1. En el estudio de los conjuntos y las funciones es fundamental el sistema que se utilize para
representar los puntos. Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de espacio af´ o de
ın
espacio vectorial de Rn , utilizando el sistema de representaci´n cartesiana mediante pares de
o
n´meros, en el caso del plano, o mediante ternas en el caso del espacio, que identificamos con
u
Coordenadas un sistema de coordenadas ortogonal.
polares en el Sin embargo esta no es la unica forma posible de identificar los puntos. Hay otras formas
´
plano. de representaci´n que en ocasiones pueden resultar m´s utiles: el sistema de representaci´n
o a ´ o
Coordenadas cartesiana es util para representar la superficie de la tierra en un plano, pero sin embargo los
´
cil´
ındricas y barcos en el mas utilizan un sistema de radar bidimensional que sit´a los puntos del plano
u
esf´ricas en el
e en c´ırculos centrados en el origen de coordenadas, y los aviones o las naves espaciales, o los
espacio submarinos, utilizan un sistema de radar tridimensional. Estos sistemas se basan en los sistemas
de coordenadas polares, cil´ındricas y esf´ricas que vamos a ver en este cap´
e ıtulo.
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .

2. 1. Coordenadas polares en el plano
Partimos de la representaci´n cartesiana del plano mediante pares ordenados de n´meros, que
o u
representan la distancia del punto a dos ejes ortogonales, llamados ejes de coordenadas. La
Coordenadas costumbre es dibujar uno horizontal (abscisas) y otro vertical (ordenadas), y llamar x a la distancia
polares en el del punto P al eje vertical, e y a la distancia al eje horizontal.
plano. De este modo cada punto del plano est´ un´
a ıvocamente determinado por sus dos coordenadas
Coordenadas P = (x, y)
cil´
ındricas y
esf´ricas en el
e y P = (x, y)
espacio
r
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
t
Coordenadas . . .
x
Pues bien, tambi´n podemos identificar cada punto del plano por otros dos n´meros: uno es
e u
la distancia que lo separa del origen de coordenadas, r, y otro el ´ngulo t que forma el segmento
a
que une P con el origen con el sentido positivo del eje horizontal. r se denomina m´dulo de P
o

3. y t argumento de P , y el par (r, t) se denomina coordenadas polares de P .
Esta relaci´n no es un´
o ıvoca, en el sentido de que a un punto P le corresponden infinitos pares,
puesto que podemos escoger el ´ngulo t o cualquier otro de la forma t + 2kπ. Para que a un
a
punto le corresponda un unico par, debemos escoger los ´ngulos en un intervalo de longitud 2π,
´ a
Coordenadas que normalmente ser´ el intervalo [0, 2π). De esta manera, a cada punto P del plano distinto
a
polares en el del origen (0, 0) le corresponde un unico par (r, t), con r > 0 y 0 ≤ t < 2π.
´
plano. El origen de coordenadas se caracteriza porque r = 0, pero t puede ser cualquier ´ngulo.
a
Coordenadas Aplicando un poco de trigonometr´ la relaci´n entre las coordenadas cartesianas de un punto
ıa, o
cil´
ındricas y y sus coordenadas polares es clara:
esf´ricas en el
e
espacio
x = r cos(t) r = x2 + y 2
y = r sen(t) t = arctan(y/x)
Coordenadas . . .
Coordenadas . . . con una precauci´n: para que la funci´n arcotangente est´ bien definida (a un n´mero real
o o e u
Coordenadas . . . le corresponda un unico ´ngulo), debe escogerse un intervalo de longitud π en el que definir
´ a
la imagen. Usualmente se define la funci´n arcotangente de R en el intervalo [−π/2, π/2],
o
arctan : R −→ [−π/2, π/2]. En este caso para un punto P que est´ en el segundo o tercer
e
cuadrante del plano la funci´n arctan(y/x) nos dar´ un ´ngulo α entre −π/2 y π/2, y el verdadero
o a a
argumento de P ser´ t = α + π. Y si P est´ en el cuarto cuadrante, el argumento de P ser´
a a a
α + 2π. Es decir, deber´ ıamos escribir

4. t=α+π
t=α+π
Coordenadas α
polares en el t=α
plano.
Coordenadas α
cil´
ındricas y α
esf´ricas en el
e
espacio
t = α + 2π
Coordenadas . . .

Coordenadas . . .  arctan(y/x) si x ≥ 0, y ≥ 0
Coordenadas . . . t= arctan(y/x) + π si x<0
arctan(y/x) + 2π si x ≥ 0, y < 0

Esto es evidentemente bastante inc´modo. En muchos casos, para simplificar un poco, se
o
consideran los argumentos de los puntos del plano en [−π/2, 3π/2], en vez de en [0, 2π], y as´
ı
podemos eliminar la tercera opci´n en la definici´n de t, admitiendo que los puntos del cuarto
o o

5. t=α+π
t=α+π
Coordenadas α
polares en el t=α
plano.
Coordenadas α
cil´
ındricas y t=α
esf´ricas en el
e
espacio
cuadrante tienen argumento negativo.
Coordenadas . . .
Coordenadas . . . Ejemplo 1. Dibujar la curva definida en coordenadas polares por la ecuaci´n r = cos t
o
Coordenadas . . . Conociendo el comportamiento de la funci´n cos t, e interpretando la informaci´n que obte-
o o
nemos sobre r, observamos que
• Como tiene que ser r > 0, entonces cos t > 0, luego t ∈ [−π/2, π/2] + 2kπ (k ∈ Z); es
decir, los puntos de la curva estar´n todos en el semiplano de la derecha, x ≥ 0
a
• Como la funci´n r(t) = cos t es peri´dica de per´
o o ıodo 2π, en cada intervalo de longitud 2π
la curva se repite, luego basta considerar s´lo uno de los intervalos, t ∈ [−π/2, π/2]
o

6. • Como la funci´n r(t) es par, es decir, r(t) = r(−t), entonces la curva es sim´trica respecto
o e
al eje horizontal, as´ que se podr´ estudiar s´lo el intervalo [0, π/2], y repetir el dibujo en
ı ıa o
la parte inferior por simetr´
ıa.
Coordenadas • Los puntos de corte de la curva con los ejes de coordenadas son los que tienen t = −π/2,
polares en el t = 0, t = π/2 (y t = π, aunque en este ejemplo en particular este caso no puede darse,
plano. por lo que hemos visto arriba).
Coordenadas Si t = −π/2, r(t) = r(−π/2) = cos(π/2) = 0, es decir, el punto correspondiente est´ en
a
cil´
ındricas y el origen de coordenadas.
esf´ricas en el
e
Si t = 0, r(t) = r(0) = cos 0 = 1, luego el punto correspondiente esta en el eje horizontal,
espacio
a distancia 1 del origen; es decir, es el punto (1, 0)
Y si t = π/2, otra vez r(π/2) = 0, luego es el origen de coordenadas.
Coordenadas . . .
Coordenadas . . . • Y en los intervalos intermedios de los ´ngulos, si t ∈ [−π/2, 0], r(t) = cos t es mon´tona
a o
Coordenadas . . . creciente. Esto quiere decir que seg´n aumenta el ´ngulo desde el eje vertical hacia el eje
u a
horizontal, la distancia de los puntos de la curva al origen de coordenadas va aumentando,
hasta llegar al punto (1, 0).
En cambio en si t ∈ [0, π/2], la funci´n r(t) = cos t es mon´tona decreciente, luego a
o o
partir del eje horizontal, y hasta el eje vertical, los puntos vuelven a acercarse al origen de
coordenadas.

7. Si pasamos toda esta informaci´n al plano xy, podemos hacer un dibujo suficientemente
o
aproximado de la curva:
Coordenadas
polares en el
plano.
Coordenadas
cil´
ındricas y
esf´ricas en el
e
espacio
Coordenadas . . . En este ejemplo concreto es f´cil pasar la ecuaci´n de coordenadas polares a coordenadas
a o
Coordenadas . . . cartesianas, para comprobar el resultado:
Coordenadas . . .
Si r = cos(t), multiplicando por r, r2 = r cos(t), luego x2 + y 2 = x, equivalente a la ecuaci´n
o
(x − 1/2)2 + y 2 = 1/4, que es la de la circunferencia de centro (1/2, 0) y radio 1/2.

8. 2. Coordenadas cil´
ındricas en el espacio
En el espacio tridimensional partimos de la representaci´n cartesiana del espacio mediante ternas
o
ordenadas de n´meros, que representan la distancia del punto a tres ejes ortogonales, llamados
u
Coordenadas ejes de coordenadas.
polares en el De este modo cada punto del espacio est´ un´
a ıvocamente determinado por sus tres coordenadas
plano. P = (x, y, z)
Coordenadas Pero tambi´n podemos identificar cada punto del espacio por otros tres n´meros: dos n´meros
e u u
cil´
ındricas y r y t son las coordenadas polares en el plano horizontal de la proyecci´n de P sobre este plano,
o
esf´ricas en el
e P = (x, y, 0), y el tercero es la altura de P sobre el plano horizontal, la coordenada z. La terna
espacio (r, t, z) se denomina coordenadas cil´ ındricas de P .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .

9. z

P = (x, y, z)  x = r cos(t)
y = r sen(t)
z=z

Coordenadas
polares en el
z
plano. 
Coordenadas y
 r = x2 + y 2

 t = arctan(y/x)

cil´
ındricas y r

esf´ricas en el
e t
con las mismas condiciones que
x
 en las coordenadas polares

espacio 

z=z

Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Ejemplo 2. Dibujar la curva definida en coordenadas cil´
ındricas por las ecuaciones
Coordenadas . . .
r = s, t = s, z = s, con s ∈ R+ = [0, ∞)
Observamos f´cilmente que al ir creciendo el valor de s, el ´ngulo aumenta, haciendo que el
a a
punto vaya dando vueltas alrededor del eje vertical. Al mismo tiempo aumenta el radio, lo que
quiere decir que cada vez se aleja m´s del eje vertical, y la altura aumenta, luego va subiendo
a
hacia arriba.

10. Con m´s precisi´n, las ecuaciones r = s, z = s al pasarlas a coordenadas cartesianas implican
a o
z= x 2 + y 2 , luego la curva est´ contenida en la hoja superior del cono x2 + y 2 = z 2 .
a
Las ecuaciones t = s, z = s implican que los puntos de la curva van “subiendo” mientras
dan vueltas alrededor del eje vertical.
Coordenadas Se trata de una h´lice c´nica.
e o
polares en el
plano.
Coordenadas
cil´
ındricas y
esf´ricas en el
e
espacio
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .

11. 3. Coordenadas esf´ricas en el espacio
e
Cada punto del espacio tridimensional se puede identificar tambi´n mediante otros tres n´meros:
e u
dos ´ngulos y una distancia
a
Coordenadas ϕ es el ´ngulo que forma el vector P con el plano horizontal (latitud). θ es el ´ngulo que forma
a a
polares en el el vector P con el plano y = 0 (longitud). Y ρ es la distancia de P al origen de coordenadas. La
plano. terna (ρ, θ, ϕ) se denomina coordenadas esf´ricas de P .
e
Coordenadas
cil´
ındricas y
esf´ricas en el
e ϕ ∈ [−π/2, π/2], θ ∈ [0, 2π), ρ≥0
espacio
z
P = (x, y, z)
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . . ρ
ϕ
O y
θ
x
N M

12. Aplicando un poco de trigonometr´ a los tri´ngulos OP M y OM N , tenemos
ıa a
z = ρ sen ϕ
Coordenadas OM = ρ cos ϕ
polares en el x = OM cos θ = ρ cos ϕ cos θ
plano.
Coordenadas y = OM sen θ = ρ cos ϕ sen θ
cil´
ındricas y que son las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas cartesianas a partir de las coorde-
esf´ricas en el
e nadas esf´ricas.
e
espacio Rec´ıprocamente,
Coordenadas . . .
ρ= x2 + y 2 + z 2
Coordenadas . . .
Coordenadas . . . ϕ = arcsen(z/ρ)

 arctan(y/x) si x ≥ 0, y ≥ 0
θ= arctan(y/x) + π si x<0
arctan(y/x) + 2π si x ≥ 0, y < 0


13. Ejemplo 3. Escribir las ecuaciones en coordenadas polares de dos h´lices esf´ricas, que empiezan
e e
en el polo sur y acaban en el polo norte, despu´s de dar alguna vuelta a la esfera de centro el
e
origen y radio 2 al rededor del eje vertical.
En cualquier caso, los puntos de la curva est´n sobre la esfera de radio 2, luego tiene que ser
a
Coordenadas ρ = 2.
polares en el Para conseguir el efecto de girar alrededor del eje vertical, dejamos como variable el ´ngulo
a
plano. θ.
Coordenadas Y para que los puntos vayan subiendo desde el polo sur hasta el polo norte, el ´ngulo ϕ tiene
a
cil´
ındricas y que ir aumentando desde −π/2 hasta π/2.
esf´ricas en el
e Construimos dos ejemplos: en el primer caso, ϕ = −π/2 + θ/4 con θ ∈ [0, 4π], y en el
espacio segundo ϕ = −π/2 + θ/8 con θ ∈ [0, 8π]
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .

14. Coordenadas
polares en el
plano.
Coordenadas
cil´
ındricas y
esf´ricas en el
e
espacio
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .
Coordenadas . . .