El documento describe el sistema de coordenadas polares, el cual define la posición de un punto en un plano bidimensional mediante una distancia (r) y un ángulo (θ) con respecto a un origen. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo graficar puntos y ecuaciones en el sistema polar. También cubre el cálculo del área de una región definida por ecuaciones polares.

1. Sistema de Coordenadas Polares
Puede definirse como, un sistema de referencia constituido por un eje que pasa por
el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto,
mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por
ambos puntos.
Las coordenadas polares son un sistema que define la posición de un punto en un
espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
Al presentar el sistema de coordenadas polares, fijamos un punto del plano que lo
denotaremos con O y lo llamaremos polo u origen. Partiendo de O construimos un
rayo (semirrecta) al que llamaremos eje polar. Es usual tomar este rayo
horizontalmente, coincidente con semieje positivo de las abscisas, del sistema
cartesiano. A cada par ordenado de números reales (r, asociamos un único punto P
del plano, del modo siguiente: construimos el rayo del plano que partiendo de O forma un
ángulo (en radianes) con el eje polar como lado inicial. Para construir este rayo nos
movemos en sentido contrario a las agujas del reloj si es positivo, y en el sentido de las
agujas del si es negativo. Consideramos tres casos:
1. Si r > 0, P es el punto que esta sobre el lado terminal del ángulo a una distancia
igual a r del polo.
2. Si r < 0, P es el punto que está en el rayo opuesto al lado Terminal del ángulo y que
está a una distancia igual l r l = - r del polo.
3. Si r = 0, P es el polo, o sea P = O.
Es correspondencia entre el par ordenado (r, ) y con el punto P la denotaremos así P(r, ),
y diremos que r y son coordenadas polares de P.

2. Ejemplo: Graficar los puntos cuyas coordenadas polares son:
a. (2, π/4) b. (-2, π/6) c. (1, -2 π/3)
Solución.
a. (2, π/4) b. (-2, π/6) c. (1, -2 π/3)
Para facilitar la graficación en coordenadas polares se construyen circunferencias con
centro en el polo, del cual también parten rayos que forman distintos ángulos (π/6, π/3,
π/2..) con el eje polar. Cada punto P del plano es la intersección de una circunferencia con
un rayo. El radio r de la circunferencia y el ángulo que forman el rayo con el eje polar, nos
proporciona un juego de coordenadas polares (r, del punto P.

3. Observar que:
1. El rayo de ángulo π/2, llamado eje π/2, es el semieje positivo de las ordenadas.
2. El rayo del ángulo π o – π es el semieje negativo de las abscisas.
3. El rayo del ángulo 3 π/2 o - π/2 es el semieje negativo de las ordenadas.
El sistema de coordenadas rectangulares establece una correspondencia biunívoca entre
el conjunto de los puntos P del plano con el conjunto de pares ordenados (x, y). Este
resultado nos permite identificar el punto P con sus coordenadas. Esto es, P = (x, y). En
cambio, en el sistema de coordenadas polares, si bien es cierto que a cada par (r,  le
corresponde un único punto P, el punto P tiene infinitas coordenadas polares. En efecto, a
P, además de (r, , le corresponde todas estas coordenadas polares:
1. (r, 2n π) y 2. (-r, + (2n+1) π), n ∈ Z
Estas dos expresiones se pueden sintetizar en una sola:
((-1)n
r,  + n π), n ∈ Z
Conversión de Coordenadas:
El siguiente teorema nos da las fórmulas que nos permiten cambiar coordenadas polares a
rectangulares y viceversa.
Teorema: si las coordenadas polares y rectangulares de un punto son (r,  y (x, y), entonces
1. x = r cos
2. y = r sen 
3. r2
= x2
+ y2
4. tan y/x
Estas 4 igualdades se obtienen inmediatamente al observar la figura, en la cual al eje
polar hacemos coincidir con la parte positiva del eje positivo de las X.
Gráficos de Ecuaciones Polares:
El grafico de una ecuación polar F(r, estáconformadoportodos los puntos P del plano
que tienen al menos una representación polar (r, que satisface la ecuación. Una parte
muy importante de ecuaciones la constituyen las funciones
r = f((1)

4. Teniendo en cuenta que las coordenadas (r,  y ( (-1)n
r , + n π) representan al mismo
punto, la gráfica de r = f(es la misma que la de:
((-1)n
r = f( + n π), n ∈ Z (2)
Recordemos que, en coordenadas rectangulares, si c > 0, la gráfica de y = f(x-c) se obtiene
de la gráfica de y = f(x) trasladándola c unidades a la derecha, y la gráfica de y = f(x + c) se
obtiene de la gráfica de y = f(x) trasladándola c unidades a la izquierda. Este criterio, en
términos de coordenadas polares dice:
Si entonces para obtener la gráfica de:
1. r = f(rotar alrededor del polo la gráfica de r = f(radianes en sentido
antihorario.
2. r = f(rotar alrededor del polo la gráfica de (radianes en sentido horario.
AREA DE UNA REGION EN EL PLANO DE COORDENADAS POLARES
Ahora, bien cuando se quiere hallar el área comprendida entre dos gráficas polares, se
emplea el procedimiento conocido de sustraer un área de otra. Aunque en el siguiente
ejemplo los cálculos no fueron sencillos, con frecuencia, determinar los límites de
integración es la parte más desafiante para hallar el área de una región polar.
Ejemplo: Hallar el área de la región A comprendida dentro del caracol cos21r y el
exterior del circulo 2r
Solución
2cos21  , igualando
0cos221 
021  cos , entonces: 2 cos  = 1, luego
2
1
cos  , por lo que
2
1
cos 1
 y
además 3/

5. Estos valores son los límites de integración que se necesitan, luego:
   
 
)
2
(ucuadradasUnidades
3
π3
2
53
π
0
)θsen2θ(4cosθ
3
π
0
Cálculo.dellFundamentaTeoremayLinealidadd12cos2θ4cosθ
3
π
0
dθ3θ
2
4cos4cosθ
3
π
3
π
dθ
2
2
2
2cosθ1
2
1
A

 
 





