1. Ministerio VII Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica Sociedad Matem´atica
de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana
Tercera Fase - Nivel 2
7 de octubre de 2010
- La prueba tiene una duraci´on m´axima de 2 horas.
- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus c´alculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN N´UMERO ENTERO POSITIVO.
1. El siguiente arreglo est´a formado por 20 filas. ¿Cu´antas veces se puede leer la palabra ONEM
en dicho arreglo, ya sea de manera vertical u horizontal?
O
O N
O N E
O N E M
O N E M O
O N E M O N
O N E M O N E
O N E M O N E M
... ...
...
2. Si los n´umeros de dos d´ıgitos ab y ba son ra´ıces de la ecuaci´on x2 − 66x + k = 0, ¿cu´al es la
suma de todos los valores que puede tomar k?
3. Simplifica:
22010 + 21006 + 1 − 22010 − 21006 + 1.
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de Educaci´on Peruana
4. En la siguiente figura se muestra el mapa de la isla Olimpia, en el que se muestra las 8 regiones
en las que est´a dividida:
mar
mar
Olimpia
Cada regi´on debe pintarse de un color, de tal forma que, si dos regiones son vecinas (es decir,
si tienen frontera en com´un) entonces deben pintarse de colores diferentes, ¿cu´antos colores
como m´ınimo se necesita?
5. En la siguiente figura, el hex´agono m´as grande es regular y tiene ´area 810:
Calcula el ´area del hex´agono peque˜no sombreado.
6. Una profesora le pide a sus alumnos que calculen el resto de dividir el n´umero N = 987654321
enre 11. Sin embargo, cuando Jos´e escribe el n´umero N en su cuaderno, no escribi´o uno de
los d´ıgitos de N. Si la respuesta de Jos´e s´olo se diferenci´o en 1 de la respuesta que di´o la
profesora, ¿cu´antos valores puede tomar el d´ıgito que Jos´e dej´o de escribir?
Aclaraci´on. Se asume que los c´alculos de la profesora y de Jos´e son correctos.
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7. En la siguiente divisi´on exacta, cada ∗ representa un d´ıgito mayor que 0 y menor que 8:
∗ 0 ∗ 0 ∗ 5
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ 0
∗ 0
- -
Encuentra el valor del cociente, sabiendo que est´a formado por 3 d´ıgitos distintos.
8. En una pizarra est´an escritos los n´umeros desde el 1 hasta el 999999 de manera consecutiva,
como se muestra:
123456789101112 . . . 999998999999.
¿Cu´antas veces aparece el bloque 2010 en esta lista escrita en la pizarra?
9. Halla la cantidad de parejas (m, n) de n´umeros enteros que cumplen las siguientes dos condi-
ciones a la vez:
m es ra´ız de la ecuaci´on x3 + mx − 2n = 0.
n es ra´ız de la ecuaci´on x3 − nx − 2m = 0.
10. Para cada conjunto no vac´ıo A de n´umeros enteros positivos, definimos el conjunto A+ como
el conjunto que se obtiene al sumar 1 a cada elemento de A. Por ejemplo, si A = {1, 3, 4, 7}
entonces A+ = {2, 4, 5, 8}; y si B = {6} entonces B+ = {7}.
¿Cu´antos subconjuntos A de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} cumplen que A y A+ son conjuntos
disjuntos entre s´ı?
GRACIAS POR TU PARTICIPACI´ON
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