ACERTIJO DE POSICIÓN DE CORREDORES EN LA OLIMPIADA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
LEY DE LOS SENO Y LEY DE LOS COSENOS
1. LEY DE LOS SENOSLEY DE LOS SENOS
LEY DE LOS COSENOSLEY DE LOS COSENOS
DOCENTE: ING. HÉCTOR GUERRA S.
SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO
2014 - 2015
2. Objetivo Específico:
Aplicar el teorema del seno y el teorema del
coseno para resolver problemas que
involucren triángulos en situaciones de la
vida cotidiana
Preguntas Esenciales:
¿Por qué el Teorema de Pitágoras no aplica a
todos los triángulos?
¿Cómo averiguamos los lados y ángulos que
faltan de un triángulo si ya conocemos dos
lados y un ángulo?
¿Cómo averiguamos los ángulos de un
triángulo si ya conocemos todos sus lados?
3. Actividad de Partida
Estas visitando a tu primo, Luis, en Nueva
York. Luis está planificando construirle un
techo nuevo a su garaje. Decide inclinar
los lados del tejado a un ángulo de 28°; el
diámetro del garaje es de 30 pies. Halla la
longitud de los lados del techo a la décima
de pie más próxima.
4. Analicen la siguiente situación:
Un arquitecto necesita construir una
rampa como se muestra en la siguiente
figura:
¿Con los datos que se muestran en la
figura, podrá el arquitecto calcular cuánto
vale la longitud de esta rampa?
Justifiquen su respuesta y discutan los
resultados junto con sus compañeros.
5. LEY DE LOS SENOS.
“Los lados de un triángulo son
proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos”
Se aplica:
Conocidos dos ángulos y un lado.
Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a
uno de ellos.
senC
c
senB
b
senA
a
==
6. LEY DE LOS COSENOS.
“El cuadrado de un lado es igual a la suma de
los cuadrados de los otros lados menos el
doble del producto de estos lados por el
coseno del ángulo comprendido”
Se aplica:
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Dos lados y el ángulo que forman.
Conocidos los tres lados.
Abccba cos2222
−+=
Baccab cos2222
−+=
Cabbac cos2222
−+=
7. DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LOS SENOS
Dibujar un triangulo ABC.
Trazar una altura.
Determinar el seno de los ángulos opuestos a
la altura.
Despejar la altura de cada expresión.
Igualar las alturas y nos queda una de las
proporciones de dicha ley.
NOTA: Para demostrar la otras proporciones
se repite el mismo proceso pero con otra
altura.
senC
c
senB
b
senA
a
==
8. DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LOS COSENOS
Dibujar un triangulo ABC.
Trazar una altura.
Asignar con una variable la distancia de un
vértice a la proyección de la altura.
Aplicar el teorema de Pitágoras en cada
triangulo rectángulo formado por el trazo de
la altura.
Despejar e igualar las alturas.
Reemplazar la variable asignada, para ello
determinar su valor en el triangulo.
NOTA: Para demostrar la otras leyes se
repite el mismo proceso pero con otra altura.
Abccba cos2222
−+=
9. Ejemplos:
Resolver los triángulos propuestos bajo
las condiciones dadas:
a = 4 cm. b = 5 cm. B = 30º
a = 6 m. B = 45º C = 105º
a = 10 m. b = 7 m. C = 30º
A = 60º a = 8 pies b = 4 cm.
a = 15 pulg. b = 22 pulg. c = 17 pulg.
10. APLICACIONES
En una esquina de un campo triangular el ángulo
interior mide 52º, los lados que se encuentran en
esa esquina miden 100 metros y 150 metros de
largo. ¿Cuánto mide el tercer lado?
Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los
cuales no podemos llegar. Tomando otro punto C,
que dista del primero 42,6 metros; desde los
puntos A y C se dirigen visuales a B, que forman
con el segmento AC ángulos BAC = 53,7º y BCA =
64º. Hallen la distancia entre A y B.
11. En una competencia de natación dos amigos
parten lanzándose al agua desde una balsa al
mismo tiempo; el primero nada a una velocidad
promedio de 6 km/h y el segundo a 5 km/h.
Comienzan a alejarse entre sí con un ángulo de
35º; después de media hora de competencia, el
segundo sufre un calambre. ¿Que distancia
recorrerá el primero para ir en su auxilio y qué
ángulo tendrá la nueva dirección de este?
12. ACTIVIDAD DE CIERRE (GRUPAL)
Un rombo tiene lados de 10 cm, calculen la longitud
de sus diagonales si el ángulo de uno de sus
vértices es de 65º.
Dos observadores colocados a 110 metros de
separación en A y en B, en la orilla de un río,
están mirando una torre en la orilla opuesta en el
punto C. Midieron los ángulos <CAB y <CBA, que
fueron de 43º y 57º respectivamente. ¿A qué
distancia está el primer observador de la torre?
13. Dos corredores A y C parten del mismo
punto B a las 12:00 del día. Uno de ellos
se dirige hacia el norte a 36 km por hora,
y el otro, a 68º al noreste a 38 km por
hora. ¿Cuál es la distancia entre ellos a las
3:00 de la tarde?
14. Luego de un choque muy fuerte con un tractor,
el poste de la red eléctrica de la estancia de don
Evaristo no quedó perpendicular al suelo. Su
sombra es de 5,5 m cuando el ángulo de
elevación del sol es de 68º, con respecto a la
horizontal. Calculen la variación del ángulo de
inclinación entre el poste y el suelo, si antes del
choque proyectaba una sombra de 5 m a la
misma hora.
