El documento describe el sistema de coordenadas polares, el cual define la posición de un punto en un plano mediante dos valores: la distancia (radio r) desde un punto de referencia llamado polo, y el ángulo (theta θ) formado entre el eje polar y la línea que une el punto con el polo. Explica cómo representar curvas como la cardioide y la lemniscata de Bernoulli usando este sistema, y cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas. También cubre cómo graficar ecuaciones polares y calcular el área de una región delimitada por una

1. Coordenadas Polares
Daniel Parra
Universidad Fermín Toro

2. Sistema de Coordenadas Polares
• Ya se ha visto en cursos anteriores que los puntos del plano se pueden
representar en coordenadas cartesianas mediante dos números (abscisa,
ordenada). En este tema veremos que los puntos del plano también se
pueden representar usando otro sistema de referencia, que
denominamoscoordenadas polares.
• En esta unidad se introducen las coordenadas polares y algunos
ejemplos que ilustran su utilidad para representar, mediante ecuaciones
con dichas coordenadas, algunas curvas clásicas como la Cardioide, la
Lemniscata de Bernoulli, los Lazos, las Cónicas y algunas espirales, entre
otras.
• Como se podrá observar en algunos ejemplos de representación de las
curvas en coordenadas polares, sólo es preciso definir las mismas de cada
punto:r (distancia al polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las
coordenadas cartesianas x e y.
• En este tipo de representación los puntos del plano tienen asociados dos
coordenadas: su distancia al polo y el ángulo con el eje polar. A la distancia
se le suele llamar radio y se designa por la letra r o la letra griega r (rho), al
ángulo se le suele designar por la letra griega q (theta).

3. • Sistema de Coordenadas
• Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir
unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométricorespecto de un
punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen
y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que
se denomina sistema de referencia.
• Sistema de Coordenadas Polares
• Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera
coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es
el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
• Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un
espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
• En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en
el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas
coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las
coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos la vida.
• Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir
unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un
punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen
y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo que
se denomina sistema de referencia.
• Hasta aquí hemos usado siempre coordenadas cartesianas. En ocasiones es conveniente
usar otros sistemas de las mismas. Por ejemplo, en el plano podemos usar las coordenadas
polares, que permiten expresar ciertas curvas en forma mucho más simple que las
ecuaciones que ligan sus coordenadas cartesianas. En el espacio, en lugar de usar las
cartesianas, podemos usar las coordenadas cilíndricas o esféricas.

4. • Conversión de Coordenadas
• La representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer
mediante diferentes sistemas de coordenadas. En estos momentos nos
ocupan los sistemas de coordenadas rectangulares y polares.
• Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los diferentes
sistemas, en este caso nos ocuparemos de la conversión del rectangular al
polar y viceversa.
• En este tópico se incluyen algunas gráficas para mostrar la ubicación de
un punto en cada uno de los sistemas respectivos.
•

5. Gráficas de Ecuaciones en
Coordenadas Polares
• Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar el valor de f (θ) para numerosos valores
de θ a intervalos espaciados regularmente, y dibujando luego los puntos resultantes (x,y).
• Usted debe ser consciente de que la apariencia de la gráfica en calculadora depende de la
ventana de graficación especificada x-y, y también del rango de los valores mostrados de θ.
• Cuando se dibujan gráficas en coordenadas polares, debe identificarse algunos valores
mostrados de θ correspondientes a r = 0 o donde r alcanza un máximo o un mínimo. Además,
debe identificar el rango de valores de θ que producen una copia de la curva polar, cuando
ésta es apropiada. Se deduce que muchas curvas familiares tienen ecuaciones polares
sencillas
• Gráfica de una Ecuación Polar
• La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los
cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros términos, la gráfica de una ecuación
polar es una gráfica en el plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen
la ecuación dada.
• Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familiares). La clave para dibujar las mismas
de una ecuación polar, es mantener siempre presente que representan las coordenadas
polares.

6. Intersección de Gráficas
• Ahora que ya conoces las coordenadas polares y observó una
variedad de gráficas de las mismas, el próximo paso consiste en
extender las técnicas del cálculo al caso de intersección de
ecuaciones en dichas coordenadas polares, con el propósito de
buscar todos los puntos de dicha intersección.
• Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes
en coordenadas polares, debe tenerse especial cuidado al
determinar los puntos de intersección de dos gráficas polares, por
lo que se sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive
cuando más adelante calculemos el área de una región polar.
• De igual forma el problema de hallar los puntos de intersección
de dos gráficas polares con el de encontrar los puntos de colisión de
dos satélites en órbita alrededor de la tierra, dichos satélites no
entrarían en colisión en tanto lleguen a los puntos de intersección
en tiempos diferentes (valores de q).

7. Intercepción de graficas

8. Calcular el Área de una Región Plana
en Coordenadas Polares
• El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al
de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de
un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área.
En la figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r
viene dada por:
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no
negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para
hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ a , b ] en n
subintervalos iguales a = q < q < q <........< q < q = b
A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las
mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la
fórmula para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una
función continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida
si f toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ] .