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CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
TEMA 4
ENERGÍA Y POTENCIAL
Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones
Prof. Máximo Domínguez
Ciclo Nov 2009 – Ene 2010
Santo Domingo, RD
TABLA DE CONTENIDO
1. ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO
ELÉCTRICO
2. DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL
3. CAMPO DE POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL
4. EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS :
PROPIEDAD CONSERVATIVA
5. GRADIENTE DE POTENCIAL
6. EL DIPOLO
7. DENSIDAD DE ENERGÍA EN UN CAMPO ELECTROSTÁTICO
ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA
PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO
Fuerza y Trabajo
Supongamos que queremos desplazar
una carga Q desde el punto A hasta el
punto B en un campo eléctrico E, como
se muestra en la siguiente figura :
Basado en la Ley de Coulomb, la
fuerza sobre Q es : F=QE.
1
El trabajo (gasto de energía) realizado
en el desplazamiento de la carga por
dl es :
El signo negativo indica que el trabajo
es realizado por un agente externo. El
trabajo total, o la energía potencial
requerida para mover Q de A a B es:
El trabajo realizado es independiente
de la trayectoria tomada si el campo
es electrostático.
LELF dQddW ⋅−=⋅−=
∫ ⋅−=
B
A
dQW LE
2
Diferencial dL en los sistemas de coordenadas
a)Rectangular
b)Cilíndrica
c)Esférica
ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA
PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
φθ
φρ
φθθ
φρρ
aaraL
aaaL
aaaL
drrddd
dzddd
dzdydxd
r
z
zyx
sin++=
++=
++=
Conviene recordar …
3
Ejemplo 4.1:
Se proporciona el campo no
uniforme E=yax+xay+2az y se pide
determinar el trabajo realizado en
transportar una carga de 2C de
B(1,0,1) a A(0.8,0.6,1) a través del
arco más corto del círculo x2
+y2
=1
en z=1.
Solución:
1.Recordamos que el diferencial de
trayectoria dL en coordenadas
cartesianas es : dxax+dyay+dzaz.
∫−=
final
inicial
dQW LE.
2. Sustituimos datos del problema y el
diferencial dL en la Ecuación :
3. Resultando :
( ) ( )
[ ] [ ]
( ) ( )
JW
W
yyyxxxW
dyydxxW
dzxdyydxW
dzdydxxyW
final
inicial
zyxzyx
96.0
00644.048.0571.10927.048.0
sin1sin1
01212
422
22
6.0
0
12
8.0
1
12
6.0
0
2
8.0
1
2
6.0
0
1
1
8.0
1
−=
−−+−−−+−=
+−−+−−=
−−−−−=
−−−=
++⋅++−=
−−
∫∫
∫ ∫∫
∫ aaaaaa
ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA
PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
4
D4.1
Dado el campo eléctrico V/m,
encontrar la cantidad diferencial de trabajo para mover una
carga de 6 nC una distancia de 2μm, comenzando en P(2,-2,3) y
procediendo en la dirección aL :
a)→
b)→
c)→
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)-149.3 fJ
b)149.3 fJ
c)0
ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA
PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
yx
yx
yx
z
z
aa
aaa
aaa
7
6
7
3
7
2
7
3
7
6
7
2
7
3
7
6
+
−−
++−
( )zyx yxzxxyz
z
aaaE 22
2
448
1
−+=
5
Ejemplo 4.2:
Determine el trabajo realizado en cada caso. Ver figuras.
(a) Una trayectoria circular. (b) Una trayectoria recta radial a lo largo de las
cuales una carga Q es trasladada en el campo creado por una línea de carga
infinita.
ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA
PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
6
Ejemplo 4.2 (Cont.):
Solución Caso A :
ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA
PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
0
2
2
0
1
10
=
⋅−=
⋅−=
∫
∫
W
dQW
dQW
final
inicial
L
final
inicial
L
φρ
φρ
φ
πε
ρ
φρ
ρπε
ρ
aa
aa
Solución Caso B :
a
bQ
W
d
QW
dQW
L
b
a
L
final
inicial
L
ln
2
2
2
0
0
0
πε
ρ
ρ
ρ
πε
ρ
ρ
ρπε
ρ
ρρ
−=
−=
⋅−=
∫
∫ aa
La diferencia de potencial VAB es el trabajo
que realiza un agente externo para mover
una unidad de carga positiva de un punto a
otro en un campo eléctrico. Esto es :
7
DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL
∫ ⋅−==
B
A
AB d
Q
W
V LE
Diferencia de Potencial =
Trabajo por unidad de
Carga, y se mide en
joules por coulomb,
comúnmente llamada
volt (V).
Notas importantes :
1.Al determinar VAB, A es el punto
inicial y B es el punto final.
2.Si VAB es negativo, una pérdida
de energía potencial en el
desplazamiento de Q de A a B, y
esto implica que el trabajo es
realizado por el campo.
3.Si VAB es positivo, hay una
ganancia de energía potencial en el
desplazamiento, y esto implica que
el trabajo es realizado por un
agente externo.
4.VAB es independiente de la
trayectoria adoptada.
8
Ejemplo 4.3:
Determine el trabajo realizado en
cada caso. Ver figuras.
DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL
Solución :
Observe que se trata del escenario
mostrado en el ejemplo 4.2., en
donde verificamos que :
Y como la diferencia de potencial es
trabajo por unidad de carga,
entonces :
a
bQ
W L
ln
2 0πε
ρ
−=
A
B
Q
W
V L
AB ln
2 0πε
ρ
−==
Cuando un campo E se debe a una
carga puntual en el origen, entonces :
Cuando la diferencia de potencial se
mide con relación a un punto de
referencia igual a cero, normalmente
se utiliza el término : Potencial o
Potencial Absoluto.
9
DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL (CONT.)






−=
⋅−= ∫
AB
AB
r
r
rrAB
rr
Q
V
dr
r
Q
V
B
A
11
4
4
0
2
0
πε
πε
aa
Si VAB =VB-VA, entonces VA y VB se
miden con relación al punto de
referencia cero. El potencial cero se
supone en el infinito.
El potencial en una distancia r desde
la carga puntual, es el trabajo por
unidad de carga realizado por un
agente externo para transferir una
carga de prueba del infinito a ese
punto. Esto es:
∫∞
⋅−=
r
dV LE
10
Ejemplo 4.4:
Dos cargas puntuales de -4μC y 5 μC
se localizan en (2,-1,3) y (0,4,-2),
respectivamente. Halle el potencial
en (1,0,1), suponiendo potencial cero
en el infinito.
DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL
Evaluando distancias, se verifica
que:
Por tanto,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 263,4,12,4,01,0,1
62,1,13,1,21,0,1
2
1
=−=−−=−
=−−=−−=−
rr
rr
Solución :
Sea
Si V(∞)=0, C=0, reduciendo la
expresión a:
( ) C
QQ
V +
−
+
−
=
20
2
10
1
44 rrrr
r
πεπε
( )
20
2
10
1
44 rrrr
r
−
+
−
=
πεπε
QQ
V
( )
( ) kVV
V
872.51,0,1
26
5
6
4
36
10
4
10
1,0,1 9
6
−=






+
−
×
= −
−
π
π
11
D4.4
Un campo eléctrico se expresa en coordenadas
cartesianas como
V/m. Encontrar :
a)VMN si los puntos M y N están definidos
como M(2,6,-1) y N(-3,-3,2).
b)VM si V=0 en Q(4,-2,-35).
c)VN si V=2 en P(1,2,-4).
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)139.0 V
b)120.0 V
c)-19.0 V
zyx yx aaaE 466 2
++=
DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL (CONT.)
Recordamos la expresión :
La diferencia de potencial solo
depende de la distancia de cada
punto a la carga y no de la trayectoria
utilizada para mover la carga de un
punto a otro.
También recordamos que para definir
un potencial con referencia cero, se
hace V=0 en el infinito.
12
CAMPO DE POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL






−=
AB
AB
rr
Q
V
11
4 0πε
Por tanto, VAB=VB-VA=VB si A tiene r
→ ∞. De lo contrario VAB=VB + C.
Otros detalles :
(1)El potencial es un campo
escalar.
(2)Superficie Equipotencial : Se
compone de aquellos puntos
cuyo potencial tiene el mismo
valor.
13
D4.5
Una carga puntual de 15 nC se encuentra en el
espacio libre situada en el origen. Calcular V1
si el punto P1 se encuentra en (-2,3,-1) :
a)y V=0 en (6,5,4).
b)y V=0 en el infinito.
c)y V=5V en (2,0,4).
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)20.67 V
b)36.0 V
c)10.89 V
CAMPO DE POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL
Potencial n Cargas Puntuales :
El potencial debido a n cargas
puntuales se expresa :
Reemplazando cada carga
puntual por elementos de
distribución de carga continuas y
evaluando en el límite, se tiene :
14
EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE
CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA
( )
( ) ∑= −
=
−
+⋅⋅⋅+
−
+
−
=
n
m m
m
n
n
Q
V
QQQ
V
1 0
020
2
10
1
4
444
rr
r
rrrrrr
r
πε
πεπεπε
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫
∫
−
=
−
=
−
=
v
v
v
S
v
L
aVolumétricDistrib
dv
V
lSuperficiaDistrib
dS
V
LinealDistrib
dL
V
.
'
4
.
'
4
.
'
4
0
0
0
r'r
r'
r
r'r
r'
r
r'r
r'
r
πε
ρ
πε
ρ
πε
ρ
PUNTUALIZACIONES
(1)No se realiza trabajo cuando una carga se lleva por cualquier trayectoria
cerrada, es decir:
(2)La ecuación anterior sólo es válida para campos estáticos, y se le conoce
como ley de kirchhoff para voltajes.
(3)Cualquier campo de fuerza que satisface la ecuación presentada en (1), se le
llama campo conservativo, debido a que no es necesario realizar trabajo, es
decir, la energía se conserva a lo largo de la trayectoria cerrada.
(4)Ej. El campo gravitacional es conservativo.
(5)En un campo no conservativo, la integral de línea puede dar cero para
algunas trayectorias cerradas.
15
EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE
CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA (CONT.)
∫ =⋅ 0LE d
16
D4.6
Suponiendo que la referencia cero se halla en
el infinito, encuentre el potencial en (0,0,2) que
causa la siguiente configuración de carga en el
espacio libre :
a)12 nC/m en la línea ρ=2.5m, z=0.
b)Una carga puntual de 18 nC en (1,2,-1).
c)12 nC/m en la línea y=2.5m, z=0.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)529 V
b)43.2 V
c)67.4 V
EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE
CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA (CONT.)
17
D4.7
La figura siguiente muestra una
porción de un potencial
bidimensional (Ez=0). Las líneas de
la cuadrícula tienen una separación
de 1mm en el campo real.
Determine de una manera
aproximada los valores para E en
coordenadas cartesianas en :
1.a
2.b
3.c
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)-1075ay V/m
b)-600ax -700ay V/m
c)-500ax -650ay V/m
EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE
CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA (CONT.)
18
Gradiente de un Escalar
El gradiente de un campo
escalar V es un vector que
representa tanto la magnitud
como la dirección de la
máxima rapidez de
incremento espacial de V.
Evaluando la diferencia en el
campo dV entre los puntos
P1 y P2, donde V1, V2 y V3 son
contornos de superficies
equipotenciales.
GRADIENTE DE POTENCIAL
Por tanto,
19
Gradiente de un Escalar (Cont.)
Matemáticamente :
De forma simplificada,
Por tanto,
GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.)
( )zyxzyx dzdydx
z
V
y
V
x
V
dV
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dV
aaaaaa ++⋅





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
zyx
z
V
y
V
x
V
aaaG
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
θ
θ
cos
cos
G
dL
dV
dLGddV
=
=⋅= LG
20
GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.)
Gradiente de un Escalar (Cont.)
Como dL es el desplazamiento diferencial
de P1 a P2 y theta es el ángulo entre G y dL,
de la ecuación anterior se deduce que el
valor máximo se obtiene cuando theta =0, o
sea cuando dL está en la dirección de G.
(dV/dN) es la derivada normal. Por
definición G es el grandiente de V, de
modo que:
G
dN
dV
dL
dV
máx
==
EsféricasCoord
V
r
V
rr
V
VVgrad
sCilindricaCoord
z
VVV
VVgrad
sCartesianaCoord
z
V
y
V
x
V
VVgrad
r
z
zyx
.
sin
11
.
1
.
φθ
φρ
φθθ
φρρ
aaa
aaa
aaa
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
21
GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.)
Características Operaciones Gradiente
Propiedades Fundamentales del Gradiente :
1.La magnitud de equivale a la máxima
rapidez de cambio en V por unidad de
distancia.
2. V apunta en la dirección de la máxima
rapidez de cambio en V.
( )
( )
VnVV
U
UVVV
U
V
VUUVUV
UVUV
nn
∇=∇
∇−∇
=





∇
∇+∇=∇
∇+∇=+∇
−1
2
∇
∇
3. V en cualquier punto es
perpendicular a la superficie
constante V que pasa por ese
punto (verificar puntos P y Q
en la figura anterior).
4. La proyección o componente
de V en la dirección de un
vector unitario a es V.a y se
llama derivada direccional de
V a lo largo de a.
5. Si A= V, se dice que V es el
potencial escalar de A.
∇
∇
∇
∇
22
GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.)
Relación entre E y V:
Recordamos que
Y que E es perpendicular a las
equipotenciales, por tanto, despejando
se determina que:
Por tanto,
∫ ⋅−=
L
dV LE
N
dN
dV
aE −= G
dN
dV
dL
dV
máx
==
VVgrad −∇=−=E
23
GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.)
Ejemplo 4.5
Dado el campo vectorial V=2x2
y-5z y el
punto P (-4,3,6), se desea encontrar
algunos valores numéricos en el punto P:
(a)El potencial V
(b)La intensidad de Campo Eléctrico E.
(c)La dirección de E.
(d)La densidad de flujo D.
(e)La densidad volumétrica de carga ρv.
Solución :
1.El potencial en P(-4,5,6) es:
VP=2(-4)2
(3)-5(6)=66 Volts
2. Luego utilizamos la operación
gradiente:
3. El valor de E en el punto P es:
4. La dirección de E en P la da el
vector unitario.
m
VxxyV zyx aaaE 524 2
+−−=−∇=
m
VE
m
V
zyx
9.575)32(48
53248
222
=+−+=
+−= aaaE
zyxP
zyxP
aaaa
aaaa
E
E
086.0553.0829.0
9.57/)53248(
,
,
+−=
+−=
24
GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.)
Solución (Cont.):
5.Suponiendo que los campos se
encuentran en el espacio libre, tenemos
que:
6.Recordemos la Ley de gauss en forma
puntual:
3
2
0 3.4471.174.35
m
pCxxy zyx aaaED +−−== ε
34.35
m
pCyv −=⋅∇= Dρ
25
El Dipolo Eléctrico
El dipolo eléctrico es el nombre dado a dos
cargas puntuales de igual magnitud y signo
contrario, separadas por una distancia
pequeña comparada con la distancia al
punto P en el cual se desea conocer los
campos eléctricos y potencial.
El la siguiente figura se muestra un dipolo:
(a)Muestra la geometría del problema del
dipolo eléctrico. El momento dipolar p=Qd
está en la dirección de az.
(b)Para un punto lejano P, R1 es
esencialmente paralelo a R2, por lo que R2-
R1=dcosθ.
EL DIPOLO ELÉCTRICO
26
El Dipolo Eléctrico (Cont.)
Sean las distancias de Q y –Q a P denotadas por R1 y R2, respectivamente. El
potencial total se expresa como:
Para un punto muy distante con respecto a las cargas, se tiene que R1=R2,
transformando el producto R1 R2 en r2
. En el ejercicio, de suponer que R1 es
paralelo a R2 se verifica que R2-R1=dcosθ, resultando que:
EL DIPOLO ELÉCTRICO (CONT.)
21
12
0210 4
11
4 RR
RRQ
RR
Q
V
−
=





−=
πεπε
2
04
cos
r
Qd
V
πε
θ
=
27
El Dipolo Eléctrico (Cont.)
La definición del campo, en estas condiciones (z=0, θ=90°), se determinan a
partir del gradiente. En coordenadas esféricas se tiene:
EL DIPOLO ELÉCTRICO (CONT.)
( )θ
θ
φθ
θθ
πε
πε
θ
πε
θ
φθθ
aaE
aaE
aaaE
sincos2
4
4
sin
2
cos
sin
11
3
0
3
0
3
0
+=






−−−=






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=−∇=
r
r
r
r
Qd
r
Qd
r
Qd
V
r
V
rr
V
V
Ecuaciones válidas para
un punto distante.
28
El Dipolo Eléctrico (Cont.)
El potencial del dipolo se puede simplificar utilizando la definición del momento
dipolar.
Como p=Qd [C.m] , y d.ar=dcosθ, generalizamos como:
donde,
r determina la localización del campo en el punto P, y
r’el centro del dipolo.
EL DIPOLO ELÉCTRICO (CONT.)
'
'
'4
1
2
0
rr
rr
p
rr −
−
⋅
−
=
πε
V
Han escuchado el
término multipolo. Los
mismos son arreglos
simétricos con un gran
número de cargas
puntuales que producen
campos que disminuyen
con el inverso de r
elevado a un exponente
cada vez mayor.
29
D4.9
Un dipolo eléctrico ubicado en el origen en el
espacio libre tiene un momento p=3ax-2ay+az nC.m.
Encontrar:
(a)V en PA(2,3,4).
(b)V en r=2.5, θ=30°,φ=40°.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)0.23V
b)1.97 V
EL DIPOLO ELÉCTRICO (CONT.)
30
RECORDANDO
Trasladar una carga Q1 desde el infinito a cualquier posición no requiere trabajo,
ya que no hay campo presente.
Si queremos posicionar otra carga Q2 en algún punto del campo de Q1, se tiene:
Adicionando cargas en el campo de las ya presentes:
El trabajo total es la energía potencial del campo y se obtiene sumando cada
contribución, esto es:
DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO
ELECTROSTÁTICO
1,222
VQWposQ =
3,442,441,44
2,331,33
4
3
VQVQVQW
VQVQW
posQ
posQ
++=
+=
⋅⋅⋅++++++= 3,442,441,442,331,331,22 VQVQVQVQVQVQWE
31
Conviene precisar que:
Quiere decir que la ecuación:
Se puede expresar en la forma:
Sumando ambas expresiones, se tiene:
DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO
ELECTROSTÁTICO (CONT.)
310
3
1
130
1
31,33
44 R
Q
Q
R
Q
QVQ
πεπε
==
⋅⋅⋅++++++= 3,442,441,442,331,331,22 VQVQVQVQVQVQWE
⋅⋅⋅++++++= 4,334,224,113,223,112,11 VQVQVQVQVQVQWE
( )
( )
( ) ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=
4,32,31,33
4,23,21,22
4,13,12,112
VVVQ
VVVQ
VVVQWE
32
La suma de los potenciales entre paréntesis corresponde al potencial debido a
todas las cargas, exceptuando aquella donde se evalúa el potencial resultante.
Por tanto, el potencial en la posición de Q1 debido a las cargas Q2, Q3, Q4, … es:
De manera que la energía potencial es:
Si la distribución de carga es continua, la expresión que resulta es:
DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO
ELECTROSTÁTICO (CONT.)
⋅⋅⋅+++= 4,13,12,11 VVVV
( ) ∑=
=⋅⋅⋅+++=
N
m
mmE VQVQVQVQW
1
332211
2
1
2
1
∫=
vol
vE VdvW ρ
2
1
33
Sustituyendo la primera ecuación de Maxwell en su forma puntual se tiene:
Recordando que el Teorema de la Divergencia establece que:
Podemos hacer la siguiente transformación:
En este caso, la integral de superficie es igual a cero cuando se evalúa en el límite
r→∞, debido a que en la superficie cerrada que rodea el universo, V se aproxima
a cero en (1/r), y D lo hace en (1/r2
).
DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO
ELECTROSTÁTICO (CONT.)
( )
( ) ( )[ ]∫
∫∫
∇−⋅∇=
⋅∇==
vol
E
volvol
vE
dvVVW
VdvVdvW
DD
D
2
1
2
1
2
1
ρ
∫ ∫ ⋅∇=⋅
S vol
dvd DSD
( ) ( )∫∫ ∇−=
volS
E dvVdVW .
2
1
.
2
1
DSD
34
De lo comentado se verifica:
Recordando que el campo es función del gradiente de potencial:
Sustituyendo :
DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO
ELECTROSTÁTICO (CONT.)
( )∫ ∇−=
vol
E dvVW .
2
1
D
V−∇=E
∫∫ ==
volvol
E dvEdvW 2
0
2
1
.
2
1
εED
35
Ejemplo 4.6
Calcular la energía almacenada en el
campo electrostático de una sección de
un cable coaxial.
Solución :
1.Recordemos que:
2.De manera que el campo eléctrico se
expresa:
3. Sustituyendo en WE, se tiene:
4. Recuerde que la carga total del
conductor interno es :
5. Si se considera al conductor
externo como una referencia cero,
en el cilindro interno se verifica:
6. Sustituyendo se tiene:
DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO
ELECTROSTÁTICO (CONT.)
ρ
ρ
ρ
sa
D =
ρ
ρε
ρ
aE
0
sa
=
a
bLa
W
dzdd
a
W
s
E
L b
a
s
E
ln
2
1
0
22
0
2
0
22
0
22
0
ε
ρπ
φρρ
ρε
ρ
ε
π
=
= ∫ ∫∫
saLQ ρπ2=
aE QVW
2
1
=
∫∫ =−=−=
a
b
ss
a
b
a
a
ba
d
a
dEV ln
00 ε
ρ
ρ
ρε
ρ
ρρ
Familiar…
Verdad!
36
D4.11
Encontrar la energía almacenada en el espacio libre
en la región 2 mm < r < 3mm, 0 < θ < 90°, 0 < φ <
90°, dado el campo de potencial V igual a:
(a)→
(b)→
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)46.4 μJ
b)36.7 J
DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO
ELECTROSTÁTICO (CONT.)
V
r
V
r
2
cos300
200
θ
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  • 1. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS TEMA 4 ENERGÍA Y POTENCIAL Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez Ciclo Nov 2009 – Ene 2010 Santo Domingo, RD
  • 2. TABLA DE CONTENIDO 1. ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO 2. DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL 3. CAMPO DE POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL 4. EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA 5. GRADIENTE DE POTENCIAL 6. EL DIPOLO 7. DENSIDAD DE ENERGÍA EN UN CAMPO ELECTROSTÁTICO
  • 3. ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO Fuerza y Trabajo Supongamos que queremos desplazar una carga Q desde el punto A hasta el punto B en un campo eléctrico E, como se muestra en la siguiente figura : Basado en la Ley de Coulomb, la fuerza sobre Q es : F=QE. 1 El trabajo (gasto de energía) realizado en el desplazamiento de la carga por dl es : El signo negativo indica que el trabajo es realizado por un agente externo. El trabajo total, o la energía potencial requerida para mover Q de A a B es: El trabajo realizado es independiente de la trayectoria tomada si el campo es electrostático. LELF dQddW ⋅−=⋅−= ∫ ⋅−= B A dQW LE
  • 4. 2 Diferencial dL en los sistemas de coordenadas a)Rectangular b)Cilíndrica c)Esférica ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO (CONT.) φθ φρ φθθ φρρ aaraL aaaL aaaL drrddd dzddd dzdydxd r z zyx sin++= ++= ++= Conviene recordar …
  • 5. 3 Ejemplo 4.1: Se proporciona el campo no uniforme E=yax+xay+2az y se pide determinar el trabajo realizado en transportar una carga de 2C de B(1,0,1) a A(0.8,0.6,1) a través del arco más corto del círculo x2 +y2 =1 en z=1. Solución: 1.Recordamos que el diferencial de trayectoria dL en coordenadas cartesianas es : dxax+dyay+dzaz. ∫−= final inicial dQW LE. 2. Sustituimos datos del problema y el diferencial dL en la Ecuación : 3. Resultando : ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) JW W yyyxxxW dyydxxW dzxdyydxW dzdydxxyW final inicial zyxzyx 96.0 00644.048.0571.10927.048.0 sin1sin1 01212 422 22 6.0 0 12 8.0 1 12 6.0 0 2 8.0 1 2 6.0 0 1 1 8.0 1 −= −−+−−−+−= +−−+−−= −−−−−= −−−= ++⋅++−= −− ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ aaaaaa ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
  • 6. 4 D4.1 Dado el campo eléctrico V/m, encontrar la cantidad diferencial de trabajo para mover una carga de 6 nC una distancia de 2μm, comenzando en P(2,-2,3) y procediendo en la dirección aL : a)→ b)→ c)→ Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a)-149.3 fJ b)149.3 fJ c)0 ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO (CONT.) yx yx yx z z aa aaa aaa 7 6 7 3 7 2 7 3 7 6 7 2 7 3 7 6 + −− ++− ( )zyx yxzxxyz z aaaE 22 2 448 1 −+=
  • 7. 5 Ejemplo 4.2: Determine el trabajo realizado en cada caso. Ver figuras. (a) Una trayectoria circular. (b) Una trayectoria recta radial a lo largo de las cuales una carga Q es trasladada en el campo creado por una línea de carga infinita. ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
  • 8. 6 Ejemplo 4.2 (Cont.): Solución Caso A : ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO (CONT.) 0 2 2 0 1 10 = ⋅−= ⋅−= ∫ ∫ W dQW dQW final inicial L final inicial L φρ φρ φ πε ρ φρ ρπε ρ aa aa Solución Caso B : a bQ W d QW dQW L b a L final inicial L ln 2 2 2 0 0 0 πε ρ ρ ρ πε ρ ρ ρπε ρ ρρ −= −= ⋅−= ∫ ∫ aa
  • 9. La diferencia de potencial VAB es el trabajo que realiza un agente externo para mover una unidad de carga positiva de un punto a otro en un campo eléctrico. Esto es : 7 DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL ∫ ⋅−== B A AB d Q W V LE Diferencia de Potencial = Trabajo por unidad de Carga, y se mide en joules por coulomb, comúnmente llamada volt (V). Notas importantes : 1.Al determinar VAB, A es el punto inicial y B es el punto final. 2.Si VAB es negativo, una pérdida de energía potencial en el desplazamiento de Q de A a B, y esto implica que el trabajo es realizado por el campo. 3.Si VAB es positivo, hay una ganancia de energía potencial en el desplazamiento, y esto implica que el trabajo es realizado por un agente externo. 4.VAB es independiente de la trayectoria adoptada.
  • 10. 8 Ejemplo 4.3: Determine el trabajo realizado en cada caso. Ver figuras. DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL Solución : Observe que se trata del escenario mostrado en el ejemplo 4.2., en donde verificamos que : Y como la diferencia de potencial es trabajo por unidad de carga, entonces : a bQ W L ln 2 0πε ρ −= A B Q W V L AB ln 2 0πε ρ −==
  • 11. Cuando un campo E se debe a una carga puntual en el origen, entonces : Cuando la diferencia de potencial se mide con relación a un punto de referencia igual a cero, normalmente se utiliza el término : Potencial o Potencial Absoluto. 9 DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL (CONT.)       −= ⋅−= ∫ AB AB r r rrAB rr Q V dr r Q V B A 11 4 4 0 2 0 πε πε aa Si VAB =VB-VA, entonces VA y VB se miden con relación al punto de referencia cero. El potencial cero se supone en el infinito. El potencial en una distancia r desde la carga puntual, es el trabajo por unidad de carga realizado por un agente externo para transferir una carga de prueba del infinito a ese punto. Esto es: ∫∞ ⋅−= r dV LE
  • 12. 10 Ejemplo 4.4: Dos cargas puntuales de -4μC y 5 μC se localizan en (2,-1,3) y (0,4,-2), respectivamente. Halle el potencial en (1,0,1), suponiendo potencial cero en el infinito. DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL Evaluando distancias, se verifica que: Por tanto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 263,4,12,4,01,0,1 62,1,13,1,21,0,1 2 1 =−=−−=− =−−=−−=− rr rr Solución : Sea Si V(∞)=0, C=0, reduciendo la expresión a: ( ) C QQ V + − + − = 20 2 10 1 44 rrrr r πεπε ( ) 20 2 10 1 44 rrrr r − + − = πεπε QQ V ( ) ( ) kVV V 872.51,0,1 26 5 6 4 36 10 4 10 1,0,1 9 6 −=       + − × = − − π π
  • 13. 11 D4.4 Un campo eléctrico se expresa en coordenadas cartesianas como V/m. Encontrar : a)VMN si los puntos M y N están definidos como M(2,6,-1) y N(-3,-3,2). b)VM si V=0 en Q(4,-2,-35). c)VN si V=2 en P(1,2,-4). Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a)139.0 V b)120.0 V c)-19.0 V zyx yx aaaE 466 2 ++= DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL (CONT.)
  • 14. Recordamos la expresión : La diferencia de potencial solo depende de la distancia de cada punto a la carga y no de la trayectoria utilizada para mover la carga de un punto a otro. También recordamos que para definir un potencial con referencia cero, se hace V=0 en el infinito. 12 CAMPO DE POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL       −= AB AB rr Q V 11 4 0πε Por tanto, VAB=VB-VA=VB si A tiene r → ∞. De lo contrario VAB=VB + C. Otros detalles : (1)El potencial es un campo escalar. (2)Superficie Equipotencial : Se compone de aquellos puntos cuyo potencial tiene el mismo valor.
  • 15. 13 D4.5 Una carga puntual de 15 nC se encuentra en el espacio libre situada en el origen. Calcular V1 si el punto P1 se encuentra en (-2,3,-1) : a)y V=0 en (6,5,4). b)y V=0 en el infinito. c)y V=5V en (2,0,4). Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a)20.67 V b)36.0 V c)10.89 V CAMPO DE POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL
  • 16. Potencial n Cargas Puntuales : El potencial debido a n cargas puntuales se expresa : Reemplazando cada carga puntual por elementos de distribución de carga continuas y evaluando en el límite, se tiene : 14 EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA ( ) ( ) ∑= − = − +⋅⋅⋅+ − + − = n m m m n n Q V QQQ V 1 0 020 2 10 1 4 444 rr r rrrrrr r πε πεπεπε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ − = − = − = v v v S v L aVolumétricDistrib dv V lSuperficiaDistrib dS V LinealDistrib dL V . ' 4 . ' 4 . ' 4 0 0 0 r'r r' r r'r r' r r'r r' r πε ρ πε ρ πε ρ
  • 17. PUNTUALIZACIONES (1)No se realiza trabajo cuando una carga se lleva por cualquier trayectoria cerrada, es decir: (2)La ecuación anterior sólo es válida para campos estáticos, y se le conoce como ley de kirchhoff para voltajes. (3)Cualquier campo de fuerza que satisface la ecuación presentada en (1), se le llama campo conservativo, debido a que no es necesario realizar trabajo, es decir, la energía se conserva a lo largo de la trayectoria cerrada. (4)Ej. El campo gravitacional es conservativo. (5)En un campo no conservativo, la integral de línea puede dar cero para algunas trayectorias cerradas. 15 EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA (CONT.) ∫ =⋅ 0LE d
  • 18. 16 D4.6 Suponiendo que la referencia cero se halla en el infinito, encuentre el potencial en (0,0,2) que causa la siguiente configuración de carga en el espacio libre : a)12 nC/m en la línea ρ=2.5m, z=0. b)Una carga puntual de 18 nC en (1,2,-1). c)12 nC/m en la línea y=2.5m, z=0. Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a)529 V b)43.2 V c)67.4 V EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA (CONT.)
  • 19. 17 D4.7 La figura siguiente muestra una porción de un potencial bidimensional (Ez=0). Las líneas de la cuadrícula tienen una separación de 1mm en el campo real. Determine de una manera aproximada los valores para E en coordenadas cartesianas en : 1.a 2.b 3.c Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a)-1075ay V/m b)-600ax -700ay V/m c)-500ax -650ay V/m EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA (CONT.)
  • 20. 18 Gradiente de un Escalar El gradiente de un campo escalar V es un vector que representa tanto la magnitud como la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial de V. Evaluando la diferencia en el campo dV entre los puntos P1 y P2, donde V1, V2 y V3 son contornos de superficies equipotenciales. GRADIENTE DE POTENCIAL Por tanto,
  • 21. 19 Gradiente de un Escalar (Cont.) Matemáticamente : De forma simplificada, Por tanto, GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.) ( )zyxzyx dzdydx z V y V x V dV dz z V dy y V dx x V dV aaaaaa ++⋅      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = zyx z V y V x V aaaG ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ θ cos cos G dL dV dLGddV = =⋅= LG
  • 22. 20 GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.) Gradiente de un Escalar (Cont.) Como dL es el desplazamiento diferencial de P1 a P2 y theta es el ángulo entre G y dL, de la ecuación anterior se deduce que el valor máximo se obtiene cuando theta =0, o sea cuando dL está en la dirección de G. (dV/dN) es la derivada normal. Por definición G es el grandiente de V, de modo que: G dN dV dL dV máx == EsféricasCoord V r V rr V VVgrad sCilindricaCoord z VVV VVgrad sCartesianaCoord z V y V x V VVgrad r z zyx . sin 11 . 1 . φθ φρ φθθ φρρ aaa aaa aaa ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇=
  • 23. 21 GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.) Características Operaciones Gradiente Propiedades Fundamentales del Gradiente : 1.La magnitud de equivale a la máxima rapidez de cambio en V por unidad de distancia. 2. V apunta en la dirección de la máxima rapidez de cambio en V. ( ) ( ) VnVV U UVVV U V VUUVUV UVUV nn ∇=∇ ∇−∇ =      ∇ ∇+∇=∇ ∇+∇=+∇ −1 2 ∇ ∇ 3. V en cualquier punto es perpendicular a la superficie constante V que pasa por ese punto (verificar puntos P y Q en la figura anterior). 4. La proyección o componente de V en la dirección de un vector unitario a es V.a y se llama derivada direccional de V a lo largo de a. 5. Si A= V, se dice que V es el potencial escalar de A. ∇ ∇ ∇ ∇
  • 24. 22 GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.) Relación entre E y V: Recordamos que Y que E es perpendicular a las equipotenciales, por tanto, despejando se determina que: Por tanto, ∫ ⋅−= L dV LE N dN dV aE −= G dN dV dL dV máx == VVgrad −∇=−=E
  • 25. 23 GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.) Ejemplo 4.5 Dado el campo vectorial V=2x2 y-5z y el punto P (-4,3,6), se desea encontrar algunos valores numéricos en el punto P: (a)El potencial V (b)La intensidad de Campo Eléctrico E. (c)La dirección de E. (d)La densidad de flujo D. (e)La densidad volumétrica de carga ρv. Solución : 1.El potencial en P(-4,5,6) es: VP=2(-4)2 (3)-5(6)=66 Volts 2. Luego utilizamos la operación gradiente: 3. El valor de E en el punto P es: 4. La dirección de E en P la da el vector unitario. m VxxyV zyx aaaE 524 2 +−−=−∇= m VE m V zyx 9.575)32(48 53248 222 =+−+= +−= aaaE zyxP zyxP aaaa aaaa E E 086.0553.0829.0 9.57/)53248( , , +−= +−=
  • 26. 24 GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.) Solución (Cont.): 5.Suponiendo que los campos se encuentran en el espacio libre, tenemos que: 6.Recordemos la Ley de gauss en forma puntual: 3 2 0 3.4471.174.35 m pCxxy zyx aaaED +−−== ε 34.35 m pCyv −=⋅∇= Dρ
  • 27. 25 El Dipolo Eléctrico El dipolo eléctrico es el nombre dado a dos cargas puntuales de igual magnitud y signo contrario, separadas por una distancia pequeña comparada con la distancia al punto P en el cual se desea conocer los campos eléctricos y potencial. El la siguiente figura se muestra un dipolo: (a)Muestra la geometría del problema del dipolo eléctrico. El momento dipolar p=Qd está en la dirección de az. (b)Para un punto lejano P, R1 es esencialmente paralelo a R2, por lo que R2- R1=dcosθ. EL DIPOLO ELÉCTRICO
  • 28. 26 El Dipolo Eléctrico (Cont.) Sean las distancias de Q y –Q a P denotadas por R1 y R2, respectivamente. El potencial total se expresa como: Para un punto muy distante con respecto a las cargas, se tiene que R1=R2, transformando el producto R1 R2 en r2 . En el ejercicio, de suponer que R1 es paralelo a R2 se verifica que R2-R1=dcosθ, resultando que: EL DIPOLO ELÉCTRICO (CONT.) 21 12 0210 4 11 4 RR RRQ RR Q V − =      −= πεπε 2 04 cos r Qd V πε θ =
  • 29. 27 El Dipolo Eléctrico (Cont.) La definición del campo, en estas condiciones (z=0, θ=90°), se determinan a partir del gradiente. En coordenadas esféricas se tiene: EL DIPOLO ELÉCTRICO (CONT.) ( )θ θ φθ θθ πε πε θ πε θ φθθ aaE aaE aaaE sincos2 4 4 sin 2 cos sin 11 3 0 3 0 3 0 +=       −−−=       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −=−∇= r r r r Qd r Qd r Qd V r V rr V V Ecuaciones válidas para un punto distante.
  • 30. 28 El Dipolo Eléctrico (Cont.) El potencial del dipolo se puede simplificar utilizando la definición del momento dipolar. Como p=Qd [C.m] , y d.ar=dcosθ, generalizamos como: donde, r determina la localización del campo en el punto P, y r’el centro del dipolo. EL DIPOLO ELÉCTRICO (CONT.) ' ' '4 1 2 0 rr rr p rr − − ⋅ − = πε V Han escuchado el término multipolo. Los mismos son arreglos simétricos con un gran número de cargas puntuales que producen campos que disminuyen con el inverso de r elevado a un exponente cada vez mayor.
  • 31. 29 D4.9 Un dipolo eléctrico ubicado en el origen en el espacio libre tiene un momento p=3ax-2ay+az nC.m. Encontrar: (a)V en PA(2,3,4). (b)V en r=2.5, θ=30°,φ=40°. Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a)0.23V b)1.97 V EL DIPOLO ELÉCTRICO (CONT.)
  • 32. 30 RECORDANDO Trasladar una carga Q1 desde el infinito a cualquier posición no requiere trabajo, ya que no hay campo presente. Si queremos posicionar otra carga Q2 en algún punto del campo de Q1, se tiene: Adicionando cargas en el campo de las ya presentes: El trabajo total es la energía potencial del campo y se obtiene sumando cada contribución, esto es: DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO ELECTROSTÁTICO 1,222 VQWposQ = 3,442,441,44 2,331,33 4 3 VQVQVQW VQVQW posQ posQ ++= += ⋅⋅⋅++++++= 3,442,441,442,331,331,22 VQVQVQVQVQVQWE
  • 33. 31 Conviene precisar que: Quiere decir que la ecuación: Se puede expresar en la forma: Sumando ambas expresiones, se tiene: DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO ELECTROSTÁTICO (CONT.) 310 3 1 130 1 31,33 44 R Q Q R Q QVQ πεπε == ⋅⋅⋅++++++= 3,442,441,442,331,331,22 VQVQVQVQVQVQWE ⋅⋅⋅++++++= 4,334,224,113,223,112,11 VQVQVQVQVQVQWE ( ) ( ) ( ) ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++= 4,32,31,33 4,23,21,22 4,13,12,112 VVVQ VVVQ VVVQWE
  • 34. 32 La suma de los potenciales entre paréntesis corresponde al potencial debido a todas las cargas, exceptuando aquella donde se evalúa el potencial resultante. Por tanto, el potencial en la posición de Q1 debido a las cargas Q2, Q3, Q4, … es: De manera que la energía potencial es: Si la distribución de carga es continua, la expresión que resulta es: DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO ELECTROSTÁTICO (CONT.) ⋅⋅⋅+++= 4,13,12,11 VVVV ( ) ∑= =⋅⋅⋅+++= N m mmE VQVQVQVQW 1 332211 2 1 2 1 ∫= vol vE VdvW ρ 2 1
  • 35. 33 Sustituyendo la primera ecuación de Maxwell en su forma puntual se tiene: Recordando que el Teorema de la Divergencia establece que: Podemos hacer la siguiente transformación: En este caso, la integral de superficie es igual a cero cuando se evalúa en el límite r→∞, debido a que en la superficie cerrada que rodea el universo, V se aproxima a cero en (1/r), y D lo hace en (1/r2 ). DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO ELECTROSTÁTICO (CONT.) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫∫ ∇−⋅∇= ⋅∇== vol E volvol vE dvVVW VdvVdvW DD D 2 1 2 1 2 1 ρ ∫ ∫ ⋅∇=⋅ S vol dvd DSD ( ) ( )∫∫ ∇−= volS E dvVdVW . 2 1 . 2 1 DSD
  • 36. 34 De lo comentado se verifica: Recordando que el campo es función del gradiente de potencial: Sustituyendo : DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO ELECTROSTÁTICO (CONT.) ( )∫ ∇−= vol E dvVW . 2 1 D V−∇=E ∫∫ == volvol E dvEdvW 2 0 2 1 . 2 1 εED
  • 37. 35 Ejemplo 4.6 Calcular la energía almacenada en el campo electrostático de una sección de un cable coaxial. Solución : 1.Recordemos que: 2.De manera que el campo eléctrico se expresa: 3. Sustituyendo en WE, se tiene: 4. Recuerde que la carga total del conductor interno es : 5. Si se considera al conductor externo como una referencia cero, en el cilindro interno se verifica: 6. Sustituyendo se tiene: DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO ELECTROSTÁTICO (CONT.) ρ ρ ρ sa D = ρ ρε ρ aE 0 sa = a bLa W dzdd a W s E L b a s E ln 2 1 0 22 0 2 0 22 0 22 0 ε ρπ φρρ ρε ρ ε π = = ∫ ∫∫ saLQ ρπ2= aE QVW 2 1 = ∫∫ =−=−= a b ss a b a a ba d a dEV ln 00 ε ρ ρ ρε ρ ρρ Familiar… Verdad!
  • 38. 36 D4.11 Encontrar la energía almacenada en el espacio libre en la región 2 mm < r < 3mm, 0 < θ < 90°, 0 < φ < 90°, dado el campo de potencial V igual a: (a)→ (b)→ Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a)46.4 μJ b)36.7 J DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO ELECTROSTÁTICO (CONT.) V r V r 2 cos300 200 θ
  • 39. GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN