Este documento introduce las coordenadas polares como un sistema alternativo para representar puntos en un plano. Explica que las coordenadas polares consisten en la distancia r de un punto al polo y el ángulo θ que forma con el eje polar. También cubre cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, cómo graficar ecuaciones polares, y cómo calcular el área de una región delimitada por una función polar. Incluye ejemplos de curvas como la rosa de ocho pétalos representada en coordenadas polares.
2. INTRODUCCION
Ya se ha visto en cursos anteriores que los puntos del
plano se pueden representar en coordenadas
cartesianas mediante dos números, En este tema veremos
que los puntos del plano también se pueden representar
usando otro sistema de referencia, que
denominamos coordenadas polares.
En esta unidad se introducen las coordenadas polares y
algunos ejemplos que ilustran su utilidad para representar,
mediante ecuaciones con dichas coordenadas, algunas
curvas clásicas como la Cardioide, la Lemniscata de
Bernoulli, los Lazos, las Cónicas y algunas espirales, entre
otras.
3. Como se podrá observar en algunos ejemplos de representación
de las curvas en coordenadas polares, sólo es preciso definir las
mismas de cada punto: r (distancia al polo) y t (ángulo con el eje
polar), en función de las coordenadas cartesianas x e y.
4. Sistemas de Coordenadas
Un sistema de coordenadas es un conjunto de
valores que permiten definir unívocamente la posición
de cualquier punto de un espacio
geométricorespecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o
planos que confluyen en el origen y a partir de los
cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto,
constituyen lo que se denomina sistema de
referencia.
5. Coordenadas Polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa
por el origen. La primera coordenada es la distancia
existente entre el origen y el punto, mientras que la
segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que
pasa por ambos puntos.
Las coordenadas polares son un sistema que
definen la posición de un punto en un espacio
bidimensional consistente en un ángulo y una
distancia.
6. Ejemplo
Por conveniencia, comencemos con un sistema dado de coordenadas xy,
tomemos después el origen como polo y el semieje no negativo de las x como
eje polar. Dado el polo O y el eje polar, el punto P cuyas coordenadas polares
so r y q , escritas como par ordenado ( r, q ), se localiza como sigue.
Encuentre el lado terminal del ángulo q, dado en radianes, medido en sentido
contrario de las manecillas del reloj ( si q > 0 ) a partir del semieje positivo de
abscisas ( eje polar) como lado inicial.
Si r ³ 0 , P estará en el lado terminal a la distancia r del origen.
Si r < 0, el punto P estará en ei rayo opuesto al lado terminal, a la distancia |r| =
- r del polo. Se puede describir la coordenada radial r como la distancia dirigida
de P al polo, sobre el lado terminal del ángulo q.
Si r es positivo, el punto P estará en el mismo cuadrante que q .
Si r es negativo, P estará en el cuadrante opuesto.
Si r = 0, no importa cual sea el ángulo q, las coordenadas polares (
0, q ) representan al origen cualquiera que sea la coordenada angular q. Por
supuesto, el origen o polo es el único punto para el cual r = 0 para ejemplos ver
el archivo al final de la unidad
7. Conversión de Coordenadas
La representación de un punto en el plano o el
espacio, se puede hacer mediante diferentes sistemas
de coordenadas. En estos momentos nos ocupan los
sistemas de coordenadas rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una equivalencia entre
los diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos
de la conversión del rectangular al polar y viceversa.
En este tópico se incluyen algunas gráficas para
mostrar la ubicación de un punto en cada uno de los
sistemas respectivos.
8. Gráfica de una Ecuación Polar
La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y)
para los cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros
términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el plano xy
de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación
dada.
Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familiares). La clave
para dibujar las mismas de una ecuación polar, es mantener siempre
presente que representan las coordenadas polares.
Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema
de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no sólo puntos.
En este tipo de funciones la variable independiente es θ y la
dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ). El método
para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la
función r = r(θ) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica
trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la
dependencia de r con respecto a θ.
9. Calcular el área de una región
Plana
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo
al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores
de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha
área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de
radio r viene dada por: A= ½.°. R al cuadrado, donde ° en radianes.
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no
negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para
hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ a , b ] en n
subintervalos iguales a = q < q < q <........< q < q = b
A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las
mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar
la fórmula para hallar el área de una región limitada por la gráfica de
una función continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente
válida si f toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ] .
10. Ejemplo De Graficas
ROSA DE OCHO
HOJAS/PÉTALOS
El siguiente gráfico
es como los dos
anteriores, pero
ahora con ocho
hojas o pétalos, tal
como lo vemos en
la siguiente
función graficada:
