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  1. 1. 1 GUIA Nº4. CALCULO I. INGENIERIA. I.- Límite de funciones. 1) Considerar f(x) =     ≤<+− ≤≤ 32, 2 7 2 21, xsi x xsix . Determinar dom(f), trazar el gráfico de f y analizar su comportamiento cuando x 2→ . ¿Qué ocurre con ?)(lim 2 xf x→ . 2) Efectuar lo mismo que en 1) para: a) f(x) =      = ≠ − − 2,0 2, 2 2 xsi xsi x x b) f(x) =    = ≠− 3,2 3,3 xsi xsix cuando x 2→ cuando x 3→ 3) Utilizar la definición para demostrar el límite dado. Determinar 0>δ para el valor de dadoε : a) )1,0(1)23(lim 1 ==− → εx x b) )002,0(8)52(lim 2 =−=+ −→ εx x c) )001,0(1)12(lim 2 2 ==+− → εxx x d) )005,0(6 3 9 lim 2 3 =−= + − −→ ε x x x e) )1,0(1 2 lim 4 == → ε xx f) )3,0( 2 11 lim 2 == → ε xx g) )02,0( 4 1 2 1 lim 4 == +→ ε xx h) )5,0(2lim 2 == → εx x 4) Analizar los límites laterales en el punto indicado y determinar si existe el límite en tal punto: a) f(x) = 6,6 0 =− xx b) f(x) = [ ] 2 3,3, =−= oo xxx c) f(x) =    >+ ≤+ 1,1 1,32 xsix xsix , x 10 = d) f(x) =    >− ≤ 2,28 2,2 xsix xsix , x 20 = e) g(x) = [ ] [ ]xx −+ 4 , x 30 = f) h(x) = 1, 1 33 0 23 = − −+− x x xxx g) f(x) =        > +− − < − +− 2, 53 4 2, 2 53 2 2 2 xsi x x xsi x x , x 20 = 5) Determinar )(lim),(lim),(lim 000 xfxfxf xxx →→→ −+ para: a) f(x) =      >+ = <− 0,52 0,0 0,13 xsix xsi xsix b) f(x) =        = ≠ − + − − 0, 2 1 0, 102 101 1 1 xsi xsi x x
  2. 2. 2 6) Determinar A y B de tal manera que )(lim)(lim 31 xfyxf xx →→ existan, siendo f(x) = [ ) [ )     +∞∈− ∈− −∞∈− ,3, 3,1,1 )1,(,12 3 2 xsiBx xsiAx xsix y f(2) = 3. 7) Calcular: a) )232( 23 1 +− → xxlim x b) 1 13 1 + + −→ x x lim x c) 1 1 1 − − → x x lim x d) 55 22 1 − − → x x lim x e) ) 1 3 1 1 ( 31 xx lim x − − −→ f) 1 1 31 − − → x x lim x g) 49 32 27 − −− → x x lim x h) 65 152 2 23 3 ++ −− −→ xx xxx lim x i) 22 312 4 −− −+ → x x lim x j) x x lim x 11 0 −+ → k) 53 4 2 2 3 +− − → x x lim x l) 3 3 2 1 3 + − ∞→ x x lim x m) x x lim x 3sen 0→ n) x x lim x β α sen sen 0→ ñ) x x lim x tg 0→ o) 20 cos1 x x lim x − → p) 30 sentg x xx lim x − → q) 22 )2( cos1 ππ + − −→ x x lim x r) x xx lim x sen1sen1 0 −−+ → s) x x x k lim )1( + ∞→ t) x x x lim 4 ) 1 1( + ∞→ u) 5 ) 1 1( + ∞→ + x x x lim v) x x x x lim ) 1 3 ( − + ∞→ w) x x xlim 1 0 )1( + → x) 3 ) 3 1 ( + ∞→ + − x x x x lim y) x x x x lim ) 1 ( +∞→ z) [ ])2ln()12ln( +−+ ∞→ xxlim x z’) [ ])ln)1(ln( xxxlim x −+ ∞→ z’’) x x lim x )101log( 0 + → 8) Calcular: a) x x lim x )1ln( 0 + → b) x ee lim xx x 23 0 − → c) 1 1 0 − − → bx ax x e e lim d) x xx lim x 2cos sencos 4 − →π e) x xaxa lim x )sen()sen( 0 −−+ → f) x x lim x 20 sen cos12 +− → g) xx ee lim xx x 3sen5sen 35 0 − − → h) x x xlim 1 0 )sen1( + → i) xg x xlim 2 cot2 0 )tg31( + → j) x x xlim sec3 2 )cos1( + →π k) x x x x x lim 1 ) 1 1 ·ln( 1 − + ∞→ l) x x x x lim ) 24 12 ( + + ∞→ m) 20 )3( 1 ·sen2 + + → x x x lim x II.- Continuidad de funciones. 1) Determinar los puntos de continuidad y de discontinuidad de: a) f(x) =      = ≠ − − 2,0 2, 2 2 xsi xsi x x b) f(x) =    = ≠− 3,2 3,3 xsi xsix c) f(x) =    >+ ≤+ 1,1 1,32 xsix xsix
  3. 3. 3 d) f(x) =    >− ≤ 2,28 2,2 xsix xsix e) f(x) =        > +− − < − +− 2, 53 4 2, 2 53 2 2 2 xsi x x xsi x x f) f(x) = 65 4 2 2 +− − xx x g) f(x) = 1 12 + − x x h) g(x) = x xx 3 32 − i) h(x) = x x sen j) f(x) = )1( sen2 2 −xx x 2) Analizar la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado. Si fuese discontinua, indicar si es o no reparable. Cuando corresponda, señalar su extensión continua: a) f(x) = 0, 11 0 = −+ x x x b) f(x) = 2, 2 0 = − x x x c) f(x) = 1, 1 1 03 2 = − − x x x d) g(x) = 1, 1 362 0 234 = − ++− x x xxx e) g(x) = 1, 1 33 0 23 = − −−+ x x xxx f) h(x) = 2, 53 4 02 2 ±= +− − x x x g) h(x) = 7, 49 32 02 ±= − −− x x x h) f(x) =          > = < − 0, 2 sen 0, 2 1 0, 1 xsi x x xsi xsi x ex , x 00 = i) f(x) =          > − −+− = < − − 1, 1 187 1,7 1, 1 .1 2 2 3 xsi x xx xsi xsi x x , x 10 = 3) ¿Existe A y B tal que f sea continua en [ ]5,1 , si f(x) =      ≤<− ≤<+ ≤≤+− 53,15 32, 21,162 xsix xsiBAx xsixx ?. 4) Determinar A y B de modo que f sea continua en todo su dominio, si: a) f(x) = [ ) [ )     +∞∈− ∈− −∞∈− ,3, 3,1,1 )1,(,12 3 2 xsiBx xsiAx xsix b) f(x) =        ≥ <<−+ −≤− 2 ,cos 22 ,sen 2 ,sen2 π ππ π xsix xsiBxA xsix c) f(x) =        > + + ≤≤−+ −<<− + 0, 2 sen3sen2 02, 2 2 5, 2 tg 4 2 xsi xx xx xsiBAx xsi x xπ 5) Determinar a∈R tal que g sea continua en x 00 = , si g(x) =       <− > − − 0,)21( 1 0, sen 1 3tg 3 xsix a xsi x e xc x 6) Determinar si son continuas en [ ]2,0 : a) f(x) =    ≤<− ≤≤ 21,2 10,2 xsix xsix b) g(x) =    ≤<− ≤≤ 21,2 10,2 xsix xsix
  4. 4. 4 7) Determinar si las sgtes. funciones cumplen las condiciones del Teorema del Valor Intermedio en los intervalos que se indican. Para aquellas que cumplan las condiciones, determinar el punto que verifica el teorema: a) f(x) = x2 en [ ]3,1 b) f(x) = sen x, en [ ]2 3, 2 ππ c) f)x) = x [ ]0,202,232 −−− enx III.- La derivada de una función. 1) Aplicando la definición de derivada, calcular f’(x) para el valor de x 0 dado: a) f(x) = 5x+1, x 10 = b) f(x) = x 4,4 0 2 =+− xx c) f(x) = 7,19 0 =+ xx d) f(x) = 3, 32 1 0 = + x x e) f(x) = lnx, x 10 = f) f(x) = e 1, 0 =xx 2) Aplicando la definición de derivada, determinar f’(x) para: a) f(x) = x3 b) f(x) = x c) f(x) = sen 2x d) f(x) = e 2 x e) f(x)=ln(x )12 + f) f(x) = 1 1 +x g) f(x) = 2 1 −x h) f(x) = 2 1 − + x x i) f(x) = x−2 3) Derivar: a) f(x) = 2 7 5 67 −+− xxx b) g(y) = 42 4 71 5 yy y +++ c) f(t) = )14)(52( 2 −+ tt d) h(x) = 12 12 2 2 +− ++ xx xx e) g(x) = 5x(2x2 +1) f) h(x) = sen x + e x + lnx g) f(t) = 2tsen t – (t 2 - 2cos t) h) f(x) = cos x + x·sen x i) g(x) = -x + tg x j) f(x) = xe xexx cos+ k) f(x) = (3x xxx ln)6(cos)6 22 −+− h(x) = 2 2 3 x xx + 4) Determinar el valor de f’(x), si es que existe, para las funciones definidas por: a) f(x) =    >− ≤ 1,2 1,3 xsix xsix b) f(x) =    >− ≤− 1,23 1,43 2 xsix xsix c) f(x) = 12 −x d) f(x) = 3 1−x 5) Si f(x) = ?4¿,4 0 =− xenderivablefesx 6) Dada f(x) = 1 + 2+x , determinar, si existen, f’(-2 + ) y f’(-2 − ). ¿Es derivable f en x= -2 ?. Justificar. ¿Es f continua en x = -2 ?. 7) Sea f(x) =    −≥− −< 1,1 1,2 xsi xsix . ¿Es f continua en x0 =-1?. ¿Es f derivable en x0 =-1?. Justificar. 8) Determinar, si existen “a” y “b” ∈R de modo que f sea derivable en x0 =2, siendo f(x) =    >+ ≤− 2, 2,3 2 xsibax xsix 9) Aplicando la regla de la cadena derivar las siguientes funciones: a) f(x) = (x 32 )x− b) f(x) = (3x 832 )· xx− c) f(x) = x 223 ·tg x
  5. 5. 5 d) f(x) = (1+x )sen(cos)2 x e) f(x) = 5sen 22 x f) f(x) = ln x x +1 2 g) f(x) = 2sen 3x + cos 2x - x xcos2 h) f(x) = x 3 22 · x i) f(x) = e bxax ·sen j) f(x) = (3x 22 51)·2 x++ k) f(x) = 3e xx ·sen16 2 − l) f(x) = 3 2 x e m) f(x) = 2 1 +x n) f(x) = 2 9 x− o) f(x) = 2 2 1 1 x x + − p) f(x) = 2 3 2 3 )1( x x − q) f(x) = cos 32 )( xa − r) f(x) = sen 3 sen3 3 3 xx − s) f(x) = xx xx sen5 sen5 − + t) f(x) =    < ≥ 0, 0,3 xsix xsix u) f(x) =    >− −< 1,12 2,2 xsix xsix v) f(x) = x 2 284 · x e − w) f(x) =      >− ≤≤−++ −<+ 0,5 02,54 2,3 2 2 xsix xsixx xsix x) f(x) = ln(sec x+tg x) y) f(x) = x x 9 2sen 10) Determinar la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva y=f(x) en el punto dado: a) f(x) = 3, 2 1 0 = − + x x x b) f(x) = 1,3 0 −=− xx c) f(x) = x 2,32 0 23 =+− xx 11) Determinar los puntos de f(x) = x 101284 234 +−−− xxx , tal que la recta tangente en dichos puntos sea paralela a la recta 12x + y - 5=0 y determinar las ecuaciones de las respectivas rectas tangentes. 12) Determinar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada en el punto indicado: a) 5x )1,1(,5 233 enyxy =+ b) 2 )1,2(,092 33 enxyyx =−+ c) x-y= )1,3(, enyx + d) )3,2(,0234279 223 −−=+−+−+ enyxyxx e) )1,1(,0255 enxyyx =−+ . 13) Determinar las ecuaciones de las tangentes y normales a f(x) = 325 34 −− xx en aquellos puntos donde f’’(x) = 0. 14) Sean P ),(),( 222111 yxPyyx dos puntos de la parábola y = ax2 +bx+c y P ),( 333 yx el punto en el cual la recta tangente a la curva es paralela a la cuerda 21PP . Probar que 2 21 3 xx x + = . 15) Determinar si las funciones dadas son o no derivables en el punto dado: a) f(x) = 0, 0 =xenx b) f(x) = 1, 0 =xenx c) f(x) = 3,3 0 =− xenx d)f(x) =    >+− ≤− 2,24 2,2 2 2 xsixx xsix , en x 20 = .
  6. 6. 6 16) Sea f(x) =     >− ≤− 2,4 2,4 2 2 xsix xsix : a) ¿Es f continua en x 20 = y en x ?¿.?21 quéPor−= b) Calcular las derivadas laterales en x0 y x1 . c) Obtener la función derivada f’(x) y su dominio. d) Esbozar el gráfico de f. 17) Derivar: a) f(x) = arc sen 12 2 − a x b) f(x) = arc tg 2 1 x x − c) f(x) = arc cos xba xab cos cos + + d) f(x) = ln(sec x + tg x) e) f(x) = arc sen(3x – 4x3 ) f) 2522 =+ yx g) 3694 22 =− yx h) 4 86 2 532 = +−+ x yyyxx i) 1=+ x y y x j) tg y = 3x 2 + tg(x + y) k) cot xy= -xy l) arc cos xy = arc sen(x + y) m) (sen x) yx =sen n) e y x x = ñ) y = x x x o) y = (sen x) xtg p) y = (arc tgx) x2 cos q) y = x xarcsen r) xy yx = s) y = (sen x·cos x) x . 18) Calcular: a) f’’, si f(x) = 12 +x b) f’’, si f(x) = x x + − 2 2 c) f )4( , si f(x) = x xx − − 1 2 23 d) f’’’, si f(x) = x x −1 3 e) f )(n , si f(x) = x+1 1 f) f )(n , si f(x) = ln(ax + b) g) f )(n , si f(x) = e x2 h) f )5( , si f(x) = sen 2 x i) f’, si f(x) = ln(sen 2x) 19) Demostrar que y = sen(m·arc sen x) satisface la ecuación (1-x 2 )y’’- xy’ + m2 y = 0. 20) Determinar si y = e x− ·cos x satisface la ecuación y )4( + 4y = 0. 21) Sea sen(2x + y) = x. Determinar y’. Verificar que y’’ = tg(2x + y) + tg3 (2x + y). 22) Demostrar que y = sec 2 x satisface la ecuación y’’ – 2(y·sec 2 x + y’·tg x) = 0. 23) Determinar si el Teorema de Rolle es aplicable a las funciones dadas. En caso afirmativo determinar el o los puntos que satisfacen dicho teorema: a) f(x) =    − −−+ 1, 4 1 ,144 23 enxxx b) f(x) = [ ]7,7, 7 7 −+ en x x c) f(x) = [ ]4,0,)2(3 2 enx − d) f(x) = [ ]4,3, 3 122 − − −− en x xx 24) Determinar si las siguientes funciones satisfacen las condiciones del Teorema del Valor Medio. En caso afirmativo, determinar el o los puntos que satisfacen tal teorema: a) f(x) = 2x [ ]2,2,5323 −+−− enxx b) f(x) =     > ≤− 1, 1 1,3 2 xsi x xsix en [ ]2,0
  7. 7. 7 c) f(x) = [ ]6,1, )3( 4 2 en x − d) f(x) = [ ]2,1, 4 2 − + en x x 25) Aplicando la regla de L’Hopital, calcular: a) x x lim x 11 0 −+ → b) )3sen( 33 3 − − −− → x ee lim xx x c) )2cos(1 222 2 −− −+ −− → x ee lim xx x d) x xarcx lim x 30 sen sen− → e) x xa lim x x ln ln 1 − → f) x aa lim xx x )1( 0 +− → g) x x lim x tgln senln 0+ → h) )cos 1 ( 0 ecx x lim x −+ → i) 4 2 0 2 cos1 x x x lim x −− → j) xxlim x sen·lntg 0+ → k) x x xxlim tg 0 )sen( ++ → l) x x xlim − → 2 2 )2(tg π π m) xx x xlim sen 1 2 0 )1( + → n) x x xlim+ →0 ñ) x x lim x 11sen 7sen 0→ . RESPUESTA A LOS EJERCICIOS I.- Límite de Funciones. 1.- ( ) ∃ → xf x 2 lím 2.-a) ( ) ∃ → xf x 2 lím b) ( ) 0lím 3 = → xf x 3.-a) 033,0=δ b) 0004,0=δ c) 00033,0=δ d) 005,0=δ e) 10 323 + =δ f) 6,0=δ g) ( ) 25 3472 + =δ h) 1=δ 4.-a) ( ) 0lím 6 = → xf x b) ( ) ∃ −→ xf x 3 lím c) ( ) ∃ → xf x 1 lím d) ( ) 4lím 2 = → xf x e) ( ) 3lím 3 = → xf x f) ( ) 4lím 1 = → xf x g) ( ) ∃ → xf x 2 lím 5.-b) ( ) 1lím 0 −=− → xf x ; 2 1 )(lím 0 =+ → xf x 6.- A = 1 ; B = 19 7.-d) 5 10 e) –1 f) 2 3 g) 56 1 − i) 3 22 j) 2 1 k) 314 5 − e) 1 n) β α ñ) 1 p) 2 1 q) 2 1 r) 1 u) e v) 4 e x) 4− e y) 1− e z) ln2 z’)1 z”) 10loge 8.-a) 1 b) 1 c) b a d) 1 e) 2cosa f) 24 1 g) 1 h) e i) 3 e j) 3 e k) 0 l) 0 m) 9 2 II.- Continuidad de Funciones. 1.-a)f es discontinua en x = 2 b)f es discontinua en x = 3 c)f es discontinua en x =1 d)es continua ℜ∈∀x e)f es discontinua en x = 2 f)f es disc. en x = 2 y x =3
  8. 8. 8 g)f es discontinua en x =-1 h)g es discontinua en x = 0 i)h es continua { }Zkkxx ∈=−ℜ∈∀ ,π j)f es continua { }1,0−ℜ∈∀x 2.-a) disc. reparable, ( ) [ ) { }       = −+∞−∈ −+ = 0; 2 1 0,1; 11 xsi xsi x x xf b) disc. irreparable c)disc. reparable,       = ≠ − − = 1; 3 2 1; 1 1 )( 3 2 xsi xsi x x xf d)disc. reparable, ( )    =− ≠++− = 1;8 1;362 234 xsi xsixxx xf e) disc. irreparable f)disc. reparable, ( )      ±≠ ±≠ +− − = 2;6 2; 53 4 2 2 xsi xsi x x xh g)disc. reparable, ( ) [ ) { }       =− −+∞∈ − −− = 7; 196 1 7,3; 49 32 2 x x x x xh h)disc. irreparable i)disc. rep. 3.- A = - 5 ; B = 3 4.-a)A = 2 ; B = 10 b)A = - 1; B = 1 c) 2; 2 2 = − = BA π 5.- 3 3 2 − = e a 6.-a)f es continua en [ ]2,0 b)f es continua en [ ]2,0 9.-a)no es aplicable b) π=0x c) 56,00 −=x III.- La Derivada de una Función. 1.-b) 7 c) 16 9 d) 27 1 − e)1 f) e 2.-e) 1 2 2 +x x g) ( )222 1 −− − xx h) ( )2 2 3 − − x i) x− − 22 1 4.-a) , b) , c) y d) no es derivable en x = 1 5.-no es derivable en x = 4 6.- cont. y no derivable en x = -2 7.-disc. y no derivable en x = -1 8.- a =-12 ; b = 12 9.- t) ( )    < > = 0;1 0;3 ' 2 x xsix xf w) ( )        >− <<−+ −<<− −<− = 0;2 02;42 23;1 3;1 ' xsix xsix xsi xsi xf 10.-a)T: y – 4 = - 3 (x – 3) b)N: y – 2 = 4 (x + 1) c)T: y – 3 = 4 (x – 2) 11.-(0 , 10) ; (-1 , 19) ; (4 ,-166)
  9. 9. 9 12.-a) ( )1 5 2 1: −−=− xyN c) ( )3 5 3 1: −=− xyT e)T: y – 1 = - (x – 1) 13.-T: y + 3 = 0 , N: x = 0 ;       −−=+ 5 1 25 2 125 376 : xyT 16.-a)continua en 2±=x b) ( ) ( ) ∃− 2'2' fyf c) ( ) ( ) ( )   +∞∪−∞−∈ <<−− = ,22,;2 22;2 ' xsix xsix xf 17.-b) 2 2 1 1 x x − + c) xba ba cos 22 + − 23.-a) 2 1 =c b),c) y d) no es aplicable Rolle 24.-a) c = -1 b)no es aplicable c)no es aplicable d) 45 7 =c 25.-a) 2 1 b)2 c)2 e) –1+lna f) 1 ln +a a g) 1 h) 0 i) 24 1 − j) 0 k) 1 l) 1 m) e n) 1 ñ) 11 7

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