Logica

¿Qué es la lógica?

• La definiciń del Diccionario General de la Lengua Espaõla dice:
o n
Disciplina que estudia los principios formales del conocimiento humano,
es decir, las formas y las leyes m´s generales del pensamiento humano
a
considerado puramente en s´ mismo, sin referencia a los objetos. Los
ı
problemas principales de la l´gica son las doctrinas del concepto, del juicio,
o
del silogismo y del m´todo.
e

• Esfuerzos por modelar estas “leyes del pensamiento humano”. Han existido desde
la antigëdad.
u

• Como ejemplo podemos tomar los silogismos:
°Todos los perros son mam´ ıferos.
°Todos los mam´ ıferos son animales
Podemos concluir que:
°Todos los perros son animales.
°Ninguna gaviota es un traductor.
°Algunas araãs son gaviotas.
n

Jorge Baier Aranda, PUC << Atr´s
a 1

Podemos concluir que:
°Algunas araãs no son traductores
n

• Los silogismos datan de la ´poca de Arist´teles (350 AC aprox).
e o

• Nosotros nos preocuparemos de la l´gica matem´tica.
o a

• La l´gica es una disciplina matem´tica relativamente nueva (100 aõs aprox.)
o a n

• ¿Es el razonamiento humano l´gico?
o
Es comń que mucha gente realice razonamientos incorrectos como el siguiente:
u
°Si Daniela tiene prueba, estudia toda la tarde
°Daniela ha estudiado toda la tarde
Entonces:
°Daniela tiene prueba.

a 2

Por qué es bueno saber lógica
• Porque parte esencial del razonamiento matem´tico.
a

• Muchas otras disciplinas usan l´gica: Psicolog´ (ej: Wason’s selection task ),
o ıa
Filosof´ F´
ıa, ısica, Lingu´
ıstica.

• La l´gica es esencial en ciencia de la computaciń.Algunos usos:
o o
• Programaciń en general.
o
• Modelaciń Formal de algoritmos, verificaciń de propiedades.
o o
• Modelaciń Formal de m´quinas.
o a
• Representaciń formal del conocimiento y razonamiento.
o
• Bases de Datos.

• Adem´s, algunas l´gicas son implementables (demostradores mecńicos de
a o a
teoremas).

• Existen lenguajes de programaciń basados en l´gica (Prolog).
o o

• Procesamiento de Lenguaje Natural.

a 3

Algunas Lógicas
Hay muchas...

L´gicas para razonamiento matem´tico : proposicional, primer orden, segundo
o a
orden.

L´gicas Descriptivas ,
o usadas en representaciń de conocimiento y Web
o
Semńtico.
a
Ejemplo: Para el dominio que representa a las familias,
Padres Hombre ∀Hijo.Mujer
Puede representar a la clase de padres varones que s´lo tienen hijas mujeres.
o

L´gicas para razonamiento con sentido comń . Ej: default logics.
o u

L´gica Difusa . Se pierde la nociń de lo verdadero y lo falso.Aparecen nociones
o o
intermedias. Ha tenido gran ´xito en la programaciń de controladores
e o
autom´ticos.
a

a 4

L´gicas Modales . Estas l´gicas tienen por objetivo expresar nociones de necesidad
o o
y posibilidad. Por ejemplo:
p signiﬁca “necesariamente p”.
♦p signiﬁca “posiblemente p”. Observemos que
♦p es equivalente a ¬ ¬p.

L´gicas multivaluadas : Se usan m´s de dos valores de verdad, para describir
o a
conceptos m´s all´ de lo verdadero y lo falso.
a a

a 5

Qué haremos en este curso
El objetivo es que estudiemos algunas l´gicas y veamos c´mo ´stas se relacionan
o o e
con la Ciencia de la Computaciń.
o

Temas:

1. L´gica Proposicional.
o

2. Demostraciń Mecńica de Teoremas.
o a

3. L´gica de Primer Orden.
o

4. Computabilidad y Complejidad Computacional.

5. Teor´
ıas.

6. Otras L´gicas.
o

a 6

Aspectos de Evaluación

• Tres interrogaciones, un examen.

• Tareas (alrededor de 7). La nota ﬁnal se calcula como

N F = 0.8P E + 0.2P T

, donde P T es el promedio de tareas y P E se calcula como:

I1 + I2 + I3 + 2EX − min(I1, I2, I3, EX)
PE = ,
4

en caso que P E ≥ 3.5 y P T ≥ 3.5. En caso contrario, la nota ﬁnal corresponder´
a
al m´
ınimo entre P E y P T :
°Una tarea computacional podr´ valer como dos tareas escritas.
a

a 7

Sintaxis versus Semántica

• La sintaxis se refiere a la forma en que escribimos el “lenguaje objeto”.

• Por ejemplo, si el lenguaje objeto es el lenguaje de programaciń C, entonces la
o
sintaxis del lenguaje indica que el siguiente programa es correcto:

i=0;
while (i < 10) {
printf("%d",i);
i++;
}

• Por otro lado, la semńtica tiene por objetivo identificar qu´ est´ expresando el
a e a
lenguaje objeto. Usualmente esto se realiza en un metalenguaje.

• En el ejemplo la semńtica en castellano del programa es, en t´rminos resumidos,
a e
una iteraciń que imprime los n´meros del 0 al 9.
o u

• En el caso de la l´gica tambiń haremos esta distinciń.
o e o

a 8

• Por ejemplo, seremos capaces de decir que la f´rmula de l´gica proposicional
o o

(p ∧ q)

tiene una sintaxis adecuada y que es verdadera cuando p y q lo son en forma
simult´nea.
a

a 9

L´ gica Proposicional (LP)
o

• Tal como su nombre lo indica, ´sta es una l´gica para representar proposiciones.
e o

• Una proposici´n en el castellano es, por ejemplo,
o
“El cielo es azul ”
esta es una proposici´n porque es un hecho. Adem´s este hecho es verdadero.
o a

• Las proposiciones en LP se representan con letras. Usualmente se usan las
letras p, q, r y s, posiblemente con sub´ ´
ındices. Estas se denominan variables
proposicionales.

a 10

Sintaxis para lógica Proposicional

• En LP se distinguen los siguientes elementos:
1. Constantes: , ⊥.
2. Conectivos unarios: ¬.
3. Conectivos binarios: ∧, ∨, →, ↔
4. S´
ımbolos de puntuaciń: (, ).
o
5. Un conjunto P , posiblemente infinito, de variables proposicionales.

• Mediante una combinaciń de estos elementos es posible definir cualquier lenguaje
o
de la l´gica proposicional.
o

• Dado un conjunto fijo P de variables, es posible definir un lenguaje proposicional
L(P ), que contiene todas las f´rmulas posibles a trav´s de la siguiente definiciń
o e o
inductiva:

a 11

Definiciń 1. El lenguaje L(P ) est´ formado por f´rmulas. Una f´rmula es:
o a o o
• una constante o un elemento de P (tambiń llamadas f´rmulas at´micas).
e o o
• Si ϕ es una f´rmula, entonces ¬ϕ tambiń es una f´rmula.
o e o
• Si ϕ y ψ son ambos f´rmulas, entonces
o

(ϕ ∧ ψ)
(ϕ ∨ ψ)
(ϕ → ψ)
(ϕ ↔ ψ)

Tambiń son formulas. Normalmente esto se anota como
e

(ϕ ∗ ψ)

ıcito que ∗ representa a cualquier conectivo l´gico binario.
. Y se hace expl´ o

• Dada la naturaleza de la definiciń, toda propiedad que queramos demostrar de
o
las f´rmulas, deber´ ser hecha de manera inductiva.
o a

• Ejercicio: Demuestre que ((p ∧ q) → q) es una f´rmula.
o

a 12

Convenciones

• Usualmente querremos evitar el uso de parńtesis cuando ´stos no sean necesarios.
e e
Es as´ como preferiremos escribir p ∧ q ∧ r en vez de ((p ∧ q) ∧ r).
ı

• Supondremos desde ahora que si una f´rmula carece de parńtesis se interpretar´
o e a
usando la siguiente convenciń: Se asocia por la izquierda, tomando en cuenta
o
al conectivo ¬ en primera prioridad, al conectivo ∧ en segunda prioridad, al
conectivo ∨ con tercera, y finalmente a los conectivos → y ↔.

• De esta manera, la f´rmula
o

p∧q∨s→p∨s

corresponde a la siguiente f´rmula:
o

(((p ∧ q) ∨ s) → (p ∨ s))

a 13

Definiciones y demostraciones que involucran a fórmulas

• El principio de inducciń es usado con dos fines:
o
• Definir conceptos/funciones asociados a f´rmulas.
o
• Demostrar propiedades generales del lenguaje.

• En t´rminos simples, para definir un concepto (o funciń) sobre las f´rmulas, hay
e o o
que definir todos los casos (base e inductivo).

• Formalmente, hay que hacer lo siguiente para definir el valor de una funciń f
o
para todas las f´rmulas de L(P ).
o
Caso base: se define el valor de f para las f´rmulas at´micas.
o o
Pasos inductivos: • Se define el valor de f (¬ϕ) en t´rminos del valor de f (ϕ)
e
• El valor de f ((ϕ ∗ ψ)) es especificado en t´rminos f (ϕ) y f (ψ), donde ∗ es un
e
conectivo binario.

• Esta forma de definir se conoce como principio de recursiń estructural.
o

a 14

Ejemplo de Inducción
• Ejemplo: la funci´n variables(ϕ) que cuenta el n´mero de variables
o u
proposicionales en ϕ se puede deﬁnir de la siguiente manera:
Caso base:

variables( ) = 0
variables(⊥) = 0
variables(p) = 1 (con p ∈ P )

Pasos inductivos:

variables(¬ϕ) = variables(ϕ)
variables(ϕ ∗ ψ) = variables(ϕ) + variables(ψ)

a 15

Semántica de la LP

• En la l´gica proposicional existen dos valores posibles para f´rmulas: verdadero
o o
y falso

• La semńtica nos debe proveer tres cosas:
a
1. Significado de las f´rmulas.
o
2. Nociń de verdad.
o
3. Nociń de consecuencia l´gica.
o o

• El punto 1 pasa por una especificaciń adecuada de parte del modelador de la
o
teor´
ıa.
As´ podemos decir que p significa “hoy sale el sol a las 7:12 am”. Por otro lado,
ı,
esto puede quedar claro en el mismo nombre de la variable.
Por ejemplo saleSol712am puede ser una variable proposicional que claramente
representa el mismo hecho.

• Para definir la nociń de verdad debemos, antes, definir el concepto de valuaciń
o o
o asignaciń de verdad .
o

a 16

Definiciń 2. Una valuaciń es una funciń σ : P → {0, 1}, que sirve para
o o o
asignar un valor de verdad a una variable.

Nota: Aqu´ estamos suponiendo que 0 representa al valor de verdad falso y 1 a
ı
verdadero.
Ejemplo: si P = {p, q}, entonces la funciń σ1 es una valuaciń definida por:
o o

σ1(p) = 1 (1)
σ1(q) = 0 (2)

• Por simplicidad usaremos el entero 1 para referirnos a verdadero y 0 para falso.

• N´tese que para un conjunto P hay 2|P | funciones de valuaciń distintas.
o o

• Esta definiciń ań no es suficiente, pues no tenemos una definiciń clara acerca
o u o
del valor de verdad de las f´rmulas del lenguaje.
o

a 17

Extendiendo la Semántica a Fórmulas
• Dada una asignaciń σ : P → {0, 1}, extenderemos la funciń a
o o

σ : L(P ) → {0, 1}.
ˆ

Si ϕ es una f´rmula proposicional, entonces:
o
• Si ϕ ∈ P entonces σ (ϕ) = σ(ϕ).
ˆ
• Si ϕ = entonces σ (ϕ) = 1.
ˆ
• Si ϕ = ⊥ entonces σ (ϕ) = 0.
ˆ
• Si ϕ = ¬ψ entonces σ (ϕ) = 1 − σ (ψ).
ˆ ˆ
• Si ϕ = ψ ∧ χ entonces σ (ϕ) = min(ˆ (ψ), σ (χ)).
ˆ σ ˆ
• Si ϕ = ψ ∨ χ entonces σ (ϕ) = max(ˆ (ψ), σ (χ)).
ˆ σ ˆ
• Si ϕ = ψ → χ entonces, si σ (ψ) = 0 entonces σ (ϕ) = 1, en caso contrario σ (ϕ) =
ˆ ˆ ˆ
σ(χ).
• Si ϕ = ψ ↔ χ entonces σ (ϕ) = 1 si σ (ψ) = σ (χ) y σ (ϕ) = 0 en caso contrario.
ˆ ˆ ˆ ˆ

• Por simplicidad, desde ahora en adelante, utilizaremos σ en vez de σ .
ˆ La
semńtica estar´ dada por el caso.
a a

a 18

• Esta misma definiciń se puede resumir a trav´s de una tabla de verdad:
o e

ϕ ψ ¬ϕ ϕ∧ψ ϕ∨ψ ϕ→ψ ϕ↔ψ
0 0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1

• Definiciń 3. Una formula ϕ es equivalente a otra f´rmula ψ si para toda
o o
valuaciń σ, σ(ϕ) = σ(ψ)
o

• Ejercicios:
Demuestre que las siguientes f´rmulas son equivalentes:
o
• (ϕ → ψ) y (¬ϕ ∨ ψ).
• ¬(ϕ ∧ ψ) y (¬ϕ ∨ ¬ψ).
• (ϕ ↔ ψ) y ((ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)).

a 19

Otros Conectivos

• Usualmente, en LP se utilizan otros conectivos l´gicos que estń descritos en
o a
funciń de los que ya definimos.
o

• En la siguiente tabla se muestran los m´s comunes.
a
S´
ımbolo Uso Equivalencia Descripciń
o
← a←b b→a condicional reverso
↓ a↓b ¬(a ∨ b) conocido como NOR, “ni a ni
b”
| a|b ¬(a ∧ b) conocido como NAND, “a
y b no son simultńeamente
a
verdaderos”
⊗ a⊗b (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b) conocido como XOR, “o bien
a o bien b, pero no ambos”

• Definiciń 4. Un conjunto de conectivos C es funcionalmente completo si
o
es posible definir a los conectivos estńdar, en funciń los otros.
a o

• Teorema 1. El conjunto {¬, ∧} es funcionalmente completo.

a 20

Demostraci´n: Sabemos que p ↔ q es equivalente a (p → q) ∧ (q → p) y que
o
(p → q) es equivalente a (¬p ∨ q), luego s´lo nos falta expresar ∨ en t´rminos de
o e
¬ y ∧.
En efecto p ∨ q es equivalente a ¬(¬p ∧ ¬q).

• Ejercicio: Demuestre que {↓} es un conjunto funcionalmente completo.

a 21

Formas Normales

• Las formas normales son formas sintćticas estńdares que pueden cumplir las
a a
f´rmulas.
o

• Estudiaremos dos: la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva.

• Veamos, antes, un par de definiciones.

Definiciń 5. Un literal es una variable proposicional o una variable
o
proposicional negada, o una constante ( o ⊥).

Definiciń 6. Una clúsula es una disyunciń de literales, es decir, es de la
o a o
n
forma i=0 li, donde cada li es un literal.
n
Una clúsula dual es una conjunciń de literales, es decir, es de la forma
a o i=0 li ,
donde cada li es un literal.

• Ahora, veamos qu´ son las formas normales.
e

a 22

Definiciń 7. Una f´rmula en forma normal conjuntiva (FNC) es una conjunciń
o o o
de clúsulas.
a

Ejemplo:
(p ∨ ¬q ∨ s) ∧ (⊥ ∨ s ∧ q) ∧ r

• Definiciń 8. Una f´rmula en forma normal disyuntiva (FND) es una disyunciń
o o o
de clúsulas duales.
a
Ejemplo:
(¬p ∧ ¬s) ∨ (r ∧ p)

• ¿Dada una f´rmula arbitraria φ, podremos construir, en forma mecńica, otra
o a
f´rmula χ equivalente en alguna de las formas normales? La respuesta es S´
o ı!

a 23

Traducción a FND
• Veamos el caso de llevar una f´rmula ϕ cualquiera a forma normal disyuntiva.
o
Supongamos que las variables que aparecen en ϕ son p1, p2, . . . , pn.
Una posibilidad es hacer lo siguiente:
1. Hacer una tabla de verdad.
2. Por cada fila en la cual la f´rmula es verdadera generar la conjunciń
o o

n
li ,
i=0

donde li = pi si en esa fila le corresponde valor 1, y li = ¬pi si en esa fila le
corresponde valor 0.
3. La formula final se arma con la disyunciń de las conjunciones generadas en el
o
punto anterior.

• ¿Qu´ problema tiene este m´todo?
e e

a 24

Traducción a FNC

• El m´todo que veremos a continuaciń tiene especial relevancia en demostraciń
e o o
mecńica de teoremas.
a

• Nuestro objetivo es transformar una f´rmula ϕ en una lista de disyunciones de
o
literales D1, D2, . . . , Dn tales que
n
ϕ equivalente a Di.
i=1

• El algoritmo es el siguiente:
1. Se comienza con X := ϕ .
2. Se repite la siguiente iteraciń: Suponemos que despu´s del paso n, X es una
o e
conjunciń de disyunciones representada por
o

D1, . . . , Dn

.

a 25

Si X no est´ en FNC, se selecciona un Di que no sea una disyunci´n de
a o
literales y se escoge un miembro N de la f´rmula que no sea un literal.
o
Reemplazar N usando las siguientes reglas:
(a) Si N es ¬ , reemplazarlo por ⊥.
(b) Si N es ¬⊥, reemplazarlo por .
(c) Si N es ¬¬Z, reemplazarlo por Z.
(d) Si N es (X ∨ Y ), reemplazarlo por X ∨ Y
(e) Si N es (X → Y ), reemplazarlo por ¬X ∨ Y
(f) Si N es ¬(X ∨ Y ), reemplazarlo por (¬X ∧ ¬Y )
(g) Si N es ¬(X ∧ Y ), reemplazarlo por ¬X ∨ ¬Y
(h) Si N es ¬(X → Y ), reemplazarlo por (X ∧ ¬Y )
(i) Si N es (X ∧ Y ), reemplazar la disyunci´n Di por otras dos en disyunciones
o
Di y Di en las cuales se reemplaza a N por X en Di y por Y en Di .

• Ejemplo:
Llevar a FNC la siguiente f´rmula
o

(¬p ∧ (q ∧ r)) → (q ∧ ¬r)

Partimos con la lista

a 26

(¬p ∧ (q ∧ r)) → (q ∧ ¬r)
Podemos seguir los siguientes pasos:

¬(¬p ∧ (q ∧ r)) ∨ (q ∧ ¬r)
p ∨ ¬(q ∧ r) ∨ (q ∧ ¬r)
p ∨ ¬(q ∧ r) ∨ (q ∧ ¬r)
p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ (q ∧ ¬r)
p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ q, p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ ¬r

Por lo tanto, la f´rmula equivalente es:
o

(p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ ¬r)

a 27

Fórmulas válidas y satisfacibles
Una f´rmula v´lida es aqu´lla que es satisfacible por toda valuaciń σ.
o a e o

Ejemplo:

p ∧ (p → q) → q

y

¬q ∧ (p → q) → ¬p

son f´rmulas v´lidas.
o a

A este tipo de f´rmulas tambiń se les llama tautolog´
o e ıas.

Definiciń 9. Una f´rmula es satisfacible si existe al menos una valuaciń que la
o o o
hace verdadera.

Esta definiciń se extiende para un conjunto de f´rmulas:
o o

a 28

Definiciń 10. Una conjunto de f´rmulas Σ es satisfacible si existe al menos una
o o
valuaciń σ que hace verdadera a todas las f´rmulas del conjunto.
o o

En este caso diremos que σ |= Σ

Un conjunto de f´rmulas que no se puede satisfacer (insatisfacible) se le conoce
o
como inconsistente

a 29

Consecuencia Lógica

• La consecuencia l´gica es el elemento que nos provee la semńtica para identificar
o a
cuńdo, a partir de un conjunto de f´rmulas (axiomas), que suponemos son
a o
verdaderos, es posible concluir otras f´rmulas que no estń en esta “base de
o a
conocimiento”.

• Definiciń 11. Si Σ es un conjunto de f´rmulas en L(P ) y ϕ es una f´rmula
o o o
particular en L(P ) entonces decimos que ϕ es consecuencia l´gica de Σ (Σ |= ϕ)
o
si y s´lo si,
o
para cada valuaciń σ tal que σ |= Σ, entonces σ(ϕ) = 1.
o
Ejemplos:

{p, p → q} |= {q}
{q, p → q} |= {p}

a 30

Resultados Acerca de la Consecuencia Lógica

• A partir de la nociń de consecuencia l´gica se pueden establecer resultados
o o
resultados interesantes.

• El primero establece que de una base de conocimiento inconsistente, es posible
deducir cualquier f´rmula de L(P ).
o
En efecto, si Σ ⊆ L(P ) es inconsistente no existe ninguna valuaciń que haga
o
verdadera, por lo que el antecedente de la “implicaciń en metalenguaje”:
o
si, para cada valuaciń σ tal que σ |= Σ, entonces σ(ϕ) = 1.
o
nunca se cumple, por lo que asumimos este argumento como verdadero para
todo ϕ ∈ L(P )

a 31

Consecuencia Lógica de un Conjunto Vacío de Fórmulas
• Supongamos que se cumple que

{} |= ϕ

• ¿Cuńdo se puede dar esto? ¿Cu´l es la intuiciń detr´s de esto?
a a o a

• Serń consecuencia l´gica de un conjunto vac´ de f´rmulas todas aquellas
a o ıo o
f´rmulas que son siempre verdaderas (las tautolog´
o ıas).

a 32

LP es una lógica monótona
• En t´rminos resumidos, este resultado signiﬁca que, a medida que se agregan
e
f´rmulas a una base de conocimiento, los hechos que se conclu´ a partir de la
o ıan
base original siguen siendo v´lidos.
a

• En t´rminos formales:
e
– Sean Σ1 y Σ2 dos conjuntos de f´rmulas tales que Σ1 ⊆ Σ2, entonces se cumple
o
que:
si Σ1 |= ϕ, entonces Σ2 |= ϕ

• Esta propiedad se conoce como monoton´ de la l´gica proposicional.
ıa o

• ¿Qu´ consecuencias tiene este teorema?
e

• ¿En que casos no es deseable esta propiedad?

a 33

Demostrando la Monotonía

• Sean Σ1 y Σ2 dos conjuntos de f´rmulas tales que Σ1 ⊆ Σ2 ⊂ L(P ). Adem´s,
o a
sea ϕ una f´rmula
o

• Supongamos que tenemos una valuaciń cualquiera, σ, tal que σ |= Σ2. Como
o
Σ1 ⊆ Σ2 tambiń tenemos que σ |= Σ1. Por definiciń de consecuencia l´gica,
e o o
σ |= ϕ. Obtenemos de inmediato que

Σ2 |= ϕ.

a 34

Teorema de Deducción

• El teorema de deducci´n es fundamental y de uso diario por los seres inteligentes.
o

• Formalmente dice lo siguiente:
Sea Σ ⊆ L(P ) entonces

Σ |= (ϕ → ψ) si y s´lo si Σ ∪ {ϕ} |= ψ
o

• Ejercicio: demu´strelo.
e

a 35

Relación entre Consistencia y Consecuencia Lógica

• Esta relaciń indica lo siguiente:
o

Σ |= ϕ si y s´lo si Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente
o

• Este teorema tiene gran relevancia en demostraciń mecńica de teoremas.
o a

• Demostraciń: (⇒)
o
• Caso 1: Sea σ tal que σ |= Σ.
Por definiciń de consecuencia l´gica, σ |= ϕ, luego σ |= ¬ϕ. Por lo que
o o

σ |= Σ ∪ {¬ϕ}

• Caso 2(trivial): Sea σ tal que σ |= Σ, entonces de inmediato tenemos que

σ |= Σ ∪ {¬ϕ}

(⇐) Sea σ una valuaciń cualquiera. Tenemos 2 casos que cumplen con la
o
hip´tesis.
o

a 36

Un ejemplo de Consecuencia Lógica

• Suponga la siguiente situaci´n:
o
En una cierta isla hay individuos de dos clases: aqu´llos que siempre dicen la
e
verdad, y aqu ellos que siempre mienten. Usted llega a esta isla y se encuentra
con tres habitantes A, B y C. Le pregunta a A “¿Usted dice la verdad o
miente?” A balbucea en un idioma desconocido para usted.
Luego le pregunta a B “¿que es lo que A dijo?”.
B responde, “A dijo que ´l es un mentiroso”.
e
C agrega, “No le creas a B, porque miente!”.
¿Qu´ se puede decir sobre A, B y C?
e

• Soluci´n: Ejercicio.
o

a 38

Teorema de Compacidad (o finitud)

• Usaremos este teorema para demostrar otras propiedades interesantes en el futuro.

• El teorema de compacidad dice lo siguiente:

Un conjunto Σ de f´rmulas de LP es contradictorio ssi tiene un subconjunto
o
finito que es contradictorio.

• Una forma alternativa de ver esto es:

Un conjunto Σ de f´rmulas de LP es satisfacible ssi todo subconjunto finito
o
de ´ste que es satisfacible.
e

• Demostraciń: La parte ⇒ es clara. (⇐) Es relevante s´lo el caso en que Σ es
o o
un conjunto infinito. Sea Σ un conjunto satisfacible finitamente.
y una enumeraciń de las f´rmulas de L(P )1 α1, α2, . . . ,
o o
Construimos una extensiń de Σ de la siguiente manera:
o
1
Una enumeraciń est´ compuesta por el conjunto de todas las f´rmulas proposicionales numeradas con un natural
o a o

a 39

∆0 = Σ
∆n−1 ∪ {αn} si este conjunto es satisfacible finitamente
∆n =
∆n−1 ∪ {¬αn} en otro caso

Sea ∆ la uniń de todos estos conjuntos. Es decir,
o

∆= ∆n
n

De esta manera, para cualquier f´rmula ϕ ∈ L(P ), ϕ ∈ ∆ o ¬ϕ ∈ ∆.
o
Ahora basta que que construyamos una asignaciń de verdad tal que para toda
o
f´rmula del tipo p (p ∈ P ) en ∆:
o

σ(p) = 1

y para toda f´rmula del tipo ¬p (p ∈ P ) en ∆:
o

σ(p) = 0

a 40

N´tese que todas las variables proposicionales aparecen directamente o negadas
o
en ∆.
No es dif´ demostrar por inducciń que, para toda f´rmula ϕ:
ıcil o o
σ(ϕ) = 1 ssi ϕ ∈ ∆
Como Σ ⊆ ∆, tenemos que σ |= Σ.

• El teorema de compacidad tiene varias consecuencias.

• Por ejemplo, si Σ es un conjunto infinito de f´rmulas, se cumple que
o

Σ |= ϕ

ssi hay un conjunto finito Σ0 tal que

Σ0 |= ϕ

.

a 41

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