Vectores

1. Vectores espaciales

2. • Conjunto de todas las n-plas de números reales, denotado por Rn, recibe
el nombre de n-espacio.
• Una n-pla particular en Rn, digamos u= (u1, u2,… un) se denomina punto o
vector; los números reales u1 son las componentes (o coordenadas) del
vector u.
• Además, al discutir el espacio Rn, utilizamos el término escalar para
designar a los elementos

3. SUMA DE VECTORES
Sean u y v vectores en Rn :
u= (u1, u2,… un) y v = (v1, v2,… vn)
Entonces:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2,… un + vn)
Ejemplo:
u= (7, -5, 4) v = (8, 2, -3)
u + v = (7 + 8, -5 + 2, 4 -3)
u + v = (15, -3,1)

4. El producto de un número real k por un vector u, es el vector
obtenido multiplicando cada componente de u por k
ku = (ku1, ku2,… , kun)
ku = 5 (3, -1, -2)
ku = (15, -5, -10)

5. Las propiedades
básicas de
vectores en Rn en
suma vectorial y
producto por un
escalar
Para vectores
arbitrarios u, v, w k(u + v) =
(u + v) + w = u Rn y escalares ku + kv
+ (v + w) k, k R
u
u+0= (k + k’)u =
ku + k’u
u + (-u) = (kk´)u = k(k’u)
0
u+v=v 1u = u
+u

6. COMBINACIONES
LINEALES
Un vector v es una combinación lineal de vectores u= u1, u2,… un si existen escalares k =
k1, k2,… , kn tales que
v = k1u1 + k2u2 + … knun
esto es, si la ecuación vectorial
v= x1u1 + x2u2 + … + xnun
Escribir vector v = (1, -6, 5) como combinación lineal de los vectores u1= (1,2,3), u2= (2,5,8) y u3=
(3,2,3)
(1, -6,5) = x (1,2,3) + y (2,5,8) + z (3,2,3)
• X + 2y + 3z = 1
• 2x + 5y + 2z = -6
• 3x + 8y + 3z = 5

7. Si el sistema homogéneo Si el sistema tiene sólo
tiene una solución no nula solución nula se dice que
se dice que los vectores los vectores son
u= (u1, u2,… un) son linealmente
linealmente dependientes independientes

8. Sean u y v vectores de Rn:
•u = (u1, u2, … un) y v = (v1, v2, … vn)
•u ∙ v = u1v1, u2v2, … unvn
Sean u = (1, -2, 3) y v = (-4, 5, 6)
•u ∙ v = (1∙ -4) + (-2 ∙ 5) + (3 ∙ 6)
•u ∙ v = -4, -10, 18
Para vectores arbitrarios u, v, w ε Rn y cualquier escalar k
εR
•(u + v) ∙ w= u ∙ w + v ∙ w
•(ku) ∙ v = k(u ∙ v)
•u ∙ v= v ∙ u
•u ∙ u ≥ 0, y u ∙ u = 0 si y sólo si u = 0

9. La norma (o longitud) del vector
u, escrito ||u||, se define como la
raíz cuadrada no negativa de u ∙
u:
||u|| = =
Sea u = (8, -2, 3)
||u|| =
||u|| =

10. Ahora si u es cualquier vector no
nulo, û=
entonces:
Sea u = (8, -2, 3)
û= , ,

11. La distancia entre u y v, denotada d(u, v), se
define como:

12. Para hallar: =
Entonces =
Sean u = (8, -2, 3)
v = (-1, -3, 4)

13. La
proyección • u = (8, -2, 3)
(vectorial) de Proy (u, v)= ∙v Sean
• v = (-1, -3, 4) ∙ (-1, -3, 4)
u sobre v es
el vector

14. Sea D un intervalo (finito o infinito) en la recta real R. Una función continua F:
D⟶Rn es una curva en Rn. De este modo, a cada t ε D se le asigna el siguiente
punto (vector) en Rn :
F(t)= [F1(t), F2(t),… Fn(t)]
Aún más, la derivada que es la tangente a
de F(t) (si existe) la curva, y la
proporciona el vector normalización de V(t)
• dF(t) dt= conduce a
[dF1(t) dt, dF2(t) dt,…
dFn(t) dt]

15. Los vectores en R3, denominados espaciales, se expresan:
i = (1, 0, 0) denota el vector unitario en la dirección x
j= (0. 1, 0) denota el vector unitario en la dirección y
k = (0,0, 1) denota el vector unitario en la dirección z
SEAN:
u = a1i + a2j + a3k v = b1i + b2j + b3k
ENTONCES:
(u + v)=(a1 + b1)i + (a2+ b2)j + (a3 + b3)k

16. Las diversas operaciones vectoriales se pueden emplear
con vectores espaciales:
u + v=(a1 + b1)i + (a2+ b2)j + (a3 + b3)k
u ∙ v = a1b1 + a2b2 + a3b3
cu = ca1i + ca2j + ca3k
u x v = (a2b3 – a3b2)i + (a3b1 – a1b3)j + (a1b2 – a2b1)k

17. La igualdad, suma y producto de números complejos se definen así:
Z = a + bi Z = 4 + 6i
w = c + di w = 8 - 7i
Z + w = (a + c) + (b + d)i Z + w = 12 - i
Z ∙ w = (ac - bd) + (bc + ad)i
Z ∙ w = 74 + 20i

18. Vectores en C
El conjunto de todas las n-plas de
números complejos, denotado por Cn
n-espacio complejo
Sea:
• u = 4 + 2i, 7 – 8i, -6
• v= 3 + 5i, 4i, 3 + 4i
(u ∙ v) =(4 + 2i) + (7 -8i) + (-6)
•(u ∙ v) = (4 + 2i)(3 -5i) + (7 – 8i)(-4) + (-6)(3 -4i)
•(u ∙ v) = -28 – 18i