1. Agenda
 Saludo
 Recordando
 Tema
 Objetivos
 Ejercicios
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2. Lenguajes de primer orden
Lógica deductiva: proposiciones y de predicados
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3. Objetivos
 Identificar los lenguajes de primer orden
 Comprender principios fundamentales de los
lenguajes de primer orden
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4. Reflexión
 Un hombre tras una gran penitencia religiosa y en pleno éxtasis, consigue
al fin una cita con El Ser Supremo:
 Señor. ¿Qué es para Vos un milenio?
 ¡Tan solo un segundo!
 ¿Y un millón de dólares?
 Un simple centavo.
 Señor. ¡Concédame un millón de dólares!
 ¡Espérame un segundo!
Anónimo
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5. Lógica deductiva
• Una buena manera de definir a la lógica es definirla
como el estudio o análisis de los métodos correctos
de razonamiento.
• El razonamiento deductivo se presenta en forma
de argumentos: listas de proposiciones
relacionadas de tal manera que la última, llamada
conclusión del argumento se sigue de las
anteriores, llamadas premisas del argumento. A
un lógico no le interesa si las premisas o
conclusión de un argumento son verdaderas o no,
lo importante para un lógico es si la verdad de la
conclusión se sigue de la verdad de las premisas.

6. Lenguajes de primer orden
• Los lenguajes de primer orden son, a su
vez, lenguajes formales con
cuantificadores que alcanzan sólo a
variables de individuo, y con predicados
y funciones cuyos argumentos son sólo
constantes o variables de individuo.
En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en
general, los cuantificadores son símbolos utilizados
para indicar cuántos elementos de un conjunto
dado cumplen con cierta propiedad.

7. Lógica de primer orden
• La lógica de primer orden, es un
sistema formal diseñado para
estudiar la inferencia en los
lenguajes de primer orden.
La noción de sistema formal se utiliza para
proporcionar una definición rigurosa del
concepto de demostración en lógica.

8. Lógica de proposiciones
• La lógica es toda una disciplina en la
que las reflexiones y el razonamiento
son fundamentales. Es estudiada
también por la filosofía, pero, aquí
nos referiremos por lógica a la Lógica
matemática. El elemento básico
sobre el que se desarrolla toda esta
teoría se llama proposición.

9. De modo que para un lógico
los siguientes dos argumentos son correctos:
(1) Todos los hombres son mortales
Sócrates es hombre
Luego, Sócrates es mortal.
(2) Todos los números son verdes
El 5 es un número
Luego, el 5 es verde.

10. Entonces
Supone que existen entidades individuales (objetos),
con características distintivas (propiedades), entre los
que puede haber relaciones de distintos tipos, algunas
de ellas funciones
Ejemplos de los elementos anteriores:
• objetos: gente, casas, números, colores, . . .
• propiedades: rojo, redondo, primo, . . .
• relaciones: hermano de, mayor que, . . .
• funciones: padre de, . . .

11. Ejemplo
• Antes de continuar es conveniente detenernos a pensar en lo
que generalmente se entiende por "proposición". Una
proposición es lo que se dice de algo. Lo esencial de una
proposición es que expresa algo que puede ser verdadero o
falso.
• Si consideramos la siguiente expresión en español:
«Asómate, luz de mis ojos, para admirar tu belleza«
vemos que no le podemos asignar un valor de verdad,
no viene sentido afirmar que sea verdadera o falsa.
Sin embargo, consideremos la siguiente expresión:
"México es la capital de China"
ésta es una oración de la cual podemos afirmar que es
falsa, por tanto es una proposición.

12. Ejercicio
Determine si las oraciones siguientes son proposiciones
o no:
• Todo ser de nariz larga es Pinocho.
• En un lugar de la Mancha, de cuyo
nombre no quiero acordarme.
• Robó, huyó y lo pescaron.
• Yo miento.
• Esta oración es falsa

13. Ejercicio
Determine si las oraciones siguientes son proposiciones o no:
1. La sal es un compuesto químico.
2. 10 < 14
3. 13 es un número impar.
4. 3–x=5
5. 45 + 5 = 30
6. ¿De que color es la pared?.

14. Ejercicio
1. La filosofía es triangular
2. 52 = 21
3. Todas las naranjas son amarillas
4. Alguna manzanas son rojas
5. Un rectángulo es una …grúa verde
6. La tierra es redonda
7. Tome dos aspirinas

15. La lógica proposicional tiene recursos expresivos
muy limitados:
- No permite identificar elementos que se
repiten dentro de las oraciones:
Frodo es un hobbit p
Sam es un hobbit q
Frodo tiene ojos azules r
Sam no tiene ojos azules ¬s
Sam es amigo de Frodo t
Frodo es amigo de Sam u

16. LOGICA DE PRIMER ORDEN
Los símbolos que se usan son los de: constante, predicado y
función, las variables, las conectivas lógicas, los cuantificadores,
la igualdad y los paréntesis
Ejemplos:
• Símbolos de constante: Rey Juan, 2, UJI, . . .
• Símbolos de predicado: Redondo, Hermano, >, . . .
• Símbolos de función: Coseno, Padre, Pierna
Izquierda De, . . .
• Variables: x, y, a, b, . . .
• Conectivas lógicas: ∧ ∨ ￢ =⇒ ⇔
• Cuantificadores: ∀ ∃
• Igualdad: =

17. La semântica de los símbolos de constante
especifica a que objeto se refieren siguiendo las
pautas:
• una constante se refiere a un solo
objeto puede haber dos constantes
haciendo referencia al mismo objeto
no es necesario nombrar todos los
objetos del universo
Semántica lógica, desarrolla una serie de
problemas lógicos de significación, estudia la
relación entre el signo lingüístico y la realidad.
Las condiciones necesarias para que un signo
pueda aplicarse a un objeto, y las reglas que
aseguran una significación exacta.

18. No todas las afirmaciones son
verdaderas
• La propiedad de las proposiciones de ser
verdadera o falsa se le llama valor de verdad.
• Las proposiciones se representan con letras
minúsculas, usualmente p, q, r, s, t,..
Ejemplo
• El sol sale de noche.
• 45 + 5 = 30

19. • Existen casos donde el sujeto del que se habla en la
proposición no está definido o no se conoce, por lo
que tiene una incógnita.
• A estos casos les llamamos frases proposicionales.
(Suele llamarles proposiciones abiertas)
• x + 12 = 20
• Alguien es un ingeniero famoso.
• Mi nombre es "fulano de tal"
• Tengo x dinero en el banco.

20. Clases de proposiciones
Proposiciones simples o atómicas:
Son aquellas que no se pueden fragmentar en
proposiciones menores.
• La luna es un satélite natural.
• Los dígitos son nueve.
• 4 es un número par.
• Todos los números impares son primos.
• Los pingüinos son aves.

21. Clases de proposiciones
• Proposiciones compuestas o moleculares:
Las proposiciones simples se pueden conectar, y construir
proposiciones llamadas compuestas. Ésta operación puede
hacer que cambie su valor de verdad.
• "Las rosas son rojas y las violetas azules " es un
enunciado compuesto por los sub enunciados
«las rosas son rojas» «las violetas son azules».
• « El es inteligente o estudia todas las noches« es,
implícitamente, un enunciado compuesto por los
subenunciados «El es inteligente» «estudia
todas las noches».

22. Leyes lógicas
Proposiciones conjuntivas, Proposiciones disyuntivas,
p^q p q
• Dos enunciados se combinan
• Dos enunciados cualesquiera con la palabra o para formar
se pueden combinar con la un enunciado compuesto
palabra y para formar un llamado la disyunción de los
enunciado compuesto llamado enunciados originales.
la conjunción de los • Simbólicamente, p q denota
enunciados originales. la disyunción de los
• Simbólicamente, p ^ q denota enunciados p y q, que se lee
la conjunción de los "p o q".
enunciados p y q, que se lee • El valor de esta proposición
"p y q". conjuntiva dependerá de que
• El valor de esta proposición las dos proposiciones que la
conjuntiva dependerá de que conforman sean no sean
las dos proposiciones que la falsas.
conforman sean verdaderas

23. Leyes lógicas
Proposiciones condicionales, Proposiciones bicondicionales,
p q p q
• Cuando se unen dos proposiciones
con el conectivo .entonces., se • Cuando se unen dos proposiciones
forma una proposición que solo es con el conectivo si y solo si, se
falsa si las primera es verdadera y forma una proposición que solo es
la segunda es falsa (solo en este falsa si las dos tienen valores de
orden). verdad diferentes.
• En las proposiciones condicionales • La proposición bicondicional p q
llamamos a la primera proposición es equivalente por su tabla de
que la compone antecedente y a la verdad a
segunda consecuente.
• Cuando el antecedente tiene una
relación directa con el consecuente
podemos utilizar el símbolo de la
implicación .

24. Leyes lógicas
Proposiciones negativas: p
Ejemplos:
• Aunque no es un conectivo • p : todo número impar es
lógico (como ;^; ; )
primo
genera nuevas
proposiciones con solo • p : no todo número
cambiarle el valor de verdad impar es primo
y se simboliza anteponiendo
a la letra de la proposición:
• q : 9 es menor que 6
• q : 9 no es menor que 6

25. LÓGICA DE PREDICADOS
Consideremos ahora el argumento clásico:
Todos los hombres son mortales
Sócrates es hombre
Luego, Sócrates es mortal.
Si tratamos de expresar este argumento en un lenguaje
formal de proposiciones como los estudiados, vemos que la
única manera de traducirlo es sustituyendo la primera
premisa por una letra proposicional, digamos A, la segunda
premisa como otra letra proposicional, digamos B y la
conclusión como una tercera letra proposicional, C. Es
evidente que C no es una consecuencia tautológica de A y
B, por lo que tenemos un argumento correcto que no es
rescatado por la lógica proposicional.

26. LÓGICA DE PREDICADOS

27. LÓGICA DE PREDICADOS
El lenguaje que nos va a permitir recoger todos
esos elementos es el de la lógica de
predicados, también llamada lógica
cuantificacional, lógica de relatores o, en
general, lógica de primer orden.
La lógica proposicional (L0) es sólo un parte de
esta lógica (L1). Podríamos seguir construyendo
sucesivos lenguajes lógicos (L2, L3 ...) que
recogiesen subsiguientes niveles de complejidad.

28. EL ALFABETO DE PREDICADOS
L1 mantiene en su lenguaje todas las conectivas lógicas de
proposiciones: ¬, , , ,
Pero en vez de constantes proposicionales, construye
expresiones más complejas por medio de símbolos para:
1. Individuos particulares
2. Propiedades y relaciones
3. Cuantificadores
4. Expresiones de identidad

29. EXPRESIONES PARA OBJETOS PARTICULARES
• Son aquellas expresiones que identifican un individuo, sea
persona, objeto, lugar...
• Las más típicas son los nombres propios “simples”:
• Fran, Manuel , Jose , Gabriela...
• Soyapango, San Salvador ...
• Pero a menudo identificamos los individuos por medio
de expresiones complejas, generalmente las descripciones
definidas.

30. EXPRESIONES PARA OBJETOS PARTICULARES
En muchos casos la expresión definida es nuestro mejor o
único modo de nombrar un objeto:
el dedo gordo del pie derecho de Paco
el loco más loco del pueblo
Las expresiones que nombran objetos particulares las
simbolizaremos por las letras:
a, b, c, ... (minúsculas)
o bien, para tener cuantos queramos:
a1, a2, a3 ...
Cada letra identifica a un individuo, de modo que si
simbolizamos Fran a , cada vez que aparezca Fran
emplearemos la misma letra individual: a

31. Existen expresiones con la construcción
ARTÍCULO DETERMINADO + SINTAGMA NOMINAL
que no nombran objetos individuales:
1. El troll de las cavernas golpeó con su maza
2. El troll de las cavernas es una criatura peligrosa
¿Son equivalentes las expresiones subrayadas?
• NO NECESARIAMENTE: 1 nombra a un individuo particular; pero 2 puede
referirse a la criatura como clase. 2 sería así típicamente equivalente a:
2’. Los trolls de las cavernas son criaturas peligrosas

32. PROPIEDADES Y RELACIONES
Son aquellas expresiones por las que decimos algo
de algún objeto (o conjunto de objetos) y de sus
relaciones con otros objetos.
Típicamente se identifican por medio de un verbo
que empleamos para predicar algo de cierto objeto:
... es valiente
... camina despacio
... es amigo de...
... está entre .... y ....

33. PROPIEDADES Y RELACIONES
Simbolizamos las expresiones predicativas por medio de
las letras:
P, Q, R, ...
o para tener un número ilimitado de predicados:
R1, R2, R3, ...
Con frecuencia se usa, como recurso mnemotécnico, la
inicial del verbo u otra palabra del predicado:
es hobbit H ama a A

34. PROPIEDADES Y RELACIONES
Ni los objetos particulares, ni las expresiones predicativas
dan lugar por sí solos a enunciados con valor de verdad.
Obtenemos éstos cuando combinamos ambos tipos de
expresiones, i.e., cuando completamos los “huecos” o
argumentos a que da lugar una expresión predicativa.
Llamamos:
MONARIOS a los predicados con un solo argumento:
_ es hobbit _ es valiente _ camina despacio
BINARIOS a los que tienen 2:
_ es amigo de _ _ odia a _ _ está en _
TERNARIOS a los que tienen 3:
_ está entre _ y _ _ prefiere _ a _

35. ALFABETO DE LA LÓGICA DEDUCTIVA
-Constantes individuales: a, b, c, a1...
términos
-Variables individuales:x, y, z, x1 ...
-Predicados o relatores: P, Q, R, R1 ...
-Cuantificadores: ,
-Identidad: =, ≠
-Conectivas: ¬, , , ,
-Auxiliares: ), (, ], [

36. • Consideremos para finalizar lógica
la simbológica que es común usar .
• Tomen en cuentan que deberán de
conocerla
Simbologías
 Teoría de conjuntos
 Lógica de proposiciones.
 Lógica de predicados.

37. Teoría de conjuntos
Símbolo Nombre se lee como
Delimitadores de conjunto el conjunto de ...
{,}
{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c
N = {0,1,2,...}
notación constructora de conjuntos el conjunto de los elementos ... tales
{:} que ...
{|} {x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es verdadera. {x | P(x)} es lo mismo que {x : P(x)}.
{n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4}
Conjunto vacío conjunto vacío
∅ {} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.
{} {n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}
Pertenencia de conjuntos en; está en; es elemento de; es
∈ miembro de; pertenece a
∉ a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjunto S
(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N
Subconjunto es subconjunto de
⊆ A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B
⊂ A ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B
A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
Unión de conjuntos la unión de ... y ...; unión
∪
A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellos de B, pero ningún otro.
A⊆B ⇔ A∪B=B
Intersección de conjuntos la intersección de ... y ...; intersección
∩
A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en común.
{x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}
Complemento de un conjunto menos; sin
A B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentran en B
{1,2,3,4} {3,4,5,6} = {1,2}

38. Lógica proposicional
Símbolo Nombre se lee como
Implicación material o en un solo implica; si .. entonces; por lo tanto
⇒ sentido
A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si B es verdadero entonces nada se dice
→ sobre A.
→ puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como se indica más abajo.
x = 2 ⇒ x² = 4 es verdadera, pero 4 = x² ⇒ x = 2 es, en general, falso (ya que x podría ser −2)
/ tal que ejemplo x/y se lee x tal que y
Doble implicación si y sólo si; sii, syss1
⇔ A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.
x+5=y+2 ⇔ x+3=y
↔
Conjunción lógica o intersección en y
∧ una reja
la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.todo es verdadero de
los valores
n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 cuando n es un número natural
Disyunción lógica o unión en una o
∨ reja
la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es
falsa.
n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural
Negación lógica no
¬ la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa.
una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado a la izquierda.
/ ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S ⇔ ¬(x ∈ S)

39. Lógica de predicados
Símbo Nombre se lee como
lo
Cuantificador universal para todos; para
∀ cualquier; para cada
∀ x : P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x
∀ n ∈ N: n² ≥ n
Cuantificador existe por lo menos
∃ existencial un/os
∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.
∃ n ∈ N: n + 5 = 2n
Cuantificador existe un/os único/s
∃! existencial con marca
de unicidad
∃! x : P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera.
∃! n ∈ N: n + 1 = 2
reluz tal que
: ∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.
∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

40. Lógica de proposiciones en
profundidad

41. Lógica de proposiciones
• La lógica proposicional es la más antigua y simple de las
formas de lógica. Utilizando una representación primitiva
del lenguaje, permite representar y manipular aserciones
sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional
permite el razonamiento, a través de un mecanismo que
primero evalúa sentencias simples y luego sentencias
complejas, formadas mediante el uso de conectivos
proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este
mecanismo determina la veracidad de una sentencia
compleja, analizando los valores de veracidad
asignados a las sentencias simples que la conforman.

42. Lógica de proposiciones
Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de
verdadero (V), o falso (F).
Por ejemplo:
Hoy es Viernes
Ayer llovió
Hace frío

43. Lógica de proposiciones
La lógica proposicional, permite la asignación de un valor
verdadero o falso para la sentencia completa, no tiene
facilidad par analizar las palabras individuales que
componen la sentencia.
Por este motivo, la representación de las sentencias
del ejemplo, como proposiciones, sería:
hoy_es_Viernes
ayer_llovió
hace_frío

44. Lógica de proposiciones
La proposiciones pueden combinarse para expresar
conceptos más complejos. Por ejemplo:
hoy_es_Viernes y hace_frío
A la proposición anterior dada como ejemplo, se la denomina fórmula
bien formada (well-formed formula, wff). Una fórmula bien formada
puede ser una proposición simple o compuesta que tiene sentido
completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado.
La lógica proposicional proporciona un
mecanismo para asignar valores de
veracidad a la proposición compuesta,
basado en los valores de veracidad de
las proposiciones simples y en la
naturaleza de los conectores lógicos
involucrados.

45. Lógica de proposiciones
Las tablas de verdad para las operaciones básicas, se muestran
NOMBRE CONECTOR SÍMBOLO
Conjunción AND ^
Disyunción OR v
Negación NOT ~
Implicación If-Then =>
Equivalencia Igual =

46. Lógica de proposiciones
Conectores básicos de la lógica proposicional
p q Disyunción Conjunción Negación Implicación Equivalencia
pvq p^q ~p p => q p=q
V V V V F V V
V F V F F F F
F V V F V V F
F F F F V V V

47. Lógica de proposiciones
El conectador de implicación, puede ser considerado como un condicional expresado
de la siguiente forma: Si A => B va a ser verdadero,
entonces toda vez que A sea verdadero, B debe ser siempre verdadero.
Para los casos en los cuales A es falso, la expresión A => B, es siempre
verdadera, independientemente de los valores lógicos que tome B, ya que el
operador de implicación no puede hacer inferencias acerca de los valores de B.