Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo definir la posición de un punto usando la distancia al polo (radio r) y el ángulo con el eje polar (ángulo θ). También explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área de regiones usando coordenadas polares.
2. Sistema de Coordenadas Polares
En este tipo de representación los puntos del plano tienen asociados
dos coordenadas: su distancia al polo y el ángulo con el eje polar. A la
distancia se le suele llamar radio y se designa por la letra r o la letra
griega r (rho), al ángulo se le suele designar por la letra griega q
(theta).
Sistema de Coordenadas
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten
definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio
geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de
ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los
cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo
que se denomina sistema de referencia.
3. Sistema de Coordenadas Polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por
el origen. La primera coordenada es la distancia existente
entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el
ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos
puntos.
Las coordenadas polares son un sistema que definen la
posición de un punto en un espacio bidimensional
consistente en un ángulo y una distancia.
En muchos casos es útil utilizar las coordenadas
cartesianas para definir una función en el plano o en el
espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones
en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y
complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas
polares o esféricas puede simplificarnos la vida.
4. Gráficas de Ecuaciones en
Coordenadas Polares
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los
cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una
ecuación polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas
polares satisfacen la ecuación dada.
Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familiares). La clave para dibujar las
mismas de una ecuación polar, es mantener siempre presente que representan las
coordenadas polares.
Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de
coordenadas polares, podemos graficar funciones y no sólo puntos. En este tipo de
funciones la variable independiente es θ y la dependiente es r, así que las funciones
son del tipo r = r(θ). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero
graficamos la función r = r(θ) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica
trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con
respecto a θ.
Recordemos que θ es la variable independiente y generalmente va de 0 a 2π.
5. Intersección de Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó
una variedad de gráficas de las mismas, el próximo paso
Gráficas en consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de
intersección de ecuaciones en dichas coordenadas
Coordenadas polares, con el propósito de buscar todos los puntos de
dicha intersección.
Polares
Puesto que un punto puede representarse de formas
diferentes en coordenadas polares, debe tenerse especial
cuidado al determinar los puntos de intersección de dos
gráficas polares, por lo que se sugiere realizar el dibujo de
las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el
área de una región polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos de
intersección de dos gráficas polares con el de encontrar los
puntos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la
tierra, dichos satélites no entrarían en colisión en tanto
lleguen a los puntos de intersección en tiempos diferentes
(valores de q).
La colisión se producirá solamente en aquellos puntos de
intersección que sean "puntos simultáneos", aquellos a los
que se llega en el mismo instante (valor de q).
6. Calcular el Área de una Región Plana
en Coordenadas Polares
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo
al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores
de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha
área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de
radio r viene dada por:
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no negativa en el
intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para hallar el área de esta
región, partimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos iguales a = q < q < q <........< q
<q=b
A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de los n
sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la fórmula para
hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no negativa.
Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores positivos y negativos en el
intervalo [ a , b ] .
7. AREA DE UNA REGION EN EL PLANO
DE COORDENADAS POLARES
Ahora, bien cuando se quiere hallar el área comprendida
entre dos gráficas polares, se emplea el procedimiento
conocido de sustraer un área de otra. Aunque en el siguiente
ejemplo los cálculos no fueron sencillos, con
frecuencia, determinar los límites de integración es la parte
más desafiante para hallar el área de una región polar.
