1. tema 1. Estructura Cristalina. Tema 4. Fonones. Vibraciones de la red.
2
Posicion de un punto de la red: r = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 • Volumen Ecuaci´n de movimiento: m ddt2n = p Cp (un+p − un ), soluciones:
o u
de la celda unidad: V = a · b × c • Distancia entre planos (SC, Modos normales: un (x, t) = u0 ei(kx−ωt) • Relaci´n de dispersi´n:
o o
BCC, FCC): dhkl = √ a • Red Ortorr´mbica:
o ω 2 = p 2Cp m [1 − cos kpa] • Interacci´n a primeros vecinos, p = 1 •
1
o
h2 +k2 +l2 x = sa con s = 0, 1, ... • un+1 = un (x + a) •
1
dhkl = • Estructuras cristalinas simples. i) NaCl 2 4C1
h2
+ k2 + l 2
2 2
m ddtus = C(us+1 + us−1 − 2us ) ⇒ ω =
2 m
sin ka
2
•
ba2 c
a
(FCC). Cl: 000, 1 1 0, 1 0 1 , 0 1 1 • Na: 1 1 1 , 00 1 , 0 1 0, 2 00 • ii) CsCl
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
ωmax = ω(k = ±π/a) = 4C1 /m • 1 Zona de Brillouin:
1 1 1 −π ≤ ka ≤ π • Condici´n de Bragg: kmax = ±k/a • Velocidad de
o
(SC) Cs: 000 • Cl: 2 2 2 • iii) hcp: Factor de empaquetamiento:
c/a = (8/3)1/2 • iv) Estructura diamante (FCC). 000, 1 1 1 • v) ZnS grupo: vg = dω
(1D), vg = C1 a2
cos ka •
2 22 dk k ω(k) (3D). vg = m 2
(2FCC). Zn: 000, 0 1 1 , 1 0 1 , 1 1 0 • S: 1 1 1 , 1 3 3 , 3 1 3 , 3 3 1 •
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Aproximaci´n de onda larga: ka
o 1 ⇒ sin ka ka
. As´ pues,
ı
3 3 2 2
Vol´menes celdas primitivas: i) SC: V = a ii) BCC: V = a /2 iii)
u 2 C1 2 2
ω = m k a • Dos ´tomos por celda primitiva: Ecuaciones de
a
FCC: V = a3 /4 • Coefiiente de dilataci´n lineal: L = L0 (1 + α∆T )
o 2
movimiento: m1 ddtus = C(vs + vs−1 − 2us ),
2
2
m2 ddtvs = C(us+1 + us − 2vs ). Soluciones (modos normales):
2
´
tema 2. Difraccion. us = u0 eiska e−iωt , vs = v0 eiska e−iωt • Relaci´n de dispersi´n:
o o
2
2 m1 +m2 m1 +m2 4 ka
ω± = C ±C − sin2 . ω+ → Rama
Ley de Bragg: 2d sin θ = nλ, intensidad m´xima n = 1 • Red Real →
a m1 m2 m1 m2 m1 m2 2
ıproca → 2π/a • N´mero de electrones en la red
a, Red Rec´ u ´ptica, ω− → Rama ac´stica. • Aproximaci´n de onda larga
o u o
(ka 1): ω+ 2C m11 m22 . ω−
2
m
+m 2 C
2(m1 +m2 )
k2 a2 • kmax = ± π ⇒
a
peri´dica: n(r) = G nG exp(−iG · r) con
o 2 2
1 ω+ = 2C/m1 . ω− = 2C/m2 • Fonones: E = (n + 1/2) ω • p = k •
nG = Vc c dV n(r) exp(−iG · r) • Vector de la red rec´
ıproca:
Scattering de un fon´n: k = k + kf on´n + G • Energ´ total de los
o o ıa
G = hb1 + kb2 + lb3 con b1 = 2π a1 ·a×a3 3 , b2 = 2π a1 ·a×a1 3 ,
a2
2 ×a
a3
2 ×a fonones: U = k p nk,p ωk,p • N´mero medio de fonones:
u
b3 = 2π a1 ·a×a2 3 • bi · aj = 2πδij • Amplitud de Scattering:
a1
2 ×a n = e ω/k1 T −1 • U = p dωDp (ω) e ω/kB T −1 • CV = ∂U •
ω
B ∂T
F = G dV ng ei(G−∆k)r • Condici´n de difracci´n: ∆k = G, si
o o Densidad de estados: (1D) Un estado permitido por cada
el´stica ⇒ 2kG = G2 • dhkl = 2π/ G . Si ∆k = G ⇒
a intervalo 2π • D(ω) = L dω = dN • (2D) 1 estado por ´rea
L π
dk
dω
a
2π 2π L2 dk
FG = N dV n(r)e−iG·r = N SG , con SG ≡ Factor de Esctructura • Lx Ly
• D(ω) = k
2π dω
• (3D) 1 estado por volumen
c
s s
n(r) = j=1 nj (r − rj ) = j=1 nj (ρ) ⇒ k2 dω
2π 2π 2π V dk
Lx Ly Lz
• D(ω) = 2π 2
• Modelo de Debye:
SG = dV nj (r − rj ) exp(−iG · r)= V ω2 ω
j Dispersion lineal ω = vk ⇒ D(ω) = 2π2 v3 • N = 0 D D(ω)dω ⇒
exp(−iG · rj ) dvnj (ρ) exp(−iG · ρ) • Factor at´mico de forma:
o 3 2 3
j Freciencia de Debye (frecuencia m´x.): ωD = 6πV v N • kD = ωD /v
a •
fj = dV nj (ρ) exp(−iG · ρ) ⇒ SG = j fj exp(−iG · r) y tambi´n e Energ´ t´rmica (1 polarizaci´n): Up =
ıa e o dωD(ω)f (ω)Eω •
SG = j fj exp{−i(hn1 + kn2 + ln3 ) • Anillos de difracci´n:
o T
3
xD x 3
U = Up × 3 ⇒ U = 9N kB T dx ex −1 con x = β ω,
dhkl = λ/2 ⇒ sin θmax = π/2, aparecen anillos para dhkl ≥ λ/2 • θD 0
3
Factor at´mico de forma, distribuci´n esf´rica de carga:
o o e 6π 2 T xD 4 x
∞ ∞
θD = xD T = kB
v V
• CV = 9N kB θD 0
dx (ex −1)2 • Ley
x
e
fj = 4π 0 drr2 nj (r) sin Gr • 0 dxxn e−ax = Γ(n+1) •
Gr an+1 T 3 de Debye: i) Altas temperaturas: kB T ω⇒x 1•
Γ(n + 1) = nΓ(n) = n! • BCC: SG,BCC = fBCC 1 + (−1)h+k+l • U = 3N kB T , CV = 3N kB • ii) Bajas temperaturas:
FCC: SG,F CC = fF CC 1 + (−1)h+k + (−1)k+l + (−1)h+l • kB T ω⇒x π4 4
1 • U = 9N kB T 4 15θ3 • CV = 12π N kB T 3 •
∗
Intensidad de difracci´n: I = SG · SG
o 5 θ3 D D
ω
Modelo de Einstein: U = 3N e ω/kB T −1 •
3N kB ( ω/kB T )2
CV = (e ω/kB T −1)2
e ω/kB T • i) Altas temperaturas: CV 3N kB •
tema 3. Enlace Cristalino. ωE
3 −k ω
ω
ii) Bajas temp.: CV kB T
e • θE = kB •
3N kB BT
UT = Uatrac + Urepuls • Potenciales repulsivos: i) Potencial de 3g
Expansi´n t´rmica: x = 4c2 kB T , con U (x) = cx2 − gx3 − f x4 •
o e
Lenard-Jones: UR = B/R12 • ii) Potencial de Born-Mayer: Conductividad t´rmica: K = 1 Cvl con C = CV /V , v = velocidad
e 3
UR = λ exp(−R/ρ) • Cristales inertes (Van der Waals): media, y l = recorrido libre medio.
Potencial de interacci´n de una pareja de ´tomos:
o a
Uij = B/Rij − A/Rij = 4 (σ/Rij )12 − (σ/Rij )6 , con
12 6
σ = (B/A)1/6 ≡ par´metro de distancia; = A2 /4B ≡ par´metro de
a a Tema 5. Gas de electrones libres de Fermi.
energ´ • Energ´ total:
ıa ıa 2πn 2 2
12
Niveles de energ´ (1D): ψn = A sin
ıa L
• n = 2m nπ •
L
UT = 2N j=i (σ/Rij ) − j=i (σ/Rij )6 → Rij = ρij R. R ≡ 2 2
Energ´ de Fermi: F = 2m N π , con 2nF = N • Distribuci´n de
ıa 2L
o
distancia entre vecinos m´s pr´ximos •
a o 1
Fermi-Dirac: f (E) = e( −µ)/kB T −1 . A T = 0K ⇒ µ = F • Gas
UT (R) = 2N A12 (σ/R)12 − A6 (σ/R)6 ≡ Energ´ total de
ıa
interacci´n o Energ´ de Cohesi´n. • FCC: A12 = 12.13188,
o ıa o de Electrones libres (3D): ψk (r) = eikr , con
2 2 2 1/3
A6 = 14.45392. HCP: A12 = 12.13229, A6 = 14.4589 • Par´metro de
a kx = 0, ±2π/L, ±4π/L... • k = 2m • p = k • kF = 3πV N
k
•
1/6
dUT (R) A12
red: dR
= 0 ⇒ R0 = 2 A6
σ • Cristales i´nicos:
o Energ´ de Fermi:
ıa F =
2
kF •Velocidad de Fermi:
R=R0 2m
±Q2 1/3
Interacci´n electrost´tica: Uelec =
o a (SI), 3π 2 N V 2m 3/2
j=i 4π 0 Rij vF = m V
• Densidad de estados: N ( ) = 3π2 2 •
±Q2 2m 3/2 1/2
Uelec = j=i Rij (CGS) • Energ´ total:
ıa D( ) = = dN V
= • Capacidad calor´ 3N
ıfica de un gas
d 2 2π 2 2
2 d d ∞
Q
UT otal (R) = N − 4π 0 R ±1
+ zλe−R/ρ con α = ±1
≡ de electrones: Ce− = dT U = dT 0 d D( )f ( ) ⇒
j=i Pij i=j Pij
1 2 3N 2
α 1 Ce− π 2 F kB T ⇒ Capacidad calor´
ıfica experimental:
Constante de Madelung, tb R = j rij ⇒ 3
2 C = γT (e− libres)+αT 3 (Debye) • Ley de Ohm:
UT OT (R) = − N Q0 R + zN λe−R/ρ • Energ´ de Cohesi´n:
4π
α
ıa o F = m dv = dk = −e(E + v ∧ B) • Desplazamiento de la esfera de
2 dt dt
NQ α + −
U (R0 ) = − 4π 0 R0 [1 − ρ/R0 ] • N a + P I → N a + e • Fermi: δ k = −eE t • Densidad de corriente: j = nqv = σ E •
e− + Cl → Cl− + AE • N a + Cl → N aCl + Ecohesi´n • Cristal
o i´nico
o e
2
Conductividad el´ctrica: σ = ne τ , con τ ≡ tiempo medio entre
2 m
lineal: UT ot = N RN − αq • Cristales covalentes:
A
R choques. • Resistividad el´ctrica: ρ = 1/σ • Recorrido libre medio:
e
Singlete-Enlazante. Triplete-Antienlazante. • Cristales Met´licos.
a l = vF τ • Resisitividad experimental: ρ = ρf on´n + ρdef ectos •
o
1

2. 2
Movimiento en un CEM: Ecuaci´n de movimiento:
o
d 1 d 1
dt
+ τ δ k = F tb: m dt + τ v = −e(E + v ∧ B). Soluciones:
vx = − eτ Ex − ωc τ vy , vy = − eτ Ey − ωc τ vx , vz = −eτ Ez •
m m m
eB
Frecuencia de ciclotr´n: ωc = mc • Efecto Hall: Campo Hall:
o
E
Ey = −ωc τ Ex = − eBτ Ex • Coeficiente Hall: RH = jxy = − ne •
m B
1
B Ey
Resistencia Hall: ρH = − ne = jx
• Conductividad t´rmica en
e
2
π 2 nkB T τ k π2 kB
metales: K = 3m
• N´mero de Lorenz:
u σ
= 3 e
T,
k −8 J2
L= σT
= 2.44 × 10 K 2 ·C 2
Tema 6. Bandas de energ´
ıa.
Potencial peri´dico. Modelo de e− cuasilibres. Gap en
o
k = ±π/a = ± 1G • Ondas en 1a zona de Brillouin: ψ+ = 2 cos πx ,
2 a
ψ− = 2i sin πx • Magnitud del gap de Energ´ U (x) = U cos 2πx •
a
ıa: a
1
Eg = 0 dxU (x) |ψ+ |2 − |ψ− |2 = U • Funciones de Bloch.
ψk (r) = uk (r)eikr con uk (r) = uk (r + T ) • Modelo de
Kronig-Penney. Potencial peri´dico (PP): funci´n escal´n.
o o o
Condiciones de contorno peri´dicas. Aprox: funciones δ • Ecuaci´n
o o
de ondas del e− en un PP. Ec. de Schr¨dinger: o
p2
2m
+ U (x) ψ(x) = ψ(x) • U (x) = G UG eiGx •
ψ(x) = k C(k)eikx con k = 2πn , L longitud del cristal. • Ecuaci´n
L
o
de ondas (Fourier) (Ecuaci´n central):
o
(λk − )C(k) + G UG C(k − G) = 0 con λk = 2 k2 /2m •
ψk (x) = G C(k − G)ei(k−g)x • uk (x) ≡ G C(k − G)e−iGx
Invariante bajo traslaciones de cristal T • k ≡ Momento cristalino del
e− : k + q = k + G • Energ´ del e− libre:
ıa
(kx , ky , kz ) = ( 2 /2m)(k + G)2 • Soluci´n aprox. en la frontera:
o
2 2
1 1
k = ± 2 G ⇒ = λ ± U = 2m ( 2 G) ± U ⇒
1/2
= 2 (λk−G + λk ) ± 1 (λk−G − λk )2 + U 2
1
4
• No de orbitales en
o
una banda. 2N con N = n de celdas primitivas de par´metro a.
a
Tema 7. Cristales semiconductores.
Gap. Transiciones directas: Eg = ωg • Transiciones indirectas:
Eg = ω − Ω • Ecuaciones de movimiento. Velodidad de grupo:
vg = dω = 1 dk • v = 1 k (k) • Fuerza externa aplicada sobre el e− :
dk
d
dk dk
F = dt
• Campo magn´tico:
e dt
= −ev × B • huecos: kh = −Ke •
dkh
h (kh ) = − e (ke ) • vh = ve • mh = −me • dt
= e(E + vh × B) •
1 1 d 2
1 1 d2 k
Masa efectiva: m∗
= 2 dk2 • m∗ µν
= 2 dk dk
µ ν
• Frecuencia de
eB
ciclotr´n:
o ωc = m∗