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                                                      e
                                   24 de septiembre de 2008

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    Copyright c 2008 Santa, FeR (QueGrande.org)
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   1. En la figura cada condensador vale: C3 = 3µF y C2 = 2µF .

                C3     C3          C3
       a                      c


                      C2          C2      C3


       b                      d
                 C3     C3         C3


      Se pide:

           a) Calc´ lese la capacidad equivalente de la red comprendida entre los puntos a y
                  u
              b.
           b) H´llese la carga de cada uno de los condensadores pr´ximos a los puntos a y
                a                                                 o
              b, cuando Vab = 900V .
           c) Calc´ lese Vcd cuando Vab = 900V .
                  u

      Soluci´n:
            o


           a) Capacidad equivalente.




QueGrande.org                                      1                                       QueGrande.org
C3                  C3                 C3
                a                         e              c


                                          C2                 C2
                                                                       C3       Ca   Cb   Cc   Cd


                b                         f              d
                            C3                 C3                 C3




                                         1                    C3  3
            Ca =           1             1         1     =       = = 1µF (en serie)
                           C3
                                +        C3
                                              +    C3
                                                              3   3
            Cb = Ca + C2 = 3µF (en paralelo)

                                         1                   3
            Cc =           1             1        1      =     = 1µF (en serie)
                           C3
                                +        Cb
                                              +   C3
                                                             3
            Cd = Cc + C2 = 3µF (en paralelo)

                                          1                   3
            Ceq =           1             1         1    =      = 1µF (en serie)
                           C3
                                 +       Cd
                                               +    C3
                                                              3
                           Q
        b) Vab =
                           Ceq
            Q = Vab · Ceq = 900 · 1 · 10−6 = 900µC

         c) Vcd si Vab = 900V

                           Q
            Ceq =
                           Vab
            Q = Vab · Ceq = 900V · 1µF = 900µC

                            Q          Q    900µC
            Cd =               ⇒ Vef =    =       = 300V
                           Vef         Cd    3µF
                           C3
                e
                               d
                    Vef   = 300V
                                              Cb = 3µF

                                     c
                f
                                C3

                          Qcd
            Cb =
                          Vcd


QueGrande.org                                                               2                       QueGrande.org
Qcd
              Vcd =
                       Cb
              Qcd = Vef · Cef

                               1
              Cef =    1       1       1   = 1µF
                       3
                           +   3
                                   +   3

              Qcd = 300V · 1µF = 300µC

                       Qcd   300µC
              Vcd =        =       = 100V
                       Cb     3µF

   2. Los condensadores de la figura est´n inicialmente descargados y se hallan conectados
                                       a
      como indica el esquema, con el interruptor S abierto.
                       +200V



             6µF                       3µF

       a                               b
                   S

             3µF                       6µF




      Se pide:

           a) ¿Cu´l es la diferencia de potencial Vab ?
                 a
           b) ¿Y el potencial del punto b despu´s de cerrado S?
                                               e
           c) ¿Qu´ cantidad de carga fluye a trav´s de S cuando se cierra?
                 e                              e

      Soluci´n:
            o


                                               Serie           Paralelo
                                                                            
                                              Q = Q1 = Q2     Q = Q1 + Q2 
           a) Vab ? Vab = Va − Vb            
                                              V = V1 + V2     V = V1 = V2 
                                                                             
                                                1     1    1
                                               Ceq = C1 + C2   Ceq = C1 + C2

                   Rama 1:




QueGrande.org                                            3                       QueGrande.org
Vc = 200V


                      +q1
                C1
                      −q1
                      +q2
                C2
                      −q2




                C1 serie C2 :
                                 1
                C1,2 =       1       1    = 2µF
                            C1
                                 +   C2

                q1,2 = C1,2 · Vc = 2µF · 200V = 400µC

                En serie: q1,2 = q1 = q2
                                     q2   q1,2   400µC   400
                Va = VC2 =              =      =       =     V
                                     C2   C2      3µF     3
                Rama 2:

                Vc = 200V


                                 +q3
                       C3
                                 −q3
                                 +q4
                       C4
                                 −q4




                C3 serie C4 :
                                 1
                C3,4 =       1       1    = 2µF
                            C3
                                 +   C4

                q3,4 = C3,4 · VC = 2µF · 200V = 400µC

                En serie: q3,4 = q3 = q4
                                     q4   q3,4   400µC   200
                Vb = VC4 =              =      =       =     V
                                     C4   C4      6µF     3
                    400
            Vab =       V
                     6

        b) Vab = 0 ⇔ S cerrado




QueGrande.org                                      4             QueGrande.org
+200V                                          +200V



                      C1                         C3                  C1                     C3


                a                               b                                  a=b
                                                       ⇔
                      C2                         C4                  C2                     C4




            (C1         C3 ) serie (C2              C4 ):

                                1                       1                      1        9
            C=          1            1     =      1            1     =    1        1   = µF = 4,5µF
                       C1,3
                                +   C2,4       C1 +C3
                                                        +   C2 +C4        9
                                                                               +   9
                                                                                        2

            Q = C · Vc = 4,5 · 200 = 900µC

                Vc = 200V

                     +Q
                C1,3
                      -Q
                a=b
                     +Q
                C2,4
                     -Q



                       Q2,4    Q     900µC
            Vb =            =      =       = 100V
                       C2,4   C2,4    9µF
                           Vc
                    Vb =
                           2

         c) Carga que fluye a trav´s de S cuando se cierra.
                                 e

                                +200V                                              +200V




                    q1 = −400µC                                 q1 = −600µC
                                                                 ′

                                                                    ∆q1
                           S                                            S
                                                      ⇒                  ∆q2
                                                                 ′
                    q2 = 400µC                                  q2   = 300µC




            ∆q: Carga que fluye a trav´s de S.
                                     e

QueGrande.org                                                        5                                QueGrande.org
∆q1 : Carga que abandona la placa negativa de C1 .
            ∆q2 : Carga que abandona la placa positiva de C2 .

            ∆q = ∆q1 + ∆q2

            ∆q = [−q1 − (−q1 )] + [q2 − q2 ]
                           ′             ′



            q2,4 = 900µC

            q1,3 = 900µC

            Vb = 100V = V2,4 ⇒ V1,3 = Vc − V2,4 = 100V

            q1 = C1 · V1 = C1 · V1,3 = 6µF · 100V = 600µC
             ′



            q2 = C2 · V2 = C2 · V2,4 = 3µF · 100V = 300µC
             ′



            ∆q = [(−400) − (−600)] + [400 − 300] = 300µC


   3. En el circuito de la figura se pide determinar:
          I1                    I3
                      M


          10Ω             5Ω
                 I2
                                     20Ω
                          50V
          100V


                      N



         a) Corrientes I1 , I2 e I3 .
        b) Diferencia de potencial entre los puntos M y N.

      Soluci´n:
            o


         a) I2 = I3 − I1

                100 − 50 = I1 · 10 + I1 · 5 − I3 · 5
                50 = 5I3 + 20I3 − 5I1
                50 = 15I1 − 5I3
                50 = −5I1 + 25I3
                     50 =  15I1 −5I3
                +
                    150 = −15I1 +75I3


QueGrande.org                                    6               QueGrande.org
20
            200 = 70I3 ⇒ I3 =               = 2,86A
                                          7
                                                  20
                      50 + 5I3   50 + 5 ·          7       450
            I1 =               =                       =       = 4,29A
                         15          15                     5
            I2 = 2,86 − 4,29 = −1,43A

        b) VM N = −I2 · R + 50 = 7 + 50 = 57V


   4. Determinar la tensi´n Vxy en el circuito de la figura:
                         o
                                                  4V
                     2Ω
                          x


       2V                     3Ω                 3Ω        5Ω
                                   4V

                                             y


      Soluci´n:
            o

                                                  4V
                     2Ω                      b
                          x


       2V                     3Ω        3Ω                 5Ω
                                   4V
                I1                                I2
                          a                  y


                               2
      −2 + 3I1 + 2I1 = 0 ⇒ I1 = A
                               5
                               1
      −4 + 3I2 + 5I2 = 0 ⇒ I2 = A
                               2
                                                                         2          1
      Vxy = Vxa + Vab + Vby = 3(−I1 ) + (−4) + 3I2 = −3 ·                  − 4 + 3 · = −3,7V
                                                                         5          2

   5. En el circuito de la figura se pide determinar:

         a) Corrientes I, I1 e I2 .
        b) Tensi´n Vab .
                o




QueGrande.org                                                7                            QueGrande.org
I1                         I2

                              I
            2Ω                    10V            6Ω
       A                                         B
                              4Ω
            3Ω                                   8Ω




      Soluci´n:
            o


                      I2 · 2 + I1 · 3 + 4 · I − 10 = 0
           a)
                      I2 · 6 + I2 · 8 + 4 · I − 10 = 0

                 I = I1 + I2

                      5I1 + 4(I1 + I2 ) − 10 = 0
                      14I2 + 4(I1 + I2 ) − 10 = 0
                      9I1 + 4I2 − 10 = 0
                      18I2 + 4I1 − 10 = 0
                      10 − 4I1      5 − 2I1
                 I2 =            =
                           18          9
                            5 − 2I1
                 9I1 + 4 ·          − 10 = 0
                               9
                 81I1 + 4(5 − 2I1 ) − 90 = 0

                 81I1 + 20 − 8I1 − 90 = 0

                                                70
                 73I1 = 70 ⇒ I1 =                  = 0,96A
                                                73
                                  70
                      5·2·        73        365 − 140   225   25
                 I2 =                  =              =     =    = 0,34A
                        9                      657      657   73
                 I = I1 + I2 = 0,96 + 0,34 = 1,3A

           b) Tensi´n Vab
                   o
                     I1           I2
                          x



                     2Ω                    6Ω



                 A                     B




QueGrande.org                                                8             QueGrande.org
Vab = Vax + Vxb

            Vab = −2I1 + 6I2 = −2 · 0,96 + 0,34 · 6 = 0,12V


   6. Usando el teorema de Th´venin, calcular la corriente I2 en la red de la figura:
                             e
                                I2
                            A                B
                                 R

       V                R                R                   I




      Soluci´n:
            o


            Sabemos que se puede quitar una resistencia en paralelo con un generador ideal
            de tensi´n:
                    o
                                             I2
                                     A                   B
                                                 R

                VT H                                 R               I




            Como consecuencia del teorema de Th´venin, sabemos que podemos quitar una
                                                  e
            resistencia en paralelo con un generador de tensi´n puesto que no afecta a los
                                                              o
            dem´s valores de las magnitudes el´ctricas del circuito (aunque s´ a la corriente
                 a                             e                             ı
            del propio generador). Tambi´n se puede resolver el problema haciendo Th´ve-
                                          e                                              e
            nin entre A y B.

            VT H + I2 · R + (I2 + I) · R = 0

            −VT H + RI2 + RI2 + RI = 0

            −VT H + 2RI2 + RI = 0

            2RI2 = V − RI

                       V − RI
            I2 =
                         2R

            Th´venin entre A y B:
              e




QueGrande.org                                                    9               QueGrande.org
I2
                     A                 B
                              R


                         Req       VT H

                                   A                   B



                               R                   R                         Req = R




                                           A                   B



                V                      R       V           R                 I




            VAB = VT H = V + (−IR)

                          VT H     V − IR
            I2 =                 =
                         R + Req     2R

   7. En el circuito de la figura, calcular el valor de la corriente I:
                           10A

                                               4Ω
                                                                   I
                           2Ω
                         2Ω                                        5Ω
       5V




      Soluci´n:
            o

                    Th. Thevenin
                           10A

                           2Ω                  4Ω
                                                                   I

                         2Ω                                        5Ω
       5V




QueGrande.org                                                           10             QueGrande.org
2Ω


       10A              2Ω            ⇔         10 · 2 = 20V




                         20V
                                      2Ω       4Ω
                                                          I
                        2Ω                                5Ω
       5V       I1                         I




            −5 + 2I1 − 2I = 0
            −20 + 2I + 4I + 5I + 2I − 2I1 = 0
            −5 + 2I1 − 2I = 0
            −20 + 13I − 2I1 = 0
             25
      I=        = 2,27A
             11

      2I1 = 5 + 2I = 5 + 2 · 2,27 = 9,49A

      I1 = 4,775A


   8. Calcular la diferencia de potencial VAB en el circuito de la figura:
                   3Ω                 2Ω
                             A


                             4Ω
             30V
                                                4V
                                 3A



                             B


      Soluci´n:
            o

      Aplicando Norton a las ramas de la izquierda y la derecha:




QueGrande.org                                        11                     QueGrande.org
A

       30V                                                                              4V
           = 10A                                                                           = 2A
        3Ω                                            4Ω                                2Ω
                                    3Ω                                   2Ω
                                                          3A



                                                     B


                                                               A
                                                               4Ω
                      10+2=12A                    3·2  6
                                                      = Ω
                                                  3+2  5
                                                                   3A


                                                               B

                       6
      VAB = (12 + 3)A · Ω = 18V
                       5

   9. En el circuito de la figura, hallar la potencia disipada en la resistencia de 2Ω.
                     2Ω

                4Ω             4Ω



            9A            2A                 4V




      Soluci´n:
            o

        A            2Ω                  B

                                                                                    I
                4Ω             4Ω
                                                                              A                     B
                                                  Thevenin entre A y B                  2Ω
                                                          ⇔
            9A            2A                 4V                                   Req

                                                                                             VT H




QueGrande.org                                             12                                      QueGrande.org
A                              B                      A                             B

                4Ω           4Ω                                   4Ω              4Ω



                                                                 9A          2A                4V




             Req = 8Ω                                        VT H = 9 · 4 + 11 · 4 = 80V


             VT H   80
      I=          =    = 80V
             2+8    10

      P2Ω = V · I = I 2 · R = 82 · 2 = 128W


 10. Determinar el valor de R que produce una desviaci´n a fondo de escala del gal-
                                                         o
     van´metro de la figura de resistencia interna RG = 1000Ω y sensibilidad S = 500µA.
        o
     (Se recomienda aplicar Th´venin entre A y B)
                               e

                         R                 2R

       24V                   A        B
                                  G


                         3R               4R




      Soluci´n:
            o

      Aplicando Th´venin:
                  e
                                                     x

                RT H
                         G                      R        2R
                     A
             VT H                         I1    A I2     B

                     B
                                                3R       4R




      VT H = VAB = VAX + VXB

      R · I1 = 10



QueGrande.org                                       13                                         QueGrande.org
R · I2 = 4

                                                      6
        24 = −I1 (R + 3R) ⇒ I1 = −
                                                      R
                                                  4
        24 = I2 (2R + 4R) ⇒ I2 =
                                                  R
                                                          6R    4R
        Vab = I · R = VT H = I1 R + 2I2 R = −                +2    = −6 + 8 = 2V
                                                           R    R
                                                                Req1          Req2
                                                                  R                2R
                         R              2R

                         A             B         ⇔

                         3R             4R                       3R                4R




                         1             1         3R
        Req1 =       1        1    =    4   =
                    3R
                         +    R        3R
                                                  4
                         1              1        4R
        Req2 =       1         1   =    1    =
                    4R
                         +    2R       4R
                                                  3
                  3R 4R   25
        RT =         +   = R
                   4   3  12
                  RT H
                              G
                     A
             VT H

                     B


        IG = 500µA

        RG = 1000Ω

        VT H = RT H · IG + RG · IG

              25
        2=       R · 500 · 10−6 + 1000 · 500 · 10−6
              12

        R = 1440Ω


Feb-96. En el circuito de la figura determinar:

           a) Potencia en la resistencia R4 .

  QueGrande.org                                           14                            QueGrande.org
b) Carga almacenada en el condensador C.

                              R5 = 5Ω

                          I1 = 1A

                                    R1 = 1Ω
       R2 = 2Ω                  R3 = 3Ω             R4 = 4Ω
                    C = 1µF


                      I2 = 2A       E=12V


      Soluci´n:
            o

      En corriente continua, a efectos de an´lisis, podemos quitar los condensadores.
                                            a

            (Directamente) Kirchoff:

                a) I · R4 − 12 + (2 + I) · R3 + (3 + I) − R1 = 0

                   I · 4 − 12 + 2 · 3 + 3I + 3 · 1 + I = 0

                   8I = 3
                      2
                   I = A = 0,375A
                      8
                   P R4 = IR4 · R4 = 0,3752 · 4 = 0,5625W
                           2



                b) Vcd = (I + 3) · R1 + 3 · R5 + R2 · I2 = (3 + 0,375) · 1 + 3 · 5 + 2 · 2 = 22,375V

                   Q=C ·V

                   Q = C · Vcd = 1µF · 22,375V = 22,375µC

            Por Th´venin:
                  e

                                    R5 = 5Ω

                                I1 = 1A
                                                     a
                                          R1 = 1Ω
                R2 = 2Ω               R3 = 3Ω
                                                     Vab = ET H

                            I2 = 2A       E=12V      b


            ET H = Vab = −3 · 1 − 2 · 3 + 12 = 3V


QueGrande.org                                        15                                 QueGrande.org
R5 = 5Ω


                                                       a
                                             R1 = 1Ω
                R2 = 2Ω                  R3 = 3Ω


                                                       b


            Req = RT H = R1 + R3 = 1 + 3 = 4Ω

                               I

                                   a


                ET H    RT H           R4



                                   b

                         ET H       3
            I=                   =     = 0,375A
                       R4 + RT H   4+4
            Y seguir´ como en la soluci´n anterior.
                    ıa                 o

            Por Norton:

                                       R5 = 5Ω

                                   I1 = 1A
                                                       a
                                             R1 = 1Ω
                R2 = 2Ω                  R3 = 3Ω
                                                                IN


                               I2 = 2A       E=12V     b


            −(3 + IN ) · 1 + −(2 + IN ) · 3 + 12 = 0

                        3
            IN =          = 0,75A
                        4
            Se calula como en la soluci´n anterior: RN = Req = 4Ω
                                       o




QueGrande.org                                              16        QueGrande.org
I

                                              a


                     IN        RT H                R4



                                              b

                                      1
              Vab = IN ·        1         1       = I · R4
                               RN
                                      +   R4
                                 R4             4          1
              I = IN ·                = 0,75 ·     = 0,75 · = 0,375A
                              R4 + RN          4+4         2
              Y seguir´ como en las soluciones anteriores.
                      ıa

              Por superposici´n:
                             o

                                      R5 = 5Ω


                                                             IE
                                          d
                                                 R1 = 1Ω
                  R2 = 2Ω                     R3 = 3Ω             R4 = 4Ω
                                Vcd
                          c
                                                  E=12V

                            E         12  3
              IE =                  =    = A = 1,5A
                       R1 + R4 + R3    8  2
              VcdE = IE · R1 + 0 + 0 = 1,5V

                                      R5 = 5Ω

                                I1 = 1A
                                      d
                                                 R1 = 1Ω
                  R2 = 2Ω                     R3 = 3Ω             R4 = 4Ω
                                Vcd
                          c
                                                    IR4


              Y seguir´ como en las soluciones anteriores.
                      ıa


Jun-94. En el circuito de la figura determinar:

           a) Carga almacenada por cada uno de los condensadores.
          b) Potencial del punto x.

  QueGrande.org                                                   17        QueGrande.org
5Ω              3µF                   x



              8V             15V             2V
                                                            4Ω
             6Ω              3Ω              1µF



                                  2µF
             10Ω




      Soluci´n:
            o

                                        I5

                       5Ω              3µF                   x


       I1               I3            I4
                                                                      I4
                   8V              15V             2V
                                                                 4Ω
                  6Ω              3Ω              1µF

                                              V1
       I2
                                       2µF
                  10Ω




            a) I3 = I5 = 0

               I3 + I5 = I4 ⇒ I4 = 0

               V1 − 2 = 0 ⇒ V1 = 2V

               q1 = C1 · V1 = 1µF · 2V = 2µC

                   8 = 5I1 + 15 − 3I2 + 6I1 = 11I1 − 3I2 + 15
                   I1 + I2 = I5 = 0 ⇒ I1 = −I2

               I1 = −0, 5A

               I2 = 0, 5A




QueGrande.org                                                    18        QueGrande.org
C3
                a
                    +q -q                        Ceq
                                   ⇔
                                          a +q -q b
                     -q +q
                b     C2

                              1         6
            Ceq =        1         1   = µF
                        C2
                              +   C3
                                        5
            q = Vab · Ceq

            Vab = 15 − 3I2 = 13,5V

                       6
            q = 13,5V · µF = 16,2µC = q2 = q3
                       5

        b) Vx ?
           Vx = Vxy + Vyb + Vb

                         1      1
            I6 = I1 + I2 = + −      = 0A ⇒ Vb = 0
                         2      2
                  q   16,2µC
            Vyb =   =        = 8,1V
                  C    2µF
            Vx = Vyb = 8,1V



Ejercicios de examen resueltos en clase que no est´n
                                                  a
en los boletines.
   1. Determinar las cargas en los condensadores del circuito de la figura:
                                                                 E2 = 10V
                    R6 = 6Ω


                                       R5 = 5Ω           IB = 2A
            R4 = 4Ω

                       E3 = 3V                                   IA = 1A
        R2 = 2Ω                                                             C1 = 1µF
                                        E2 = 10V



            C2 = 2µF                                   R2 = 2Ω


      Soluci´n:
            o



QueGrande.org                                              19                          QueGrande.org
E2 = 10V
                    R6 = 6Ω                G

                          I1
                                   R5 = 5Ω             IB = 2A      I2
       A          R4 = 4Ω          B
                                                                         C
                         E3 = 3V                              IA = 1A
            R2 = 2Ω                                                      C1 = 1µF
                                       E2 = 10V          I4
                          I3

                                   D
        E                                                                F
                C2 = 2µF                           R2 = 2Ω


                                                   R5 = 5Ω
                               G                               G

                     R5 = 5Ω                      EB
             IB                        ⇔

                               B                               B


      En continua los condensadores act´ an como un circuito abierto. (I3 = I4 = 0)
                                       u

            R6 · I! + R5 (I1 + I2 ) + EB − E3 + R4 (I1 − I3 ) = 0
            I2 + IA = I4

      I4 = 0 ⇒ I2 = IA = −1A

      G · I1 + 5(I1 + 1) + 10 − 3 + 4(I1 − 0) = 0

                  12
      I1 = −         A
                  15

      Q1 = C1 · VCF

      Q2 = C2 · VED

      VCF = VCB + VBD − VDF = VCG + VGB + VBD = −10 − (I1 − I2 ) − 5 + 10 + 10 =
         12                  4
       − + 1 − 5 + 10 = − + 1 − 5 + 10 = 1 + 10 = 11V
         15                  5

      Q1 = 1µF · 11V = 11µC

                                                                                    4
      VED = VEA + VAB + VBD = 4(I3 −I1 ) + 3 + 10 = −4 · I3 + 3 + 10 = −4 − −         + 13 =
                                                                                    5
       16 65   81
          +   = V
        5   5  5
                         81     162
      Q2 = 2µF ·            V =     µC = 32,4µC
                          5      5


QueGrande.org                                          20                           QueGrande.org
2. Dado el circuito de la figura se pide:

            a) Intensidad en cada rama.
        b) Potencia entregada por los generadores y absorvida por las resitencias.
            c) Calcualar el aquivalente Th´venin entre A y B.
                                          e

                        I1
                                        R1
                                                            A
                                                                          I1 = 1A   Ri = iΩ
                                                                          I2 = 2A
                              E3                                          I3 = 3A
       E1                                        E2
                                                                R4


       I2                                         R2
                        I3

                                                            B
                       R3
                                            E4


      Soluci´n:
            o

                        I1
              I                         R1                 II
                                                                          I1 = 1A   Ri = iΩ
                        I6                                                I2 = 2A
                              E3                      I7
                                                                          I3 = 3A
       E1                                        E2
                                   V
                                                                R4


       I2                                                       I5
                                                  R2
                                       I8
                        I3


             III       R3                                  IV
                                            E4
                             I4



            a) Intensidad en cada rama
                   I) I2 + I6 = I1
                      I6 = −1A

              IV) I4 = I2 + I3 = 5A

              III) I5 = I8 + I4 = I8 + 5


QueGrande.org                                                        21                       QueGrande.org
II) I1 + I7 = I5 = 1 + I7

                V) I3 + I8 = I6 + I7
                   3 + I8 = −1 + I7

             I5 = 2A

             I7 = 1A

             I8 = −3A

        b)         Potencia disipada en las resistencias:

                   PR1 = I1 2 · R1 = 11 · 1 = 1W

                   PR2 = I8 2 · R2 = (−3)1 · 2 = 18W

                   PR3 = I4 2 · R3 = 51 · 3 = 75W

                   PR4 = I5 2 · R4 = 22 · 4 = 16W

                   PT OT AL = 1 + 18 + 75 + 16 = 110W

                   Potencia entregada por los generadores:
                                                                            
                     Potencia   entregada   por   I1 = VI1 · I1 = 0W        
                                                                            
                     Potencia   entregada   por   I2 = VI2 · I2 = −38W
                                                                            
                                                                            
                                                                            
                                                                            
                     Potencia   entregada   por   I3 = VI3 · I3 = −51W
                                                                            
                                                                            
                                                                            
                     Potencia   entregada   por   E1 = E1 · (−I2 ) = −2W        − 110W
                     Potencia   entregada   por   E2 = E2 · (−I1 ) = −2W
                                                                            
                                                                            
                                                                            
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                     Potencia   entregada   por   E3 = E3 · (−I6 ) = 3W
                                                                            
                                                                            
                                                                            
                                                                            
                     Potencia   entregada   por   E4 = E4 · (−I4 ) = −20W
                                                                            


                   VI1 + I1 · 1 + E2 − E3 = 0 ⇒ VI1 = 0

                     VI 2 − 1 + 3 − VI 3 = 0              VI2 = −19V
                     VI3 − I8 · 2 − 4 + I4 · 3 = 0        VI3 = −17V

         c) Th´venin entre A y B:
              e
                      Req
                                A

                   VT H

                                B


             VT H = I5 · R4 = 2 · 4 = 8V


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R1
                                        A



                                                           A

                                        R4
                                                 ⇒   R2   R4

                                 R2
                                                           B


                                        B
                    R3


                    R2 · R4   2·4  4
            Req =           =     = Ω
                    R2 + R4   2+4  3




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  • 1. Ejercicios resueltos de FMC. Tema 6. Circuitos el´ctricos. e 24 de septiembre de 2008 All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License Copyright c 2008 Santa, FeR (QueGrande.org) Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is avaliable at http://www.gnu.org/licenses/fdl.html 1. En la figura cada condensador vale: C3 = 3µF y C2 = 2µF . C3 C3 C3 a c C2 C2 C3 b d C3 C3 C3 Se pide: a) Calc´ lese la capacidad equivalente de la red comprendida entre los puntos a y u b. b) H´llese la carga de cada uno de los condensadores pr´ximos a los puntos a y a o b, cuando Vab = 900V . c) Calc´ lese Vcd cuando Vab = 900V . u Soluci´n: o a) Capacidad equivalente. QueGrande.org 1 QueGrande.org
  • 2. C3 C3 C3 a e c C2 C2 C3 Ca Cb Cc Cd b f d C3 C3 C3 1 C3 3 Ca = 1 1 1 = = = 1µF (en serie) C3 + C3 + C3 3 3 Cb = Ca + C2 = 3µF (en paralelo) 1 3 Cc = 1 1 1 = = 1µF (en serie) C3 + Cb + C3 3 Cd = Cc + C2 = 3µF (en paralelo) 1 3 Ceq = 1 1 1 = = 1µF (en serie) C3 + Cd + C3 3 Q b) Vab = Ceq Q = Vab · Ceq = 900 · 1 · 10−6 = 900µC c) Vcd si Vab = 900V Q Ceq = Vab Q = Vab · Ceq = 900V · 1µF = 900µC Q Q 900µC Cd = ⇒ Vef = = = 300V Vef Cd 3µF C3 e d Vef = 300V Cb = 3µF c f C3 Qcd Cb = Vcd QueGrande.org 2 QueGrande.org
  • 3. Qcd Vcd = Cb Qcd = Vef · Cef 1 Cef = 1 1 1 = 1µF 3 + 3 + 3 Qcd = 300V · 1µF = 300µC Qcd 300µC Vcd = = = 100V Cb 3µF 2. Los condensadores de la figura est´n inicialmente descargados y se hallan conectados a como indica el esquema, con el interruptor S abierto. +200V 6µF 3µF a b S 3µF 6µF Se pide: a) ¿Cu´l es la diferencia de potencial Vab ? a b) ¿Y el potencial del punto b despu´s de cerrado S? e c) ¿Qu´ cantidad de carga fluye a trav´s de S cuando se cierra? e e Soluci´n: o Serie Paralelo    Q = Q1 = Q2 Q = Q1 + Q2  a) Vab ? Vab = Va − Vb   V = V1 + V2 V = V1 = V2   1 1 1 Ceq = C1 + C2 Ceq = C1 + C2 Rama 1: QueGrande.org 3 QueGrande.org
  • 4. Vc = 200V +q1 C1 −q1 +q2 C2 −q2 C1 serie C2 : 1 C1,2 = 1 1 = 2µF C1 + C2 q1,2 = C1,2 · Vc = 2µF · 200V = 400µC En serie: q1,2 = q1 = q2 q2 q1,2 400µC 400 Va = VC2 = = = = V C2 C2 3µF 3 Rama 2: Vc = 200V +q3 C3 −q3 +q4 C4 −q4 C3 serie C4 : 1 C3,4 = 1 1 = 2µF C3 + C4 q3,4 = C3,4 · VC = 2µF · 200V = 400µC En serie: q3,4 = q3 = q4 q4 q3,4 400µC 200 Vb = VC4 = = = = V C4 C4 6µF 3 400 Vab = V 6 b) Vab = 0 ⇔ S cerrado QueGrande.org 4 QueGrande.org
  • 5. +200V +200V C1 C3 C1 C3 a b a=b ⇔ C2 C4 C2 C4 (C1 C3 ) serie (C2 C4 ): 1 1 1 9 C= 1 1 = 1 1 = 1 1 = µF = 4,5µF C1,3 + C2,4 C1 +C3 + C2 +C4 9 + 9 2 Q = C · Vc = 4,5 · 200 = 900µC Vc = 200V +Q C1,3 -Q a=b +Q C2,4 -Q Q2,4 Q 900µC Vb = = = = 100V C2,4 C2,4 9µF Vc Vb = 2 c) Carga que fluye a trav´s de S cuando se cierra. e +200V +200V q1 = −400µC q1 = −600µC ′ ∆q1 S S ⇒ ∆q2 ′ q2 = 400µC q2 = 300µC ∆q: Carga que fluye a trav´s de S. e QueGrande.org 5 QueGrande.org
  • 6. ∆q1 : Carga que abandona la placa negativa de C1 . ∆q2 : Carga que abandona la placa positiva de C2 . ∆q = ∆q1 + ∆q2 ∆q = [−q1 − (−q1 )] + [q2 − q2 ] ′ ′ q2,4 = 900µC q1,3 = 900µC Vb = 100V = V2,4 ⇒ V1,3 = Vc − V2,4 = 100V q1 = C1 · V1 = C1 · V1,3 = 6µF · 100V = 600µC ′ q2 = C2 · V2 = C2 · V2,4 = 3µF · 100V = 300µC ′ ∆q = [(−400) − (−600)] + [400 − 300] = 300µC 3. En el circuito de la figura se pide determinar: I1 I3 M 10Ω 5Ω I2 20Ω 50V 100V N a) Corrientes I1 , I2 e I3 . b) Diferencia de potencial entre los puntos M y N. Soluci´n: o a) I2 = I3 − I1 100 − 50 = I1 · 10 + I1 · 5 − I3 · 5 50 = 5I3 + 20I3 − 5I1 50 = 15I1 − 5I3 50 = −5I1 + 25I3 50 = 15I1 −5I3 + 150 = −15I1 +75I3 QueGrande.org 6 QueGrande.org
  • 7. 20 200 = 70I3 ⇒ I3 = = 2,86A 7 20 50 + 5I3 50 + 5 · 7 450 I1 = = = = 4,29A 15 15 5 I2 = 2,86 − 4,29 = −1,43A b) VM N = −I2 · R + 50 = 7 + 50 = 57V 4. Determinar la tensi´n Vxy en el circuito de la figura: o 4V 2Ω x 2V 3Ω 3Ω 5Ω 4V y Soluci´n: o 4V 2Ω b x 2V 3Ω 3Ω 5Ω 4V I1 I2 a y 2 −2 + 3I1 + 2I1 = 0 ⇒ I1 = A 5 1 −4 + 3I2 + 5I2 = 0 ⇒ I2 = A 2 2 1 Vxy = Vxa + Vab + Vby = 3(−I1 ) + (−4) + 3I2 = −3 · − 4 + 3 · = −3,7V 5 2 5. En el circuito de la figura se pide determinar: a) Corrientes I, I1 e I2 . b) Tensi´n Vab . o QueGrande.org 7 QueGrande.org
  • 8. I1 I2 I 2Ω 10V 6Ω A B 4Ω 3Ω 8Ω Soluci´n: o I2 · 2 + I1 · 3 + 4 · I − 10 = 0 a) I2 · 6 + I2 · 8 + 4 · I − 10 = 0 I = I1 + I2 5I1 + 4(I1 + I2 ) − 10 = 0 14I2 + 4(I1 + I2 ) − 10 = 0 9I1 + 4I2 − 10 = 0 18I2 + 4I1 − 10 = 0 10 − 4I1 5 − 2I1 I2 = = 18 9 5 − 2I1 9I1 + 4 · − 10 = 0 9 81I1 + 4(5 − 2I1 ) − 90 = 0 81I1 + 20 − 8I1 − 90 = 0 70 73I1 = 70 ⇒ I1 = = 0,96A 73 70 5·2· 73 365 − 140 225 25 I2 = = = = = 0,34A 9 657 657 73 I = I1 + I2 = 0,96 + 0,34 = 1,3A b) Tensi´n Vab o I1 I2 x 2Ω 6Ω A B QueGrande.org 8 QueGrande.org
  • 9. Vab = Vax + Vxb Vab = −2I1 + 6I2 = −2 · 0,96 + 0,34 · 6 = 0,12V 6. Usando el teorema de Th´venin, calcular la corriente I2 en la red de la figura: e I2 A B R V R R I Soluci´n: o Sabemos que se puede quitar una resistencia en paralelo con un generador ideal de tensi´n: o I2 A B R VT H R I Como consecuencia del teorema de Th´venin, sabemos que podemos quitar una e resistencia en paralelo con un generador de tensi´n puesto que no afecta a los o dem´s valores de las magnitudes el´ctricas del circuito (aunque s´ a la corriente a e ı del propio generador). Tambi´n se puede resolver el problema haciendo Th´ve- e e nin entre A y B. VT H + I2 · R + (I2 + I) · R = 0 −VT H + RI2 + RI2 + RI = 0 −VT H + 2RI2 + RI = 0 2RI2 = V − RI V − RI I2 = 2R Th´venin entre A y B: e QueGrande.org 9 QueGrande.org
  • 10. I2 A B R Req VT H A B R R Req = R A B V R V R I VAB = VT H = V + (−IR) VT H V − IR I2 = = R + Req 2R 7. En el circuito de la figura, calcular el valor de la corriente I: 10A 4Ω I 2Ω 2Ω 5Ω 5V Soluci´n: o Th. Thevenin 10A 2Ω 4Ω I 2Ω 5Ω 5V QueGrande.org 10 QueGrande.org
  • 11. 2Ω 10A 2Ω ⇔ 10 · 2 = 20V 20V 2Ω 4Ω I 2Ω 5Ω 5V I1 I −5 + 2I1 − 2I = 0 −20 + 2I + 4I + 5I + 2I − 2I1 = 0 −5 + 2I1 − 2I = 0 −20 + 13I − 2I1 = 0 25 I= = 2,27A 11 2I1 = 5 + 2I = 5 + 2 · 2,27 = 9,49A I1 = 4,775A 8. Calcular la diferencia de potencial VAB en el circuito de la figura: 3Ω 2Ω A 4Ω 30V 4V 3A B Soluci´n: o Aplicando Norton a las ramas de la izquierda y la derecha: QueGrande.org 11 QueGrande.org
  • 12. A 30V 4V = 10A = 2A 3Ω 4Ω 2Ω 3Ω 2Ω 3A B A 4Ω 10+2=12A 3·2 6 = Ω 3+2 5 3A B 6 VAB = (12 + 3)A · Ω = 18V 5 9. En el circuito de la figura, hallar la potencia disipada en la resistencia de 2Ω. 2Ω 4Ω 4Ω 9A 2A 4V Soluci´n: o A 2Ω B I 4Ω 4Ω A B Thevenin entre A y B 2Ω ⇔ 9A 2A 4V Req VT H QueGrande.org 12 QueGrande.org
  • 13. A B A B 4Ω 4Ω 4Ω 4Ω 9A 2A 4V Req = 8Ω VT H = 9 · 4 + 11 · 4 = 80V VT H 80 I= = = 80V 2+8 10 P2Ω = V · I = I 2 · R = 82 · 2 = 128W 10. Determinar el valor de R que produce una desviaci´n a fondo de escala del gal- o van´metro de la figura de resistencia interna RG = 1000Ω y sensibilidad S = 500µA. o (Se recomienda aplicar Th´venin entre A y B) e R 2R 24V A B G 3R 4R Soluci´n: o Aplicando Th´venin: e x RT H G R 2R A VT H I1 A I2 B B 3R 4R VT H = VAB = VAX + VXB R · I1 = 10 QueGrande.org 13 QueGrande.org
  • 14. R · I2 = 4 6 24 = −I1 (R + 3R) ⇒ I1 = − R 4 24 = I2 (2R + 4R) ⇒ I2 = R 6R 4R Vab = I · R = VT H = I1 R + 2I2 R = − +2 = −6 + 8 = 2V R R Req1 Req2 R 2R R 2R A B ⇔ 3R 4R 3R 4R 1 1 3R Req1 = 1 1 = 4 = 3R + R 3R 4 1 1 4R Req2 = 1 1 = 1 = 4R + 2R 4R 3 3R 4R 25 RT = + = R 4 3 12 RT H G A VT H B IG = 500µA RG = 1000Ω VT H = RT H · IG + RG · IG 25 2= R · 500 · 10−6 + 1000 · 500 · 10−6 12 R = 1440Ω Feb-96. En el circuito de la figura determinar: a) Potencia en la resistencia R4 . QueGrande.org 14 QueGrande.org
  • 15. b) Carga almacenada en el condensador C. R5 = 5Ω I1 = 1A R1 = 1Ω R2 = 2Ω R3 = 3Ω R4 = 4Ω C = 1µF I2 = 2A E=12V Soluci´n: o En corriente continua, a efectos de an´lisis, podemos quitar los condensadores. a (Directamente) Kirchoff: a) I · R4 − 12 + (2 + I) · R3 + (3 + I) − R1 = 0 I · 4 − 12 + 2 · 3 + 3I + 3 · 1 + I = 0 8I = 3 2 I = A = 0,375A 8 P R4 = IR4 · R4 = 0,3752 · 4 = 0,5625W 2 b) Vcd = (I + 3) · R1 + 3 · R5 + R2 · I2 = (3 + 0,375) · 1 + 3 · 5 + 2 · 2 = 22,375V Q=C ·V Q = C · Vcd = 1µF · 22,375V = 22,375µC Por Th´venin: e R5 = 5Ω I1 = 1A a R1 = 1Ω R2 = 2Ω R3 = 3Ω Vab = ET H I2 = 2A E=12V b ET H = Vab = −3 · 1 − 2 · 3 + 12 = 3V QueGrande.org 15 QueGrande.org
  • 16. R5 = 5Ω a R1 = 1Ω R2 = 2Ω R3 = 3Ω b Req = RT H = R1 + R3 = 1 + 3 = 4Ω I a ET H RT H R4 b ET H 3 I= = = 0,375A R4 + RT H 4+4 Y seguir´ como en la soluci´n anterior. ıa o Por Norton: R5 = 5Ω I1 = 1A a R1 = 1Ω R2 = 2Ω R3 = 3Ω IN I2 = 2A E=12V b −(3 + IN ) · 1 + −(2 + IN ) · 3 + 12 = 0 3 IN = = 0,75A 4 Se calula como en la soluci´n anterior: RN = Req = 4Ω o QueGrande.org 16 QueGrande.org
  • 17. I a IN RT H R4 b 1 Vab = IN · 1 1 = I · R4 RN + R4 R4 4 1 I = IN · = 0,75 · = 0,75 · = 0,375A R4 + RN 4+4 2 Y seguir´ como en las soluciones anteriores. ıa Por superposici´n: o R5 = 5Ω IE d R1 = 1Ω R2 = 2Ω R3 = 3Ω R4 = 4Ω Vcd c E=12V E 12 3 IE = = = A = 1,5A R1 + R4 + R3 8 2 VcdE = IE · R1 + 0 + 0 = 1,5V R5 = 5Ω I1 = 1A d R1 = 1Ω R2 = 2Ω R3 = 3Ω R4 = 4Ω Vcd c IR4 Y seguir´ como en las soluciones anteriores. ıa Jun-94. En el circuito de la figura determinar: a) Carga almacenada por cada uno de los condensadores. b) Potencial del punto x. QueGrande.org 17 QueGrande.org
  • 18. 5Ω 3µF x 8V 15V 2V 4Ω 6Ω 3Ω 1µF 2µF 10Ω Soluci´n: o I5 5Ω 3µF x I1 I3 I4 I4 8V 15V 2V 4Ω 6Ω 3Ω 1µF V1 I2 2µF 10Ω a) I3 = I5 = 0 I3 + I5 = I4 ⇒ I4 = 0 V1 − 2 = 0 ⇒ V1 = 2V q1 = C1 · V1 = 1µF · 2V = 2µC 8 = 5I1 + 15 − 3I2 + 6I1 = 11I1 − 3I2 + 15 I1 + I2 = I5 = 0 ⇒ I1 = −I2 I1 = −0, 5A I2 = 0, 5A QueGrande.org 18 QueGrande.org
  • 19. C3 a +q -q Ceq ⇔ a +q -q b -q +q b C2 1 6 Ceq = 1 1 = µF C2 + C3 5 q = Vab · Ceq Vab = 15 − 3I2 = 13,5V 6 q = 13,5V · µF = 16,2µC = q2 = q3 5 b) Vx ? Vx = Vxy + Vyb + Vb 1 1 I6 = I1 + I2 = + − = 0A ⇒ Vb = 0 2 2 q 16,2µC Vyb = = = 8,1V C 2µF Vx = Vyb = 8,1V Ejercicios de examen resueltos en clase que no est´n a en los boletines. 1. Determinar las cargas en los condensadores del circuito de la figura: E2 = 10V R6 = 6Ω R5 = 5Ω IB = 2A R4 = 4Ω E3 = 3V IA = 1A R2 = 2Ω C1 = 1µF E2 = 10V C2 = 2µF R2 = 2Ω Soluci´n: o QueGrande.org 19 QueGrande.org
  • 20. E2 = 10V R6 = 6Ω G I1 R5 = 5Ω IB = 2A I2 A R4 = 4Ω B C E3 = 3V IA = 1A R2 = 2Ω C1 = 1µF E2 = 10V I4 I3 D E F C2 = 2µF R2 = 2Ω R5 = 5Ω G G R5 = 5Ω EB IB ⇔ B B En continua los condensadores act´ an como un circuito abierto. (I3 = I4 = 0) u R6 · I! + R5 (I1 + I2 ) + EB − E3 + R4 (I1 − I3 ) = 0 I2 + IA = I4 I4 = 0 ⇒ I2 = IA = −1A G · I1 + 5(I1 + 1) + 10 − 3 + 4(I1 − 0) = 0 12 I1 = − A 15 Q1 = C1 · VCF Q2 = C2 · VED VCF = VCB + VBD − VDF = VCG + VGB + VBD = −10 − (I1 − I2 ) − 5 + 10 + 10 = 12 4 − + 1 − 5 + 10 = − + 1 − 5 + 10 = 1 + 10 = 11V 15 5 Q1 = 1µF · 11V = 11µC 4 VED = VEA + VAB + VBD = 4(I3 −I1 ) + 3 + 10 = −4 · I3 + 3 + 10 = −4 − − + 13 = 5 16 65 81 + = V 5 5 5 81 162 Q2 = 2µF · V = µC = 32,4µC 5 5 QueGrande.org 20 QueGrande.org
  • 21. 2. Dado el circuito de la figura se pide: a) Intensidad en cada rama. b) Potencia entregada por los generadores y absorvida por las resitencias. c) Calcualar el aquivalente Th´venin entre A y B. e I1 R1 A I1 = 1A Ri = iΩ I2 = 2A E3 I3 = 3A E1 E2 R4 I2 R2 I3 B R3 E4 Soluci´n: o I1 I R1 II I1 = 1A Ri = iΩ I6 I2 = 2A E3 I7 I3 = 3A E1 E2 V R4 I2 I5 R2 I8 I3 III R3 IV E4 I4 a) Intensidad en cada rama I) I2 + I6 = I1 I6 = −1A IV) I4 = I2 + I3 = 5A III) I5 = I8 + I4 = I8 + 5 QueGrande.org 21 QueGrande.org
  • 22. II) I1 + I7 = I5 = 1 + I7 V) I3 + I8 = I6 + I7 3 + I8 = −1 + I7 I5 = 2A I7 = 1A I8 = −3A b) Potencia disipada en las resistencias: PR1 = I1 2 · R1 = 11 · 1 = 1W PR2 = I8 2 · R2 = (−3)1 · 2 = 18W PR3 = I4 2 · R3 = 51 · 3 = 75W PR4 = I5 2 · R4 = 22 · 4 = 16W PT OT AL = 1 + 18 + 75 + 16 = 110W Potencia entregada por los generadores:  Potencia entregada por I1 = VI1 · I1 = 0W   Potencia entregada por I2 = VI2 · I2 = −38W     Potencia entregada por I3 = VI3 · I3 = −51W    Potencia entregada por E1 = E1 · (−I2 ) = −2W − 110W Potencia entregada por E2 = E2 · (−I1 ) = −2W     Potencia entregada por E3 = E3 · (−I6 ) = 3W     Potencia entregada por E4 = E4 · (−I4 ) = −20W  VI1 + I1 · 1 + E2 − E3 = 0 ⇒ VI1 = 0 VI 2 − 1 + 3 − VI 3 = 0 VI2 = −19V VI3 − I8 · 2 − 4 + I4 · 3 = 0 VI3 = −17V c) Th´venin entre A y B: e Req A VT H B VT H = I5 · R4 = 2 · 4 = 8V QueGrande.org 22 QueGrande.org
  • 23. R1 A A R4 ⇒ R2 R4 R2 B B R3 R2 · R4 2·4 4 Req = = = Ω R2 + R4 2+4 3 QueGrande.org 23 QueGrande.org