1. Ministerio ´
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMATICA Sociedad Matem´tica
a
de Educaci´n
o (ONEM 2007) Peruana
Tercera fase - Nivel 1
19 de octubre del 2007
- La prueba tiene una duraci´n m´xima de 2 horas.
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- No est´ permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
a
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus c´lculos.
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- Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y graba tus
respuestas. En caso de empate se tomar´ en cuenta la hora de la ultima grabaci´n de tus
a ´ o
respuestas.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
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EN TODOS LOS CASOS LA RESPUESTA ES UN NUMERO ENTERO POSITIVO.
1. Gast´n compr´ regalos en tres tiendas. En la primera pag´ la mitad del dinero que
o o o
llevaba por la compra del regalo para su esposa y pag´ S/.3 por la envoltura. En la
o
segunda gast´ la mitad de lo que le quedaba en el regalo de su hija y tambi´n pag´ S/.3
o e o
por la envoltura. En la tercera gast´ la mitad de lo que le quedaba en el regalo de su
o
suegra y nuevamente pag´ S/.3 por la envoltura. Si al final se qued´ con S/.3, ¿cu´nto
o o a
dinero ten´ Gast´n antes de entrar a la primera tienda?
ıa o
2. En cada casilla del siguiente tablero se debe escribir un n´mero natural de tal forma
u
que la suma de los n´meros escritos en dos casillas vecinas cualesquiera sea siempre un
u
n´mero impar:
u
¿Cu´l es la mayor cantidad de n´meros pares que puede haber en el tablero?
a u
Nota.-Dos casillas son vecinas si tienen un lado com´n.
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3. Un n´mero N tiene 3 cifras, es m´ltiplo de 3 y cumple que el producto de sus cifras es
u u
288. Halla la suma de las cifras de N .
4. En las panader´ Panduro y Trigo Seco, el precio del pan es el mismo, pero am-
ıas
bas panader´ ofrecen diferentes ofertas. La panader´ Panduro regala un pan por la
ıas ıa
compra de 9 panes y la panader´ Trigo Seco regala dos panes por la compra de 17
ıa
panes. Mercedes, con cierta cantidad de dinero, compra pan en la panader´ Panduro
ıa
y aprovechando la oferta recibe 72 panes. ¿Cu´ntos panes recibir´ si con la misma can-
a a
tidad de dinero realizara la compra en la panader´ Trigo Seco, tambi´n aprovechando
ıa e
la oferta?
5. El m´ximo com´n divisor de los n´meros ab29b y ac4c2 es 168. Calcula la diferencia
a u u
del mayor menos el menor de dichos n´meros.
u
6. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 2007} el conjunto formado por los 2007 primeros n´meros na-
u
turales. B es un subconjunto de A que tiene la siguiente propiedad: “La suma de dos
elementos cualesquiera de B nunca es 2008”. ¿Cu´l es la mayor cantidad de elementos
a
que puede tener B?
7. ¿Cu´ntos n´meros de cuatro cifras, todas distintas de cero, tienen la propiedad de que
a u
al multiplicar sus cuatro cifras se obtiene un n´mero que es m´ltiplo de 7 pero no de
u u
49?
8. Durante muchos a˜os, Jos´ sale a pescar diariamente. Comenzando el 28 de Julio del
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2007, cada d´ le dice a su esposa: “hoy traer´ m´s pescados que hace dos d´ pero
ıa e a ıas,
menos que hace una semana”. ¿Cu´ntos d´ seguidos, como m´ximo, Jos´ puede decir
a ıas a e
la verdad?
9. Daniela debe formar conjuntos disjuntos usando algunos de los n´meros del conjunto
u
{1, 2, . . . , 200} de tal modo que en cada uno de ellos se cumpla que el mayor elemento
es igual al producto de los restantes. ¿Cu´l es la mayor cantidad de estos conjuntos que
a
Daniela puede formar?
10. ¿Cu´ntas fichas de la forma
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pueden colocarse, como m´ximo, en el siguiente tablero
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si las fichas pueden rotarse pero no pueden cubrir ninguna casilla pintada de negro?
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GRACIAS POR TU PARTICIPACION
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