 2 − (a−x) vt √b 2 + (a− x) 2 =0 sin (θi) vi −sin θt vt =0 de donde: ni sin θi=nt sin θt x d b a P F N θi θt ni nt Dados dos puntos fijos, la fuente F y el punto de llegada P, el camino que lleva menos tiempo, es el que minimiza la longitud de camino óptico.
Cada punto al cual llega una onda, se convierte en una fuente de onda esférica secundaria. La envolvente de todas estas ondas generadas, crean un nuevo frente de onda. Principio de Huygens(1678) Principio de Huygens(1678) Walter Fendt - Huygens principle
Reflexión Principio de Huygens(1678) Principio de Huygens(1678) Refracción Los triangulos:o P A y ABo son idénticos, ya que tiene la base común y AB=o P=λi y un ángulo opuesto recto, de donde θi=θr En el triangulo:o B A, el ángulo en o es θi En el triangulo:oC A , el ángulo en A es θt de donde: sinθi=λi/l ;sinθt=λt /l sinθi /λi =sinθt /λt o P B A C θi θi λi λi ̂ ki ̂ kr ̂ kt Fi Fr Ft θt θt θr l Walter Fendt
Índice de refracción real: n para λ0 = 589.3 nm Gas Helio 1.000036 aire 1.0002926 dióxido de carbono 1.00045 Hielo 1.31 agua liquida (20°C) 1.333 glicerina 1.4729 sal en piedra 1.516 policarbonato 1.59 bromino 1.661 vidrio típico 1.5 to 1.9 cubic zirconia 2.15 to 2.18 diamante 2.419 Índice de refracción real Índice de refracción real para algunos medios transparentes para algunos medios transparentes
La componentes perpendiculares siempre son tangentes a la interface: Ei , ⊥+ Er , ⊥ =Et , ⊥ Las componentes paralelas: Ei ,∥ , Er ,∥ Et, ∥ se desomponen en tangencial y normal a la interface: ⃗ Ei ,∥=Ei ,n ,∥ ̂ n+ Ei ,t , ∥ ̂ t Descomposición del campo eléctrico Descomposición del campo eléctrico respecto al plano de incidencia y al plano de la respecto al plano de incidencia y al plano de la interfaz interfaz
Campos E y H en incidencia oblicua Campos E y H en incidencia oblicua Los campos E y H en incidencia oblicua con un ángulo θi se escriben: ⃗ Ei= ⃗ E0i cos(ωt−ki cosθi z−kisin θi x) ⃗ Er= ⃗ E0r cos(ωt+ ki cosθr z−ki sinθr x) ⃗ Et= ⃗ E0t cos(ωt−kt cosθt z−kt sinθt x) Las componentes de los campos E0i , E0r y E0t se descomponen en componentes paralelas y perpendiculares al plano de incidencia. Este se define como el plano que contiene a los vectores ki , kr y kt . Et ⃗ E ⃗ ki θi θr θt ⃗ kt n ̂ z ̂ y θi ̂ z ̂ x
Ley de Snell a` la Maxwell Ley de Snell a` la Maxwell Las componentes de E tangenciales a la superficie tiene que cumplir con las condiciones de borde en la interfaz z = 0. Se tiene que cumplir que ∀x ,t y z=0: Eit+ Ert=Etr t E0it cos(ωt−ki sinθi x)+ E0rt cos(ωt−kisinθr x)= E0t cos(ωt−kt sinθt x) de donde se deduce que: sinθi=sinθr ki sinθi=kt sinθt Et ⃗ E ⃗ ki θi θr θt ⃗ kt n ̂ z ̂ y θi ̂ z ̂ x
E1t =E2t de donde: ̂ y: E0i+ E0r=E0t Para la componente tangencial de ⃗ H H1t=H 2t ⇒ ̂ x: −H0i cosθi+H0r cosθr=−H0t cos θt de donde: E0i ηi cos θi− E0r ηi cosθi= E0t ηt cosθt Se obtiene el sistema: { 1+r⊥ =t ⊥ 1−r⊥ =t ⊥ cosθt cosθi ηi ηt } Componente eléctrica Componente eléctrica perpendicular perpendicular al plano de incidencia al plano de incidencia Suponiendo que los materiales no son magnéticos (μr =1) Aplicamos las condiciones de borde en el campo E que en este caso es tangencial y su relacionado H que tiene ambas componentes. Caso no magnético μr ≃1 como μr≃1⇒ ηi ηt = nt ni
r ⊥ ≡ (E0r E0i )⊥ = ni cos θi −nt cosθt ni cos θi + nt cosθt , t ⊥ ≡ (E0t E0i )⊥ = 2cosθi ni ni cos θi+ nt cosθt (r=1) Joptics – Universitat de Barcelona r ⊥≡ (E0r E0i )⊥ = ηt cosθi−ηi cosθt ηt cosθi+ ηi cosθt , t ⊥ ≡ (E0t E0i )⊥ = 2cosθi ηt ηt cosθi−ηi cosθt Componente eléctrica Componente eléctrica perpendicular perpendicular al plano al plano incidencia incidencia Coeficientes de Fresnel Coeficientes de Fresnel
sin sin i i t t n n    Ley de Snell Componente eléctrica Componente eléctrica paralela paralela al plano incidencia al plano incidencia Coeficientes de Fresnel Coeficientes de Fresnel r∥≡ (E0r E 0i )∥ = nt cosθi−ni cos θt nt cosθi+ ni cos θt , t∥≡ (E0t E0i )∥ = 2ni cos θi nt cosθi + ni cosθt r∥≡ (E0r E0i )∥ = ηi cosθi−ηt cosθt ηi cosθi+ ηt cosθt , t∥≡ (E 0t E0i )∥ = 2ηt cosθi ηi cosθi+ ηt cosθt
i t∥ ,t ⊥ r∥ ,r ⊥ Coeficientes de reflexión y transmisión de Coeficientes de reflexión y transmisión de Fresnel: Fresnel: Caso: Caso: n ni i < n < nt t (n (ni i=1 y n =1 y nt t=1.5) =1.5)
Coeficientes de reflexión y transmisión de Coeficientes de reflexión y transmisión de Fresnel: Fresnel: Caso: Caso: n ni i > n > nt t (1.5 y 1) (1.5 y 1)
Considerando r∥=0 existe un ángulo θi≠0 / θi+ θt → π/2 de donde: tan(θi−θt) tan(θi+ θt) → 0 ⇒ni sinθB=nt sin(π/2−θB)=nt cosθB ⇒tan θB= nt ni Ángulo de Brewster: Ángulo de Brewster: Polarización por reflexión Polarización por reflexión B t 90º B ⃗ E ⃗ E⊥ r∥= nt cos θi−ni cosθt nt cos θi+ ni cosθt = nt cosθi−nt sinθt sinθi cosθt nt cosθi+ ni cosθt = = sinθi cosθi−sinθt cosθt sinθi cosθi+ sinθt cosθt = sin(2θi)−sin(2θt) sin(2θi)+ sin(2θt) = = sin(θi−θt)cos(θi+ θt) sin(θi+ θt)cos(θi−θt) = tan(θi−θt) tan(θi+ θt)
No hay reflexión si se incide con luz polarizada en el plano de incidencia r ⊥= Er ⊥ Ei ⊥ = ni 2 −nt 2 ni 2 + nt 2 Er∥=0 Polarización por ángulo de Brewster Polarización por ángulo de Brewster Para el ángulo de Brewster la luz reflejada está totalmente polarizada perpendicular al plano de incidencia.
Reflectancia y transmitancia Reflectancia y transmitancia
La intensidad se define como I≡̂ k .〈 ⃗ S 〉= 1 2 ℝ[ ⃗ E× ⃗ H * ]=ℝ[ 1 2 E0 E0 * 1 η] Tomando de aqui para adelante ℝ[ ηi, t]=ηi ,t la Reflectancia se define R≡ Pref Pinc = I r Acosθr Ii Acosθi =r r* , y la trasmitancia :T≡ Ptras Pinc = It Acosθt I i Acosθi = (ηi cosθt ηt cosθi )t t * , Si μr=1⇒T = (nt cosθt ni cosθi )t t * Como no hay disipasión,, por conservación de la energía tienen que cumplir: R∥+ T∥=1 , R⊥+ T ⊥=1 Para el caso que todo sea real: R= r∥ 2 + r ⊥ 2 tanβ2 1+ tan β 2 ; T= (ηi cosθt ηt cos θi )(t∥ 2 + t ⊥ 2 tanβ2 1+ tan β 2 ) donde tan β=E0 ⊥ / E0∥ y obviamente se cumple: R+ T =1 Reflectancia y transmitancia Reflectancia y transmitancia
Inversión temporal de las ecuaciones de Inversión temporal de las ecuaciones de Maxwell Maxwell Todas las ecuaciones de la física (Newton, Maxwell, etc), son ecuaciones independientes del tiempo, o sea, la ecuación es valida para cualquier tiempo. El mismo experimento, en las mismas condiciones da el mismo resultado, independiente de la hora en que se haga. También es cierto que la ecuación en si, no sabe si el tiempo transcurre hacia adelante, o hacia atrás. Esto se llama invariancia frente a la inversión temporal. (Ver cualquier fenómeno en un vídeo en reversa). Esta invarianza da lugar a ciertas relaciones (relaciones de Stokes) entre los coeficientes de reflexión y trasmisión. La única ley que determina una dirección del tiemo es la segunda ley de la termodinámica, donde la dirección del tiempo va de la mano del aumento de Entropía.
Inversión temporal de las ec. de Maxwell Inversión temporal de las ec. de Maxwell Relaciones de Stokes Relaciones de Stokes E0 r E0 t E0 (t ' t+ r 2 ) E0 r E0 t E0 (r ' t+ tr) E0 ni nt ni nt  Debido a la invariancia frente a la inversión temporal , ambos casos deben ser posibles y dar el mismo resultado. De aqui que se debe cumplir: t ' t+ r2 =1⇒t ' t=1−r2 r ' t+ t r=0⇒r '=−r donde r es el coeficiente de reflexión en la interfaz que va de ni a nt , y r ' el coef. que va de nt a ni ,etc.  Estas relaciones se pueden verificar directamente usando los coeficientes de Fresnel.
Refracción total interna (RTI), c Refracción total interna (RTI), caso, aso, n ni i > n > nt t Modo evanescente Modo evanescente Cuando una onda OE pasa de un medio de índice mayor a uno menor el rayo asociado se aleja de la normal. Para cierto angulo de incidencia el angulo trasmitido es igual a 90º ; al ángulo (de incidencia) correspondiente se le llama ángulo RTI: θRTI . Por encima del ángulo θRTI no existe onda trasmitida, o sea toda la energía se refleja, del lado trasmitido existe una onda “evanecente”. Debido a que para ángulos θi >θRTI , se cumple todavía la ley de Snell: ni /nt sin θi =sin θt >1 , pero el cos(θt ) es ahora un número imaginario. Esto genera un desfasaje entre las componentes en la onda reflejada.
Modo evanescente Modo evanescente θRTI x y z nt ni Ángulo de reflexión total interna:ni sinθRTI =nt sin θt =nt Para ni>nt : existe un ángulo crítico RTI:sinθRTI= nt ni Si θi >θRTI ⇒sinθt>1⇒cosθt=± j √( ni nt ) 2 sin 2 θi−1=± j B∈ Im El campo trasmitido será: ⃗ Et =t ⃗ E0 exp[ j(ωt−kt cosθt z−kt sinθt x)] ℝ[ ⃗ Et ]=∣t∣ ⃗ E0 e −kt B z cos(ωt−kt sinθt x+) donde: kt =ω c nt y elijo para la raiz el signo negativo físicamente correcta. met.reading.ac.uk Frustrated total internal reflection
Modo evanescente Modo evanescente Desfasaje en la reflexión: Polarización Desfasaje en la reflexión: Polarización El ángulo θt es complejo y pierde su sentido geométrico. Sin embargo R[θt ]=π/2, lo que genera que sin(θt )  R >1 y cos(θt )  Im . La onda trasmitida se propaga paralela a la interfaz, con una amplitud que no decae en esa dirección sino que decae en forma exponencial en dirección perpendicular a la interfaz. Los coeficientes de reflexión y trasmisión r y t son complejos, pero de de modulo 1 por lo que se generan desfasajes diferentes según la componente sea paralela o perpendicular. Esto último cambia la polarización de la onda reflejada con respecto a la incidente, sin cambiar la amplitud de la misma. met.reading.ac.uk
Modo evanescente Modo evanescente Desfasaje en la reflexión: Polarización Desfasaje en la reflexión: Polarización ⃗ Er=r ⃗ E0 exp[ j(ωt−ki cosθi z−ki sinθi x)], donde: ki=ω c ni. Los coeficientes de Fresnel se convierten en: r⊥ = A+ jB A− jB =e 2 j ψ , donde: A= ni nt cosθi y tan ψ=B/ A similar: r∥=e 2 jδ , donde: tan δ=(ni nt ) 2 tan ψ met.reading.ac.uk
Desfasaje en la reflexión, por RTI Desfasaje en la reflexión, por RTI
Desfasaje en la reflexión, por RTI Desfasaje en la reflexión, por RTI
Aplicación de Incidencia total Aplicación de Incidencia total interna frustrada: FTIR interna frustrada: FTIR http://www.cs.nyu.edu/~jhan/ftirsense/

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    Condiciones de fronteraen una interfaz Condiciones de frontera en una interfaz Campos variables con el tiempo Campos variables con el tiempo  Ley de Faraday: lim w → 0 ∮ C ⃗ E .d ⃗ l =− ∂ ∂ t ∬⃗ B.d ⃗ s ⃗ E1. ̂ t dl+ ⃗ E2 .(−̂ t )dl=− ∂ ∂ t Bw dl →0 E1t =E2t ̂ n ̂ t w 1 2 ⃗ E1 ⃗ E2 l C  Ley de Gauss: lim w→0 ∯ S ⃗ D .d ⃗ s=Qenc lib ⃗ D1 .(−̂ n)d s+ ⃗ D2 . ̂ nd s=(ρlib w ds+σlib ds)=σlib ds D2n −D1n =σ lib ̂ ̂ ⃗ D1 ⃗ D2
  • 3.
    Condiciones de fronteraen una interfaz Condiciones de frontera en una interfaz Campos variables con el tiempo Campos variables con el tiempo  Ley de Ampère-Maxwell: lim w →0 ∮ C ⃗ H .d ⃗ l =I lib + ∂ ∂ t ∬ ⃗ D .d ⃗ s ⃗ H 1. ̂ t dl+ ⃗ H 2.(−̂ t)dl= j lib dl+ ∂ ∂t D w dl= j lib dl ( ⃗ H1− ⃗ H 2).̂ t = j lib Ley de Gauss magnética: lim w → 0 ∯ S ⃗ B.d ⃗ s=0 ⃗ B1.(−̂ n)d s+ ⃗ B2 . ̂ nd s=0 B2n =B1n ̂ ̂ C ⃗ H1 ⃗ H2 ̂ ̂ ⃗ B1 ⃗ B2
  • 4.
     Una ondaplana incide en forma normal sobre una interfaz.  Las distintas zonas se caracterizan por el índice de refracción complejonC , por la impedanciaη, o por la constante dieléctrica efectiva ϵr , ef .  Los campos EM cumplen con las condiciones de frontera. Incidencia normal de Ondas Incidencia normal de Ondas sobre una interfaz sobre una interfaz z x y n2C n1C ⃗ Ei ⃗ H i ⃗ Si i r t
  • 5.
    Los distintos materialesse caracterizan por sus índices de refracción reales n1 y n2 , y se supone μr=1, en ambos medios. Supongamos una onda plana y armónica en z incidiendo desde el medio 1 al 2. Sin perder generalidad, se supone que el campo eléctrico incidente esta polarizado sobre el eje x. ⃗ E=̂ x E0 e j(ωt−k z) , E0∈ℝ Condiciones de frontera: E1t =E2t ⇒Ei+ Er=Etr [1] H 1t=H 2t ⇒ Hi+ H r=H t entonces: Ei η1 − Er η1 = Etr η2 [2] Interfaz dieléctrico - dieléctrico Interfaz dieléctrico - dieléctrico z x y n2 n1 ⃗ Ei ⃗ H i ⃗ ki i r t ⃗ Er ⃗ H r ⃗ kr ⃗ Etr ⃗ H tr ⃗ ktr
  • 6.
    De las ecuacionesanteriores [1] y [2] Se definen los coeficientes complejos de reflexión y trasmisión: r= Er Ei y t= Etr Ei de donde en este caso: r= 1−η1/η2 1+ η1/η2 = 1−n2/n1 1+ n2/n1 t= 2 1+ η1/η2 = 2 1+ n2/n1 Interfaz dieléctrico - dieléctrico Interfaz dieléctrico - dieléctrico z x y n2 n1 ⃗ Ei ⃗ H i ⃗ ki i r t ⃗ Er ⃗ H r ⃗ kr ⃗ Etr ⃗ H tr ⃗ ktr
  • 7.
    Supongamos que elmedio 2 es un buen conductor para cierta frecuencia: σ ∈ℝ ,ϵr=1,μr=1, tan δ= σ ωϵ ≫1, y el medio 1 el vacío.  Los coeficientes característicos del medio son: α=β=√ωμ0 σ /2, η= η0 √tan δ e j π/4  Los coeficientes de reflexión y trasmisión y sus límites: r= 1−η0/ η 1+η0/η →−1 t= 2 1+η0/η ≃ 2 √tan δ e jπ/4 →0 Interfaz dieléctrico – conductor Interfaz dieléctrico – conductor Efecto piel Efecto piel z x y n2C n1 ⃗ Ei ⃗ H i ⃗ ki i r t ⃗ Er ⃗ H r ⃗ kr ⃗ Etr ⃗ H tr ⃗ ktr
  • 8.
    Los tres camposen ambas regiones son: ⃗ Ei =̂ x E0 ej(ωt−k z) , E0∈ℝ , ⃗ H i=̂ y E0 η0 e j(ω t−k z) , ⃗ Er=̂ x r E0 ej(ωt+ k z) =−̂ x E0 e j(ω t+ k z) ⃗ H r=−̂ y r E0 η0 e j(ω t+ k z) =̂ y E0 η0 e j(ω t+k z) ⃗ Et=̂ xt E0e jω t−γ z =̂ x 2 E0 √tan δ e j(ω t−β z+π /4) e−α z ≪E0 ⃗ H t=̂ y t E0 η e jωt−γ z =̂ y 2 E0 η0 e( jω t−β z) e−αz Interfaz dieléctrico – conductor Interfaz dieléctrico – conductor Efecto piel Efecto piel
  • 9.
    Interfaz dieléctrico –conductor Interfaz dieléctrico – conductor Corriente superficial - Efecto piel Corriente superficial - Efecto piel Por ley de Ohm dentro del material la densidad de corriente volumétrica ⃗ J=σ ⃗ Et=̂ x σ 2 E0 √σ/ωϵ e−γ z e j(ωt+ π/4) . Integrando se obtiene la coorriente total: I =∫0 l ∫0 ∞ σ Et dz dy≡∫0 l j dy de donde σ Et l γ = j l ,⇒⃗ j= 2 E0 η0 e jωt ̂ x Por otro lado, si tomamos la interfaz como la zona de corriente, mas alla de la interfaz , ⃗ H 2=0 Según las condiciones de frontera en z=0 ̂ n×( ⃗ H 2− ⃗ H1)=⃗ j de donde −̂ n× ⃗ H1=⃗ j= 2 E0 η0 e jωt ̂ x
  • 10.
    Efecto piel enmuy buenos conductores Efecto piel en muy buenos conductores σ σ/ /ωε ωε>>1 >>1 ● En el caso estático la densidad de corriente está distribuida en forma homogénea dentro del cable. ● El el caso de tener campos de alterna con cierta frecuencia, la corriente dentro del cable tiende a irse corriendo hacia la superficie, convirtiéndose en densidad de corriente superficial en el límite de σ/ωε infinito. ⃗ E V0 cos(ωt) σ ω → ∞ σ ω → ∞ σ=0,n=1 ⃗ J =σ ⃗ E ⃗ J
  • 11.
    Efecto piel enmuy buenos conductores Efecto piel en muy buenos conductores σ σ/ /ωε ωε>>1 >>1 En el límite σ ω  → ∞ η/η0=√ω0 σ e jπ/4 → 0  Si ω es suficientemente grande, pero aún σ/ω ≫1, entonces el campo quedará contenido dentro del cable, pero muy cercano a la superficie, =β=ω c √ σ ω0 → ∞  Sin embargo cuando ω es extrictamente cero =β=ω c √ σ ω0 → 0 =0 y la corriente es homogénea.
  • 12.
    Efecto piel enmuy buenos conductores Efecto piel en muy buenos conductores σ σ/ /ωε ωε>>1 >>1 En un modelo simplificado, consideremos una lámina de material muy buen conductor. ⃗ Ein=̂ x[ Ae j(ωt−β z) e −α z + Be j(ωt+β z) e α z ] , ⃗ Edown=̂ xC e j(ωt−k z) , ⃗ Eup=̂ x G e j(ωt+ k z) , Llamando a x=e jβd + αd , y y=ej k d Para x=d : A/ x+ B x=G y , A/ x−B x=−G y η/ η0 z=+ d z=−d ⃗ H B ⃗ EB ⃗ EA ⃗ H B ̂ kG ̂ kC ̂ k A ̂ k B ⃗ H A σ ω →∞ n=1,σ=0
  • 13.
    Efecto piel enmuy buenos conductores Efecto piel en muy buenos conductores σ σ/ /ωε ωε>>1 >>1 Además Ay Bson iguales por simetría y proporcionales al voltaje externo aplicado ∫−d d dz A[eγ z + e−γ z ]= 2d V 0 l ⇒ A∝V 0 La solución de las ecuaciones anteriores será: G=(((η/η0+ 1) x2 + η/η0−1) y A)/(2η/η0 x) En el límites siguientes: σ ω →∞ η/η0=√ω0 σ e jπ/4 →0 α=β=ω c √ σ ω 0 =k √ σ ω0 →∞ G→ A e ( j+ 1)k d √ σ ω0 √ σ ω0
  • 14.
    Efecto piel enmuy buenos conductores Efecto piel en muy buenos conductores σ σ/ /ωε ωε>>1 >>1 Campo eléctrico dentro del conductor para los valores de =β=7 1/ m , d=1m A=B=1V /m, 5δ≃0.7m ⃗ E z
  • 15.
    Aproximación del rayo Aproximacióndel rayo Camino óptico Camino óptico LCO=∑ i ni li →∫ A B n(⃗ r)dr Aunque en general las ondas no son planas, si nos situamos lejanos a cualquier fuente, se las puede aproximar por ondas planas. Se define la dirección del rayo, siguiendo la dirección del vector de Poynting⃗ S(⃗ k o⃗ β) De aquí en adelante vamos a trabajar en medios no disipativos: σ=0,ϵr∈ℝ,o sea, el índice de refracción nC =n∈ℝ ,n(ω)> 1 y κ≃0. Si el índice depende de la posición,n(⃗ r) entonces los frentes de onda pueden distorsionarse cuando avanzan y ya no ser planos. Consideramos despreciables los fenómenos de difracción, o sea: λ≫ltípica sino, ya no es valida la aproximación de rayo. Se define la longitud de camino óptico:
  • 16.
    Incidencia oblicua Incidencia oblicua Refracciónde ondas: Ley de Snell Refracción de ondas: Ley de Snell La refracción es el fenómeno en el cual, la onda transmitida cambia de dirección en la interfaz entre dos medios. Todas las ondas en dos o tres dimensiones presentan este fenómeno el sonido, ondas en el agua, ondas electromagnéticas, etc. El cambio de dirección esta relacionado a un cambio de la velocidad de la onda en el medio. Este cambio en la dirección responde a las condiciones de borde en la interfaz.
  • 17.
    Principio de Fermat Principiode Fermat Camino óptico Camino óptico Teorema de Malus-Dupin: Si sobre cada rayo que sale de un foco emisor de luz tomamos caminos ópticos iguales, el lugar geométrico de estos puntos, generan una superficie que es normal a todos los rayos. A esta superficie se le denomina frente de onda. δ( LCO)=δ∫ A B n(⃗ r )dl=0 Principio de Fermat (1662): El camino óptico recorrido por la luz para ir de un punto a otro es tal que, éste recorrido es estacionario respecto a las variaciones de los caminos posibles. En general entre dos puntos, el rayo sigue la trayectoria que tiene la menor longitud de camino óptico, que es equivalente al tiempo que demora.
  • 18.
    Ley de Snell Principiode Fermat t (x)= √d 2 + x 2 vi + √b 2 + (a−x) 2 vt dt dx =0⇒ x vi √d 2 + x 2 − (a−x) vt √b 2 + (a− x) 2 =0 sin (θi) vi −sin θt vt =0 de donde: ni sin θi=nt sin θt x d b a P F N θi θt ni nt Dados dos puntos fijos, la fuente F y el punto de llegada P, el camino que lleva menos tiempo, es el que minimiza la longitud de camino óptico.
  • 19.
    Cada punto alcual llega una onda, se convierte en una fuente de onda esférica secundaria. La envolvente de todas estas ondas generadas, crean un nuevo frente de onda. Principio de Huygens(1678) Principio de Huygens(1678) Walter Fendt - Huygens principle
  • 20.
    Reflexión Principio de Huygens(1678) Principiode Huygens(1678) Refracción Los triangulos:o P A y ABo son idénticos, ya que tiene la base común y AB=o P=λi y un ángulo opuesto recto, de donde θi=θr En el triangulo:o B A, el ángulo en o es θi En el triangulo:oC A , el ángulo en A es θt de donde: sinθi=λi/l ;sinθt=λt /l sinθi /λi =sinθt /λt o P B A C θi θi λi λi ̂ ki ̂ kr ̂ kt Fi Fr Ft θt θt θr l Walter Fendt
  • 21.
    Índice de refracciónreal: n para λ0 = 589.3 nm Gas Helio 1.000036 aire 1.0002926 dióxido de carbono 1.00045 Hielo 1.31 agua liquida (20°C) 1.333 glicerina 1.4729 sal en piedra 1.516 policarbonato 1.59 bromino 1.661 vidrio típico 1.5 to 1.9 cubic zirconia 2.15 to 2.18 diamante 2.419 Índice de refracción real Índice de refracción real para algunos medios transparentes para algunos medios transparentes
  • 22.
    La componentes perpendiculares siempreson tangentes a la interface: Ei , ⊥+ Er , ⊥ =Et , ⊥ Las componentes paralelas: Ei ,∥ , Er ,∥ Et, ∥ se desomponen en tangencial y normal a la interface: ⃗ Ei ,∥=Ei ,n ,∥ ̂ n+ Ei ,t , ∥ ̂ t Descomposición del campo eléctrico Descomposición del campo eléctrico respecto al plano de incidencia y al plano de la respecto al plano de incidencia y al plano de la interfaz interfaz
  • 23.
    Campos E yH en incidencia oblicua Campos E y H en incidencia oblicua Los campos E y H en incidencia oblicua con un ángulo θi se escriben: ⃗ Ei= ⃗ E0i cos(ωt−ki cosθi z−kisin θi x) ⃗ Er= ⃗ E0r cos(ωt+ ki cosθr z−ki sinθr x) ⃗ Et= ⃗ E0t cos(ωt−kt cosθt z−kt sinθt x) Las componentes de los campos E0i , E0r y E0t se descomponen en componentes paralelas y perpendiculares al plano de incidencia. Este se define como el plano que contiene a los vectores ki , kr y kt . Et ⃗ E ⃗ ki θi θr θt ⃗ kt n ̂ z ̂ y θi ̂ z ̂ x
  • 24.
    Ley de Snella` la Maxwell Ley de Snell a` la Maxwell Las componentes de E tangenciales a la superficie tiene que cumplir con las condiciones de borde en la interfaz z = 0. Se tiene que cumplir que ∀x ,t y z=0: Eit+ Ert=Etr t E0it cos(ωt−ki sinθi x)+ E0rt cos(ωt−kisinθr x)= E0t cos(ωt−kt sinθt x) de donde se deduce que: sinθi=sinθr ki sinθi=kt sinθt Et ⃗ E ⃗ ki θi θr θt ⃗ kt n ̂ z ̂ y θi ̂ z ̂ x
  • 25.
    E1t =E2t dedonde: ̂ y: E0i+ E0r=E0t Para la componente tangencial de ⃗ H H1t=H 2t ⇒ ̂ x: −H0i cosθi+H0r cosθr=−H0t cos θt de donde: E0i ηi cos θi− E0r ηi cosθi= E0t ηt cosθt Se obtiene el sistema: { 1+r⊥ =t ⊥ 1−r⊥ =t ⊥ cosθt cosθi ηi ηt } Componente eléctrica Componente eléctrica perpendicular perpendicular al plano de incidencia al plano de incidencia Suponiendo que los materiales no son magnéticos (μr =1) Aplicamos las condiciones de borde en el campo E que en este caso es tangencial y su relacionado H que tiene ambas componentes. Caso no magnético μr ≃1 como μr≃1⇒ ηi ηt = nt ni
  • 26.
    r ⊥ ≡ (E0r E0i )⊥ = nicos θi −nt cosθt ni cos θi + nt cosθt , t ⊥ ≡ (E0t E0i )⊥ = 2cosθi ni ni cos θi+ nt cosθt (r=1) Joptics – Universitat de Barcelona r ⊥≡ (E0r E0i )⊥ = ηt cosθi−ηi cosθt ηt cosθi+ ηi cosθt , t ⊥ ≡ (E0t E0i )⊥ = 2cosθi ηt ηt cosθi−ηi cosθt Componente eléctrica Componente eléctrica perpendicular perpendicular al plano al plano incidencia incidencia Coeficientes de Fresnel Coeficientes de Fresnel
  • 27.
    sin sin i it t n n    Ley de Snell Componente eléctrica Componente eléctrica paralela paralela al plano incidencia al plano incidencia Coeficientes de Fresnel Coeficientes de Fresnel r∥≡ (E0r E 0i )∥ = nt cosθi−ni cos θt nt cosθi+ ni cos θt , t∥≡ (E0t E0i )∥ = 2ni cos θi nt cosθi + ni cosθt r∥≡ (E0r E0i )∥ = ηi cosθi−ηt cosθt ηi cosθi+ ηt cosθt , t∥≡ (E 0t E0i )∥ = 2ηt cosθi ηi cosθi+ ηt cosθt
  • 28.
    i t∥ ,t ⊥ r∥ ,r⊥ Coeficientes de reflexión y transmisión de Coeficientes de reflexión y transmisión de Fresnel: Fresnel: Caso: Caso: n ni i < n < nt t (n (ni i=1 y n =1 y nt t=1.5) =1.5)
  • 29.
    Coeficientes de reflexióny transmisión de Coeficientes de reflexión y transmisión de Fresnel: Fresnel: Caso: Caso: n ni i > n > nt t (1.5 y 1) (1.5 y 1)
  • 30.
    Considerando r∥=0 existeun ángulo θi≠0 / θi+ θt → π/2 de donde: tan(θi−θt) tan(θi+ θt) → 0 ⇒ni sinθB=nt sin(π/2−θB)=nt cosθB ⇒tan θB= nt ni Ángulo de Brewster: Ángulo de Brewster: Polarización por reflexión Polarización por reflexión B t 90º B ⃗ E ⃗ E⊥ r∥= nt cos θi−ni cosθt nt cos θi+ ni cosθt = nt cosθi−nt sinθt sinθi cosθt nt cosθi+ ni cosθt = = sinθi cosθi−sinθt cosθt sinθi cosθi+ sinθt cosθt = sin(2θi)−sin(2θt) sin(2θi)+ sin(2θt) = = sin(θi−θt)cos(θi+ θt) sin(θi+ θt)cos(θi−θt) = tan(θi−θt) tan(θi+ θt)
  • 31.
    No hay reflexiónsi se incide con luz polarizada en el plano de incidencia r ⊥= Er ⊥ Ei ⊥ = ni 2 −nt 2 ni 2 + nt 2 Er∥=0 Polarización por ángulo de Brewster Polarización por ángulo de Brewster Para el ángulo de Brewster la luz reflejada está totalmente polarizada perpendicular al plano de incidencia.
  • 32.
  • 33.
    La intensidad sedefine como I≡̂ k .〈 ⃗ S 〉= 1 2 ℝ[ ⃗ E× ⃗ H * ]=ℝ[ 1 2 E0 E0 * 1 η] Tomando de aqui para adelante ℝ[ ηi, t]=ηi ,t la Reflectancia se define R≡ Pref Pinc = I r Acosθr Ii Acosθi =r r* , y la trasmitancia :T≡ Ptras Pinc = It Acosθt I i Acosθi = (ηi cosθt ηt cosθi )t t * , Si μr=1⇒T = (nt cosθt ni cosθi )t t * Como no hay disipasión,, por conservación de la energía tienen que cumplir: R∥+ T∥=1 , R⊥+ T ⊥=1 Para el caso que todo sea real: R= r∥ 2 + r ⊥ 2 tanβ2 1+ tan β 2 ; T= (ηi cosθt ηt cos θi )(t∥ 2 + t ⊥ 2 tanβ2 1+ tan β 2 ) donde tan β=E0 ⊥ / E0∥ y obviamente se cumple: R+ T =1 Reflectancia y transmitancia Reflectancia y transmitancia
  • 34.
    Inversión temporal delas ecuaciones de Inversión temporal de las ecuaciones de Maxwell Maxwell Todas las ecuaciones de la física (Newton, Maxwell, etc), son ecuaciones independientes del tiempo, o sea, la ecuación es valida para cualquier tiempo. El mismo experimento, en las mismas condiciones da el mismo resultado, independiente de la hora en que se haga. También es cierto que la ecuación en si, no sabe si el tiempo transcurre hacia adelante, o hacia atrás. Esto se llama invariancia frente a la inversión temporal. (Ver cualquier fenómeno en un vídeo en reversa). Esta invarianza da lugar a ciertas relaciones (relaciones de Stokes) entre los coeficientes de reflexión y trasmisión. La única ley que determina una dirección del tiemo es la segunda ley de la termodinámica, donde la dirección del tiempo va de la mano del aumento de Entropía.
  • 35.
    Inversión temporal delas ec. de Maxwell Inversión temporal de las ec. de Maxwell Relaciones de Stokes Relaciones de Stokes E0 r E0 t E0 (t ' t+ r 2 ) E0 r E0 t E0 (r ' t+ tr) E0 ni nt ni nt  Debido a la invariancia frente a la inversión temporal , ambos casos deben ser posibles y dar el mismo resultado. De aqui que se debe cumplir: t ' t+ r2 =1⇒t ' t=1−r2 r ' t+ t r=0⇒r '=−r donde r es el coeficiente de reflexión en la interfaz que va de ni a nt , y r ' el coef. que va de nt a ni ,etc.  Estas relaciones se pueden verificar directamente usando los coeficientes de Fresnel.
  • 36.
    Refracción total interna(RTI), c Refracción total interna (RTI), caso, aso, n ni i > n > nt t Modo evanescente Modo evanescente Cuando una onda OE pasa de un medio de índice mayor a uno menor el rayo asociado se aleja de la normal. Para cierto angulo de incidencia el angulo trasmitido es igual a 90º ; al ángulo (de incidencia) correspondiente se le llama ángulo RTI: θRTI . Por encima del ángulo θRTI no existe onda trasmitida, o sea toda la energía se refleja, del lado trasmitido existe una onda “evanecente”. Debido a que para ángulos θi >θRTI , se cumple todavía la ley de Snell: ni /nt sin θi =sin θt >1 , pero el cos(θt ) es ahora un número imaginario. Esto genera un desfasaje entre las componentes en la onda reflejada.
  • 37.
    Modo evanescente Modo evanescente θRTI x y z nt ni Ángulode reflexión total interna:ni sinθRTI =nt sin θt =nt Para ni>nt : existe un ángulo crítico RTI:sinθRTI= nt ni Si θi >θRTI ⇒sinθt>1⇒cosθt=± j √( ni nt ) 2 sin 2 θi−1=± j B∈ Im El campo trasmitido será: ⃗ Et =t ⃗ E0 exp[ j(ωt−kt cosθt z−kt sinθt x)] ℝ[ ⃗ Et ]=∣t∣ ⃗ E0 e −kt B z cos(ωt−kt sinθt x+) donde: kt =ω c nt y elijo para la raiz el signo negativo físicamente correcta. met.reading.ac.uk Frustrated total internal reflection
  • 38.
    Modo evanescente Modo evanescente Desfasajeen la reflexión: Polarización Desfasaje en la reflexión: Polarización El ángulo θt es complejo y pierde su sentido geométrico. Sin embargo R[θt ]=π/2, lo que genera que sin(θt )  R >1 y cos(θt )  Im . La onda trasmitida se propaga paralela a la interfaz, con una amplitud que no decae en esa dirección sino que decae en forma exponencial en dirección perpendicular a la interfaz. Los coeficientes de reflexión y trasmisión r y t son complejos, pero de de modulo 1 por lo que se generan desfasajes diferentes según la componente sea paralela o perpendicular. Esto último cambia la polarización de la onda reflejada con respecto a la incidente, sin cambiar la amplitud de la misma. met.reading.ac.uk
  • 39.
    Modo evanescente Modo evanescente Desfasajeen la reflexión: Polarización Desfasaje en la reflexión: Polarización ⃗ Er=r ⃗ E0 exp[ j(ωt−ki cosθi z−ki sinθi x)], donde: ki=ω c ni. Los coeficientes de Fresnel se convierten en: r⊥ = A+ jB A− jB =e 2 j ψ , donde: A= ni nt cosθi y tan ψ=B/ A similar: r∥=e 2 jδ , donde: tan δ=(ni nt ) 2 tan ψ met.reading.ac.uk
  • 40.
    Desfasaje en lareflexión, por RTI Desfasaje en la reflexión, por RTI
  • 41.
    Desfasaje en lareflexión, por RTI Desfasaje en la reflexión, por RTI
  • 42.
    Aplicación de Incidenciatotal Aplicación de Incidencia total interna frustrada: FTIR interna frustrada: FTIR http://www.cs.nyu.edu/~jhan/ftirsense/