1. N umerosReales
´
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, pruebe sus afir-
maciones.
(a) Si a ∈ Q y b ∈ − Q entonces a + b ∈ Q.
(b) Dado a ∈ se cumplir´ que |a| < r , ∀r > 0
a
c3 d3
(c) Si 0 < d < c entonces d2 (c − d) < −
3 3
Soluci´n
o
m
1. (a) Supongamos a + b ∈ Q ⇒ ∃m ∈ Z, n ∈ Z − {0} tal que a + b =
n
p
pero como a ∈ Q ⇒ ∃p ∈ Z, q ∈ Z − {0} tal que a =
q
m m p mq − pn
⇒b= −a= − = ∈ Q ⇒ b ∈ Q absurdo!
n n q nq
∴ F also
(b) Tenemos dos casos:
i. Si a = 0 Se verifica trivialmente.
|a|
ii. Si a = 0 ⇒ 0 < |a| < r , ∀r > 0 entonces para r = >0
2
|a| 1
⇒ |a| < ⇒ 1 < absurdo!
2 2
∴ F also
(c) Como 0 < d < c entonces d2 < cd , d2 < c2 entonces 2d2 < cd + c2
como c3 − d3 = (c − d)(c2 + cd + d2 )
(c − d)(2d2 + d2 ) < (c − d)(c2 + cd + d2 ) = c3 − d3
c3 d3
⇒ 3d2 (c − d) < c3 − d3 ⇒ d2 (c − d) < −
3 3
∴ V erdadero
1