Este documento proporciona instrucciones para calcular valores exactos de funciones trigonométricas. Explica cómo convertir entre radianes y grados, y cómo usar el valor del ángulo para determinar los lados de un triángulo rectángulo y calcular sen, cos y tan. También resume funciones periódicas y funciones trigonométricas inversas, y cómo calcular valores para ángulos mayores que 90°.

1. MATEMATICAS IV RESUMEN UNIDAD 2 Para encontrar el valor de α se hará la conversión de radianes a grados:
☺VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
Para este caso se va a dar el valor de “1” y el doble de éste “2” en los casos que se requieran.
NOTA: Todos los valores se van a dar en radianes: π = 180° (es π radianes) 11 π / 6 = α → 11 (180) / 6 = 330° por lo tanto α = 330 , sustituir el valor de α en la resta :
Ejemplo: θ = 360 – 330 = 30° .
π NOTA 1: PARA LOS 3 CASOS: Es importante saber en que cuadrante está el triángulo para
* Calculo del valor exacto de las F.T del ángulo de: 6 rad (30°) saber que signo le corresponde a cada F.T
1°.- Se necesita saber en que cuadrante se encuentra el triángulo para poder sacar las F.T. NOTA 2 : PARA LOS 3 CASOS: El objetivo de encontrar el valor del ángulo “θ” es para
Para saberlo es necesario convertir el valor que me dan π radianes a grados ubicar la abertura del triángulo en el plano cartesiano; y poder reconocer el lado más corto
6 y el lado más largo, y darle su valor unitario. Se hace exactamente el mismo
sabiendo que π vale 180 → π= 180
= °30
6 6 procedimiento que en los ejemplos; pero ahora con el nuevo valor de “θ”
2°.- Al saber cuantos grados se tiene (30°) , se traza el triángulo en el plano cartesiano, para NOTA 3: PARA LOS 3 CASOS: Donde “α” es el ángulo en radianes que nos proporcionan
ubicar y dar valores a los lados del triángulo (no olvidar los valores unitarios) como dato.
3°.- Sabiendo que 30° se ubica en el I cuadrante ☺FUNCIONES PERIÓDICAS
y Nota: Esto nos sirve para ubicar los 2 catetos y la hipotenusa Funciones periódicas son aquellas en las que una partícula pasa por la misma posición en el
del triángulo mismo sentido en periodos fijos de tiempo.
Las funciones trigonométricas (F.T) son un excelente ejemplo de funciones periódicas.
30°
* Función y = sen x
4°.- Dar valores a los lados (catetos) “x, y y r”. Identificar que lado del triángulo es más
“corto” para darle el valor de “1” ( por lo tanto y = 1 ); r siempre tendrá el valor de “2” Una función periódica “sen x” se puede IDENTIFICAR
(por lo tanto r = 2 ). Para saber el valor del lado más “largo” ( “x” ) se usa el T. de en el plano cartesiano (gráfica) ; si la curva EMPIEZA
Pitágoras en el eje de la “x”
π 2π x
r= 2 x = r 2 − y 2 = 22 − 12 = 4 − 1 = 3
30° y= 1 (lado más corto)
x= 3
Función y = cos x
x = √3 (lado más largo)
Y Una función periódica “cos x” se puede IDENTIFICAR
5°.- Con los valores obtenidos , sustituirlos en cada F.T correspondientes. Como existe una en el plano cartesiano (gráfica) ; si la curva EMPIEZA
raíz, si ésta se ubica en el denominador se tendrá que racionalizar. en el eje de la “y”
sen α = y / r = 1 / 2 cos α = x / r = √3 / 2 tan α = y / x = 1 / √ 3 ó √3 /3 (se racionalizó) π 2π
por lo tanto : sen α = 1 / 2 cos α = √3 / 2 tan α = √3 / 3
* Calculo del valor exacto de las F.T del ángulo de: π rad (45°) 4
1°.- Encontrar en que cuadrante se encuentra el triángulo para poder sacar las F.T. Convertir el * Función y = tan x
π
valor que me dan 4 en radianes a grados
sabiendo que π vale 180 → π 180 = °
Y Una función periódica “tan x” se puede IDENTIFICAR
= 45 en el plano cartesiano (gráfica) ; si la curva tiene
4 4
la siguiente forma .
2°.- Trazar el triángulo en el plano cartesiano, para ubicar y dar valores a los lados del
triángulo (no olvidar los valores unitarios) X
3°.- Sabiendo que 45° se ubica en el I cuadrante.
4°.- Dar valores a los lados (catetos) “x, y y r”. Para este caso de 45° los lados el más “corto”
y el más largo son de igual tamaño, por lo tanto los valores de x = 1 , y =1 Para saber el
valor de r (hipotenusa) se usa el T. de Pitágoras
* Gráfica de y = a sen x
r= √2 r = x 2 + y 2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2 → Donde : “a = amplitud” y son todos los valores que se ENCUENTRAN en el eje de la “y”
45° y= 1 (lado más corto)
Ejemplo: Gráfica de y = 3 sen x (a = 3 = y) Gráfica de y = 5 cos x (a = 5 = y)
y y
r= 2 3 5
x = 1 (lado más largo)
5° Sustituirlos valores en cada F.T correspondientes. Como existe una raíz, si ésta se ubica en
el denominador se tendrá que racionalizar. π 2π π 2π
sen α = y / r = 1 /√2 cos α = x / r = 1 / √2 tan α = y / x = 1 / 1 = 1
Racionalizando: sen α = √2 / 2 cos α = √2 / 2 tan α = 1 -3 -5
*Resumen de los cálculos restantes 60°, ,120°, 210°, 225° (se pondrá
solamente las gráficas y los valores de “r”, “y”, “x”; ya que los procedimientos son los mismos *Gráfica de y = sen kx
que los 2 ejemplos anteriores) →Donde:“k = periodo” se refiere a cuantas “ondas completas” están DENTRO de un intervalo x
*Caso π / 3 = 60° → “r = 2 , x = 1 , y = √3” (para este caso “2π”).
2 √3 Ejemplo: Gráfica de y = sen 3x ( k = 3 = tres ondas)
60° y
El periodo también se obtiene con :
1 2π
*Caso 2π / 3 = 120° → “r = 2 , x =-1 , y = √3” periodo. =
k
2 2π
√3 120
-1
*Caso 7π / 6 = 210° → “r = 2 , x = √3 , y = -1” √3 ☺FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
-1 210°
Se define la función inversa como una relación que se obtiene intercambiando los elementos
2 (x,y) de cada pareja ordenada de la función original.
* Función inversa del seno
Se define de y = sen x (equivalente a x = sen y), a la función denominada
*Caso 5π / 4 = 225° → “r = √2 , x = -1 , y = -1” -1 y = sen –1 x o también pero no muy común x = arc sen x (arc = arco del...)
225° * Función inversa del coseno
-1 √2 Se define de y = cos x (equivalente a x = cos y), a la función denominada
y = cos –1 x o también pero no muy común x = arc cos x (arc = arco del...)
* Función inversa de la tangente
* Calculo del valor exacto de las F.T de un ángulo mayor de 90° Se define de y = tan x (equivalente a x = tan y), a la función denominada
Primer caso: Cuando el ángulo se encuentre entre 90° y 180° (ejemplo el ángulo 2π / 3 rad.) y = tan –1 x o también pero no muy común x = arc tan x (arc = arco del...)
Se realizará la siguiente RESTA θ = 180 – α .
Para encontrar el valor de α se hará la conversión de radianes a grados: Ejemplo: Cálculo de un número o ángulo “y”, conociendo “x”, en cualquier F.T inversa.
2 π / 3 = α → 2 (180) / 3 = 120° por lo tanto α = 120 , sustituir el valor de α en la resta : El procedimiento para resolver este ejemplo, es el mismo para cualquier F.T (sen, cos, tan).
θ = 180 – 120 = 60° . NOTA: se van a dar los resultados en RADIANES (RAD). “ojo con tu calculadora”
Segundo caso: Cuando el ángulo se encuentre entre 180° y 270° (como el ángulo 5π / 4 rad.) 1) Encuentra el valor exacto de “y” en y = sen –1 ½; o bien: ¿cuál es el ángulo cuyo seno es ½)?.
Se realizará la siguiente RESTA θ = α – 180 Dando dos métodos de solución a) sin calculadora y b) con calculadora
Para encontrar el valor de α se hará la conversión de radianes a grados: a ) Sin calculadora: Construimos el triangulo de referencia para el cual el seno del ángulo ‘y’
5 π / 4 = α → 5 (180) / 4 = 225° por lo tanto α = 225 , sustituir el valor de α en la resta : y es ½ . Sabemos que sen = co/ hip. → sen y = 1 / 2. Sacando su inverso
θ = 225 – 180 = 45° . 2 para saber el valor de ‘y’ y = sen-1 (1/2) = 30°.
Tercer caso: Cuando el ángulo se encuentre entre 270° y 360° (como el ángulo 11π / 6 rad.) π/6 1 Convertir 30° a radianes 30 π = π → 3.1416 = 0.5235
Se realizará la siguiente RESTA θ = 360 – α 180 6 6

2. √3
b) Con calculadora: teclear sin-1 y teclear el valor ½ ‘ =’ 30°
pasando a radianes : 30 π = 0.5235
180 Elaboró. Ing Octavio Farfán Olvera