El documento presenta varios ejercicios sobre espacios vectoriales. En el primer ejercicio, se demuestra que el conjunto de todos los polinomios es un espacio vectorial. En el segundo ejercicio, se muestra que los elementos neutro y simétrico de un espacio vectorial son únicos. En el tercer ejercicio, se determina cuáles de varios subconjuntos de polinomios de grado 2 son subespacios de este espacio vectorial.

1. 1
ESPACIOS VECTORIALES
ALGUNOS EJERCICIOS.
Espacios vectoriales
1. Demuestre que el conjunto P de todos los polinomios es un espacio vectorial.
PRUEBA: Sabemos que si P y Q son polinomios entonces P + Q es un polinomio, y si c ∈ R, cP es un
polinomio. Como P(x) es un número real, 0 es el elemento neutro y −P es el elemento simétrico, para
todo polinomio P. También se satisfacen las demás propiedades, heredadas de los números reales.
2. Muestre que los elementos neutro y simétrico de un espacio vectorial son únicos.
PRUEBA: Supongamos que V tiene dos elementos neutros, u1 y u2, entonces u1 + u2 = u1 y u1 + u2 =
u2 + u1 = u2, por lo tanto, u1 = u2. Por otro lado, si v ∈ V, y v tiene dos elementos simétricos u1 y u2,
entonces v + u1 = 0 y v + u2 = 0, de esta manera, u2 = u2 + 0 = u2 + v + u1 = v + u2 + u1 = 0 + u1 = u1.
3. Si P2 es el conjunto de todos los polinomios de grado 2, ¿cuáles de los siguientes subconjuntos de
P2 son subespacios de P2?
(a) at2 + bt
(b) at2 + bt + 2
(c) at2 + bt + (a + b).
PRUEBA: (a) Llamemos a este conjunto W. Si u, v ∈ W, u = a1t2 + b1t y v = a2t2 + b2t, entonces,
u + v = (a1 + a2)t2
+ (b1 + b2) ∈ W.
Por otro lado, si c ∈ R, c(at2 + bt) = (ca)t2 + (cb)t ∈ W. W es un subespacio de P2.
(b) Llamemos a este conjunto W. Si u, v ∈ W, u = a1t2 + b1t + 2 y v = a2t2 + b2t + 2, entonces,
u + v = (a1 + a2)t2
+ (b1 + b2) + 4 6∈ W.
No es un subespacio.
(c) Llamemos a este conjunto W. Si u, v ∈ W, u = a1t2 + b1t + (a1 + b1) y v = a2t2 + b2t + (a2 + b2),
entonces,
u + v = (a1 + a2)t2
+ (b1 + b2) + ([a1 + b1] + [a2 + b2])
= (a1 + a2)t2
+ (b1 + b2) + ([a1 + a2] + [b1 + b2]) ∈ W.

2. 2
Por otro lado, si c ∈ R,
c[at2
+ bt + (a + b)] = (ca)t2
+ (cb)t + c(a + b) = (ca)t2
+ (cb)t + ([ca] + [cb]) ∈ W.
4. Sea S = {v1, v2, . . . , vk} un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, y sea W un subespacio
de V que contiene a S. Muestre que W contiene a gen{S}.
PRUEBA: Como S ⊂ W, vi ∈ W, para todo i = 1, . . . , n, por lo tanto, aivi para cualesquiera ai ∈ F,
ası́
a1v1 + · · · + anvn ∈ W ⇒ gen{S} ∈ W.
5. ¿Cuáles de los siguientes vectores generan a R2?
(a) (1, 2), (−1, 1)
(b) (0, 0), (1, 1), (−2, −2)
PRUEBA: (a) Sea S = {(1, 2), (−1, 1)}, si v ∈ gen{S} ⇒ v = x(1, 2) + y(−1, 1) = (x − y, 2x + y). Si S
genera R2 entonces, el sistema de ecuaciones x(1, 2) + y(−1, 1) = (x − y, 2x + y) = (a, b) deberı́a tener al
menos una solución (ser consistente) para cualesquiera a, b ∈ R. Este sistema lo podemos escribir como,
1 −1
2 1
!
x
y
!
=
a
b
!
.
Si reducimos por fila la matriz tenemos,
1 −1
2 1
!
−
−
−
−
−
−
−
→
f2→f2−2f1
1 −1
0 3
!
−
−
−
−
−
→
f2→ 1
3
f2
1 −1
0 1
!
,
vemos que la matriz es no-singular, por lo tanto, el sistema tiene siempre una solución, en consecuencia
S genera a R2.
(b) Sea S = {(0, 0), (1, 1), (−2, −2)}. Si observamos el ejercicio anterior, tomamos la matriz formada por
los vectores de S,
A =
0 1 −2
0 1 −2
!
−
−
−
−
−
−
→
f2→f2−f1
0 1 −2
0 0 0
!
,
como el sistema Ax = b es inconsistente, S no genera a R2.
Nota: Fı́jese que para ver si un conjunto de vectores S en Rn genera a Rn es suficiente reducir la
matriz formada por dichos vectores, si encontramos que una fila está formada solamente por ceros, el
sistema no es consistente y S no genera Rn; si no es posible reducir la matriz de forma que una de sus
filas sea toda de ceros, S genera a Rn.
6. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en R3 son linealmente dependientes? Cuando lo
sean, exprese un vector del conjunto como combinación lineal de los demás.

3. 3
(a) {(1, 2, −1), (3, 2, 5)}
(b) {(4, 2, 1), (2, 6, −5), (1, −2, 3)}
(c) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)}
(d) {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (1, 0, 1)}
SOLUCIÓN: Para probar si los vectores v1, v2, · · · , vn son L.I., hay que probar que es sistema ho-
mogéneo a1v1 + · · · + vn = 0 ⇔ a1 = · · · = an = 0.
(a) Tenemos el sistema x(1, 2, −1) + y(3, 2, 5) = 0. Este se puede reescribir como,



1 3
2 2
−1 5



x
y
!
=



0
0
0


 .
Reduciendo por filas la matriz, se tiene,



1 3
2 2
−1 5



f3→f3+f1
−
−
−
−
−
−
−
→
f2→f2−2f1



1 3
0 −4
0 8


 −
−
−
−
−
−
−
→
f3→f3+2f2



1 3
0 −4
0 0


 ,
de aquı́, −4y = 0 ⇒ y = 0, y x + 3y = 0 ⇒ x + 3(0) = 0 ⇒ x = 0. Los vectores son L.I.
(b) Tenemos el sistema x(4, 2, 1) + y(2, 6, −5) + z(1, −2, 3) = 0,



4 2 1
2 6 −2
1 −2 3


 −
−
−
−
→
f1↔f3



1 −2 3
2 6 −2
4 2 1



f3→f3−4f1
−
−
−
−
−
−
−
→
f2→f2−2f1



1 −2 3
0 10 −8
0 10 −11



−
−
−
−
−
−
→
f3→f3−f2



1 −2 3
0 10 −8
0 0 −3


 ,
usando la misma regresión hacia atrás del ejercicio anterior, x = y = z = 0, los vectores son L.I.
7. Suponga que S = {v1, v2, v3} es un conjunto linealmente independiente de vectores en un espacio
vectorial V. ¿Es el conjunto T = {w1, w2, w3}, donde w1 = v1 + v2, w2 = v1 + v3 y w3 = v2 + v3
linealmente dependiente o linealmente independiente? Justifique su respuesta.
SOLUCIÓN: Debemos probar que xw1 + yw2 + zw3 = 0 ⇔ x = y = z = 0.
xw1 + yw2 + zw3 = x(v1 + v2) + y(v1 + v3) + z(v2 + v3)
= xv1 + xv2 + yv1 + yv3 + zv2 + zv3
= (x + y)v1 + (x + z)v2 + (y + z)v3,

4. 4
por lo tanto, x + y = 0, x + z = 0, y + z = 0, y ası́,
x + y = 0 ⇒ x = −y
x + z = 0 ⇒ −y + z = 0 ⇒ z = y
y + z = 0 ⇒ y + y = 0 ⇒ 2y = 0 ⇒ y = 0,
de aquı́, x = 0, y = 0, z = 0. T es L.I.