2. Integral Indefinida ANIVAL TORRE 2 Dada una función f, la anti derivada de la función f es otra función F, tal que f΄(x)= f(x) Ejemplo de éste proceso, se tiene la tabla que muestra la función f(x) y su anti derivada F΄(x)
3. ANIVAL TORRE 3 Obsérvese que si una función tiene una anti derivada, entonces tiene muchas anti derivadas, por lo contrario una función sólo puede tener una derivada así tenemos F(x)= x³ es una anti derivada de f(x)= 3x². También son las funciones G(x)= x³ + 17, H(x)= x³ - 20 En general F(x)= x³ + C es una anti derivada de f(x)= 3x² para cualquier valor de la constante C, por lo tanto: F(x) + C Si F es una anti derivada de f en un intervalo I entonces la anti derivada más general de f tiene la forma: F(x) + C Integral Indefinida
4. ANIVAL TORRE 4 Dada las funciones F: I R y G: I R, Tales que G’(x) = F(x) para todo x I, se da el nombre de anti derivada, primitiva o integral indefinida de F(x) a la función G(x), denotada por: Ant[ F(x) ] = F(x) dx = G(x). Es decir: F(x) dx = G(x) G’(x) = F(x) Integral Indefinida
5. ANIVAL TORRE 5 Proposición. La siguiente proposición permite evaluar las integrales indefinidas. Dada las funciones f: i r y g: i r, tales que g’ (x) = f(x) , x i, Entonces f(x) dx = g(x) + c donde c es la constante de integración. Integral Indefinida
6. ANIVAL TORRE 6 Evaluar la integral indefinida de las funciones: 01) f(x) = 2x solución: f(x) dx = g(x) + c [g(x) + c]’ = f(x), 2xdx = x2 + c; pues (x2+c)’= 2x la gráfica de esta integral se representa por una familia de parábolas; existiendo una parábola para cada valor de la constante c.
7. Evaluar la integral indefinida de las funciones: ANIVAL TORRE 7 02)f(x) = cos x solución cos x dx = sen x + c ; pues, (sen x +c)’ = cos x 03) f(x) = 6x solución 6xdx = 3x2+ c pues, (3x2+ c) ’ = 6x 04) f(x)= 5x2 solución 5x2 dx = 5/3x3+ c pues, (5/3x3+ c) ’ = 5x2
8. ANIVAL TORRE 8 Evaluar la integral indefinida de las funciones: 05)f(x) = 10x solución 10xdx = 5x2+ c pues, (5x2+ c) ’ = 10x 06) f(x) = 4x3 solución 4x3 dx = x4+ c pues, (x4+ c) ’ = 4x 3 07) f(x) = 5x4 solución 5x4 dx = x5+ c pues, (x5+ c) ’ = 5x 4
9. ANIVAL TORRE 9 Evaluar la integral indefinida de las funciones: 08) f(x) = 2x 3 09) f(x) = 7x 6 10) f(x) = 8x 7 11) f(x) = ½ x 3 12) f(x) = 9x 8 13) f(x) = sen x 14) f(x) =tg x 15) f(x) = ctg x 16) f(x) = sec x 17) f(x) = csc x
14. Integración por cambio de variable ANIVAL TORRE 14 Para integrar usando la tabla, es necesario observar que la diferencial esté completa. Si no lo esta, es indispensable completarla. Para ello , debe multiplicarse y dividirse por una constante, en ningún caso se completan con variables. En esta sección damos ejemplos sobre el caso.
15. APLICACIONES ANIVAL TORRE 15 1) I= (x3+3)5 x2 dx sea: u = x3+3 du = 3x2 dx Como en la integral dada tenemos solo x2dx , entonces completamos con 3: I=1/3 (x3+3)5 3x2 dx = 1/3 u5 du = u6 / 6 + c I=
27. Fórmulas de Integración Inmediata. ANIVAL TORRE 27 1. sen u du = - cos u + c 2. cos u du = sen u +c 3. tg u du = ln sec u + c 4. ctg u du = ln sen u + c 5. sec u du = ln sec u + tg u + 6. csc u du = ln csc u – ctg u+ c 7. sec 2 u du = tg u + c 8. csc 2 u du = - ctg u + c 9. sec u tg u du = sec u + c
34. I=sen2 2x dx = 1/2 (1-cos 4x)dx I= ½dx - 1/2 cos4xdx I=1/2 x +c1 - ½*1/4 cos4x 4dx I= 1/2 x + c1 - 1/8 sen 4x + c2 I=1/2 x - 1/8sen 4x + c donde c= c1 + c2
35. cos u du =senu +c ANIVAL TORRE 33 1) cos 4x dx Completando diferenciales 1/4cos 4x 4dx= ¼ sen4x + c 2) cos 1/5 x dx Completando diferenciales: 5cos 1/5 x 1/5dx = 5 sen 1/5 x + c