1. LÍMITES
1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
Decir que x tiende a un número a significa que x toma valores próximos, tanto como se desee, a
a ya sean mayores o menores y se representa ax → . De la misma manera, decir que ( )xf tiende a
un número l significa que ( )xf toma valores próximos a l.
Para escribir que el límite cuando x tiende a un número a de una función ( )xf es un número l
utilizamos la siguiente notación: ( ) lxf
ax
=
→
lim
El comportamiento de ( )xf debe ser el mismo tanto si x se acerca a a por la derecha como por
la izquierda. En este caso diremos existe el límite y que el ( ) lxf
ax
=
→
lim
Si
( )
( )
( ) lxf
lxf
lxf
ax
ax
ax
=⇒




=
=
→
→
→
−
+
lim
lim
lim
• Caso 1: si ( )xf está definida en el punto a suele cumplirse que ( ) ( )afxf
ax
=
→
lim . En este
caso la función es continua en el punto a. Para calcular el límite se sustituye a en la
función.
Ejemplo 1: Calcular el x
x
2
8
loglim
→
xy 2log=
7´9 98189´29´7log2 =
7´99 99820´299´7log2 =
7´999 99982´2999´7log2 =
8´001 00018´3001´8log2 =
8´01 00180´301´8log2 =
8´1 01792´31´8log2 =
1

2. 3loglim
3loglim
3loglim
2
8
2
8
2
8
=⇒




=
=
→
→
→
+
−
x
x
x
x
x
x
Además ( ) ( )afxf
ax
=
→
lim pues 38log2 = .
• Caso 2: si ( )xf NO está definida en el punto a y en sus proximidades tampoco, no tiene
sentido calcular el límite.
Ejemplo 2: Calcular el x
x
lim
1−→
. No tiene sentido porque la función no está definida
para valores próximos a -1.
• Caso 3: si ( )xf NO está definida en el punto a pero los límites laterales no coinciden, el
límite no existe.
Ejemplo 3: Calcular el
1
lim
0 xx→
x
y
1
=
-0´1 10
1´0
1
−=
−
-0´001 1000
001´0
1
−=
−
-0´00001 100000
00001´0
1
−=
−
0´00001 100000
00001´0
1
=
0´001 1000
001´0
1
=
0´1 10
1´0
1
=
x
x
x
x
x
x 1
lim
1
lim
1
lim
0
0
0
→
→
→
∃/⇒






∞+=
−∞=
+
−
• Caso 4: si ( )xf NO está definida en el punto a pero los límites laterales coinciden, y por
tanto el límite existe. Estos límites se calculan por métodos más específicos.
Ejemplo 4: Calcular el
1
1
lim 21 −
−
→ x
x
x
1
1
2
−
−
=
x
x
y
0´9 52631´0
19´0
19´0
2
=
−
−
0´99 50251´0
199´0
199´0
2
=
−
−
0´999 50025´0
1999´0
1999´0
2
=
−
−
1´001 49975´0
1001´1
1001´1
2
=
−
−
1´01 49751´0
101´1
101´1
2
=
−
−
1´1 47619´0
11´1
11´1
2
=
−
−
2

3. 0´5
1
1
lim
0´5
1
1
lim
0´5
1
1
lim
21
2
1
2
1
=
−
−
⇒






=
−
−
=
−
−
→
→
→
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Sin embargo
0
0
11
11
1
1
lim 221
=
−
−
=
−
−
→ x
x
x
• Caso 5: si ( )xf es una función a trozos, además de los casos anteriores debemos estudiar
el límite en los puntos de unión de los distintos trozos.
Ejemplo 5: Calcular el ( )xf
x
lim
1→
siendo ( )



≥−
<+−
=
1xsi2
1xsi232
x
xx
xf
( )
( ) 1122limlim
0213123limlim
11
22
11
=−==
=+⋅−=+−=
−−
−−
→→
→→
-xxf
xxxf
xx
xx
2. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
Si ( ) Axf
ax
=
→
lim y ( ) Bxg
ax
=
→
lim , entonces:
1. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) BAxgxfxgxf
axaxax
±=±=±
→→→
limlimlim
2. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] BAxgxfxgxf
axaxax
⋅=⋅=⋅
→→→
limlimlim
3. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 0conlimlimlim ≠=÷=÷
→→→
B
B
A
xgxfxgxf
axaxax
4. kk
ax
=
→
lim
3

4. 3. LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS.
3.1 Cuando ax →
( ) ( )aPxP
ax
=
→
lim pues las funciones polinómicas son continuas.
Ejemplo:
( ) ( ) 4521512152lim
2323
1
−=−+−=−−⋅+−=−+
−→
xx
x
3.2 Cuando ±∞→x
( ) ±∞=
±∞→
xP
x
lim dependiendo del signo del término de mayor grado y el grado del
polinomio.
Ejemplos:
+∞=−+
+∞→
52lim 23
xx
x
−∞=−+
−∞→
52lim 23
xx
x
−∞=++−
+∞→
142lim 3
xx
x
+∞=++−
−∞→
142lim 3
xx
x
+∞=−
+∞→
34
lim xx
x
+∞=−
−∞→
34
lim xx
x
−∞=+−
+∞→
6lim 2
x
x
−∞=+−
−∞→
6lim 2
x
x
4. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES.
4.1 Cuando ax → ( ) ( )
( )xQ
xP
xf =
• Caso 1: si ( ) 0≠aQ entonces
( )
( )
( )
( )aQ
aP
xQ
xP
ax
=
→
lim
Ejemplo:
( )
( ) ( ) 2
1
3121
213
32
23
lim 221
−
=
+−⋅+−
+−⋅
=
++
+
−→ xx
x
x
• Caso 2: si ( ) 0=aQ y ( ) 0≠aP entonces aunque el límite no existe se dice que el
límite es infinito
( )
( )
( )
( )
±∞=
=
≠
=
→ 0
0
lim
aQ
aP
xQ
xP
ax
Ejemplos:
4

5. +∞==
→ 0
11
lim
0 xx
−∞=
−
=
−
⋅−
=
−
−
→ 0
3
11
13
1
3
lim
1 x
x
x ( )
+∞==
−
−
→ 0
5
4
32
lim 24 x
x
x
• Caso 3: si ( ) 0=aQ y ( ) 0=aP entonces el punto a es solución de los polinomios
P y Q, por lo tanto dichos polinomios se pueden factorizar siendo uno de los factores
( )ax − . Tendremos entonces que resolver un nuevo límite:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )xQ
xP
xQax
xPax
xQ
xP
axaxax
1
1
1
1
limlimlim
→→→
=
⋅−
⋅−
=
Ejemplos:
( )( ) 2
1
1
1
lim
11
1
lim
0
0
11
11
1
1
lim
11221
=
+
=
−+
−
==
−
−
=
−
−
→→→ xxx
x
x
x
xxx
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
6
1
6
21
611
2
6
lim
21
61
lim
0
0
231
6521
23
652
lim
231
6521
lim
0
0
2541
611331
254
61133
lim
2
1
2
12
23
1
2
23
123
234
1
=
−
−
=
−
−−
=
=
−
−−
=
−⋅−
−−⋅−
==
+−
+−−
=
+−
+−−
=
=
+−⋅−
+−−⋅−
==
−+−
−+−−
=
−+−
−+−−
→→→
→→
x
xx
xx
xxx
xx
xxx
xxx
xxxx
xxx
xxxx
xxx
xx
4.2 Cuando ±∞→x ( ) ( )
( )xQ
xP
xf =
( )
( ) ∞±
∞±
=
±∞→ xQ
xP
x
lim pues P y Q son polinomios. Se resuelven dividiendo ambos polinomios
por la parte literal del término de mayor grado que haya en la función.
• Caso 1: si ( ) ( )xQgrxPgr <
( )
( )
0lim =
±∞→ xQ
xP
x
Ejemplo:
1
0
001
00
32
1
23
lim
32
23
lim
32
23
lim
32
23
lim
2
2
222
2
22
2
2
2
2
=
++
+
=
=
++
+
=
++
+
=
++
+
=
∞
∞
=
++
+
+∞→+∞→+∞→+∞→
xx
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
xxxx
• Caso 2: si ( ) ( )xQgrxPgr =
( )
( ) n
n
x b
a
xQ
xP
=
±∞→
lim siendo na y nb los coeficientes
principales de P y Q respectivamente.
Ejemplo:
5

6. 3
5
003
05
44
3
3
5
lim
443
35
lim
443
35
lim
443
35
lim
2222
2
22
2
2
2
2
2
2
2
=
−+
+
=
=
−+
+
=
−+
+
=
−+
+
=
∞
∞
=
−+
+
+∞→+∞→+∞→+∞→
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xxxx
• Caso 3: si ( ) ( )xQgrxPgr >
( )
( )
±∞=
±∞→ xQ
xP
x
lim
Ejemplo:
−∞=
−
=
−
+−
=
=
−
+−
=
−
+
−
=
−
+−
=
∞
∞
=
−
+−
+∞→+∞→+∞→+∞→
0
3
00
03
41
8
3
lim
4
83
lim
4
83
lim
4
83
lim
222
22
2
2
2
2
2
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xxxx
5. LÍMITES DE FUNCIONES IRRACIONALES.
5.1 Cuando ax → ( )xf
Si la función ( )xf está definida en a, suele verificarse: ( ) ( ) ( )afxfxf
axax
==
→→
limlim
En caso de obtener expresiones no definidas (por ejemplo 0/0), el límite puede resolverse
haciendo transformaciones algebraicas en la expresión inicial; la estrategia más clásica
consiste en multiplicar y dividir por expresiones conjugadas.
Ejemplos:
( ) 3951452lim52lim
77
==−=−=−
→→
xx
xx
( ) ( )
( )
2
5
lim
5
55
lim
5
25
lim
0
0
5
25
lim
552
2
52
2
5
=
+
=
−⋅
−⋅+
=
−
−
==
−
−
→→→→ x
x
xx
xx
xx
x
xx
x
xxxx
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2
1
1
1
lim
11
1
lim
11
11
lim
0
0
1
1
lim
1111
=
+
=
+⋅−
−
=
+⋅−
+⋅−
==
−
−
→→→→ xxx
x
xx
xx
x
x
xxxx
( )
( ) ( ) 2
2
2
1
2
1
4
lim
44
4
lim
16
4
lim
0
0
16
4
lim
442
2
42
2
4
===
+
=
−⋅+
−⋅
=
−
−
==
−
−
→→→→ x
x
xx
xx
x
xx
x
xx
xxxx
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2
1
12
1
lim
123
3
lim
123
12
lim
123
1212
lim
0
0
3
12
lim
33
333
=
+−
=
+−⋅−
−
=
=
+−⋅−
−−
=
+−⋅−
+−⋅−−
==
−
−−
→→
→→→
xxx
x
xx
x
xx
xx
x
x
xx
xxx
5.2 Cuando ±∞→x ( )xf
6

7. ( ) ( )xfxf
xx
limlim
±∞→±∞→
= . Si hay cocientes, suele ser válida la regla de los grados
utilizada con las funciones racionales.
Ejemplos:
+∞=
+∞→
x
x
lim
0
3
lim =
+∞→ xx
2
1
4
1
54
2
lim
54
2
lim 2
2
2
2
==
+
+
=
∞
∞
=
+
+
+∞→+∞→ xx
xx
xx
xx
xx
+∞==
⋅
=
∞
∞
=
+∞→+∞→+∞→ 2
lim
2
lim
2
lim
x
x
xx
x
x
xxx
24
5
4
lim
5
4
lim 2
2
2
2
==
−
=
− +∞→+∞→ xx
x
xx
x
xx
2
1
2
14
lim
32
lim
14
32
lim
14
32
lim
14
32
lim
14
32
lim
2
2
2
2
2
222
==
+−
+
=
=
+−
+
=
+−
+
=
+−
+
=
∞
∞
=
+−
+
+∞→
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xxxx
+∞==
−
+
=
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
∞
∞
=
−
+
+∞→
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
0
2
45
lim
32
lim
45
32
lim
45
32
lim
45
32
lim
45
32
lim
4
23
2
2
4
23
2
2
4
23
2
2
2
23
2
2
23
2
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xxxx
2
1
2
4
lim
52
lim
4
52
lim
4
52
lim
4
52
lim
4
52
lim
2
2
2
2
2
222
==
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
∞
∞
=
+
+
+∞→
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xxxx
7

8. 0
2
0
52
lim
32
lim
52
32
lim
52
32
lim
52
32
lim
52
32
lim
2
2
4
3
2
2
4
3
2
2
4
3
2
2
2
3
2
3
==
−
+−
=
=
−
+−
=
−
+−
=
−
+−
=
∞
∞
=
−
+−
+∞→
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xxxx
24
5
4
lim
5
4
lim 2
2
2
2
==
−
=
− +∞→+∞→ xx
x
xx
x
xx
6. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES
En general se cumple:
( ) ( )xfxf
ax
ax
ee →
=
→
lim
lim y
( ) ( )xfxf
x
x
ee ±∞→
=
±∞→
lim
lim
Ejemplos:
+∞=== ∞+
+∞→
+∞→
eee
xx
x
x
lim
lim
0
11
lim
lim
=
∞+
==== ∞+
∞−
−∞→
−∞→
e
eee
xx
x
x
+∞=== ∞+++
+∞→
+∞→
eee
xx
x
x
12lim12
lim
0
11
lim
3lim3
=
∞+
==== ∞+
∞−
−∞→
−∞→
e
eee
xx
x
x
0
11
lim
2
2 lim
=
∞+
==== ∞+
∞−−−
+∞→
+∞→
e
eee
xx
x
x
1lim 0
11
lim
1
==== ∞−
−∞→
−∞→
eeee xx
x
x
1lim 0
11
lim
1
22
==== ∞+
+∞→
+∞→
eeee xx
x
x
4
24
lim
24
lim eee x
x
x
x
x
x
==
−−
+∞→
+∞→
7. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS
En general se cumple: ( )[ ] ( )[ ]xfxf
ax
bb
ax →→
= limlogloglim y
( )[ ] ( )[ ]xfxf
x
bb
x +∞→+∞→
= limlogloglim
Ejemplos:
8

9. [ ] [ ] ( ) +∞=∞+==
+∞→+∞→
b
x
bb
x
xx loglimlogloglim
[ ] [ ] ( ) −∞=== +
→→ ++
0loglimlogloglim
00
b
x
bb
x
xx
( ) −∞==





∞+
=





=




 +
+∞→+∞→
0log
1
log
1
limlog
1
loglim bb
x
bb
x xx
( ) ( ) +∞=∞+=−
±∞→
log1loglim 2
x
x
( ) −∞==





+
=





+
+
+∞→+∞→
0log
1
2
limlog
1
2
loglim 22
x
x
x
x
xx
110log
5
10
limlog
5
10
loglim ==



+
=





+ +∞→+∞→ x
x
x
x
xx
01log
5
limlog
5
loglim ==





+
=





+ +∞→+∞→ x
x
x
x
xx
( ) −∞==



+
=





+
+
+∞→+∞→
0log
12
10
limlog
12
10
loglim
xx xx
( ) +∞=∞+=





+
=





+ +∞→+∞→
log
5
2
limlog
5
2
loglim
22
x
x
x
x
xx
8. OPERACIONES CON EL INFINITO
+∞=±∞+ k
+∞=∞+∞+
−∞=±∞− k
−∞=∞−∞−
ACIÓNINDETERMIN=∞−∞+
( ) ( ) ±∞=∞+⋅±k
( ) ( ) ∞=∞−⋅± k
( ) ( ) ±∞=∞+⋅∞±
( ) ( ) ∞=∞−⋅∞± 
0=
∞±
±k
±∞=
±
∞±
k
ACIÓNINDETERMIN=
∞±
∞±
( ) ±∞=∞±
+k
( ) 0=∞±
−k
9. LÍMITES INDETERMINADOS
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º
∞
∞
0
k
0
0
∞−∞ ∞⋅0 ∞
1 0
0 0
∞
FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES FUNC. EXPONENCIALES
9

10. FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES
• Caso 1: ∞
∞
Esta indeterminación desaparece dividiendo numerador y denominador por la parte literal
del término de mayor grado.
4
1
1
11
4
lim
1
14
lim
1
14
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
−+
=
+
−+
=
∞
∞
=
+
−+
∞→∞→∞→
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
xxx
1
1
1
1
limlimlimlim
2
22
2
=
+
=
+
=
+
=
∞
∞
=
+
∞→∞→∞→+∞→
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
xxxx
Regla:
- Si ( ) ( )QgrPgr < el límite es 0
- Si ( ) ( )QgrPgr = el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de
mayor grado.
- Si ( ) ( )QgrPgr > el límite es ∞+ ó ∞−
• Caso 2:
0
k
con 0≠k
Esta indeterminación desaparece cuando los límites laterales son iguales.
Si los límites laterales son diferentes, se dice que no existe el límite.
límite
0
1
1
1
lim
0
1
1
1
lim
0
1
1
1
lim
1
1
1
∃/⇒







−∞==
−
+∞==
−
⇒=
−
−→
+→
→
−
+
x
x
x
x
x
x
• Caso 3:
0
0
La indeterminación desaparece de una de las siguientes formas:
- Factorizando numerador y denominador y simplificando.
( ) ( ) ( ) 31lim
1
11
lim
0
0
1
1
lim 2
1
2
1
3
1
=++=
−
++⋅−
==
−
−
→→→
xx
x
xxx
x
x
xxx
- Multiplicando y dividiendo por el conjugado del radicando y simplificando.
10

11. ( )
( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( ) 211lim
11
lim
11
11
lim
1111
11
lim
0
0
11
lim
00
000
=−+=
−+⋅
=
=
−−
−+⋅
=
−+⋅−−
−+⋅
==
−−
→→
→→→
x
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xx
xxx
• Caso 4: ∞−∞
La indeterminación desaparece de una de las siguientes formas:
- Operando la expresión queda inmediato a una de las anteriores indeterminaciones.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) 3
1
6
2
3
2
lim
33
32
lim
33
62
lim
33
1262
lim
33
1232
lim
33
12
3
2
lim
9
12
3
2
lim
3333
3323
==
+
=
+⋅−
−⋅
=
+⋅−
−
=





+⋅−
−+
=
=





+⋅−
−+⋅
=





+⋅−
−
−
=∞−∞=





−
−
−
→→→→
→→→
xxx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xxxxx
xxxx
xxx
- Multiplicando y dividiendo por el conjugado del radicando y simplificando.
( ) ( )
2
1
limlimlim
limlim
2
222
22
2
22
2
=
+
+
=
∞
∞
=
++
=
++
−+
=
=
++
++⋅−+
=∞−∞=−+
+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→
x
x
x
xx
x
x
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
xx
• Caso 5: ∞⋅0
Esta indeterminación se resuelve transformándola en otra de tipo ∞
∞
ó
0
0
( ) 0
1
0
2
1
96
lim
2
96
lim
2
96
lim032
2
3
lim
4
2
4
4
2
44
==
−
−
=
−
−
=
∞
∞
=
−
−
=∞⋅=−⋅
− −∞→−∞→−∞→−∞→
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x xxxx
11

12. FUNCIONES EXPONENCIALES
• Caso 6: ∞
1
La indeterminación desaparece aplicando la siguiente regla:
[ ] )(1)(lim)(
1)(lim
)(lim
1)(lim
xgxfxg
ax
ax
ax
ax
exf
xg
xf
⋅−∞
→
→
→
→
==⇒






∞=
=
Demostración
Recordemos que e
n
n
n
=





+
∞→
1
1lim
Sean na y nb dos sucesiones:
( )[ ]
( ) ( )
( )
( ) nn
n
n
nn
ba
a
n
b
n
b
n
b
n
aa
aa
⋅−⋅
−












−
+=












−
+=−+=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
111
Por tanto el límite de nb
na equivale a calcular este otro límite:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) nn
n
nn
nn
nn
n
n
ba
ba
a
n
n
ba
a
n
n
b
n
n
e
aa
a
⋅−
⋅−⋅
−
∞→
⋅−⋅
−
∞→∞→
∞→
∞→
=












−
+=












−
+=
1lim
1lim
1
1
1
1
1
1
1
1
1lim
1
1
1
1limlim
Ejemplo
83
8
lim2
3
4
lim2
3
37
lim21
3
7
lim
2
1
3
7
lim eeeee
x
x x
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
xxxx
======





+
+ 





+
⋅





+
⋅





+
−−+
⋅





−
+
+
∞
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
Las siguientes indeterminaciones se resuelven por la regla del L´Hopital, que se estudia en 2º
de Bachillerato.
• Caso 7: 0
0
0
0
0lim =+
→
x
x
x
• Caso 8: 0
∞
0
0
1
lim ∞=





+
→
x
x x
12

13. INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES
Dos funciones ( )xf y ( )xg son equivalentes en un punto ax = si el límite de su cociente
en dicho punto es 1.
( )
( )
1lim =
→ xg
xf
ax
⇔ ( )xf ~ ( )xg en ax =
El límite de una expresión no varía al sustituir las funciones por otras equivalentes.
• 1
sin
lim
0
=
→ x
x
x
Consideramos la circunferencia de radio 1 y un ángulo x .
xxrL =⋅=⋅= 1α
Según el diagrama
1
sin
lim1
sin
lim11lim
sin
limcoslim
1
sin
cos
cos
1
sin
1
sin
tan
sinsin
sin
tansin
00000
=⇒<<⇒<<⇒
⇒<<⇒<<⇒<<⇒<<
→→→→→ x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxxxx
• 1
tan
lim
0
=
→ x
x
x
Utilizamos el diagrama anterior de nuevo:
1
tan
lim1
tan
lim1coslim
tan
lim1lim
cos
tan
11
tancos
1
tan
tan
tantan
sin
tansin
00000
=⇒<<⇒<<⇒
⇒<<⇒<<⇒<<⇒<<
→→→→→ x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xxx
xxxxx
Sen x Tg x
Longitud del arco = x
13

14. De la misma forma que en los dos límites anteriores se deduce:
• 1
arcsin
lim
0
=
→ x
x
x
• 1
arctan
lim
0
=
→ x
x
x
•
1
2
cos1
lim 20
=
−
→ x
x
x
• dfgh
14