1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA PARTICULAR " MUNDO MEJOR" PRACTIQUEMOS 13. Los vértices de un triángulo ABC son A(2;7),
Dirigido y promovido por: B(5;1) y C(x;3); si su área es 18 u2
La Congregación de Hermanos Cristianos en el Perú 1. Uno de los extremos de un segmento determinar el valor de la abscisa de C.
rectilíneo de longitud 5 cm es el punto
ALUMNO(A).................................................................................. FECHA:.................... P (3, -2). Si la abscisa de un extremo es 6. 14. A(3;1); B(1;-3) son las coordenadas de dos
TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA GRADO: CUARTO: A–R–V PROF: CARLOS VILLAR Hallar su ordenada. vértices de un triángulo de 3cm2; si el
baricentro pertenece al eje de las abscisas.
2. El segmento PQ tiene extremos P( 6 ; y ) y Halle el vértice C
Q( x; 20) y las coordenadas de su punto
GEOMETRÍA ANALÍTICA 4. DIVISIÒN DE UN SEGMENTO EN UNA medio son ( 10; 14). Calcular ( x+y ) 15. Si A(-3;4); B(4;5) y C(1;-4) son vértices de un
RAZON DADA: Dado el segmento de triángulo; encontrar las coordenadas del
extremos A y B, cuyas coordenadas son 3. Calcule el área de un cuadrado cuyo centro circuncentro del triángulo.
Rama de la geometría en la que las líneas rectas, A = (x0;y0), B = (x1;y1) y M es un punto de
las curvas y las figuras geométricas se es el origen y dos de sus vértices son: (2;0) y
AB, tal que: M = (x;y). Luego las (0; -2) 16. Las ciudades A, B y C están localizadas en
representan mediante expresiones algebraicas y coordenadas del punto M se determinaran (0;0) , ( 288 ; 120 ) y ( 408 ; 345 ) ,
numéricas usando un conjunto de ejes y mediante: Considere: AM = r respectivamente, con las distancias en
coordenadas. Cualquier punto del plano se puede 4. Se dan las coordenadas de los vértices de
MB un triángulo ABC; A=(-2;-1), B=(4;7) y kilómetros. Hay carreteras rectas entre A y B
localizar con respecto a un par de ejes y entre B y C, pero solo la ruta aérea va
perpendiculares dando las distancias del punto a C=(10;-1) Hallar el perímetro del triángulo
X = X0 +r X1 Y = Y0 + rY1 directo de A a C. Cuesta $ 0,5 por kilómetro
cada uno de los ejes. enviar un paquete en camión y $ 0,8 por
1+r 1+r 5. Los puntos A(-3;1), B (1;5), C (7;3), son los
vértices del triángulo ABC. Calcular la kilómetro en avión. Calcule la forma más
En general, una línea recta se puede representar medida de la altura más corta barata que hay para enviar paquetes de A a
siempre utilizando una ecuación lineal en dos 5. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. Puede C y determinar cuánto dinero se ahorra
variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0. De la calcularse dados las coordenadas de sus 6. En el triángulo dos de sus vértices son eligiendo esta forma de envío.
misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la vértices. A(1;3); B(7;1); además el baricentro es
circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. G(5;0) ¿Cuál es la coordenada del vértice?
ECUACIÓN DE LA RECTA
7. Los puntos A(-4;-3); B(-1;5); C(10;9) y D(7;1)
son los vértices de un paralelogramo.
¿Cuáles son las coordenadas del punto de Es una expresión matemática que sólo se
PLANO CARTESIANO intersección de sus diagonales? verifica o satisface para los puntos de la recta.
1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: La 8. Dos vértices de un triángulo equilátero ABC, De acuerdo a la forma de la ecuación se tiene
distancia entre dos puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2); son los puntos A(-1, -5) y B(-4,2). Hallar su la ecuación punto-pendiente y la ecuación
puede encontrarse usando la fórmula: área. general.
d x2  x1 2   y2  y1 2 9. Hallar el área del polígono cuyas Ecuación Punto Pendiente
coordenadas de los vértices son: A(1,5),
B(-2, 4), C(-3, -1), D(2, -3), E(5, 1). y
2. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Sean los
puntos extremos del segmento P1(x1; y1) y P2(x2; L
y2); el punto medio se calcula usando la fórmula: 10. ABC es un triángulo equilátero. Las
coordenadas de B y C son respectivamente: (0,b) L : y  mx  b
 x  x2 y1  y2  (8; 5) y (14; 5). Halle las coordenadas de A
M  1 ; 
 2 2  11. Dado el rombo ABCD de lado 5x10½ y dos de
sus vértices opuestos: A(4;9); C(-2;1). Hallar
3. BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO: Sean los su área º
vértices del triángulo A(x1;y1); B(x2;y2) y C(x3;y3), x
las coordenadas del baricentro son: 12. Los puntos A(-8;-5), B (-2;6), C (4;0), son los 0 (a,0)
vértices del triángulo ABC. Calcular la
x1  x2  x3 y1  y2  y3 medida de la mediana más corta
x y Ecuación General: ax + by + c = 0
3 3

2. Recta que pasa por el origen de coordenadas 17. Halla la ecuación principal de la recta que 31. Dados los puntos P(2;3) y Q(-1;0), hallar la 41. El punto A(-4; 5), es un vértice del
pasa por los puntos P(- 3, 2) y Q(4, 5). ecuación de la recta que pasa por Q, cuadrado, cuya diagonal está en la recta L1 :
RECTAS PARALELAS
18. Encuentra la ecuación de la recta que tiene perpendicular al segmento PQ 7x – y +8 =0. Hallar la ecuación de la
Dadas dos rectas que responden a las siguientes pendiente m = 3 y pasa por el punto P(1, -1). segunda diagonal
ecuaciones: 32. Determine la ecuación de la mediatriz del
y1 = m1 x + b1 19. Halle la ecuación general de la recta que segmento. Si: A (2,3) y B (5,8) 42. Dadas las rectas perpendiculares L1 y L2,
y2 = m2 x + b2 pasa por el punto P(2, 5) y corta al eje X en secantes en el punto A(4; 5) y forman con el
el punto que la recta de ecuación y = x - 4.
Dichas rectas serán paralelas si: m1 = m2 33. El área de un triángulo es 8 u2; dos de sus eje ―Y‖ una región triangular de área 16 u2.
20. Verifica analíticamente si los puntos A(2, 3), vértices son los puntos A(1;-2), B(2;3) y el Hallar las coordenadas del punto de
B(-1, -3) y C(0, -1) son colineales. tercer vértice C está en la recta: 2x + y – 2 = intersección de L2, cuya pendiente es
RECTAS PERPENDICULARES 0. Halle las coordenadas del vértice C. negativa con el eje ―Y‖.
21. Una recta es paralela a la recta que pasa por
Dadas dos rectas y1 , y2 que responden a las los puntos P(2, 3) y Q(4, -2). Determina su
siguientes ecuaciones: ecuación general, sabiendo que la recta pasa 34. Dados los vértices de un triángulo A(1;-1), 43. Hallar el área del triángulo formado por las
por el origen. B(-2;1) y C(3;5), hallar la ecuación de la  
rectas L : y = 4x – 3 L : y = 3x - 4
y1 = m1 x + b1 recta perpendicular trazada desde el vértice 1 2
Y2 = m2 x + b2 22. Los puntos P(0, 1), Q(2, 7) y R(a, -2) son 
A a la mediana trazada desde el vértice B. L3 : y = 2x-6
colineales. Calcula el valor de a.
1
Si: m1 = 23. Sabiendo que P = ( a, a +2 ) pertenece a la 35. Dos rectas se intersectan formando un
m2 44. Una recta pasa por el punto de intersección
recta de ecuación 2x + 3y -1 = 0, Calcular las ángulo de 135º, sabiendo que la recta final
coordenadas de dicho punto. de las rectas: 2x – 3y – 5 = 0 y x + 2y –
las rectas serán perpendiculares. tiene pendiente igual a -3. Calcular la
13 = 0 y el segmento que determina sobre
24. Sean los puntos A ( 3,5 ), B ( 7, -1), C ( 0,0 ) pendiente de la recta final.
el eje X es igual al doble de su pendiente.
y D (12, 8 ). ¿Es AB // CD? Hallar la ecuación de dicha recta.
36. Calcular la distancia de la recta:
Casos particulares: 25. Determinar el valor de p, de forma tal que: 3x + 4y + 4 = 0 al punto A (1; 2)
px –y –1 = 0 y ( p—1)x + py + 10 = 0 sean 45. Determinar los valores de k1 y k2 para que
Si: m = 0 resulta y = b = constante perpendiculares. las dos ecuaciones: k1x – 7y + 18 = 0 y
37. Hallar el área del triángulo formado por los
será una recta paralela al eje x. 8x – k2y + 9k1 = 0 Representan la misma
26. Escribir la recta que pasa por ( 8, -2 ) y que ejes coordenados y al recta: Y = 3x - 12
recta
es perpendicular a la recta 5x – 3y = 7.
Ecuación de la recta que pasa por dos 38. La recta: L1: x – y – 6 = 0 es perpendicular a
27. Las coordenadas de 3 de los vértices de un 46. Una recta L1, de pendiente negativa cuya
puntos rombo ABCD son A(-2,3); B(-5,1); C(-2,-1). la recta L2 que pasa por el punto M(1;2).
ordenada en el origen es 5, forma con el eje
¿Cuáles son las coordenadas del vértice D? Calcular las coordenadas del punto de
Dadas las coordenadas de dos puntos de una de ordenadas y con la recta L2 : 7x – y – 19
intersección de dichas rectas
recta es posible encontrar la ecuación de la 28. Los puntos medios de los lados de un = 0, un triángulo de área 36 u2. Determinar
recta que determine. triángulo son (2,5); (4,2) y (1,1). Hallar la la ecuación general de la recta L1.
39. Calcular la ecuación de la recta, cuyos
suma de las coordenadas de los tres
Dados Po (xo ; yo) y P1 (x1 ; y1), dos puntos vértices. puntos equidistan de las rectas:
cualesquiera, representamos ambos en el 47. Hallar la ecuación de una recta L de
L1: 12x – 5y +20 =0 L2: 12x – 5y – 10 =0
plano: pendiente positiva que intercepta al eje X en
29. El baricentro del triángulo ABC es (3, -2) y el un punto A y a la recta L1 : x = 6 es un punto
punto medio del lado BC es (7; 1) Calcular la 40. Hallar las ecuaciones de los lados de un
B de ordenada 8, si se sabe además que L,
y1  yo longitud de la mediana relativa a dicho lado. triángulo ABC conociendo uno de sus
de donde; y – yo = (x – xo) L1 y el eje X determinan un triángulo de área
y1  xo vértices C(4;-1) y las ecuaciones de una de
30. Los vértices opuestos de un rectángulo son igual a 48 u2.
las alturas 2x-3y + 12 = 0 y la mediana.
los puntos A(2; -3) y C(-6; 3). Si perímetro
es 24. Calcular el valor de su área.