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Espacios Vectoriales
Wilson Guzmán (U. de Cuenca)
December 14, 2022
Wilson Guzmán (U. de Cuenca) Espacios Vectoriales December 14, 2022 1 / 75

Vectores en el Plano

Un vector es caracterizado por dos cantidades (longitud y sentido) y
es representado por un segmento de recta dirigido.
Sus representaciones geométricas le ayudarán a comprender la
definición más general de un vector.
Un vector en el plano se representa geométricamente por un
segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen y cuyo
punto terminal es el punto (x1, x2), como se muestra en la siguiente.

Este vector se representa por el mismo par ordenado usado para
representar su punto terminal. Es decir, x = (x1, x2). Las coordenadas
x1 y x2 se denominan componentes del vector x.
Dos vectores en el plano u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son iguales si y
sólo si u1 = v1 y u2 = v2.

Ejemplo: Vectores en el Plano
Use un segmento de recta dirigido para representar los siguientes vectores
en el plano. (a) u = (2, 3) (b) v = (−1, 2)

Operaciones Vectoriales
La primera operación vectorial básica es la suma vectorial. Para sumar
dos vectores en el plano se suman sus componentes correspondientes. Es
decir, la suma de u y v es el vector definido por
u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) .
Geométricamente, la suma de dos vectores en el plano puede
representarse como la diagonal de un paralelogramo que tiene a u y v
como sus lados adyacentes, como se muestra en la siguiente figura:

Ejemplo: Suma de Vectores en el Plano
Determine la suma de los vectores.
a. u = (1, 4), v = (2, −2)
b. u = (3, −2), v = (−3, 2)
c. u = (2, 1), v = (0, 0)
Uno de los vectores que usted puede sumar es el vector (0, 0), llamado
vector cero o nulo. Este vector se denota con 0.
a. u + v = (1, 4) + (2, −2) = (3, 2)
b. u + v = (3, −2) + (−3, 2) = (0, 0) = 0
c. u + v = (2, 1) + (0, 0) = (2, 1)

Ejemplo: Suma de Vectores en el Plano
a. u + v = (1, 4) + (2, −2) = (3, 2)
b. u + v = (3, −2) + (−3, 2) = (0, 0) = 0
c. u + v = (2, 1) + (0, 0) = (2, 1)

Multiplicación Escalar
La segunda operación vectorial fundamental se denomina multiplicación
escalar. Para multiplicar un vector v por un escalar c, cada una de las
componentes de v se multiplica por c. Es decir,
cv = c (v1, v2) = (cv1, cv2)
Por ejemplo, si el vector v se multiplica por 2 , entonces el vector
resultante 2v es un vector que tiene la misma dirección que v y dos veces
su longitud.

Multiplicación Escalar
El producto de un vector v por el escalar −1 se denota por
−v = (−1)v
El vector −v se denomina negativo de v.
La diferencia de u y v se define como
u − v = u + (−v)
y se dice que v se ha restado de u.

Taller: Operaciones con vectores en el plano
Dados v = (−2, 5) y u = (3, 4), encuentre los siguientes vectores
a. 1
2v
b. u − v
c. 1
2v + u

Taller: Operaciones con vectores en el plano
a. Como v = (−2, 5), 1
2v = 1
2(−2), 1
2(5)

= −1, 5
2

.
b. Por la definición de resta vectorial, se tiene,
u − v = (3 − (−2), 4 − 5) = (5, −1).
c. Utilizando el resultado del inciso (a),
1
2v + u = −1, 5
2

+ (3, 4) = 2, 13
2

.

Vectores en Rn
El análisis de los vectores en el plano puede extenderse al análisis de
vectores en el espacio n-dimensional. Un vector en el espacio-n se
representa por una n-ada ordenada.
Por ejemplo, una tercia ordenada es de la forma (x1, x2, x3), una
cuádrupla ordenada tiene la forma (x1, x2, x3, x4) y una n-ada ordenada
general es de la forma (x1, x2, x3, . . . , xn). El conjunto de todas la n-adas
se denomina espacio n-dimensional y se denota por Rn.
R1 = espacio 1-dimensional = conjunto de todos los números reales
R2 = espacio 2-dimensional = conjunto de todos los pares ordenados de
números reales
R3 = espacio 3 -dimensional = conjunto de todas las tercias ordenadas
de números reales
Rn .
= espacio n-dimensional = conjunto de todas la n-adas ordenadas de
números reales

Vectores en Rn
Una n-ada (x1, x2, x3, . . . , xn) puede ser vista como un punto en Rn con
los xi como sus coordenadas.
O puede ser visto como un vector
x = (x1, x2, x3, . . . , xn) Vector en Rn
con los xi como sus componentes.
Al igual que con los vectores en el plano (o R2 ), dos vectores en Rn son
iguales si y sólo si los componentes correspondientes son iguales.
En el caso de n = 2 o n = 3, la notación familiar (x, y) o (x, y, z) se usa
ocasionalmente
A continuación se definen la suma de dos vectores en Rn y el múltiplo
escalar de un vector en Rn. Estas operaciones se denominan operaciones
estandar en Rn
.

Vectores en Rn
A continuación se definen la suma de dos vectores en Rn y el múltiplo
escalar de un vector en Rn.
Estas operaciones se denominan operaciones estándar en Rn
.
Definición de suma vectorial y multiplicación escalar en Rn
Sean u = (u1, u2, u3, . . . , un) y v = (v1, v2, v3, . . . , vn) vectores en Rn y sea
c un número real. Entonces la suma de u y v se define como el vector
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, . . . , un + vn)
y el múltiplo escalar de u por c se define como el vector
cu = (cu1, cu2, cu3, . . . , cun)

Vectores en Rn
Ası́ como el espacio bidimensional, el negativo de un vector en Rn se
define como
−u = (−u1, −u2, −u3, . . . , −un)
y la diferencia de dos vectores en Rn se define como
u − v = (u1 − v1, u2 − v2, u3 − v3, .., un − vn)
El vector cero en Rn se denota por 0 = (0, 0, . . . .0)

Taller: Operaciones vectoriales en Rn
1) Dados u = (−1, 0, 1) y v = (2, −1, 5) en R3, encuentre los siguientes
vectores
a. u + v
b. 2u
c. v − 2u
2) Sean u = (2, −1, 5, 0), v = (4, 3, 1, −1) y w = (−6, 2, 0, 3) vectores en
R4. Encuentre el valor de x.
a. x = 2u − (v + 3w)
b. 3(x + w) = 2u − v + x

Espacios y Subespacios Vectoriales

Definición de un espacio vectorial
Sea V un conjunto no vacı́o de vectores sobre el que están definidas dos
operaciones (la suma vectorial y la multiplicación escalar). Si los siguientes
axiomas se cumplen para todo u, v y w en V y todo escalar (número real)
c y d, entonces V se denomina espacio vectorial.
Suma:
1. u + v esta en V (es un vector en Rn) Cerradura bajo la adición
2. u + v = v + u Propiedad conmutativa
3. u + (v + w) = (u + v) + w Propiedad asociativa
4. V contiene un vector cero
tal que para todo u en V , u + 0 = u Idéntico aditivo
5. Para cada u en V , hay un vector en V
denotado por −u tal que
u + (−u) = 0 Inverso aditivo

Sea V un conjunto no vacı́o de vectores sobre el que están definidas dos
operaciones (la suma vectorial y la multiplicación escalar). Si los siguientes
axiomas se cumplen para todo u, v y w en V y todo escalar (número real)
c y d, entonces V se denomina espacio vectorial.
Multiplicación escalar:
6. cu esta en V Cerradura bajo la multiplicación escalar
7. c(u + v) = cu + cv Propiedad distributiva
8. (c + d)u = cu + du Propiedad distributiva
9. c(du) = (cd)u Propiedad asociativa
10. 1(u) = u Idéntico escalar
Cualquier conjunto que satisface estas propiedades (o axiomas) se
denomina espacio vectorial y los elementos del conjunto se denominan
vectores.

Es importante advertir que un espacio vectorial consta de cuatro
elementos: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares y dos
operaciones.
Cuando se refiera a un espacio vectorial V , asegúrese de que los cuatro
elementos estén claramente expresados o entendidos.
A menos de que se afirme otra cosa, se supone que el conjunto de
escalares es el conjunto de los números reales.

Ejemplo: R2
con las operaciones estándar es un espacio
vectorial
Determine si V =

x
y

| x y y ∈ V } es un espacio vectorial.
El conjunto de todos los pares ordenados de números reales en R2 con las
operaciones estándar es un espacio vectorial.
Para comprobar lo anterior, considere de nuevo las propiedades o axiomas
de la suma vectorial y la multiplicación escalar
Los vectores en este espacio tienen la forma
u = (x, y)
Verifique los 10 axiomas para:
u = (2, 3), v = (−1, 2), w = (3, −1), c = 2 y d = −1

Ejemplo: R2
vectorial
Determine si V =

x
y

| x y y ∈ V } es un espacio vectorial.
El conjunto de todos los pares ordenados de números reales en R2 con las
operaciones estándar es un espacio vectorial.
Para comprobar lo anterior, considere de nuevo las propiedades o axiomas
de la suma vectorial y la multiplicación escalar
Los vectores en este espacio tienen la forma
u = (x, y)
Verifique los 10 axiomas para:
u = (2, 3), v = (−1, 2), w = (3, −1), c = 2 y d = −1

Ejemplo: Espacio Vectorial
V = {1}
x → 1
y → 1
Está x + y ∈ V ?
1 + 1 = 2 /
∈ V

Ejemplo: Rn
vectorial
El conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales en Rn con
las operaciones normales es un espacio vectorial.
Esto se comprueba considerando las propiedades o axiomas de la suma
vectorial y la multiplicación escalar.
Los vectores en este espacio son de la forma
v = (v1, v2, v3, . . . , vn)

Ejemplo: El espacio vectorial de todas las matrices de 2 × 3
Demuestre que el conjunto de todas las matrices de 2 × 3 con las
operaciones de suma de matrices y multiplicación escalar es un espacio
vectorial.
Si A y B son matices de 2 × 3 y c es un escalar, entonces A + B y cA
también son matrices de 2 × 3.
Por consiguiente, el conjunto es cerrado bajo la suma de matrices y la
multiplicación escalar. Además, los otros ocho axiomas de los espacios
vectoriales se concluyen directamente.
Por tanto, puede concluir que el conjunto es un espacio vectorial. Los
vectores en este espacio tienen la forma
a = A =

a11 a12 a13
a21 a22 a23


Taller: Espacio Vectorial
Determine si V =

x
y

| y = mx + 1

es un espacio vectorial.

Taller: Espacio Vectorial
Determine si V =

x
y

| y = mx + 1

es un espacio vectorial.
u → y1 = mx1 + 1
v → y2 = mx2 + 1
u + v = mx1 + 1 + nx2 + 1
u + v = m (x1 + x2) + 2 /
∈ V

Subespacios Vectoriales
En muchas de las aplicaciones importantes del álgebra lineal los espacios
vectoriales ocurren como subespacios de espacios más grandes.
Por ejemplo, veremos que el conjunto solución de un sistema homogéneo
de ecuaciones lineales en n variables es un subespacio de Rn.
Un subconjunto no vacı́o de un espacio vectorial es un subespacio si es
un espacio vectorial (con las mismas operaciones definidas en el espacio
vectorial original), como se establece en la siguiente definición.
Definición de subespacio de un espacio vectorial
Un subconjunto no vacı́o W de un espacio vectorial se denomina
subespacio de V si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma
y multiplicación escalar definidas en V .

Ejemplo: Un subespacio de R3
Demuestre que el conjunto
W = {(x1, 0, x3) : x1 y x3 son números reales} es un subespacio de R3
con las operaciones estándar.
Gráficamente, el conjunto W puede interpretarse como simplemente el
plano xz, como se muestra en la siguiente figura:

Ejemplo: Un subespacio de R3
El conjunto W es cerrado bajo la suma porque la suma de dos vectores
cualesquiera en el plano xz también debe estar en el plano xz.
Es decir, si (x1, 0, x3) y (y1, 0, y3) pertenecen a W , entonces la suma
(x1 + y1, 0, x3 + y3) también está en W (dado que la segunda
componente es cero).
De manera similar, para ver que W es cerrado bajo la multiplicación
escalar, sea (x1, 0, x3) que está en W y sea c un escalar.
Entonces c (x1, 0, x3) = (cx1 , 0, cx3) tiene al cero como segunda
componente y, por tanto, debe pertenecer a W .
La verificación de los otros ocho axiomas que definen los espacios
vectoriales se le deja como Taller.

Subespacios Vectoriales
Para establecer que un conjunto W es un espacio vectorial es necesario
verificar las 10 propiedades de los espacios vectoriales. Sin embargo, si W
es un subconjunto de un espacio vectorial V más grande, entonces casi
todas las 10 propiedades son heredadas del espacio más grande, por lo
que no es necesario verificarlas.
El siguiente teorema establece que basta comprobar la cerradura para
establecer que un subconjunto no vacı́o de un espacio vectorial es un
subespacio.
Prueba para un subespacio
Si W es un subconjunto no vacı́o de un espacio vectorial V , entonces W
es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones de
cerradura.
1 Si u y v están en W , entonces u + v está en W .
2 Si u está en W y c es cualquier escalar, entonces cu está en W .

Ejemplo: El subespacio de M2,2
Sea W el conjunto de todas las matrices simétricas de orden 2.
Demuestre que W es un subespacio del espacio vectorial M2,2 con las
operaciones estándar de suma vectorial y multiplicación escalar.
Recuerde que una matriz es simétrica si es igual a su propia transpuesta.
Como M2,2 es un espacio vectorial, sólo necesita demostrar que W (un
subconjunto de M2,2 ) satisface las condiciones del teorema de la Prueba
para un subespacio

Ejemplo: El subespacio de M2,2
Comience por observar que W es no vacı́o. W es cerrado bajo la suma
porque A1 = A1 y A2 = AT
2 , lo que implica que
(A1 + A2)T
= AT
1 + AT
2 = A1 + A2.
Por tanto, si A1 y A2 son matrices simétricas de orden 2, entonces
también lo es A1 + A2.
De manera similar, W es cerrado bajo la multiplicación escalar porque
A = At implica que (cA)t = cAt = cA. Si A es una matriz simétrica de
orden 2, entonces también lo es cA.
Es posible generalizar el resultado del ejemplo 2. Es decir, para cualquier
entero positivo n, el conjunto de las matrices simétricas de orden n es un
subespacio del espacio vectorial Mn,n con las operaciones estándar.

Ejemplo: Determinación de subespacios de R2
¿Cuál de estos dos subconjuntos es un subespacio de R2 ?
a. El conjunto de puntos de la recta dada por x + 2y = 0
b. El conjunto de puntos en la recta dada por x + 2y = 1

a. Al despejar x se observa que un punto en R2 está en la recta
x + 2y = 0 si y sólo si es de la forma (−2t, t), donde t es cualquier
número.
Para demostrar que este conjunto es cerrado bajo la suma, sean
v1 = (−2t1, t1) y v2 = (−2t2, t2) dos puntos cualesquiera de la recta.
Entonces, se tiene
v1 + v2 = (−2t1, t1) + (−2t2, t2) = (−2 (t1 + t2) , t1 + t2) = (−2t3, t3)
donde t3 = t1 + t2.
Por tanto, v1 + v2 está en la recta y el conjunto es cerrado bajo la suma.
De manera semejante se puede demostrar que el conjunto es cerrado bajo
la multiplicación escalar. Por tanto, este conjunto es un subespacio de
R2.

b. Este subconjunto de R2 no es un subespacio de R2 ya que todo
subespacio debe contener el vector cero (0, 0) y el vector cero (0, 0) no
pertenece a la recta x + 2y = 1.

Subespacios de R2
De las dos rectas del ejemplo anterior, la que es un subespacio de R2 es
la que pasa por el origen.
Esto es caracterı́stico de los subespacios de R2. Es decir, si W es un
subconjunto de R2, entonces es un subespacio si y sólo si se cumple una
de las siguientes proposiciones:
1. W consta sólo del punto (0, 0)
2. W consta de todos los puntos sobre una recta que pasa por el origen.
3. W consta de todo R2.

Dependencia e Independencia Lineal

Combinaciones Lineales de Vectores
En esta sección se comienzan a desarrollar los procedimientos para
representar cada vector en un espacio vectorial como una combinación
lineal de un número selecto de vectores en el espacio.
Definición de combinación lineal de vectores
Un vector v en un espacio vectorial V se denomina combinación lineal de
los vectores u1, u2, . . . , uk en V si v puede expresarse en la forma
v = c1u1 + c2u2 + · · · + ckuk
donde c1, c2, . . . , ck son escalares.
A menudo, uno o más vectores en un conjunto dado pueden expresarse
como combinaciones lineales de otros vectores en el conjunto. Esta
posibilidad se ilustra con los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1: Combinaciones Lineales de Vectores
Para el siguiente conjunto de vectores en R3,
S = {(1, 3, 1), (0, 1, 2), (1, 0, −5)}
v1 es una combinación lineal de v2 y v3 porque
v1 = 3v2 + v3 = 3(0, 1, 2) + (1, 0, −5) = (1, 3, 1)

Ejemplo: Combinaciones Lineales de Vectores
Para el siguiente conjunto de vectores en M2,2,
S =

0 8
2 1

,

0 2
1 0

,

−1 3
1 2

,

−2 0
1 3

v1 es una combinación lineal de v2, v3, y v4 porque
v1 = v2 + 2v3 − v4
=

0 2
1 0

+ 2

−1 3
1 2

−

−2 0
1 3

=

0 8
2 1

.
En los ejemplo anteriores fue fácil verificar que uno de los vectores en el
conjunto S es una combinación lineal de los otros vectores, porque se
contaba con los coeficientes adecuados para formar la combinación lineal.
En el siguiente ejemplo se muestra un procedimiento para determinar los
coeficientes.

Ejemplo: Determinación de una combinación lineal
Escriba el vector w = (1, 1, 1) como una combinación lineal de vectores
en el en el conjunto S.
S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 0, 1)}
Es necesario encontrar escalares c1, c2 y c3 tales que
(1, 1, 1) = c1(1, 2, 3) + c2(0, 1, 2) + c3(−1, 0, 1)
= (c1, 2c1, 3c1) + (0, c2, 2c2) + (−c3, 0, c3)
= (c1 − c3, 2c1 + c2, 3c1 + 2c2 + c3) .
Al igualar las componentes correspondientes resulta el siguiente sistema
de ecuaciones lineales.
c1 − c3 = 1
2c1 + c2 = 1
3c1 + 2c2 + c3 = 1

Ejemplo: Determinación de una combinación lineal
Usando la eliminación de Gauss-Jordan, la matriz aumentada de este
sistema se reduce por renglones a


1 0 −1 1
0 1 2 −1
0 0 0 0


Ası́, este sistema tiene un número infinito de soluciones, cada una de la
forma
c1 = 1 + t, c2 = −1 − 2t, c3 = t.
Para obtener una solución, podrı́a hacerse que t = 1. Entonces,
c3 = 1, c2 = −3yc1 = 2, y se tiene que
w = 2v1 − 3v2 + v3.
Otras elecciones para t producen otras maneras de expresar w como una
combinación lineal de v1, v2 y v3.

Taller: Determinación de una combinación lineal
Si es posible, exprese el vector
w = (1, −2, 2)
como una combinación lineal de vectores en el conjunto S dado en el
ejemplo anterior.

Taller: Determinación de una combinación lineal
Siguiendo el procedimiento dado en el ejemplo anterior, se obtiene el
sistema
c1 − c3 = 1
2c1 + c2 = −2
3c1 + 2c2 + c3 = 2
La matriz aumentada de este sistema se reduce a


1 0 −1 0
0 1 2 0
0 0 0 1


A partir del tercer renglón se concluye que el sistema de ecuaciones es
inconsistente y, por tanto, no hay solución. Ası́ que w no puede
expresarse como una combinación lineal de v1, v2, y v3

Dependencia Linea e Independencia Lineal
Para un conjunto de vectores
S = {v1, v2, . . . , vk}
en un espacio vectorial V , la ecuación vectorial
c1v1 + c2v2 + · · · + ckvk = 0
siempre tiene la solución trivial
c1 = 0, c2 = 0, . . . , ck = 0.
Sin embargo, a menudo también hay soluciones no triviales. Ası́, en el
ejemplo 1(a) se vio que en el conjunto
S = {(1, 3, 1), (0, 1, 2), (1, 0, −5)}
el vector v1 puede expresarse como una combinación lineal de los otros
dos como se muestra a continuación.
v1 = 3v2 + v3

La ecuación vectorial
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0
tiene una solución no trivial en la cual no todos los coeficientes son
iguales a cero:
c1 = 1, c2 = −3, c3 = −1.
Esta caracterı́stica se describe al decir que el conjunto S es linealmente
dependiente.
Si la única solución hubiese sido la trivial (c1 = c2 = c3 = 0), entonces el
conjunto S serı́a linealmente independiente.
Este concepto es esencial en álgebra lineal, por lo que se plantea
formalmente en la siguiente definición.

Definición de dependencia lineal e independencia lineal
Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} en un espacio vectorial V se
denomina linealmente independiente si la ecuación vectorial.
c1v1 + c2v2 + · · · + ckvk = 0
tiene solamente la solución trivial,
c1 = 0, c2 = 0, . . . , ck = 0.
Si también hay soluciones no triviales, entonces S se denomina
linealmente dependiente.

Ejemplos de conjuntos linealmente dependientes
a. El conjunto S = {(1, 2), (2, 4)} en R2 es linealmente dependiente
porque
−2(1, 2) + (2, 4) = (0, 0).
b. El conjunto S = {(1, 0), (0, 1), (−2, 5)} en R2 es linealmente
dependiente porque
2(1, 0) − 5(0, 1) + (−2, 5) = (0, 0).
c. El conjunto S = {(0, 0), (1, 2)} en R2 es linealmente dependiente
porque
1(0, 0) + 0(1, 2) = (0, 0)

Ejemplo: Comprobación de independencia lineal
Determine si el siguiente conjunto de vectores en R3 es linealmente
dependiente o independiente.
S = {v1, v2, v3} = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−2, 0, 1)}

Para verificar la independencia o la dependencia lineal, se forma la
ecuación vectorial
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0.
Si la única solución de esa ecuación es c1 = c2 = c3 = 0, entonces el
conjunto S es linealmente independiente. En caso contrario, S es
linealmente dependiente. al desarrollar esta ecuación se obtiene
c1(1, 2, 3) + c2(0, 1, 2) + c3(−2, 0, 1) = (0, 0, 0)
(c1 − 2c3, 2c1 + c2, 3c1 + 2c2 + c3) = (0, 0, 0)
lo cual produce el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales en
c1, c2 y c3.
c1 − 2c3 = 0
2c1 + c2 = 0
3c1 + 2c2 + c3 = 0

La matriz aumentada de este sistema se reduce por eliminación de
Gauss-Jordan como se muestra a continuación.


1 0 −2 0
2 1 0 0
3 2 1 0

 →


1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0


Esto implica que la única solución es la trivial, c1 = c2 = c3 = 0. Por
tanto, S es linealmente independiente.

Comprobación para la independencia y dependencia lineal
Los pasos mostrados en el ejemplo anterior se resumen a continuación.
Sea S = {v1, v2, . . . , vk} un conjunto de vectores en un espacio vectorial
V . Para determinar si S es linealmente independiente o dependiente, se
efectúan los pasos siguientes
1 A partir de la ecuación vectorial c1v1 + c2v2 + · · · + ckvk = 0 escriba un
sistema homogéneo de ecuaciones lineales en las variables c1, c2, . . ., y ck.
2 Utilice la eliminación gaussiana para determinar si el sistema tiene una
solución única.
3 Si el sistema tiene solamente la solución trivial,
c1 = 0, c2 = 0, . . . , ck = 0, entonces el conjunto S es linealmente
independiente. Si el sistema también tiene soluciones no triviales,
entonces S es linealmente dependiente.

Taller: Comprobación de independencia lineal
Determine si el siguiente conjunto de vectores en P2 es linealmente
independiente o dependiente.
S =

1 + x − 2x2
, 2 + 5x − x2
, x + x2

Al desarrollar la ecuación c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 se obtiene
c1 1 + x − 2x2

+ c2 2 + 5x − x2

+ c3 x + x2

= 0 + 0x + 0x2
(c1 + 2c2) + (c1 + 5c2 + c3) x + (−2c1 − c2 + c3) x2
= 0 + 0x + 0x2
.
Al igualar los coeficientes que corresponden a potencias iguales de x se
llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales en c1, c2yc3.
c1 + 2c2 = 0
c1 + 5c2 + c3 = 0
−2c1 − c2 + c3 = 0

La matriz aumentada de este sistema se reduce por eliminación de
gaussiana como se muestra a continuación.


1 2 0 0
1 5 1 0
−2 −1 1 0

 →


1 2 0 0
0 1 1
3 0
0 0 0 0


Esto implica que el sistema tiene infinidad de soluciones. Por
consiguiente, el sistema debe tener soluciones no triviales y puede
concluirse que el conjunto S es linealmente dependiente. Una solución no
trivial es
c1 = 2, c2 = −1, y c3 = 3
lo que da como resultado la combinación lineal no trivial
(2) 1 + x − 2x2

+ (−1) 2 + 5x − x2

+ (3) x + x2

= 0

Una Propiedad de los conjuntos linealmente dependientes
Un conjunto S = {v1, v2, . . . , vk} , k ≥ 2, es linealmente dependiente si y
sólo si por lo menos uno de los vectores vj puede expresarse como una
combinación lineal de los demás vectores en S.
Corolario
Dos vectores u y v en un espacio vectorial V son linealmente dependientes
si y sólo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.

Deber Capı́tulo 4, Sec.4.4, Larson
Resuelva los siguientes ejercicios:
1, 3
5, 7
29, 33, 37, 39
45, 47

Conjuntos Generadores

Si todo vector en un espacio vectorial puede expresarse como una
combinación lineal de vectores en un conjunto S, entonces se dice que S
es un conjunto generador del espacio vectorial.
Definición de conjunto generador de un espacio vectorial
Sea S = {v1, v2, . . . , vk} un subconjunto del espacio vectorial V . El
conjunto S se denomina conjunto generador de V si todo vector en V
puede expresarse como una combinación lineal de vectores en S. En estos
casos se dice que S genera a V .

Ejemplo: Conjuntos Generadores
a El conjunto S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) genera a R3,
ya que cualquier vector u = (u1, u2, u3) en R3 puede escribirse como
u = u1(1, 0, 0) + u2(0, 1, 0) + u3(0, 0, 1) = (u1, u2, u3)

Ejemplo: Conjuntos Generadores
b El conjunto S =

1, x, x2 genera a P2
ya que cualquier polinomio p(x) = a + bx+ cx2 en P2 puede expresarse
como
p(x) = a(1) + b(x) + c x2

= a + bx + cx2
Los conjuntos generadores dados en los dos ejemplos anteriores se
denominan conjuntos generadores estándar de R3 y P2, respectivamente.
estándar de R3.

Ejemplo: Un Conjunto No Genera R3
Sabemos por el Taller (Determinación de una combinación lineal) que el
conjunto
S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 0, 1)}
no genera a R3 porque w = (1, −2, 2) está en R3 y no puede ser
expresado como una combinación lineal de los vectores en S.
Al comparar con otro conjunto vectores, se observa que los conjuntos son
los mismos excepto por una diferencia aparentemente insignificante en el
tercer vector.
S1 = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−2, 0, 1)}
S2 = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 0, 1)}

Ejemplo: Un Conjunto No Genera R3
Sin embargo, vemos que la diferencia mencionada es importante porque
el conjunto S1 genera a R3, en tanto que el conjunto S2 no.
La razón de esta diferencia puede observarse en la figura. Los vectores en
S2 son coplanares; los vectores en S1 no lo son.

Definición de generador de un conjunto
Aunque el conjunto S2 no genera a todo R3, sı́ genera un subespacio de
R3: el plano en que están los tres vectores de S2.
Este subespacio se denomina espacio lineal generado por S2, como se
indica en la siguiente definición.
Definición de generador de un conjunto
Si S = {v1, v2, . . . , vk} es un conjunto de vectores en un espacio vectorial
V , entonces el generador de S es el conjunto de todas las combinaciones
lineales de los vectores en S
gen(S) = {c1v1 + c2v2 + . . . + ckvk : c1, c2, . . . , ck son números reales}
El generador de S es denotado por: gen(S) o gen {v1, v2, . . . , vk}.
Cuando gen (S) = V , se dice que V es generado por {v1, v2, . . . , vk} o
que S genera a V .

Base y Dimensión
Base y Dimensión

Base y Dimensión
Base para un Espacio Vectorial
En esta sección continuamos con el estudio de los conjuntos generadores.
En particular, se considerarán conjuntos generadores que sean linealmente
independientes y que, además, generen todo el espacio. Este tipo de
conjuntos forma una base del espacio vectorial.
Definición de base
Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vn} en un espacio vectorial V se
denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.
1 S genera a V .
2 S es linealmente independiente.

Base y Dimensión
Ejemplo: La base estándar de R3
Demuestre que el siguiente conjunto es una base de R3.
S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
Antes demostramos que S genera R3. Además, S es linealmente
independiente porque la ecuación vectorial
c1(1, 0, 0) + c2(0, 1, 0) + c3(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
tiene solamente la solución trivial
c1 = c2 = c3 = 0.
Por tanto, S es una base de R3.
La base S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} se denomina base estándar de
R3.

Base y Dimensión
Ejemplo: La base estándar de Rn
Este resultado puede generalizarse para el espacio n-dimensional.
Es decir, los vectores
e1 = (1, 0, . · · · , 0)
e2 = (0, 1, . . . , 0)
:
en = (0, 0, . · · · , 1)
forman una base de Rn denominada base estándar de Rn.

Base y Dimensión
Ejemplo: Una base no estándar de R2
Demuestre que el conjunto
S = {(1, 1), (1, −1)}
es una base de R2.

Base y Dimensión
De acuerdo con la definición de una base para un espacio vectorial, debe
demostrar que S genera a R2 y que S es linealmente independiente.
Para comprobar que S genera a R2, sea
x = (x1, x2)
que representa un vector arbitrario de R2. Para demostrar que x puede
expresarse como una combinación lineal de v1 y v2, considere la ecuación
c1v1 + c2v2 = x
c1(1, 1) + c2(1, −1) = (x1, x2)
(c1 + c2, c1 − c2) = (x1, x2) .
de ecuaciones lineales.
c1 + c2 = x1
c1 − c2 = x2

Dado que la matriz de coeficientes de este sistema tiene un determinante
diferente de cero, se sabe que el sistema tiene solución única.
Por consiguiente, puede concluir que S genera a R2
Para demostrar que S es linealmente independiente, considere la
siguiente combinación lineal.
c1v1 + c2v2 = 0
c1(1, 1) + c2(1, −1) = (0, 0)
(c1 + c2, c1 − c2) = (0, 0).
homogéneo.
c1 + c2 = 0
c1 − c2 = 0.
Como la matriz de coeficientes de este sistema tiene un determinante
diferente de cero, se sabe que la única solución del sistema es la solución
trivial c1 = c2 = 0

Base y Dimensión
Por lo tanto, podemos concluir que S es linealmente independiente.
También concluimos que S es una base para R2 porque es un conjunto
linealmente independiente que genera a R2.

Base y Dimensión
Dimensión de un espacio vectorial

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