Se presenta una breve introducción al algebra moderna computacional

1. Materia: Matemáticas Discretas
Mónica Zaima Víquez Cano
Mayo 2008.

2. Objetivo General: Que el alumno conozca las principales
áreas de estudio del algebra moderna computacional .

3. El algebra moderna computacional
Joachim von zur Gathen
Research Group Algorithmic
Mathematics
Department of Mathematics
and Computer Science
University of Paderborn,
Germany

4. Fermat
Euclides
Newton
Hilbert
Gauss
Euclides

5. Euclides
Euclides fue un personaje histórico que escribió Los Elementos y otras obras atribuidas a él.
Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos
contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre
de Euclides después de su muerte.
Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría
quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido
unos cien años antes.
Estudió la divisibilidad en los libros VII, VIII y IX de su obra Elementos.

6. Su obra Los elementos, es una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación
del conocimiento impartido en el centro académico. En ella se presenta de manera formal, partiendo
únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas,
triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de
quot;Los elementosquot; haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y
su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó
libros de texto anteriores cuando escribía los elementos ya que presenta un gran número de
definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas
de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más
conocidos:
La suma de los águlos interiores de cualquier triángulo es 180°.
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido
extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la
química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía
de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual
la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas
perfectas, o sea círculos y combinaciones de círculos. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen
una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que
una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una
superficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño,
se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una
dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos:
ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres: largo, ancho y alto.
Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro Los elementos. La geometría de Euclides
fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.

7. Fermat
Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601 - Castres, Francia, 12
de enero de 1665), fue un jurista y destacado matemático. Fue abogado en el Parlamento de
Toulouse, en el sur de Francia, y matemático clave para el desarrollo del cálculo moderno.
También hizo notables contribuciones a la geometría analítica
Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también
conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante
aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat
fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de
Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su
correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades.
Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, una ciudad situada a 58
kilómetros al noroeste de Toulouse, Francia. La mansión del siglo XV donde nació es en la
actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat
y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de
Francia para clases preparatorias.
Fermat era un matemático que trabajaba la mayor parte del tiempo en soledad. Su único contacto
con el resto de la comunidad matemática fue gracias a Marin Mersenne. Cabe destacar también
un breve intercambio de cartas con Blaise Pascal. Los resultados de Fermat fueros conocidos por
otros pensadores europeos gracias a Mersenne, que los reenvió e hizo una amplia distribución.

8. Newton
Sir Isaac Newton, (4 de enero, 1643 NS – 31 de marzo, 1727 NS) fue un científico, físico,
filósofo, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia
mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación
universal y estableció las bases de la Mecánica Clásica mediante las leyes que llevan su
nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la
naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en el Opticks) y el
desarrollo del cálculo matemático.
Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento
en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es,
a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la
culminación de la Revolución científica.
Entre sus hallazgos científicos se encuentran los siguientes: el descubrimiento de que el
espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a
esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el
siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por
partículas; su desarrollo de una ley de conducción térmica, que describe la tasa de
enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en
el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas.
Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial,
que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de las
matemáticas, desarrollando el teorema del binomio. El matemático y físico matemático
Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que quot;Newton fue el más grande genio que ha
EXISTIDO

10. Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß) (30 de abril de 1777 – 23 de febrero de 1855, s. XIX), fue un
matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos,
incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el
magnetismo y la óptica. Considerado quot;el príncipe de las matemáticasquot; y quot;el matemático más
grande desde la antigüedadquot;, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la
matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha
tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros
conjuntos.
Gauss fue un niño prodigio de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa
precocidad siendo apenas un infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era
apenas un adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún
años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la
teoría de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta los días presentes.

11. Hilbert
David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental – 14 de febrero de 1943, Göttingen,
Alemania) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y
principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando
un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de
espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes
proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica
y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y
la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y
los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su
presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la
investigación matemática del siglo XX.
Algunos historiadores siempre han creído que David Hilbert descubrió las ecuaciones correctas para la
relatividad general antes que Einstein. Sin embargo esto nunca ha sido probado.

12. Aplicaciones Transformada Rapida de Fourier

14. Teoría de Códigos
AES
RSA
* DES / TripleDES
IDEA
TEA / XTEA
ARC4
DSA
ECDSA
MD5

15. Base 64
Base 64 es un sistema de numeración posicional que usa 64 como base. Es la mayor potencia de dos que
puede ser representada usando únicamente los caracteres imprimibles de ASCII. Esto ha propiciado su
uso para codificación de correos electrónicos, PGP y otras aplicaciones. Todas las variantes famosas que
se conocen con el nombre de Base64 usan el rango de caracteres A-Z, a-z y 0-9 en este orden para los
primeros 62 dígitos, pero los símbolos escogidos para los últimos dos dígitos varían considerableme nte
de unas a otras. Otros métodos de codificación como UUEncode y las últimas versiones de binhex usan
un conjunto diferente de 64 caracteres para representar 6 dígitos binarios, pero éstos nunca son
llamados Base64.
Enigma
La máquina Enigma era un mecanismo de cifrado rotativo utilizado tanto para cifrado como para
descifrado, ampliamente utilizada de varios modos en Europa desde los tempranos años 1920
en adelante. Su fama se la debe a haber sido adoptada por muchas fuerzas militares de
Alemania desde 1930 en adelante. Su facilidad de manejo y su supuesta inviolabilidad fueron las
principales razones para su amplio uso. Su cifrado, fue roto, y la lectura de la información que
ofrecía en los mensajes que no protegió es a veces reconocida como la causa para acabar al
menos un año antes la Segunda Guerra Mundial de lo que hubiera podido ser de otro modo.
La máquina equivalente británica, Typex, y varias americanas, p.e. la SIGABA (o M-135-C en el
ejército), eran similares en principio a Enigma, pero mucho más seguras. La primera máquina
moderna de cifrado rotatorio, de Edward Hebern, era considerableme nte menos segura, hecho
constatado por William F. Friedman cuando fue ofrecida al gobierno de Estados Unidos.

17. ROT13
ROT13 (”rotar 13 posiciones”, a veces con un guión: ROT-13) es un sencillo cifrado César utilizado para ocultar un
texto sustituyendo cada letra por la letra que está trece posiciones por delante en el alfabeto. A se convierte en N,
B se convierte en O y así hasta la M, que se convierte en Z. Luego la secuencia se invierte: N se convierte en A, O
se convierte en B y así hasta la Z, que se convierte en M. Este algoritmo se utiliza en foros de Internet como medio
para ocultar de miradas casuales el final de un chiste, la solución a un acertijo, un spoiler de una película o una
historia, o algún texto ofensivo. ROT13 se ha descrito como el “equivalente en Usenet de una revista que impre
bocabajo la respuesta a un pasatiempo” *3+.
El nombre “ROT13″ se originó en Usenet a principios de los 80, y el método se ha convertido en un
estándar de facto. Al igual que el cifrado de César (un método de cifrado con miles de años), el ROT13
no proporciona seguridad criptográfica real y no se usa para tales fines; de hecho, a menudo se usa
como ejemplo canónico de cifrado débil. Otra característica de este cifrado es que es simétrico; esto es,
para deshacer el ROT13, se aplica el mismo algoritmo, de manera que para cifrar y descrifrar se puede
utilizar el mismo código.
antique gold Rot13 Dragon Spinner

18. MD5
En criptografía, MD5 (acrónimo de Message-Digest Algorithm 5, Algoritmo de Resumen del Mensaje
5) es un algoritmo de reducción criptográfico de 128 bits ampliamente usado. El código MD5 fue
diseñado por Ronald Rivest en 1991. Durante el año 2004 fueron divulgados ciertos defectos de
seguridad, lo que hará que en un futuro cercano se cambie de este sistema a otro más seguro.
ECDSA.
Elliptic Curve Digital Signature Algorithm. Es una modificación del algoritmo DSA que
emplea operaciones sobre puntos de curvas elípticas en lugar de las exponenciacion es
que usa DSA (problema del logaritmo discreto). La principal ventaja de este esquema es
que requiere números de tamaños menores para brindar la misma seguridad que DSA o
RSA. Existen dos tipos de curvas dependiendo del campo finito en el que se definan que
pueden ser GF(P) o GF(2m).

19. DSA
Es un estándar del Gobierno Federal de los Estados Unidos de América o FIPS para firmas digitales.
Fue un Algoritmo propuesto por el Instituto Nacional de Normas y Tecnología de los Estados Unidos
para su uso en su Estándar de Firma Digital(DSS), especificado en el FIPS 186 . DSA se hizo público el
30 de agosto de 1991, este algoritmo como su nombre lo indica, sirve para firmar y para cifrar
información. Una desventaja de este algoritmo es que requiere mucho más tiempo de cómputo que
RSA.
RC4
Dentro de la criptografía RC4 o ARC4 es el sistema de cifrado de flujo Stream cipher más utilizado y se
usa en algunos de los protocolos más populares como Transport Layer Security (TLS/SSL) (para
proteger el tráfico de Internet) y Wired Equivalent Privacy (WEP) (para añadir seguridad en las redes
inalámbricas). RC4 fue excluido en seguida de los estándares de alta seguridad por los criptógrafos y
algunos modos de usar el algoritmo de criptografía RC4 lo han llevado a ser un sistema de
criptografía muy inseguro, incluyendo su uso WEP. No está recomendado su uso en los nuevos
sistemas, sin embargo, algunos sistemas basados en RC4 son lo suficientemente seguros para un uso
común.

20. International Data Encryption Algorithm
En criptografía, International Data Encryption Algorithm o IDEA (del inglés, Algoritmo Internacional de Cifrado
de Datos) es un cifrador por bloques diseñado por Xuejia Lai y James L. Massey de la Escuela Politécnica
Federal de Zúrich y descrito por primera vez en 1991. Fue un algoritmo propuesto como reemplazo del DES.
IDEA fue una revisión menor de PES (Proposed Encryption Standard, del inglés Estándar de Cifrado Propuesto),
un algoritmo de cifrado anterior. Originalmente IDEA había sido llamado IPES (Improved PES, del inglés PES
Mejorado).
IDEA fue diseñado en contrato con la Fundación Hasler, la cual se hizo parte de Ascom-Tech AG. IDEA es libre
para uso no comercial, aunque fue patentado y sus patentes se vencerán en 2010 y 2011. El nombre “IDEA” es
una marca registrada y está licenciado mundialmente por MediaCrypt.
IDEA fue utilizado como el cifrador simétrico en las primeras versiones de PGP (PGP v2.0) y se lo incorporó
luego de que el cifrador original usado en la v1.0 (”Bass-O-Matic”) se demostró insegura. Es un algoritmo
óptimo en OpenPGP.

21. * Tiny Encryption Algorithm (TEA)
En criptografía, el Tiny Encryption Algorithm (TEA) (Algoritmo Diminuto de Cifrado) es un algoritmo
para el cifrado por bloques notable por su simplicidad de descripción e implementación
(generalmente unas pocas líneas de código). Fue diseñado por David Wheeler y Roger Needham
del Cambridge Computer Laboratory, y presentado por vez primera en 1994 en el Fast Software
Encryption Workshop (Wheeler y Needham, 1994). No está sujeto a ningún tipo de patente.
* Data Encryption Standard (DES)
Data Encryption Standard (DES) es un algoritmo de cifrado, es decir, un método para cifrar
información, escogido como FIPS en los Estados Unidos en 1976, y cuyo uso se ha propagado
ampliamente por todo el mundo. El algoritmo fue controvertido al principio, con algunos
elementos de diseño clasificados, una longitud de clave relativamente corta, y las continuas
sospechas sobre la existencia de alguna puerta trasera para la National Security Agency (NSA).
Posteriormente DES fue sometido a un intenso análisis académico y motivó el concepto moderno
del cifrado por bloques y su criptoanálisis.
Hoy en día, DES se considera inseguro para muchas aplicaciones. Esto se debe principalmente a
que el tamaño de clave de 56 bits es corto; las claves de DES se han roto en menos de 24 horas.
Existen también resultados analíticos que demuestran debilidades teóricas en su cifrado, aunque
son inviables en la práctica. Se cree que el algoritmo es seguro en la práctica en su variante de
Triple DES, aunque existan ataques teóricos.
Desde hace algunos años, el algoritmo ha sido sustituido por el nuevo AES (Advanced Encryption
Standard).
En algunas ocasiones, DES es denominado también DEA (Data Encryption Algorithm).

22. Teoría de Códigos
Sistema criptográfico con clave pública RSA
El sistema criptográfico con clave pública RSA es un algoritmo asimétrico cifrador de bloques,
que utiliza una clave pública, la cual se distribuye (en forma autenticada preferentement e), y
otra privada, la cual es guardada en secreto por su propietario.
Una clave es un número de gran tamaño, que una persona puede conceptualizar como un
mensaje digital, como un archivo binario o como una cadena de bits o bytes.
Cuando se envía un mensaje, el emisor busca la clave pública de cifrado del receptor y una vez
que dicho mensaje llega al receptor, éste se ocupa de descifrarlo usando su clave oculta.
Los mensajes enviados usando el algoritmo RSA se representan mediante números y el
funcionamiento se basa en el producto de dos números primos grandes (mayores que 10100)
elegidos al azar para conformar la clave de descifrado.
Emplea expresiones exponenciales en aritmética modular.
La seguridad de este algoritmo radica en que no hay maneras rápidas conocidas de factorizar
un número grande en sus factores primos utilizando computadoras tradicionales.
La computación cuántica podría proveer una solución a este problema de factorización.

23. Teoria de Códigos
Advanced Encryption Standard (AES)
En criptografía, Advanced Encryption Standard (AES), también conocido como Rijndael, es un esquema de
cifrado por bloques adoptado como un estándar de cifrado por el gobierno de los Estados Unidos. Se espera
que sea usado en el mundo entero y analizado exhaustivament e, como fue el caso de su predecesor, el Data
Encryption Standard (DES). El AES fue anunciado por el Instituto Nacional de Estandares y Tecnología (NIST)
como FIPS PUB 197 de los Estados Unidos (FIPS 197) el 26 de noviembre de 2001 después de un proceso de
estandarización que duró 5 años (véase proceso de Advanced Encryption Standard para más detalles). Se
transformó en un estándar efectivo el 26 de mayo de 2002. Desde 2006, el AES es uno de los algoritmos más
populares usados en criptografía simétrica.
El cifrador fue desarrollado por dos criptólogos belgas, Joan Daemen y Vincent Rijmen, ambos estudiantes de
la Katholieke Universiteit Leuven, y enviado al proceso de selección AES bajo el nombre “Rijndael”, un
portmanteau empaquetado de los nombres de los inventores. Rijndael puede ser pronunciado “Rhine dahl”,
una “i” larga y “e” muda (IPA: [?aindal]). En el archivo de sonido enlazado abajo, es pronunciado [r?aindau].