1. Volumen 1, nº 1
Revista semestral de calculo
05/12/2013
Autor: Gabriel José González Marín
Coordenadas polares.

2. Revista semestral de calculo
Volumen 1, nº 1
05/12/2013
Autor: Gabriel José González Marín
Coordenadas polares.
Puntos de interés especial:
 Sistema de coordenadas polares
 Grafica de una ecuación polar.
 Intersección de graficas en coordenadas polares.
Para definir las coordenadas polares, lo primero que arreglemos un O origen (llamado
el polo) y una radiografía inicial de O (Figura 1). Luego, cada punto P se puede localizar mediante el nombramiento de una coordenada polar pareja en la que R da la distancia dirigida de O a P y da la dirigida ángulo del rayo inicial para OP .
 Calculo del área en coordenadas
polares.
Sistema de coordenadas polares
Contenido:
Como elaborar una grafica de una
ecuación polar.
3
Ecuación polar de rosa de n pétalos definida por el seno.
3
Ecuación polar de rosa de n pétalos definida por el coseno.
3
Ecuación de cardiodes que se
obtienen con la función seno.
4
Ecuación de cardiodes que se
obtienen con la función coseno.
4
Ecuación de la espiral de Arquíme- 4
des.
Ecuación de la espiral logarítmica.
5
Intersección de graficas en coorde- 5
nadas polares , mediante superposición de graficas
Intersección de graficas en coorde- 5
nadas polares mediante la igualación de expresiones
Calculo de áreas en coordenadas
polares
6
Pasa tiempo
7
Libros de referenciales
8
Tablas y formulas trigonométricas
10
El propósito de la presente publicación, es el de servir de
marco referencial introductorio
al conocimiento de lo que son
las coordenadas polares. Para
todos aquellos interesados en
el manejo y dominio de las
coordenadas polares.
Cuando se desea ubicar un
punto en el plano cartesiano,
normalmente se recurre al uso
de las coordenadas (x,y). Otra
manera de hacer referencia a
dicha coordenada lo constituye
el uso de las coordenadas polares, donde se tendrán como
valores respectivos, el radio
( R ) “Distancia de el origen
hasta el punto”, y el ángulo (θ)
radial de ubicación del punto en
cuestión. Tal como se indica en
la figura 1.
Como se puede apreciar claramente cualquier punto en el P (x,y)
plano cartesiano, puede ser
representado mediante su representación en coordenadas
polares (R,θ).
En este caso se tiene que R no
es mas que la hipotenusa de un
rectángulo. Cuya coordenada
en el eje de las abscisas es x y
en eje de las ordenadas es y.
R
θ
0
Figura 1. coordenada Polar
En consecuencia, desde el punto de vista matemático haciendo uso del teorema de Pitágoras se tiene:
Y adicionalmente , se tiene que:
Grafica de una ecuación polar
Ciertamente, en principio la
representación de un punto
P(x,y) haciendo uso de las coordenadas polares, nos resulta
un tanto poco familiar. Pero una
vez que se comprende se hace
de habito natural su utilización.
Cuando se tiene una sucesión
de puntos obtenidos de ecuaciones polares, su representación resulta ser bastante elemental.
Mediante el uso, del Excel en
esta revista, se mostrara de
manera sencilla, las diversas
formas que se obtienen, al gra-
ficar una ecuación polar. Dichas
graficas nos resultan bastante
familiares, ya que constantemente nos las encontramos en
la naturaleza que nos rodea. Se
ilustrara de manera didáctica la
metodología que se sigue en la
obtención de las graficas correspondientes.

3. Página 3
Revista semestral de calculo
Como elaborar una grafica de una ecuación polar.
Cuando se tiene que construir
la grafica de una ecuación polar, se hace uso de una hoja
para graficar en coordenadas
polares. Similar a la que se
ilustra en la figura 2.
Figura 2.– Hoja para graficar en
coordenadas polares
Como podemos observar claramente, dicha hoja esta constituida por la división angular de
los cuatro cuadrantes del plano
cartesiano; con una serie de
círculos concéntricos de color
rojo (en estos se hará corresponder el radio de la ecuación
polar dada) .
Cuando el valor, del radio fuese
negativo, su magnitud se ubicara en un ángulo que será 180°
mas al correspondiente dado θ.
Si por ejemplo: tuviésemos que
para θ =30°, el valor de R calculado nos da –5; con una magnitud de 5 y un ángulo de 210°,
colocaremos el punto que corresponde a la coordenada
polar de (-5, 30°), cuya representación efectiva será el punto
de coordenada polar ( 5, 210°).
Ecuación polar de rosa de n pétalos definida por el seno.
Figura 3.– Gráfica de la rosa de 3
pétalos generada con la función
seno
Las ecuaciones polares de la
forma R=a sen(nθ) corresponde a una rosa de n pétalos si n
es impar. Pero cuando n es par
corresponde a una rosa de 2n
pétalos. Tal como se puede
apreciar claramente, en la figura 3 se obtiene una rosa de 3
pétalos, ya que para este caso
el valor de n definido fue de 3;
en este caso el valor de a, definirá el máximo radio que se
obtendrá para el pétalo.
Para la construcción de dicha
grafica se elabora una tabla
cuyos valores angulares serán
desde 0° hasta los 360°, al
cual le corresponderá su respectivo valor del radio.
Ecuación polar de rosa de n pétalos definida por el coseno.
Las ecuaciones polares de la
forma R=a cos(nθ) corresponde a una rosa de n pétalos si n
es impar. Pero cuando n es par
corresponde a una rosa de 2n
pétalos. Tal como se puede
apreciar claramente, en la figura 3 se obtiene una rosa de 3
pétalos, ya que para este caso
el valor de n definido fue de
Figura 4.– Gráfica de la rosa de 3
3; en este caso el valor de a,
pétalos generada con la función
coseno
definirá el máximo radio que se
obtendrá para el pétalo.
Para la construcción de dicha
grafica se elabora una tabla
cuyos valores angulares serán
desde 0° hasta los 360°, al
cual le corresponderá su respectivo valor del radio.
Como puede evidenciarse claramente, ambas se diferencian
en el echo de que uno de los
lóbulos se asienta claramente
sobre el eje correspondiente, a
la función que lo ha generado
tal como se observa en las figuras 3 y 4 respectivamente.

4. Volumen 1, nº 1
Página 4
Ecuación de cardiodes que se obtienen con la función seno.
“el arte de graficar
es innato del ser
humano , y por
muy torcidas que
las líneas queden,
darán siempre una
idea de un buen
concepto escondido”
Consideremos las ecuaciones
de la forma R= a+b sen(θ). Donde a y be son coeficientes cualesquiera. Que pertenezcan al
conjunto de los números reales.
la figura 5.
A las graficas correspondientes
se les llama limacons, con los
casos particulares cuando en
modulo a=b se les lama cardioides. Debido a que asemejan a
un corazón.
Tal como se puede apreciar en
Figura 5.– Gráfica de cardioide
generada con la función seno
Ecuación de cardiodes que se obtienen con la función coseno.
Consideremos las ecuaciones
de la forma R= a+b cos(θ). Donde a y be son coeficientes cualesquiera. Que pertenezcan al
conjunto de los números reales.
Figura 6.– Gráfica de cardioide
generada con la función coseno
Tal como se puede apreciar en
la figura 6.
A las graficas correspondientes
se les llama limacons, con los
casos particulares cuando en
modulo a=b se les lama cardioides. Debido a que asemejan a
un corazón.
Ecuación de la espiral de Arquímedes.
La grafica de R=a θ, es una
espiral de Arquímedes.
Tal como se puede apreciar en
la figura 7.
Figura 7.– Gráfica de espiral
de Arquímedes
Circunstancialmente, esta figura se encuentra ampliamente
documentada en diversos escritos de las culturas antiguas, y
también se le encontraba en el
interior de los sistemas de
relojes de cuerda, y aun hoy en
día se les encuentra también
en los muelles de los temporizadores de cuerda de sistemas
semi automáticos.

5. Página 5
Revista semestral de calculo
Ecuación de la espiral logarítmica.
La espiral logarítmica viene
dada por la expresión: R= a e bθ.
Tal como se observa en la Figura 8.
Si se observa detenidamente y
se compara con la espiral de
Arquímedes, la espiral logarítmica crece de manera exponencial, de manera bastante acelerada. Este tipo de espiral suele
encontrarse presente en algunas especies de caracoles
terrestres y marinos.
-40
40
30
20
10
0
-20 -10 0
-20
-30
-40
20
40
60
Figura 8. Gráfica espiral logarítmica
Intersección de graficas en coordenadas polares , mediante superposición de graficas
Cuando se requiere intersectar
dos graficas las cuales se han
desarrollado en coordenadas
polares, basta con reemplazar
la expresión del radio de una de
ellas, en la otra y determinar el
valor angular θi, que hace posible que ambas expresiones
sean iguales.
bas graficas sobre una misma
hoja de graficas polares.
Tal como se ilustra en la Figura
9.
Desde el punto de vista grafico
esta puedes ser realizada, mediante la superposición de amFigura 9. Gráfica intersección de
rosa de cinco pétalos con cardioide
Intersección de graficas en coordenadas polares mediante la igualación de expresiones
Dadas las siguientes expresiones, determine la intersección.:
R= cos(θ) ; R=1-cos(θ)
Al igualar se tiene:
Cos(θ)=1-Cos(θ)
2Cos(θ)=1
Cos(θ)=1/2 → θ =cos-1(1/2)
Θ=1/3π ; Θ=5/6π
Figura 10. Gráfica intersección de
circunferencia con cardioide.

6. Volumen 1, nº 1
Página 6
Calculo de áreas en coordenadas polares
La expresión dada para el
calculo del área para el lóbulo
interior en su parte inferior del
limacon, viene dada por la expresión
Resolviendo se tiene:
En consecuencia:
Nota en caso de dudas de las operaciones de transformación, refiérase a la pagina N° 10 de la presente revista.

7. Volumen 1, nº 1
Página 7
Pasa tiempos
Busque y numere en una lista las palabras claves mencionadas en la revistas presentes en esta sopa de letras.
V
C
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B
Identifique por su nombre a las siguientes graficas polares y especifique su potencial
ecuación
15
10
5
0
-5
0
-5
-10
-15
5
10
15
20
25

8. Libros referenciales disponibles en la Web

9. En la siguiente dirección tendrán a disposición, una amplia biblioteca de libros para ser descargados de diversas materias y temas.
En este recuadro se escribe el nombre
del libro que re requiere
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10. Tablas y formulas trigonométricas

12. Coordenadas polares.
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comunicarse al email del autor del presente articulo de la revista, para que visualice las graficas de coordenadas polares características con tan solo suministrarle los datos solicitados.
Copyright Gabriel José González
Marín