El documento trata sobre integrales, antiderivadas y sus propiedades. Se explican conceptos de integrales indefinidas y definidas, junto con ejemplos de cálculo de integrales mediante diferentes métodos como cambio de variable e integración por partes. También se incluye el teorema fundamental del cálculo y se presentan ejercicios aplicados junto con sus soluciones.

1. UNIVERSIDAD PARTICULAR SAN MARTIN
TEMA : INTEGRALES
2015

2. INTEGRALES
Definición de Antiderivada
F(x) es la antiderivada de la función f,
F´ (x) = f (x)
Nota: una vez que se haya encontrado la
antiderivada de una función, la respuesta siempre
puede comprobarse mediante la derivación para
obtenerse la función original

3. INTEGRALES
¿Cuál es la función que dio origen a la siguiente derivada:
f ´ (x) = 3𝑥2 ?
Respuesta: F(x) = 𝑥3
Por que:
F ´(x) = 𝑥3
f ’ (x) = 3 𝑥2
También se cumple:
F(x) = 𝑥3 ± k
f ’(x) = 3 𝑥2
En general, si F es una antiderivada de f, toda función obtenida
al agregar una constante a F será también una antiderivada de f,
luego tendremos que:
F(x) + k
es la solución general, donde k es una constante

4. INTEGRALES
𝐹 𝑥 = 8 𝑓 𝑥 = 8𝑥 + 𝑘
𝐹 𝑥 = 2x 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑘
𝐹 𝑥 =
1
𝑥
𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑘
𝐹 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑘
𝐹 𝑥 =
2𝑥+3
4
4
𝑥2+3𝑥+1 3
𝑓 𝑥 =
4
𝑥2 + 3𝑥 + 1

5. INTEGRALES INDEFINIDAS
Se denomina así a la antiderivada general de la función. Es decir,
si: f(x) es F´(x) ; ∀ x ∈ I, entonces:
G(x) = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = F(x) + C ; ∀ x ∈ I
De la notación se lee:
𝑓 𝑋
𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑘
Signointegral
Integrando
Variablerespecto
alacualseintegra
Antiderivadao
derivadadef(x)
Constantede
Integracion

6. INTEGRAL INDEFINIDA
También se cumple:
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥
Es decir, la derivada y la integral son operaciones inversas.
Ejemplo:
P =
𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑔′ 𝑥 𝑓 𝑥
(𝑔 𝑥 )2 𝑑𝑥
P =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
𝑑𝑥
P =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
+ 𝑘

7. INTEGRALES INDEFINIDAS
Propiedades elementales de la integral indefinida:
a) dx = x + c
b) adx = a dx = ax + c
c) xn
dx =
xn+1
n+1
+ c (n∈ 𝑅 ∧ n≠ 1)
d)
𝑑𝑓 𝑥
𝑓 𝑥
= ln 𝑓 𝑥 + c

8. INTEGRALES indefinidas
e) 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
f) 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
g) ℮ 𝑓 𝑥 𝑑𝑓 𝑥 = ℮ 𝑓(𝑥)
+ 𝑐
h) 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑓(𝑥)
ln 𝑎
+ 𝑐 (𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

9. INTEGRALES INDEFINIDAS
Hallar las siguientes integrales:
1) 5𝑑𝑥
Solución
5 𝑑𝑥 = 5𝑥 + 𝑘
2) 𝑥5
𝑑𝑥
Solución
𝑥5 𝑑𝑥 =
𝑥5+1
5+1
+ 𝑘
𝑥5 𝑑𝑥 =
𝑥6
6
+ 𝑘

10. INTEGRALES INDEFINIDAS
3) 2𝑥−4 𝑑𝑥
Solución
2𝑥−4
𝑑𝑥 = 2 𝑥−4
𝑑𝑥
2 𝑥−4 𝑑𝑥 =
2𝑥−4+1
−4+1
=
2𝑥−3
−3
+ 𝑘
4) 𝑥 𝑑𝑥
Solución
𝑥
1
2 𝑑𝑥 =
𝑥
1
2+1
1
2
+ 1
+ 𝑘 =
2𝑥
3
2
3
+ 𝑘

11. INTEGRALES INDEFINIDAS
5)
3𝑑𝑥
5
𝑥3
Solución
3𝑑𝑥
5
𝑥3
= 3 𝑥−
3
5 𝑑𝑥
3𝑑𝑥
5
𝑥3
=
3𝑥
−
3
5+1
−
3
5
+1
+ k =
15𝑥
2
5
2
+ 𝑘
6)
2𝑥
𝑥2 𝑑𝑥
2𝑥
𝑥2 𝑑𝑥 = ln 𝑥2 + 𝑘

12. INTEGRALES INDEFINIDAS
7)
6𝑥2+10𝑥
2𝑥3 + 5𝑥2+2
𝑑𝑥
Solución
6𝑥2+10𝑥
2𝑥3 + 5𝑥2+2
𝑑𝑥 = ln 2𝑥3 +5𝑥2 +2 + 𝑘
8) 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
Solución
𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑘
9) 𝑒 𝑥2+3𝑥+1. 2𝑥 + 3 𝑑𝑥
Solución
𝑒 𝑥2+3𝑥+1. 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥2+3𝑥+1 + 𝑘

13. INTEGRALES INDEFINIDAS
10) 5𝑥3
+ 7𝑥2
− 3𝑥 + 2 𝑑𝑥
Solución
5𝑥3
+ 7𝑥2
− 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 5𝑥3
+ 7𝑥2
− 3𝑥 + 2𝑑𝑥
5𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 5 𝑥3 + 7 𝑥2 − 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥
5𝑥3
+ 7𝑥2
− 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 =
5𝑥3+1
3+1
+
7𝑥2+1
2+1
−
3𝑥1+1
1+1
+ 2𝑥 + 𝑘
5𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 =
5𝑥4
4
+
7𝑥3
3
−
3𝑥2
2
+ 2𝑥 + 𝑘

14. INTEGRALES INDEFINIDAS
11)
𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5
𝑥2+2𝑥+3
𝑑𝑥
Solución :
Si °𝑁 > °𝐷
entonces se divide:
𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5
𝑥2+2𝑥+3
= x +1 +
2𝑥+2
𝑥2+2𝑥+3
Ahora integramos:
𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5
𝑥2+2𝑥+3
dx = 𝑥𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 +
2𝑥+2
𝑥2+2𝑥+3
𝑑𝑥
𝑥3+3𝑥2+7𝑥+5
𝑥2+2𝑥+3
dx =
𝑥2
2
+ x + ln 𝑥2 + 2𝑥 + 3 + 𝑐

15. INTEGRAL INDEFINIDA
METODO DEL CAMBIO DE VARIABLE
𝑓 𝑋 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑔´ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢
EJEMPLO
1. Hallar: 2𝑥 𝑥2
+ 5 25
𝑑𝑥
Hacemos: u = 𝑥2 + 5 du= 2xdx
𝑥2 + 5 25 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑢25 𝑑𝑢
=
𝑢 25+1
25+1
+ 𝐾
=
𝑥2+5
26
26
+ K

16. INTEGRAL INDEFINIDA
2. Hallar: 𝑥
3
𝑥 − 2 𝑑𝑥
Solución
𝑥
3
𝑥 − 2 𝑑𝑥
Hacemos: u = x – 2 du= dx
u + 2 = x
= 𝑢 + 2 𝑢
1
3 𝑑𝑢= 𝑢 4/3
𝑑𝑢 + 2𝑢 1/3
𝑑𝑢
=
3
7
𝑥 − 2 7/3 +
3
2
𝑥 − 2 4/3 + 𝐾

17. INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRALES POR PARTES
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
Ejemplo
1. Hallar ∶ 𝑥 ℮2𝑥 𝑑𝑥
Hacemos: u = x dv = ℮2𝑥
𝑑𝑥
du = dx v=
1
2
℮2𝑥
𝑥℮2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
x.℮2𝑥 −
1
2
℮2𝑥 𝑑𝑥
=
1
2
x ℮ 𝑥
-
1
4
℮ 𝑥
+ K
u
dv

18. INTEGRAL INDEFINIDA
2. Hallar: 𝑥 1 + 𝑥 𝑑𝑥
Solución
u = x dv = 1 + 𝑥 dx
du = dx v =
2
3
1 + 𝑥 3/2
𝑥 1 + 𝑥 𝑑𝑥 = x.
2
3
1 + 𝑥 3/2
-
2
3
1 + 𝑥 3/2
𝑑𝑥
=
2
3
𝑥 1 + 𝑥 3/2
−
4
15
1 + 𝑥 5/2
+ c

19. INTEGRAL INDEFINIDA
3.Hallar : lnx 𝑑𝑥
Solución
ln 𝑥 𝑑𝑥
u = ln x du =
1
𝑥
dv = dx v = x
ln 𝑥 𝑑𝑥 = x ln 𝑥 − 𝑥.
1
𝑥
𝑑𝑥 + 𝑘
ln 𝑥 𝑑𝑥 = x ln 𝑥 − 𝑑𝑥 + 𝑘
ln 𝑥 𝑑𝑥 = x ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑘

20. INTEGRAL DEFINIDA
Integral Definida
Sea f(x) una función continua definida en el intervalo [a; b].
Supongamos que la función F es continua en [a; b] y con
derivada F´(x) = f(x) para todo x ∈ [a: b].
La integral definida de f en [a; b] es:
𝑎
𝑏
𝑓 𝑋 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎
(Teorema Fundamental del Cálculo)

21. INTEGRALES DEFINIDAS
PROPIEDADES IMPORTANTES:
1. 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
2. 𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 = 0
3. 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 = 𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 + 𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

22. INTEGRALES DEFINIDAS
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la integral:
1. 1
2
𝑥3 𝑑𝑥
Solución
1
2
𝑥3 𝑑𝑥 =
𝑥3+1
3+1
2
=
𝑥4
4
2
=
24
4
−
14
4
= 4 -
1
4
=
15
4
1 1

23. INTEGRAL DEFINIDA
2. 0
1
𝑥3 𝑒 𝑥2
𝑑𝑥
Solución
0
1
𝑥3
𝑒 𝑥2
𝑑𝑥 = 0
1
𝑥2
𝑥 𝑒 𝑥2
𝑑𝑥 = 0
1
𝑥2
𝑒 𝑥2
𝑥𝑑𝑥
0
1
𝑥3 𝑒 𝑥2
𝑑𝑥 = 0
1
𝑥2 𝑒 𝑥2
𝑥𝑑𝑥 =
1
2 0
1
𝑥2 𝑒 𝑥2
2𝑥𝑑𝑥
u dv
u = 𝑥2
dv = 𝑒 𝑥2
2𝑥𝑑𝑥
du = 2x dx v = 𝑒 𝑥2
Integrando por partes:
0
1
𝑥3 𝑒 𝑥2
𝑑𝑥 =
1
2
𝑥2 𝑒 𝑥2
-
1
2 0
1
𝑒 𝑥2
2𝑥𝑑𝑥
= [
1
2
𝑥2
𝑒 𝑥2
-
1
2
𝑒 𝑥2
]
=
1
2

24. INTEGRAL DEFINIDA
3. 1
2
𝑋3 − 3𝑋2 − 𝑋 + 3 dx
Solución
1
2
𝑋3 − 3𝑋2 − 𝑋 + 3 dx =
= 1
2
𝑥3 𝑑𝑥 − 3 1
2
𝑥2 𝑑𝑥 − 1
2
𝑥 𝑑𝑥 + 3 1
2
𝑑𝑥
=
𝑥4
4
2
1
− 3
𝑥3
3
2
1
−
𝑥2
2
2
1
+ 3 𝑥
2
1
=
24
4
−
14
4
- 3
23
3
−
13
3
−
22
2
−
12
2
+ 3 2 − 1
=
41
4

25. INTEGRALES DEFINIDAS
4. 0
1 X3
4−X2 dx
Solución
𝑁0 > 𝐷0 X3
4−X2 = x +
4𝑥
𝑥2−4
Entonces:
0
1 X3
4−X2 dx = - 0
1
𝑥𝑑𝑥 − 2 0
1 2𝑥
𝑥2−4
𝑑𝑥
= - [
𝑥2
2
- 2ln 𝑥2
− 4 ]
= - [
1
2
- 2(ln 3 − ln 4)]
= - [
1
2
− 2ln
3
4
]
00
1 1

26. INTEGRAL DEFINIDA
Suponga que el tamaño de una población, denominado N(t),
cumple la ecuación
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 𝑒0,1𝑡 2 +
𝑡
35
;para t≥0.Determine N(t) si N(0)=10.
Solución:
N(t)=𝑒0,1𝑡 2 +
𝑡
35
dt u= 2 +
𝑡
35
dv=𝑒0,1𝑡 𝑑𝑡
du= 1/35 v=
𝑒0,1𝑡
0,1
Integramos por partes: = uv - 𝑣𝑑𝑢
= 𝑒0,1𝑡 2 +
t
35
e0,1t
0,1
-
e0,1t
0,35
+c
N(0)=10 c= - 7,14
= 𝑒0,1𝑡 2 +
t
35
e0,1t
0,1
-
e0,1t
0,35
- 7,14